1 17.2子群 ?子群定义 ?子群判别定理 ?重要子群的实例 ?生成子群 ?中心 ?正规化子 ?共轭子群 ?子群的交 ?子群格 2 子群定义 定义设G为群, H是G 的非空子集，若H 关于G 中运 算构成群，则称H 为G 的子群，记作H≤G. 如果子群H 是G 的真子集，则称为真子群，记作H<G. 说明：子群H 就是G 的子代数. 假若H 的单位元为e’, 且x 在H 中相对e’的逆元为x’, 则 xe’= x = xe ? e’ = e xx’ = e’ = e = xx ?1 ? x’= x ?1 3 子群判定定理一 定理1 G 是群，H 是G 的非空子集，则 H≤G ??a,b∈H, ab∈H, b ?1 ∈H 证：只证充分性. H 非空，存在a 属于H， 由条件2，a ?1 属于H， 由条件1，有aa ?1 属于H, 即e 属于H 4 子群判定定理二和三 定理2 G是群，H是G的非空子集，则 H≤G ??a,b∈H, ab ?1 ∈H 证充分性. H ≠???b∈H b∈H ? bb ?1 ∈H ? e∈H ?a, a∈H ? ea ?1 ∈H ? a ?1 ∈H ?a,b, a,b∈H ? a,b ?1 ∈H ? a(b ?1 ) ?1 ∈H ? ab∈H 定理3 G是群，H 是G 的有限非空子集，则 H≤G ??a,b∈H, ab∈H 证明见教科书. 5 重要子群的实例 a生成的子群<a> = { a k | k∈Z } ，a∈G B生成的子群<B> = ∩{ H | H≤G, B?H }, B?G <B> = 中心C = { a | a∈G, ?x∈G(ax=xa) } a 的正规化子N(a) = { x | x∈G, xa=ax }, a∈G H 的正规化子N(H) = { x | x∈G, xHx ?1 =H }, H≤G 共轭子群xHx ?1 = { xhx ?1 | h∈H } 其中H≤G, x∈G 子群的交 H, K≤G, 则 (1) H∩K≤G (2) H∪K≤G ? H?K∨K?H },,...,2,1,1,|...{ 21 21 + ∈=±=∈ ZnnieBbbbb ii e n ee n 6 关于子群的证明 证明中心C为子群 证由于e属于C, C非空. 任取x, y∈C，对于任意a∈G有 (xy ?1 )a = x(y ?1 a) = x(a ?1 y) ?1 = x(ya ?1 ) ?1 = x(ay ?1 ) = (xa)y ?1 = (ax)y ?1 = a(xy ?1 ) 因此xy ?1 属于C. 由判定定理2，命题得证. 7 重要子群的证明（续） 设H,K≤G, 则 (1) H∩K≤G (2) H∪K≤G ? H?K∨K?H 证(1) 略. (2) 只证必要性 假若?h(h∈H, h?K), ?k(k∈K, k?H)， 则hk?H，否则k=h ?1 (hk)∈H, 矛盾. 同理hk?K, 从而hk?H∪K 但是h,k∈H∪K, 与H∪K≤G矛盾. 8 AB 构成子群的条件 命题设A,B≤G，定义AB = { ab | a∈A,b∈B }, 则 (1) AB≤G ? AB=BA. (2) AB≤G ? AB=<A∪B> 证(1) 略. (2) A?AB, B?AB ? A∪B?AB ? <A∪B>?AB ?ab, ab∈AB ? a∈A, b∈B ? a,b∈A∪B ? a,b∈<A∪B> ? ab∈<A∪B> 例Klein四元群G ={ e, a, b, c }, <a>={ e, a }, <b>={ e, b }, <c>={ e, c } <a><b>={ e, a, b, c } <{ a, e }∪{ b, e}> = <{ a, b, e }>={ e, a, b, c } 9 G为群，S={ H | H≤G },偏序集<S,?>构成格， 称为G的子群格 Klein四元群，Z 12 的子群格. 子群格 10 17.3循环群 ?循环群的定义 ?循环群的分类 ?生成元 ?子群 ?循环群的实例 11 循环群的定义及其分类 定义 G = <a> = {a k | k∈Z}, a∈G 称G为循环群，a为G的生成元. 分类： 生成元的阶无限，则G为无限循环群 生成元a为n阶元，则G={e,a,a 2 ,…,a n?1 }为 n阶循环群 实例 <Z,+>为无限循环群 <Z n ,⊕>为n阶循环群 12 (n,r) 定义：n与r的最大公约数 性质：?u,v∈Z (un+rv = (n,r)) (n,r)=1, n与r互质（互素） ? ?u,v∈Z (un+rv=1) [n,r] 定义：n与r的最小公倍数 性质： ),( ],[ nm mn nm = 符号(n,r) 与[n,r] 13 定理1 G=<a>是循环群 (1) 若G是无限循环群，则G的生成元是a和a ?1 ; (2) 若G是n阶循环群，则G有?(n)个生成元， 当n=1时G=<e>的生成元为e； 当n>1时,?r(r∈Z + ∧r<n),a r 是G的生成元?(n,r)=1. 证明思路： (1) 证明a ?1 是生成元 证明若存在生成元b，则b=a或a ?1 . (2) 只需证明 (r,n)=1, 则a r 是生成元 反之，若a r 是生成元，则 (r,n)=1. 循环群的生成元 14 证明 证 (1) a是生成元，<a ?1 >?G, 任取a l ∈G, a l =(a ?1 ) ?l ∈<a ?1 > ? G?<a ?1 > 假设b为生成元，b=a j , a=b t , a=b t =(a j ) t =a jt ? a jt?1 =e 若jt?1≠0与a为无限阶元矛盾, 因此 j = t = 1 或j = t = ?1 (2) n=1结论为真. n>1 (n,r)=1 ? ?u,v∈Z(un+rv=1) ? a=a un+rv =(a r ) v ? a r 为生成元 反之，若a r 为生成元 1=???= ),( ),( | ),( |||)( ),( rn rn n n rn n aea rrn n r 15 定理2 G=<a>是循环群，那么 (1) G的子群也是循环群 (2) 若G是无限阶，则G的子群除{e}外也是无限阶 (3) 若G是n阶的，则G的子群的阶是n的因子， 对于n的每个正因子d, 在G中有且仅有一个d阶子群. 证明思路： (1) 子群H中最小正方幂元a m 为H的生成元 (2) 若子群H=<a m >有限，a≠e, 则推出 |a| 有限. (3) H=<a m >, |H|=|a m |, (a m ) n =e. 从而 |a m | 是n的因子. (4) <a n/d >是d阶子群，然后证明唯一性. 循环群的子群 16 证 (1) 设H是G=<a>的子群，不妨设H≠{e}. 取H中最小正方幂元a m ,<a m >?H. 对于任意整数i, i = lm+r, r∈{0,1,…,m?1} a i ∈H ? a r =a i (a m ) ?l ∈H ? r=0 ? a i ∈<a m > H?<a m > (2) 设H为G的子群，若H≠{e}, 必有H=<a m >, a m 为H中最小正方幂元. 假设 |H| =t, 则 (a m ) t = e ? a mt = e，与a为无限 阶元矛盾. 证明 17 (3) 设G ={ e ,a, … , a n?1 }，H={e}命题显然成立. 若H≠{e}, 必有H=<a m >, a m 为H中最小正方幂元. 设 |H| =|a m |=d, (a m ) n =(a n ) m =e ? |a m | | n ? d | n (4) 设d | n，则>=< d n aH是G的d阶子群. 若H’=<a m >也是G的d阶子群，其中a m 为最小正方幂元. 则 H’?H, |H’|=|H|=d ? H’=H Haat d n mm d n mdnea t d n mmd ∈=?=???= )(|| 证明（续） 18 实例 例1 (1) <Z 12 ,⊕>, 求生成元、子群. 生成元为与12 互质的数：1, 5, 7, 11 12 的正因子为1, 2, 3, 4, 6, 12， 子群：<0>,<1>, <2>,<3>, <4>, <6> (2) G=<a 2 >为12阶群，求生成元和子群. 生成元为a 2 , a 10 , a 14 , a 22 G的子群：<e>, <a 2 >, <a 4 >,<a 6 >, <a 8 >, <a 12 > 生成元：1, ?1; 子群nZ, n = 0,1,…, (3) <a>为无限循环群，求生成元和子群. 生成元为a, a ?1 ；子群为<a i >，i = 0,1,2,…； (4) G=<Z,+>，求生成元和子群. 19 作业 ?复习要点： 子群的判定定理 有哪些重要子群，它们之间存在什么关系？ 循环群的定义 有限循环群与n阶循环群的区别 怎样求循环群的生成元 怎样求循环群的子群 ?书面作业： 习题十七，13, 16, 18, 19, 20