§ 4— 1 齿轮机构的特点和类型
第四章 齿轮机构
§ 4— 2 齿廓实现定角速比传动的条件
本章要求
§ 4— 3 渐开线齿廓
§ 4— 4 齿轮各部分名称及渐开线标准
齿轮的基本尺寸
§ 4— 7 根切、最少齿数及变位齿轮
§ 4— 8 平行轴斜齿轮机构
§ 4— 9 圆锥齿轮机构
§ 4— 6 渐开线齿轮的切齿原理
§ 4— 5 渐开线标准齿轮的啮合
本章要求
掌握渐开线的形成及性质。
要求理解渐开线齿廓的特点。
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
一,齿轮机构的特点
二,齿轮机构 的类型
三,基本要求
一、齿轮传动机构的特点
齿轮机构是应用最广的传动机构之一
优点,
3） 传动比稳定 ；
1） 适用的圆周速度和功率范围广 ；
6） 可实现平行轴、任意角相交轴和任意角交错轴之
间的传动 。
2） 传动效率高 ；
4） 寿命较长 ；
缺点,
2） 不适宜于 远距离两轴之间的传动。
1）要求较高的 制造和安装精度，成本较高 。
5） 工作可靠性较高 ；
二、齿轮传动机构的类型
齿轮
机构
两轴平行的
齿轮机构
两轴不平
行的齿轮
机构
圆柱齿
轮机构
直齿
斜齿
人字齿
两轴相交的
齿轮机构
两轴交错的
齿轮机构
直齿
曲齿
交错轴斜齿轮
蜗轮蜗杆
平面齿轮机构
空间齿轮机构
圆锥齿轮机构
斜齿
外啮合
内啮合
齿轮齿条
交错轴斜齿轮
（旧称螺旋齿轮）
三、基本要求
机械系统对齿轮传动的基本要求归纳起来有两项,
1、传动要准确平稳
即要求齿轮传动在工作过程中,瞬时传动比要
恒定,且振动、冲击要小。
2、承载能力大
即要求齿轮传动能传递较大的动力，且体积小,
重量轻、寿命长。
为了满足基本要求，需要对齿轮齿廓曲线、啮合
原理和齿轮强度等问题进行研究。
一,齿廓啮合基本定律
§ 4―2 齿廓实现定角速比
传动的条件
二,共轭齿廓
三、齿廓曲线的选择
一、齿廓啮合基本定律
齿轮传动的基本要求之一就
是要保证传动平稳。所谓平稳，
是指啮合过程中瞬时传动比,
i=?1/?2保持恒定。
如右图所示,
ω2
ω1
n
n
? 齿廓 E1和 E2在 K点啮合
? 过 K点作两齿廓的公法
线 nn，它与连心线 o1o2的
交点 C称为节点。
o1
o2
E1
E2
C
k
? 两齿轮在 K点的线速度
分别为,
? 显然 ?1,?2在公法线 nn
上的分速度相等。否则两齿
廓啮合时将互相嵌入或分离
KK 111 ??? ?
KK 222 ??? ?
ω2
ω1 o1
o2
E1
E2
C
k
n
n
Vk2
Vk1
? 过点 O2作 nn的平行线，
并与 O1K的延长线相交 Z点
Z
a
b
? ?Kab ? ?KO2Z,
?O1O2Z? ?O1CK
? 由相似三角形相应边成
比例得,
21 / ???i
一对传动齿轮的瞬时
角速度与其连心线 O1O2被
齿廓接触点公法线所分割的
两线段长度成反比。 ω2
ω1 o1
o2
E1
E2
C
k
n
n
Vk2
Vk1
Z
a
b
COCO 12 /?
上式表明,
齿廓啮合基本定律
由上式推论,
? 显然 要使两齿轮瞬时角速度
比恒定不变，必须使 C点为连心
线上的固定点。
? 或者说 要使齿轮传动得到
定传动比，不论齿廓在任何
位置接触，过接触点所作的
齿廓公法线都必须与连心线
交于一定点。
COCOi 1221 // ?? ??
ω2
ω1
n
n
o1
o2
E1
E2
C
k
二、共轭齿廓
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称
为共轭齿廓。理论上有无穷多对共轭齿廓。
在机械中，常用的齿廓有 渐开线齿廓,摆线
齿廓、圆弧齿廓。
三、齿廓曲线的选择
1.满足定传动比的要求；
2.考虑设计、制造、安装和强度等方面要求。
由于渐开线齿廓容易制造；也便于安装，互
换性也好，因此应用最广。
ω2
ω1
n
n
o1
o2
E1
E2
C
k
过节点 C所作的两
个相切的圆称为节圆 。
r2'
r1'
一对外啮合齿轮的
中心距恒等于其节圆
半径之和 。
a?
中心距 节点
节圆
节圆
COCO
i
12
21
/
/
?
? ??
12 / rr ???
§ 4— 3 渐开线齿廓
一,渐开线的形成和特性
二,渐开线齿廓满足定角速比要求
一、渐开线的形成和特性
BK直线称为 发生线 。
1、渐开线的形成,
一直线 在一个圆周上做
纯滚动时，直线上任意一点
的轨迹称为 渐开线 。
A
K
B
发生线
k?
O
基圆
rb
这个圆称为 基圆 。
AK曲线称为 渐开线 。
的展角称渐开线 KKk 0?
A
K
B
O
rb
2、渐开线特性,
（ 1） BK = A B
发生线沿基圆
滚过的长度等于基
圆上被滚过的圆弧
长度。
（ 2） BK为渐开线在 K
点的法线，且为 K点的
曲半半径。渐开线上
任一点的法 线 必 于 与
基圆相切。
A
K
B
O
rK
? 渐开线上点Ｋ的压力角
在不考虑摩擦力、重力和
惯性力的条件下，一对齿廓相
互啮合时，齿轮上接触点Ｋ所
受到的 正压力方向 与受力点 速
度方向 之间所夹的 锐角,称为
齿轮齿廓在该点的 压力角 。
(３ )渐开线齿廓各点具有不
同的压力角，离基圆中心Ｏ
愈远，压力角愈大。 基圆上
的压力角为零。
rb
k?
Vk
k?
Pk
k
b
K r
r
OK
OB ???c o s?
rK称为向径
当基圆半径趋于无穷
大时，渐开线成为斜直线。
它就是渐开线齿条的齿廓。
KO1
Σ1
r b1
o1
K
N1
KO2
Σ2
(4)渐开线的 形状 取决于
基圆的大小,基圆越大，
渐开线越平直。
N2
o2
Σ3
(5) 基圆以内无
渐开线。
以上五点是研
究渐开线齿轮啮合
原理的出发点。
二,渐开线齿廓满足定角速比要求
当两齿轮基圆的大小和位置
已定，其在一个方向上的内公切
线只有一条，它与中心线的交点
也只有一个，即为 节点,故一对
渐开线齿廓啮合能满足齿廓啮合
基本定律。
传动比,
1
2
1
2
2
1
2
1
12
b
b
r
r
r
r
n
n
i ?
?
?
???
?
?
上式表明，两渐开线齿轮啮合时，
其传动比与基圆半径成反比。
1,传动比恒定不变
两齿廓接触点的轨迹称为
啮合线, N1N2即为啮合线。
（ 1）渐开线齿轮传动的
啮合线 与 啮合角
2,渐开线齿廓的特点
两节圆的 公切线 tt与 啮合
线 N1N2之间的 夹角 ?'称为 啮
合角 。它为一常数。且等于
渐开线在节圆上的压力角。
啮合线、公法线、两基圆的
内公切线三线重合。
（ 2） 渐开线齿廓间的法向力
若不计齿廓间的摩擦力，则齿
廓间的 作用力 总是沿着接触点的
公法线方向 。称为 法向力 。
若齿轮传递的力矩不变，
则齿廓间法向力的大小和方
向均不变。
（ 3） 渐开线齿轮具有可分性
已知传动比 i与基圆半径成反比。当齿
轮制成后，基圆大小已定。所以即使中心
距稍有变化，其传动比仍保持原值不变，
这种性质称为渐开线齿轮传动的可分性。
所以可以适当放宽渐开线齿
轮的中心距公差，以便于加工和装
配。
§ 4— 4 齿轮各部分名称及
渐开线标准齿轮的基本尺寸
一,齿轮各部分名称
二,齿轮的基本参数
四,标准直齿圆柱 齿
轮几何尺寸计算
三,齿条的基本参数
齿顶圆 da
齿根圆 df
齿槽宽 ek
齿厚 SK
齿距 PK=eK+SK
在任意圆上 rk
齿槽
rk
分度圆 d
齿顶高 ha
齿根高 hf
全齿高 h
基圆 db
一,齿轮各部分名称和符号
对于内齿轮的参数,
2、模数 m
齿轮的各部分名称的定义，既适用于外齿轮，
又适用于 内齿轮 。
zpd ?? zpd
?
?
1、齿数 z
设齿轮的齿数为 z，则齿轮上
分度圆周长 为,
人为规定 m＝ P/π, m称为模数,并取
其为一有理数列。 单位 mm。
二,齿轮的基本参数
为了便于设计、制造和限制刀具的数目，我们把
齿轮 分度圆上的模数 定义为标准值，标准模数系列见
P57表 4— 1。
?
p
m ??
当齿数一定时，
模数越大，齿轮与轮
齿的尺寸越大，轮齿
的抗弯能力也越高。
mzd ??
当模数一定时，
齿数不同，齿廓渐开
线的形状不同。
3,压力角 ?
由渐开线性质可知，在不同直径的圆周上，齿
廓各点的压力角是不同的。
k
b
k r
r
??c o s )a r c c o s (
k
b
k r
r
??
齿廓上 K点处的压力角,
r
r b??c o s )a r c c o s (
r
r b??
我们通常所说的压力角是指齿轮分度圆上的压力
角，简称压力角，其值为,
由上式可知，当齿轮的齿数和模数一定时，分
度圆压力角不同，其基圆大小就不同，渐开线齿廓
的形状也就不同。因此，分度圆压力角是决定渐开
线齿廓形状的基本参数。
?? c o s
2
1c o s mzrr
b ??r
r b??c o s
所以,分度圆也可定义为,
齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆 。
国家标准规定分度圆上的压力角为标准值,
?＝ 20°,在某些情况下也可采用 ?＝ 15° 。
4、齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
一对齿轮啮合时，为
避免一齿轮齿顶圆与另一齿
轮齿根圆相碰，并为存储润
滑油，齿顶高略小于齿根高，
留有径向间隙 (顶隙 ) 。
齿顶高 ha ＝ ha*m
齿根高 hf＝ (ha* +c *) m
全齿高 h＝ ha + hf
＝ (2ha* +c *) m
顶隙 c＝ c * m
r2
r1 c
o1
o2
'
'
'
我国对齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*也规定了标
准值。见 P57表 4－ 2
分度圆上齿厚与齿槽宽相等，且齿顶高和 齿
根高为标准值的齿轮称为 标准齿轮 。
标准齿轮
正常齿制, ha* = 1 c * = 0.25
短齿制, ha* = 0.8 c * = 0.3
齿条的主要特点是,
3.与齿顶线平行且齿厚等于齿槽宽的直线称为分度
线 (中线 )，它是齿条的基准线。
三、齿条的基本参数,
1.齿条同侧齿廓为平行的直
线，齿廓上各点具有相同的
压力角，即为其齿形角，它
等于齿轮分度圆压力角。
2.齿廓在不同高度上,具有
相同的齿距。 但齿厚和槽宽各不相同,
4、尺寸计算：同标准齿轮一样
根据齿轮所承受的载荷大小等条件，选
定了模数，并选定了齿顶高系数、顶隙系数、
压力角，并确定了齿轮的齿数后，标准齿轮
各部分的尺寸就能够利用公式进行计算。
mzd ? ha ＝ ha
*m
hf＝ (ha* +c *) m
S = e = P/2 = ?m/2 ?c o sdd b ?
mcc ??
四、标准直齿圆柱 齿轮几何尺寸计算
aa hdd 2??
ff hdd 2??
h＝ ha + hf
＝ (2ha* +c *) m
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
一,正确啮合条件
二,标准中心距
三,重合度
一,正确啮合条件
一对渐开线齿廓能满足啮合基本定律就能保证
定传动比传动，但这并不意味着任意的两个渐开线
齿轮都能正确地啮合传动。
根据渐开线性质，
两轮齿 法向齿距 应分别
等于两轮齿 基圆齿距 。
222
111
b
b
pkk
pkk
??
??
21 bb pp ?
如左图所示为一对渐开
线齿轮啮合的情况。设前一
对齿轮在 K点接触，后一对
齿轮在 K'点接触。
为使前后两轮齿能同时
在啮合线上接触，必须使法
向齿距 K1K'1 ＝ K2K'2，否
则
若 K1K'1 > K2K'2,传动中断。
若 K1K'1 < K2K'2,两轮可能卡住。
????? c o sc o s mp
d
d
z
d
z
dp bb
b ?????
222111 c o s;c o s ???? mpmp bb ???
2211 c o sc o s ?? mm ?
故有：
由于模数、压力角均已标准化，所以要满足
上式，应使,
?
?
?
??
??
??? 21
21 mmm
一对齿轮正确啮合条件是,
两齿轮的 模数和分度圆压力角必须 分别相等。
一对齿轮的传动比为,
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
z
z
d
d
d
d
d
d
n
n
i
b
b ???
?
?
???
?
?
二、标准中心距
标准齿轮的分度圆
齿厚等于其齿槽宽，因
此一对标准齿轮啮合时，
只要是两分度圆相切，
就可以确保齿轮无侧隙
啮合传动。
齿轮传动时，一轮
节圆上的齿槽宽与另一
轮节圆上的齿厚之差称
为 齿侧间隙 。
实际上，齿轮啮合
要求有微量的齿侧间隙，
以保证润滑油膜、装配
误差或热膨胀的需求，
但设计时仍按无侧隙啮
合进行计算。
一对标准齿轮分度
圆相切时的中心距称为
标准中心距,用 a表示。
)(
2
21
2121
zz
m
rrrra
??
??????
两轮分度圆相切，故顶隙为,
af hhmcc ???
*
标准齿轮只有在 分度
圆与节圆 重合时,压力角
与啮合角 才相等，否则，
压力角与啮合角就不相等。
r2
r1 c
o1
o2
'
'
'
分度圆和压力角 是单
个齿轮本身所具有的,节
圆和啮合角 是两个齿轮啮
合时才出现的。
注意,
内啮合齿轮的中心距?
三,重合度
1、齿轮啮合过程
起始啮合点 B2,
从动轮的齿顶点与
主动轮的齿根处某点
接触，在啮合线上为
从动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B2。
终止啮合点 B1,
主动轮的齿顶点与从动轮的齿根处某点接触，
在啮合线 N1N2上为主动轮的齿顶圆与啮合线 N1N2
的交点 B1。
实际啮合线 B1B2
理论啮合线 N1N2
o2
o1
?1
?2
N1 B2
B1 N
2
ra2 r
b2
rb1 r
a1
一对齿轮从开始啮合点
B1至终止啮合点 B2的轨迹。
当两轮齿顶圆加大时，
点 B1和 B2趋近于点 N1和 N2,由
于基圆内无渐开线，所以线
段 N1N2为理论上的最大啮合
线段，称为理论啮合线段。
B2
B1
F
G
啮合弧 FG
一对齿轮从开始啮
合到终止啮合，分度圆
上任意一点所经过的弧
线距离称为啮合弧 FG 。
FG ? P
? P FG
? P FG
能保证连续传动
处于传动连续和不连续的边界状态
不能保证连续传动
(a)
N2
N1
?1
N2
N1
?1
(c)
?1
(b)
N1
N2
由此可知，为了保证渐开线齿轮连续以定角
速比传动，啮合弧必须大于齿距
啮合弧与齿距之比称为 重合度 。用 ε表示。
齿轮连续传动的充分条件是重合度大于 1。
1??
p
FG?
重合度越大，表明同时参与啮合的齿的对数越多。
重合度意义,
§ 4-6 渐开线齿轮的切齿原理
一,成形法
二,范成法
齿轮的加工方法很多，有铸造、热轧、冲压、
模锻、粉末冶金和切削法等。
切削法加工也有多种方法，但从加工原理看，
可概括为成形法和范成法两种。
一、成形法
利用具有渐开线齿槽形状的成
形铣刀直接切制出齿轮齿廓的方法。
常用的刀具有,圆盘铣刀 和指状铣刀
指状铣刀 成形法切齿设备简单，不需专用机床，但生产效率低，制造精度低。
圆盘铣刀
二、范成法
范成法是利用一对齿轮（或齿轮与齿条）互相
啮合时，其共轭齿廓互为包络线的原理来切齿的。
常用刀具有,齿轮插刀, 齿条插刀,齿轮滚刀
范成实验
齿 轮 插 刀
为加工出要求的渐开线齿廓，要求齿轮插
刀的节圆与被加工齿轮的节圆相切并作纯滚动。
齿 条 插 刀
齿条刀具在切制标准齿轮时，刀具的中线与
轮坯的分度圆相切并作纯滚动。
齿条插刀齿廓
齿条插刀齿廓
刀具分度线（中线）、齿距 p、齿形
角或刀具角 α
刀具的刀顶线比标准齿条在齿顶部高出 一段 mc*
齿
轮
滚
刀
能连续切削,
生产效率高。
范
成
实
验
的
平
面
图
§ 4-7 根切、最少齿数及
变位齿轮
一,根切和最少齿数
二,变位齿轮及其齿厚的确定
三,变位齿轮传动类型
一、根切和最少齿数
齿轮根切现象
用范成法切制齿轮时，有
时刀具会把轮齿根部已切制好
的渐开线齿廓再切去一部分，
这种现象称为齿廓根切。
1、根切 —
根切使齿根削弱，根切严重时还会使重合
度减少，所以应当避免。
根切的危害,
当刀具的刀顶线与啮合线的交点 B超过啮合极
限点 N1时，就会 产生根切。
产生根切的原因
要避免根切，应使齿
条刀的刀顶线与啮合线
的交点 B2不超过啮合线
的极限点 N1。
避免根切的方法
p 节线
r rb
B2
o
刀顶线
N1
2、不发生根切的最少齿数
标准齿轮是否产生根切取决
于其齿数的多少。（原因）
N1
而啮合极限点 N1的位置与
被切齿轮的基圆半径 rb有关 。
?? c o s2c o s mzrr b ??
加工标准齿轮时，只有设法使
啮合极限点 N1移至刀具刀顶线上方
N'1,才不会产生根切。
m,?均为标准值,z增大时,rb增大，啮合极
限点 N1离节点 C越远，根切的可能性就越小。
反之,齿数 Z变少时，根切的可能性就越大。
根据计算,对于 ?＝ 20o,ha* =1的正常齿制
标准渐开线齿轮，其最少齿数 ?min＝ 17 。
所以标准齿轮欲避免根切，其齿数必须 大于或
等于 不根切的最少齿数 ?min。
?? c o s2c o s mzrr b ??
极限点 N1
刀顶线与啮
合线交点 B
PBPN ?1
只要 就不会产生根切
刀具的中线
极限点 N1
刀顶线与啮
合线交点 B
?? s i n
2
1s i n
1 mzrPN ??
?s i n/mhPB a??
刀具的中线
?? s i n
2
1s i n
1 mzrPN ??
?
?
s i n
s i n
2
1 mhmz a??
?s i n
mhPB a??
将 ?＝ 20o,ha* =1代入上式，可得,
?s i n
2 mhz a??
17
s i n
2m i n ?? ?
?
mhz a
标准齿轮虽然有许多优点，得到广泛的应用，
但是它也有许多不足，如,
二,变位齿轮及其齿厚的确定
1、齿轮修正问题的提出
（ 1）标准齿轮的齿数必须大于或等于最少齿数 zmin,
否则会产生根切。
（ 2）不适用于 a'≠a = m(z+z)/2的场合。
当 a' <a时，根本无法安装；
当 a' >a时,虽然可以安装，但将产生较大的齿
侧间隙，使重合度降低 。
（ 3）一对互相啮合的标准齿轮，小齿轮齿根厚度小于
大齿轮齿根厚度，抗弯能力有明显差别。
为了弥补上述不足，需要对齿轮进行修正，以改
善其传动性能，因此在机械中就出现了变位齿轮。
2,变位原理
如右图所示，当刀具处于虚线
位置时，齿轮就会产生根切。
为避免根切，可将刀具自轮
坯中心向外移出一段距离 xm，
如图中实线所示，这样切制的，
齿轮就不会产生根切。
3、变位齿轮
用这种改变刀具相对位置的方法
切制的齿轮就称为变位齿轮。
变位量和变位系数
x称为变位系数。
刀具远离轮坯中心时，
变位系数 x为正值，称为正
变位；
刀具移动的距离 xm称为变位量。
反之刀具趋近轮坯中心
时，变位系数 x为负值，称
为负变位 。
4,变位齿轮的几何尺寸
1） 不变 的参数及尺寸有,
m,z, α,ha*,c*,p、
d,db,h；
3） 负变位 时尺寸变化情况,
2） 正变位 时尺寸变化情况,
s↑,e↓,da↑,df↑, ha↑,hf↓，
齿轮的强度 ↑
与正变位时相反。
尺寸变化情况,
变位齿轮与标准齿轮相比
正变位,截取了离基
圆较远的渐开线部位；
负变位,截取了离基
圆较近的渐开线部位。
变位齿轮的尺寸计算
正变位,
s =πm / 2 +2 x m tanα
e =πm / 2 –2 x m tanα
da = d + m（ 2 + 2x ）
df =d -m（ 2.5 -2 x ）
ha= m + x m
hf =1.25m –x m
负变位：同正变位，
但公式中的 x为 负值 。
变位齿轮
刀具中线
标准齿轮
刀具中线
对于标准齿轮避免根切的方法有,
选用 Z>Zmin的齿数；
采用 x>xmin的变位齿轮；
改变齿形系数，但会增加成本。
三、变位齿轮传动类型
根据一对齿轮变位系数之和（ x1+x2）的不同，齿
轮传动类型可分为以下几种类型,
2）等移距变位齿轮传动（又称高度变位齿轮传动）
1、零传动（ x1+x2=0）
无侧隙啮合时，分度圆与节圆重合
a'=a,?'=?,z1≥ zmin,z2 ≥ zmin
? 即 x1= -x2且不为零,小齿轮取正变位，大齿轮取
负变位。无侧隙啮合时节圆与分度圆重合 a'=a 。
1）标准齿轮传动（ x1=0,x2=0）
? 其主要优点是,可以制造出齿数 z1<zmin而无根切现
象；可以使两轮的弯曲强度趋于相等，提高了齿轮
的承载能力。
? 当 z1+z2 ?2zmin时，可采用这种传动。
? 缺点是,（ 1）两轮必须成对设计、制造和使用。
（ 2）重合度略有减少。
（ 3）小齿轮容易变尖。
节圆大于分度圆,?′ ? ?,a′ ?a
2、正传动（ x1+x2>0 的传动）
（ 1）可以减少齿轮机构的尺寸 (当 z1+z2<2zmin时用 )。
（ 2）可以提高齿轮的承载能力。
（ 3）适当选择 x1及 x2，可以配凑给定的中心距。
（ 4）必须成对地设计制造和使用。
（ 5）重合度较小，而且正变位太大时齿顶可能变尖。
正传动与标准齿轮传动相比有如下特点,
要使两轮不发生根切必须 Z1+Z2>2Zmin。 此类传
动一般不用，只有在 a' < a的场合才不得不用。
3、负传动（ x1+x2 <0 的传动）
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
一,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
二,斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
三,斜齿轮传动的重合度
四,斜齿轮的法面齿形和当量齿数
五,斜齿轮传动的优缺点
一,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点
发生面 S在基圆柱上作纯
滚动时，发生面上与基圆柱母
线平行的直线 KK所展成的渐开
面即为直齿轮的齿面。
1,渐开线直齿圆柱
齿轮齿廓曲面的形成,
k0 '
k0
k
k '
N '
2,斜齿轮齿面形成,
发生面 S沿基圆柱纯滚
动时，发生面上一条与基圆
柱母线成 β b 角的直线 KK所
展成的 渐开线螺旋面 就是斜
齿轮的齿廓曲面。
k0 ' k
0
k
k '
N '
斜齿轮端面
的齿廓曲线为渐
开线。
直齿圆柱齿轮啮合时，齿
面的接触线与齿轮的轴线平行，
轮齿沿整个齿宽是同时进入或
同时退出啮合的，因此，轮齿
上的载荷是突然加上或突然卸
掉的，容易引起冲击和振动，
不适宜高速传动。
斜齿轮啮合时，齿面接触线
是斜直线，接触线先由短变长，
再由长变短，直至脱离啮合。 减
少了传动时的冲击和噪音，提高
了传动平稳性，故斜齿轮适用于
重载高速传动。
3,直, 斜齿轮啮合特点,
4、平行轴斜齿圆柱齿轮传动,
垂直于轴线的截面。
从端面看，一对渐
开线斜齿轮传动相当于
一对渐开线直齿轮传动，
所以，它必然满足定角
速比的要求。
端面,
5、斜齿轮传动的正确啮合条件,
?
?
?
?
?
??
?
?
21
21
21
??
??
nn
nn
mm
两轮的模数和压力角必须相等，且两轮分度圆柱
螺旋角（称螺旋角） β必须大小相等，方向相反。
二、斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
斜齿圆柱齿轮 参
数 有 法向 和 端面 之分,
法向参数,
端面参数为 非标
准值 。计算的基本尺
寸是在端面上计量的。
mn,?n,h*an,c*n
法向参数为 标准值 。
端面参数
mt,?t,h*at,c*t
?co stn pp ?
法向模数 mn和端面模
数 mt之间的关系为,
端面齿距 pt与法向齿
距 pn的关系,
mp ???
?c o stn mm ?? 分度面截面图
??? co stgtg tn ??
斜齿轮的法向压力角 α n和端
面压力角 α t之间的关系为,
?
(a)
在 ?abc中
在 ?a'b'c中
ba
catg
n ??
???
?c o sacca ??在 ?aa'c中
? a a'
c ?
?t ?n
b b'
(b)
baab ????
ab
actg
t ??
斜齿轮的几何尺寸计算是在端面
内进行。从端面看，斜齿轮啮合与直齿
轮完全相同，所以只要把端面参数代入
直齿轮几何尺寸计算公式中，即可得渐
开线标准斜齿轮的几何尺寸计算公式。
公式见 P68表 4— 4要记熟。
实际中变位斜齿轮较少应用。
从端面看，斜齿轮的
啮合与直齿轮完全一样，
但由于斜齿轮的轮齿是倾
斜的，当一对斜轮齿在前
端面啮合结束时，其齿宽
的不同截面内仍在啮合。
只有当轮齿后端面走出啮
合区，该齿才终止啮合。
三、斜齿轮传动的重合度
B2 B1
b
B2 B1
L
? b
C S
B2
B2
B1
B1
?
两个端面参数完全相同的
标准直齿轮和标准斜齿轮
t
t P
BB 12??
t
t
ttt P
b t g
P
CB
P
BB
P
CB ??? ????? 2211
直齿轮重合度 ?t,
斜齿轮重合度 ?,
oo 20~8??
斜齿轮的实际重合度比直齿轮的大。其值随螺
旋角 ?和齿宽 b增大而增大。 因此斜齿轮转动平稳，
承载能力高 。
t
t P
b t g ??? ??
斜齿轮的螺旋角增大，会使轴向力增大，造成
轴承结构的复杂，因此通常取,
用成形法加工斜齿轮
时，刀具沿螺旋形齿槽方
向进刀，其形状与齿轮的
法面齿形相同。由于斜齿
轮的端面为渐开线，而其
法面齿形比较复杂，不易
精确求出，只有采用 近似
方法 求出法面齿形。
过斜齿轮分度圆柱上齿廓的任意点 C作轮齿的法
面，该法面与分度圆柱的交线为一椭圆。
四、斜齿轮的当量齿数
以椭圆在该点的曲率
半径为分度圆半径，斜齿
轮的法向模数为模数，法
向压力角为压力角。作一
直齿圆柱齿轮，其齿形可
认为近似于斜齿轮的法向
齿形。该直齿圆柱齿轮称
为斜齿轮的 当量齿轮,其
齿数称为 当量齿数 。
?vZ
??
?
32 c o sc o s
2
n
n
nn m
zm
m
d
m
??
?3c o s
z?
标准斜齿轮 不发生 根切的 最少齿数 为,
?3m i nm i n c o svzz ?
由上式可知,zv＞ z，由于当量齿轮虚拟
齿轮，故 zv一般不是整数。
在斜齿轮强度计算中，要用当量齿数 zv决
定其齿形系数，在加工中，也要用当量齿数
决定铣刀的号数。
五、斜齿轮传动的 优缺点
（ 1） 在传动中，其轮齿逐渐进入和逐渐脱开啮合,
传动平稳，冲击和噪声小；
（ 2） 重合度大，故承载能力高，运动平稳，适用于
高速传动；
（ 3） 不产生根切的最小齿数比直齿轮少，故结构紧凑；
斜齿轮在工作时会产生 轴向分力 Fa，从而使轴
向定位和结构复杂化。用人字齿轮可克服轴向推力。
优点
缺点
螺旋角 ?的大小对
斜齿轮传动的质量
有很大影响，一般
取 80?200
(b)
且 ??,Fa?,
(a)
§ 4-9 圆 锥 齿 轮 机 构
一,圆锥齿轮概述
二,背锥和当量齿数
三,直齿 圆锥齿轮几何尺寸计算
一、圆锥齿轮概述
圆锥齿轮机构是用来
传递空间 两相交轴 之间运
动和动力的一种齿轮机构 。
两轴线交角 ∑可根据传动
需要来确定，一般多采
∑=90o。
与圆柱齿轮不同，其轮齿沿 圆锥面 分布，齿形
从大端到小端逐渐变小。为计算和测量方便，通常
取 大端参数为标准值 。
圆锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿和曲线齿（圆弧齿、
摆线齿）等多种形式。
一般机械传动中，普遍采
用的直齿圆锥齿轮传动。但汽
车、拖拉机等高速重载机械中，
多用曲线齿圆锥齿轮。
一对圆锥齿轮传动相
当于一对节圆锥的纯滚动。
除了节圆锥之外，
圆锥齿轮还有分度圆锥、
齿顶圆锥、齿根圆锥和
基圆锥 。
设 δ1和 δ2分别是小齿轮和大齿轮的分度圆锥角,
∑为两轴线的交角,∑＝ δ1 ＋ δ2。
正确安装的标准圆锥齿轮，
其节圆锥与分度圆锥重合。
21 tgct g ?? ??i
11 s i n ?ocr ??
22 s i n ?ocr ?
1
2
1
2
1
2
2
1
s i n
s i n
?
?
?
? ????
r
r
z
zi
时对于 o9021 ???? ??
故传动比：
时对于 1?i 21 ?? ?
二、背锥和当量齿数
1、直齿圆锥齿轮齿廓的形成
圆锥齿轮的齿廓
曲面是 球面渐开线 曲
面，其形成是,
一个圆平面 S与一个基圆
锥切于直线 OC，圆平面半径与
基圆锥锥距 R 相等，且圆心
与锥顶重合。当圆平面绕圆锥作纯滚动时，该平面上任
一点 B将在空间展出一条渐开线 AB。渐开线必在以 O 为
中心、锥距 R 为半径的球面上，成为球面渐开线。
2、背锥
圆锥齿轮的齿廓曲线理论上是 球面渐开线 。由于
球面渐开线无法在平面上展开，给设计和制造带来困
难，故常用背锥上的齿廓曲线来代替球面渐开线。
过大端 C点 (在分度
圆锥上），作 OC（ OC称
为锥距） 的垂线，与两
轮的轴线分别交于 O1和
O2点。
以 O1C和 O2C为母线
作两个圆锥 O1CA和 O2CB，
该两圆锥称为 背锥 。
背锥与球面相切于
大端分度圆的 C,A和 C、
B，并与分度圆锥直角
相截。
在背锥上以大端的
模数为标准模数，大端
压力角 20o，按照圆柱齿
轮的作图方法作出齿形，该齿廓即为圆锥齿轮大端的
近似齿廓 。
背锥可以展成平面，展开后得到一扇形齿轮，
扇形齿轮的参数分别与圆锥齿轮大端参数相同。
将两个扇形补足
为完整的圆柱齿轮称
为圆锥齿轮的当量齿
轮，则齿数增加到 zv1
和 zv2。称为圆锥齿轮
的当量齿数。
3、当量齿数
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
c o s2c o s
,
c o s2c o s
??
??
mzr
r
mzr
r
v
v
??
??
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
1
1
c o s
c o s
?
?
z
z
z
z
v
v
故
直齿圆锥齿轮的最少齿数为,
?co sm i nm i n vzz ?
直齿圆锥齿轮的正确啮合条件为,
两轮的大端模数相等，压力角相等，两轮的锥距相等。
三、直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算见表 4-5。
第四章 齿轮机构
§ 4— 2 齿廓实现定角速比传动的条件
本章要求
§ 4— 3 渐开线齿廓
§ 4— 4 齿轮各部分名称及渐开线标准
齿轮的基本尺寸
§ 4— 7 根切、最少齿数及变位齿轮
§ 4— 8 平行轴斜齿轮机构
§ 4— 9 圆锥齿轮机构
§ 4— 6 渐开线齿轮的切齿原理
§ 4— 5 渐开线标准齿轮的啮合
本章要求
掌握渐开线的形成及性质。
要求理解渐开线齿廓的特点。
§ 4-1 齿轮机构的特点和类型
一,齿轮机构的特点
二,齿轮机构 的类型
三,基本要求
一、齿轮传动机构的特点
齿轮机构是应用最广的传动机构之一
优点,
3） 传动比稳定 ；
1） 适用的圆周速度和功率范围广 ；
6） 可实现平行轴、任意角相交轴和任意角交错轴之
间的传动 。
2） 传动效率高 ；
4） 寿命较长 ；
缺点,
2） 不适宜于 远距离两轴之间的传动。
1）要求较高的 制造和安装精度，成本较高 。
5） 工作可靠性较高 ；
二、齿轮传动机构的类型
齿轮
机构
两轴平行的
齿轮机构
两轴不平
行的齿轮
机构
圆柱齿
轮机构
直齿
斜齿
人字齿
两轴相交的
齿轮机构
两轴交错的
齿轮机构
直齿
曲齿
交错轴斜齿轮
蜗轮蜗杆
平面齿轮机构
空间齿轮机构
圆锥齿轮机构
斜齿
外啮合
内啮合
齿轮齿条
交错轴斜齿轮
（旧称螺旋齿轮）
三、基本要求
机械系统对齿轮传动的基本要求归纳起来有两项,
1、传动要准确平稳
即要求齿轮传动在工作过程中,瞬时传动比要
恒定,且振动、冲击要小。
2、承载能力大
即要求齿轮传动能传递较大的动力，且体积小,
重量轻、寿命长。
为了满足基本要求，需要对齿轮齿廓曲线、啮合
原理和齿轮强度等问题进行研究。
一,齿廓啮合基本定律
§ 4―2 齿廓实现定角速比
传动的条件
二,共轭齿廓
三、齿廓曲线的选择
一、齿廓啮合基本定律
齿轮传动的基本要求之一就
是要保证传动平稳。所谓平稳，
是指啮合过程中瞬时传动比,
i=?1/?2保持恒定。
如右图所示,
ω2
ω1
n
n
? 齿廓 E1和 E2在 K点啮合
? 过 K点作两齿廓的公法
线 nn，它与连心线 o1o2的
交点 C称为节点。
o1
o2
E1
E2
C
k
? 两齿轮在 K点的线速度
分别为,
? 显然 ?1,?2在公法线 nn
上的分速度相等。否则两齿
廓啮合时将互相嵌入或分离
KK 111 ??? ?
KK 222 ??? ?
ω2
ω1 o1
o2
E1
E2
C
k
n
n
Vk2
Vk1
? 过点 O2作 nn的平行线，
并与 O1K的延长线相交 Z点
Z
a
b
? ?Kab ? ?KO2Z,
?O1O2Z? ?O1CK
? 由相似三角形相应边成
比例得,
21 / ???i
一对传动齿轮的瞬时
角速度与其连心线 O1O2被
齿廓接触点公法线所分割的
两线段长度成反比。 ω2
ω1 o1
o2
E1
E2
C
k
n
n
Vk2
Vk1
Z
a
b
COCO 12 /?
上式表明,
齿廓啮合基本定律
由上式推论,
? 显然 要使两齿轮瞬时角速度
比恒定不变，必须使 C点为连心
线上的固定点。
? 或者说 要使齿轮传动得到
定传动比，不论齿廓在任何
位置接触，过接触点所作的
齿廓公法线都必须与连心线
交于一定点。
COCOi 1221 // ?? ??
ω2
ω1
n
n
o1
o2
E1
E2
C
k
二、共轭齿廓
凡能满足齿廓啮合基本定律的一对齿廓称
为共轭齿廓。理论上有无穷多对共轭齿廓。
在机械中，常用的齿廓有 渐开线齿廓,摆线
齿廓、圆弧齿廓。
三、齿廓曲线的选择
1.满足定传动比的要求；
2.考虑设计、制造、安装和强度等方面要求。
由于渐开线齿廓容易制造；也便于安装，互
换性也好，因此应用最广。
ω2
ω1
n
n
o1
o2
E1
E2
C
k
过节点 C所作的两
个相切的圆称为节圆 。
r2'
r1'
一对外啮合齿轮的
中心距恒等于其节圆
半径之和 。
a?
中心距 节点
节圆
节圆
COCO
i
12
21
/
/
?
? ??
12 / rr ???
§ 4— 3 渐开线齿廓
一,渐开线的形成和特性
二,渐开线齿廓满足定角速比要求
一、渐开线的形成和特性
BK直线称为 发生线 。
1、渐开线的形成,
一直线 在一个圆周上做
纯滚动时，直线上任意一点
的轨迹称为 渐开线 。
A
K
B
发生线
k?
O
基圆
rb
这个圆称为 基圆 。
AK曲线称为 渐开线 。
的展角称渐开线 KKk 0?
A
K
B
O
rb
2、渐开线特性,
（ 1） BK = A B
发生线沿基圆
滚过的长度等于基
圆上被滚过的圆弧
长度。
（ 2） BK为渐开线在 K
点的法线，且为 K点的
曲半半径。渐开线上
任一点的法 线 必 于 与
基圆相切。
A
K
B
O
rK
? 渐开线上点Ｋ的压力角
在不考虑摩擦力、重力和
惯性力的条件下，一对齿廓相
互啮合时，齿轮上接触点Ｋ所
受到的 正压力方向 与受力点 速
度方向 之间所夹的 锐角,称为
齿轮齿廓在该点的 压力角 。
(３ )渐开线齿廓各点具有不
同的压力角，离基圆中心Ｏ
愈远，压力角愈大。 基圆上
的压力角为零。
rb
k?
Vk
k?
Pk
k
b
K r
r
OK
OB ???c o s?
rK称为向径
当基圆半径趋于无穷
大时，渐开线成为斜直线。
它就是渐开线齿条的齿廓。
KO1
Σ1
r b1
o1
K
N1
KO2
Σ2
(4)渐开线的 形状 取决于
基圆的大小,基圆越大，
渐开线越平直。
N2
o2
Σ3
(5) 基圆以内无
渐开线。
以上五点是研
究渐开线齿轮啮合
原理的出发点。
二,渐开线齿廓满足定角速比要求
当两齿轮基圆的大小和位置
已定，其在一个方向上的内公切
线只有一条，它与中心线的交点
也只有一个，即为 节点,故一对
渐开线齿廓啮合能满足齿廓啮合
基本定律。
传动比,
1
2
1
2
2
1
2
1
12
b
b
r
r
r
r
n
n
i ?
?
?
???
?
?
上式表明，两渐开线齿轮啮合时，
其传动比与基圆半径成反比。
1,传动比恒定不变
两齿廓接触点的轨迹称为
啮合线, N1N2即为啮合线。
（ 1）渐开线齿轮传动的
啮合线 与 啮合角
2,渐开线齿廓的特点
两节圆的 公切线 tt与 啮合
线 N1N2之间的 夹角 ?'称为 啮
合角 。它为一常数。且等于
渐开线在节圆上的压力角。
啮合线、公法线、两基圆的
内公切线三线重合。
（ 2） 渐开线齿廓间的法向力
若不计齿廓间的摩擦力，则齿
廓间的 作用力 总是沿着接触点的
公法线方向 。称为 法向力 。
若齿轮传递的力矩不变，
则齿廓间法向力的大小和方
向均不变。
（ 3） 渐开线齿轮具有可分性
已知传动比 i与基圆半径成反比。当齿
轮制成后，基圆大小已定。所以即使中心
距稍有变化，其传动比仍保持原值不变，
这种性质称为渐开线齿轮传动的可分性。
所以可以适当放宽渐开线齿
轮的中心距公差，以便于加工和装
配。
§ 4— 4 齿轮各部分名称及
渐开线标准齿轮的基本尺寸
一,齿轮各部分名称
二,齿轮的基本参数
四,标准直齿圆柱 齿
轮几何尺寸计算
三,齿条的基本参数
齿顶圆 da
齿根圆 df
齿槽宽 ek
齿厚 SK
齿距 PK=eK+SK
在任意圆上 rk
齿槽
rk
分度圆 d
齿顶高 ha
齿根高 hf
全齿高 h
基圆 db
一,齿轮各部分名称和符号
对于内齿轮的参数,
2、模数 m
齿轮的各部分名称的定义，既适用于外齿轮，
又适用于 内齿轮 。
zpd ?? zpd
?
?
1、齿数 z
设齿轮的齿数为 z，则齿轮上
分度圆周长 为,
人为规定 m＝ P/π, m称为模数,并取
其为一有理数列。 单位 mm。
二,齿轮的基本参数
为了便于设计、制造和限制刀具的数目，我们把
齿轮 分度圆上的模数 定义为标准值，标准模数系列见
P57表 4— 1。
?
p
m ??
当齿数一定时，
模数越大，齿轮与轮
齿的尺寸越大，轮齿
的抗弯能力也越高。
mzd ??
当模数一定时，
齿数不同，齿廓渐开
线的形状不同。
3,压力角 ?
由渐开线性质可知，在不同直径的圆周上，齿
廓各点的压力角是不同的。
k
b
k r
r
??c o s )a r c c o s (
k
b
k r
r
??
齿廓上 K点处的压力角,
r
r b??c o s )a r c c o s (
r
r b??
我们通常所说的压力角是指齿轮分度圆上的压力
角，简称压力角，其值为,
由上式可知，当齿轮的齿数和模数一定时，分
度圆压力角不同，其基圆大小就不同，渐开线齿廓
的形状也就不同。因此，分度圆压力角是决定渐开
线齿廓形状的基本参数。
?? c o s
2
1c o s mzrr
b ??r
r b??c o s
所以,分度圆也可定义为,
齿轮上具有标准模数和标准压力角的圆 。
国家标准规定分度圆上的压力角为标准值,
?＝ 20°,在某些情况下也可采用 ?＝ 15° 。
4、齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*
一对齿轮啮合时，为
避免一齿轮齿顶圆与另一齿
轮齿根圆相碰，并为存储润
滑油，齿顶高略小于齿根高，
留有径向间隙 (顶隙 ) 。
齿顶高 ha ＝ ha*m
齿根高 hf＝ (ha* +c *) m
全齿高 h＝ ha + hf
＝ (2ha* +c *) m
顶隙 c＝ c * m
r2
r1 c
o1
o2
'
'
'
我国对齿顶高系数 ha*和顶隙系数 c*也规定了标
准值。见 P57表 4－ 2
分度圆上齿厚与齿槽宽相等，且齿顶高和 齿
根高为标准值的齿轮称为 标准齿轮 。
标准齿轮
正常齿制, ha* = 1 c * = 0.25
短齿制, ha* = 0.8 c * = 0.3
齿条的主要特点是,
3.与齿顶线平行且齿厚等于齿槽宽的直线称为分度
线 (中线 )，它是齿条的基准线。
三、齿条的基本参数,
1.齿条同侧齿廓为平行的直
线，齿廓上各点具有相同的
压力角，即为其齿形角，它
等于齿轮分度圆压力角。
2.齿廓在不同高度上,具有
相同的齿距。 但齿厚和槽宽各不相同,
4、尺寸计算：同标准齿轮一样
根据齿轮所承受的载荷大小等条件，选
定了模数，并选定了齿顶高系数、顶隙系数、
压力角，并确定了齿轮的齿数后，标准齿轮
各部分的尺寸就能够利用公式进行计算。
mzd ? ha ＝ ha
*m
hf＝ (ha* +c *) m
S = e = P/2 = ?m/2 ?c o sdd b ?
mcc ??
四、标准直齿圆柱 齿轮几何尺寸计算
aa hdd 2??
ff hdd 2??
h＝ ha + hf
＝ (2ha* +c *) m
§ 4-5 渐开线标准齿轮的啮合
一,正确啮合条件
二,标准中心距
三,重合度
一,正确啮合条件
一对渐开线齿廓能满足啮合基本定律就能保证
定传动比传动，但这并不意味着任意的两个渐开线
齿轮都能正确地啮合传动。
根据渐开线性质，
两轮齿 法向齿距 应分别
等于两轮齿 基圆齿距 。
222
111
b
b
pkk
pkk
??
??
21 bb pp ?
如左图所示为一对渐开
线齿轮啮合的情况。设前一
对齿轮在 K点接触，后一对
齿轮在 K'点接触。
为使前后两轮齿能同时
在啮合线上接触，必须使法
向齿距 K1K'1 ＝ K2K'2，否
则
若 K1K'1 > K2K'2,传动中断。
若 K1K'1 < K2K'2,两轮可能卡住。
????? c o sc o s mp
d
d
z
d
z
dp bb
b ?????
222111 c o s;c o s ???? mpmp bb ???
2211 c o sc o s ?? mm ?
故有：
由于模数、压力角均已标准化，所以要满足
上式，应使,
?
?
?
??
??
??? 21
21 mmm
一对齿轮正确啮合条件是,
两齿轮的 模数和分度圆压力角必须 分别相等。
一对齿轮的传动比为,
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
2
1
z
z
d
d
d
d
d
d
n
n
i
b
b ???
?
?
???
?
?
二、标准中心距
标准齿轮的分度圆
齿厚等于其齿槽宽，因
此一对标准齿轮啮合时，
只要是两分度圆相切，
就可以确保齿轮无侧隙
啮合传动。
齿轮传动时，一轮
节圆上的齿槽宽与另一
轮节圆上的齿厚之差称
为 齿侧间隙 。
实际上，齿轮啮合
要求有微量的齿侧间隙，
以保证润滑油膜、装配
误差或热膨胀的需求，
但设计时仍按无侧隙啮
合进行计算。
一对标准齿轮分度
圆相切时的中心距称为
标准中心距,用 a表示。
)(
2
21
2121
zz
m
rrrra
??
??????
两轮分度圆相切，故顶隙为,
af hhmcc ???
*
标准齿轮只有在 分度
圆与节圆 重合时,压力角
与啮合角 才相等，否则，
压力角与啮合角就不相等。
r2
r1 c
o1
o2
'
'
'
分度圆和压力角 是单
个齿轮本身所具有的,节
圆和啮合角 是两个齿轮啮
合时才出现的。
注意,
内啮合齿轮的中心距?
三,重合度
1、齿轮啮合过程
起始啮合点 B2,
从动轮的齿顶点与
主动轮的齿根处某点
接触，在啮合线上为
从动轮的齿顶圆与啮
合线 N1N2的交点 B2。
终止啮合点 B1,
主动轮的齿顶点与从动轮的齿根处某点接触，
在啮合线 N1N2上为主动轮的齿顶圆与啮合线 N1N2
的交点 B1。
实际啮合线 B1B2
理论啮合线 N1N2
o2
o1
?1
?2
N1 B2
B1 N
2
ra2 r
b2
rb1 r
a1
一对齿轮从开始啮合点
B1至终止啮合点 B2的轨迹。
当两轮齿顶圆加大时，
点 B1和 B2趋近于点 N1和 N2,由
于基圆内无渐开线，所以线
段 N1N2为理论上的最大啮合
线段，称为理论啮合线段。
B2
B1
F
G
啮合弧 FG
一对齿轮从开始啮
合到终止啮合，分度圆
上任意一点所经过的弧
线距离称为啮合弧 FG 。
FG ? P
? P FG
? P FG
能保证连续传动
处于传动连续和不连续的边界状态
不能保证连续传动
(a)
N2
N1
?1
N2
N1
?1
(c)
?1
(b)
N1
N2
由此可知，为了保证渐开线齿轮连续以定角
速比传动，啮合弧必须大于齿距
啮合弧与齿距之比称为 重合度 。用 ε表示。
齿轮连续传动的充分条件是重合度大于 1。
1??
p
FG?
重合度越大，表明同时参与啮合的齿的对数越多。
重合度意义,
§ 4-6 渐开线齿轮的切齿原理
一,成形法
二,范成法
齿轮的加工方法很多，有铸造、热轧、冲压、
模锻、粉末冶金和切削法等。
切削法加工也有多种方法，但从加工原理看，
可概括为成形法和范成法两种。
一、成形法
利用具有渐开线齿槽形状的成
形铣刀直接切制出齿轮齿廓的方法。
常用的刀具有,圆盘铣刀 和指状铣刀
指状铣刀 成形法切齿设备简单，不需专用机床，但生产效率低，制造精度低。
圆盘铣刀
二、范成法
范成法是利用一对齿轮（或齿轮与齿条）互相
啮合时，其共轭齿廓互为包络线的原理来切齿的。
常用刀具有,齿轮插刀, 齿条插刀,齿轮滚刀
范成实验
齿 轮 插 刀
为加工出要求的渐开线齿廓，要求齿轮插
刀的节圆与被加工齿轮的节圆相切并作纯滚动。
齿 条 插 刀
齿条刀具在切制标准齿轮时，刀具的中线与
轮坯的分度圆相切并作纯滚动。
齿条插刀齿廓
齿条插刀齿廓
刀具分度线（中线）、齿距 p、齿形
角或刀具角 α
刀具的刀顶线比标准齿条在齿顶部高出 一段 mc*
齿
轮
滚
刀
能连续切削,
生产效率高。
范
成
实
验
的
平
面
图
§ 4-7 根切、最少齿数及
变位齿轮
一,根切和最少齿数
二,变位齿轮及其齿厚的确定
三,变位齿轮传动类型
一、根切和最少齿数
齿轮根切现象
用范成法切制齿轮时，有
时刀具会把轮齿根部已切制好
的渐开线齿廓再切去一部分，
这种现象称为齿廓根切。
1、根切 —
根切使齿根削弱，根切严重时还会使重合
度减少，所以应当避免。
根切的危害,
当刀具的刀顶线与啮合线的交点 B超过啮合极
限点 N1时，就会 产生根切。
产生根切的原因
要避免根切，应使齿
条刀的刀顶线与啮合线
的交点 B2不超过啮合线
的极限点 N1。
避免根切的方法
p 节线
r rb
B2
o
刀顶线
N1
2、不发生根切的最少齿数
标准齿轮是否产生根切取决
于其齿数的多少。（原因）
N1
而啮合极限点 N1的位置与
被切齿轮的基圆半径 rb有关 。
?? c o s2c o s mzrr b ??
加工标准齿轮时，只有设法使
啮合极限点 N1移至刀具刀顶线上方
N'1,才不会产生根切。
m,?均为标准值,z增大时,rb增大，啮合极
限点 N1离节点 C越远，根切的可能性就越小。
反之,齿数 Z变少时，根切的可能性就越大。
根据计算,对于 ?＝ 20o,ha* =1的正常齿制
标准渐开线齿轮，其最少齿数 ?min＝ 17 。
所以标准齿轮欲避免根切，其齿数必须 大于或
等于 不根切的最少齿数 ?min。
?? c o s2c o s mzrr b ??
极限点 N1
刀顶线与啮
合线交点 B
PBPN ?1
只要 就不会产生根切
刀具的中线
极限点 N1
刀顶线与啮
合线交点 B
?? s i n
2
1s i n
1 mzrPN ??
?s i n/mhPB a??
刀具的中线
?? s i n
2
1s i n
1 mzrPN ??
?
?
s i n
s i n
2
1 mhmz a??
?s i n
mhPB a??
将 ?＝ 20o,ha* =1代入上式，可得,
?s i n
2 mhz a??
17
s i n
2m i n ?? ?
?
mhz a
标准齿轮虽然有许多优点，得到广泛的应用，
但是它也有许多不足，如,
二,变位齿轮及其齿厚的确定
1、齿轮修正问题的提出
（ 1）标准齿轮的齿数必须大于或等于最少齿数 zmin,
否则会产生根切。
（ 2）不适用于 a'≠a = m(z+z)/2的场合。
当 a' <a时，根本无法安装；
当 a' >a时,虽然可以安装，但将产生较大的齿
侧间隙，使重合度降低 。
（ 3）一对互相啮合的标准齿轮，小齿轮齿根厚度小于
大齿轮齿根厚度，抗弯能力有明显差别。
为了弥补上述不足，需要对齿轮进行修正，以改
善其传动性能，因此在机械中就出现了变位齿轮。
2,变位原理
如右图所示，当刀具处于虚线
位置时，齿轮就会产生根切。
为避免根切，可将刀具自轮
坯中心向外移出一段距离 xm，
如图中实线所示，这样切制的，
齿轮就不会产生根切。
3、变位齿轮
用这种改变刀具相对位置的方法
切制的齿轮就称为变位齿轮。
变位量和变位系数
x称为变位系数。
刀具远离轮坯中心时，
变位系数 x为正值，称为正
变位；
刀具移动的距离 xm称为变位量。
反之刀具趋近轮坯中心
时，变位系数 x为负值，称
为负变位 。
4,变位齿轮的几何尺寸
1） 不变 的参数及尺寸有,
m,z, α,ha*,c*,p、
d,db,h；
3） 负变位 时尺寸变化情况,
2） 正变位 时尺寸变化情况,
s↑,e↓,da↑,df↑, ha↑,hf↓，
齿轮的强度 ↑
与正变位时相反。
尺寸变化情况,
变位齿轮与标准齿轮相比
正变位,截取了离基
圆较远的渐开线部位；
负变位,截取了离基
圆较近的渐开线部位。
变位齿轮的尺寸计算
正变位,
s =πm / 2 +2 x m tanα
e =πm / 2 –2 x m tanα
da = d + m（ 2 + 2x ）
df =d -m（ 2.5 -2 x ）
ha= m + x m
hf =1.25m –x m
负变位：同正变位，
但公式中的 x为 负值 。
变位齿轮
刀具中线
标准齿轮
刀具中线
对于标准齿轮避免根切的方法有,
选用 Z>Zmin的齿数；
采用 x>xmin的变位齿轮；
改变齿形系数，但会增加成本。
三、变位齿轮传动类型
根据一对齿轮变位系数之和（ x1+x2）的不同，齿
轮传动类型可分为以下几种类型,
2）等移距变位齿轮传动（又称高度变位齿轮传动）
1、零传动（ x1+x2=0）
无侧隙啮合时，分度圆与节圆重合
a'=a,?'=?,z1≥ zmin,z2 ≥ zmin
? 即 x1= -x2且不为零,小齿轮取正变位，大齿轮取
负变位。无侧隙啮合时节圆与分度圆重合 a'=a 。
1）标准齿轮传动（ x1=0,x2=0）
? 其主要优点是,可以制造出齿数 z1<zmin而无根切现
象；可以使两轮的弯曲强度趋于相等，提高了齿轮
的承载能力。
? 当 z1+z2 ?2zmin时，可采用这种传动。
? 缺点是,（ 1）两轮必须成对设计、制造和使用。
（ 2）重合度略有减少。
（ 3）小齿轮容易变尖。
节圆大于分度圆,?′ ? ?,a′ ?a
2、正传动（ x1+x2>0 的传动）
（ 1）可以减少齿轮机构的尺寸 (当 z1+z2<2zmin时用 )。
（ 2）可以提高齿轮的承载能力。
（ 3）适当选择 x1及 x2，可以配凑给定的中心距。
（ 4）必须成对地设计制造和使用。
（ 5）重合度较小，而且正变位太大时齿顶可能变尖。
正传动与标准齿轮传动相比有如下特点,
要使两轮不发生根切必须 Z1+Z2>2Zmin。 此类传
动一般不用，只有在 a' < a的场合才不得不用。
3、负传动（ x1+x2 <0 的传动）
§ 4-8 平行轴斜齿轮机构
一,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成
二,斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
三,斜齿轮传动的重合度
四,斜齿轮的法面齿形和当量齿数
五,斜齿轮传动的优缺点
一,斜齿圆柱齿轮齿廓曲面的形成和啮合特点
发生面 S在基圆柱上作纯
滚动时，发生面上与基圆柱母
线平行的直线 KK所展成的渐开
面即为直齿轮的齿面。
1,渐开线直齿圆柱
齿轮齿廓曲面的形成,
k0 '
k0
k
k '
N '
2,斜齿轮齿面形成,
发生面 S沿基圆柱纯滚
动时，发生面上一条与基圆
柱母线成 β b 角的直线 KK所
展成的 渐开线螺旋面 就是斜
齿轮的齿廓曲面。
k0 ' k
0
k
k '
N '
斜齿轮端面
的齿廓曲线为渐
开线。
直齿圆柱齿轮啮合时，齿
面的接触线与齿轮的轴线平行，
轮齿沿整个齿宽是同时进入或
同时退出啮合的，因此，轮齿
上的载荷是突然加上或突然卸
掉的，容易引起冲击和振动，
不适宜高速传动。
斜齿轮啮合时，齿面接触线
是斜直线，接触线先由短变长，
再由长变短，直至脱离啮合。 减
少了传动时的冲击和噪音，提高
了传动平稳性，故斜齿轮适用于
重载高速传动。
3,直, 斜齿轮啮合特点,
4、平行轴斜齿圆柱齿轮传动,
垂直于轴线的截面。
从端面看，一对渐
开线斜齿轮传动相当于
一对渐开线直齿轮传动，
所以，它必然满足定角
速比的要求。
端面,
5、斜齿轮传动的正确啮合条件,
?
?
?
?
?
??
?
?
21
21
21
??
??
nn
nn
mm
两轮的模数和压力角必须相等，且两轮分度圆柱
螺旋角（称螺旋角） β必须大小相等，方向相反。
二、斜齿轮各部分名称和几何尺寸计算
斜齿圆柱齿轮 参
数 有 法向 和 端面 之分,
法向参数,
端面参数为 非标
准值 。计算的基本尺
寸是在端面上计量的。
mn,?n,h*an,c*n
法向参数为 标准值 。
端面参数
mt,?t,h*at,c*t
?co stn pp ?
法向模数 mn和端面模
数 mt之间的关系为,
端面齿距 pt与法向齿
距 pn的关系,
mp ???
?c o stn mm ?? 分度面截面图
??? co stgtg tn ??
斜齿轮的法向压力角 α n和端
面压力角 α t之间的关系为,
?
(a)
在 ?abc中
在 ?a'b'c中
ba
catg
n ??
???
?c o sacca ??在 ?aa'c中
? a a'
c ?
?t ?n
b b'
(b)
baab ????
ab
actg
t ??
斜齿轮的几何尺寸计算是在端面
内进行。从端面看，斜齿轮啮合与直齿
轮完全相同，所以只要把端面参数代入
直齿轮几何尺寸计算公式中，即可得渐
开线标准斜齿轮的几何尺寸计算公式。
公式见 P68表 4— 4要记熟。
实际中变位斜齿轮较少应用。
从端面看，斜齿轮的
啮合与直齿轮完全一样，
但由于斜齿轮的轮齿是倾
斜的，当一对斜轮齿在前
端面啮合结束时，其齿宽
的不同截面内仍在啮合。
只有当轮齿后端面走出啮
合区，该齿才终止啮合。
三、斜齿轮传动的重合度
B2 B1
b
B2 B1
L
? b
C S
B2
B2
B1
B1
?
两个端面参数完全相同的
标准直齿轮和标准斜齿轮
t
t P
BB 12??
t
t
ttt P
b t g
P
CB
P
BB
P
CB ??? ????? 2211
直齿轮重合度 ?t,
斜齿轮重合度 ?,
oo 20~8??
斜齿轮的实际重合度比直齿轮的大。其值随螺
旋角 ?和齿宽 b增大而增大。 因此斜齿轮转动平稳，
承载能力高 。
t
t P
b t g ??? ??
斜齿轮的螺旋角增大，会使轴向力增大，造成
轴承结构的复杂，因此通常取,
用成形法加工斜齿轮
时，刀具沿螺旋形齿槽方
向进刀，其形状与齿轮的
法面齿形相同。由于斜齿
轮的端面为渐开线，而其
法面齿形比较复杂，不易
精确求出，只有采用 近似
方法 求出法面齿形。
过斜齿轮分度圆柱上齿廓的任意点 C作轮齿的法
面，该法面与分度圆柱的交线为一椭圆。
四、斜齿轮的当量齿数
以椭圆在该点的曲率
半径为分度圆半径，斜齿
轮的法向模数为模数，法
向压力角为压力角。作一
直齿圆柱齿轮，其齿形可
认为近似于斜齿轮的法向
齿形。该直齿圆柱齿轮称
为斜齿轮的 当量齿轮,其
齿数称为 当量齿数 。
?vZ
??
?
32 c o sc o s
2
n
n
nn m
zm
m
d
m
??
?3c o s
z?
标准斜齿轮 不发生 根切的 最少齿数 为,
?3m i nm i n c o svzz ?
由上式可知,zv＞ z，由于当量齿轮虚拟
齿轮，故 zv一般不是整数。
在斜齿轮强度计算中，要用当量齿数 zv决
定其齿形系数，在加工中，也要用当量齿数
决定铣刀的号数。
五、斜齿轮传动的 优缺点
（ 1） 在传动中，其轮齿逐渐进入和逐渐脱开啮合,
传动平稳，冲击和噪声小；
（ 2） 重合度大，故承载能力高，运动平稳，适用于
高速传动；
（ 3） 不产生根切的最小齿数比直齿轮少，故结构紧凑；
斜齿轮在工作时会产生 轴向分力 Fa，从而使轴
向定位和结构复杂化。用人字齿轮可克服轴向推力。
优点
缺点
螺旋角 ?的大小对
斜齿轮传动的质量
有很大影响，一般
取 80?200
(b)
且 ??,Fa?,
(a)
§ 4-9 圆 锥 齿 轮 机 构
一,圆锥齿轮概述
二,背锥和当量齿数
三,直齿 圆锥齿轮几何尺寸计算
一、圆锥齿轮概述
圆锥齿轮机构是用来
传递空间 两相交轴 之间运
动和动力的一种齿轮机构 。
两轴线交角 ∑可根据传动
需要来确定，一般多采
∑=90o。
与圆柱齿轮不同，其轮齿沿 圆锥面 分布，齿形
从大端到小端逐渐变小。为计算和测量方便，通常
取 大端参数为标准值 。
圆锥齿轮的轮齿有直齿、斜齿和曲线齿（圆弧齿、
摆线齿）等多种形式。
一般机械传动中，普遍采
用的直齿圆锥齿轮传动。但汽
车、拖拉机等高速重载机械中，
多用曲线齿圆锥齿轮。
一对圆锥齿轮传动相
当于一对节圆锥的纯滚动。
除了节圆锥之外，
圆锥齿轮还有分度圆锥、
齿顶圆锥、齿根圆锥和
基圆锥 。
设 δ1和 δ2分别是小齿轮和大齿轮的分度圆锥角,
∑为两轴线的交角,∑＝ δ1 ＋ δ2。
正确安装的标准圆锥齿轮，
其节圆锥与分度圆锥重合。
21 tgct g ?? ??i
11 s i n ?ocr ??
22 s i n ?ocr ?
1
2
1
2
1
2
2
1
s i n
s i n
?
?
?
? ????
r
r
z
zi
时对于 o9021 ???? ??
故传动比：
时对于 1?i 21 ?? ?
二、背锥和当量齿数
1、直齿圆锥齿轮齿廓的形成
圆锥齿轮的齿廓
曲面是 球面渐开线 曲
面，其形成是,
一个圆平面 S与一个基圆
锥切于直线 OC，圆平面半径与
基圆锥锥距 R 相等，且圆心
与锥顶重合。当圆平面绕圆锥作纯滚动时，该平面上任
一点 B将在空间展出一条渐开线 AB。渐开线必在以 O 为
中心、锥距 R 为半径的球面上，成为球面渐开线。
2、背锥
圆锥齿轮的齿廓曲线理论上是 球面渐开线 。由于
球面渐开线无法在平面上展开，给设计和制造带来困
难，故常用背锥上的齿廓曲线来代替球面渐开线。
过大端 C点 (在分度
圆锥上），作 OC（ OC称
为锥距） 的垂线，与两
轮的轴线分别交于 O1和
O2点。
以 O1C和 O2C为母线
作两个圆锥 O1CA和 O2CB，
该两圆锥称为 背锥 。
背锥与球面相切于
大端分度圆的 C,A和 C、
B，并与分度圆锥直角
相截。
在背锥上以大端的
模数为标准模数，大端
压力角 20o，按照圆柱齿
轮的作图方法作出齿形，该齿廓即为圆锥齿轮大端的
近似齿廓 。
背锥可以展成平面，展开后得到一扇形齿轮，
扇形齿轮的参数分别与圆锥齿轮大端参数相同。
将两个扇形补足
为完整的圆柱齿轮称
为圆锥齿轮的当量齿
轮，则齿数增加到 zv1
和 zv2。称为圆锥齿轮
的当量齿数。
3、当量齿数
2
2
2
2
2
1
1
1
1
1
c o s2c o s
,
c o s2c o s
??
??
mzr
r
mzr
r
v
v
??
??
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
2
2
2
1
1
1
c o s
c o s
?
?
z
z
z
z
v
v
故
直齿圆锥齿轮的最少齿数为,
?co sm i nm i n vzz ?
直齿圆锥齿轮的正确啮合条件为,
两轮的大端模数相等，压力角相等，两轮的锥距相等。
三、直齿圆锥齿轮的几何尺寸计算见表 4-5。
