晶体结构, 原子规则排列，主要体现是原子排列具有周期
性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。
晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何
外形,X射线衍射已证实这一结论。
非晶体结构, 不具有长程有序。有此排列结构的材料为非
晶体。
了解固体结构的意义, 固体中原子排列形式是研究固体
材料宏观性质和各种微观过程的基础。
晶体结构
固体的结构分为,非晶体结构
多晶体结构
1.1 晶体结构 1.1.1 空间点阵1.1.2 密勒指数
1.1.3 倒格子
晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间
有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称
为点阵。
（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特征，后
来被空间群理论充实发展为空间点阵学说，形成近代关
于晶体几何结构的完备理论。）
1.1.1 空 间 点 阵
一、布喇菲的空间点阵学说
关于结点的说明：
当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。
当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），
结点可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是结构中相同
位置，也可以代表基元中任意点子
结点示例图
1, 点子
空间点阵学说中所称的 点子,代表着结构中相同的位
置，也为 结点,也可以代表原子周围相应点的位置。
晶体由基元沿空间三个不同方向，各按一定的距离 周期
性 地平移而构成,基元 每一平移距离称为 周期 。
在一定方向有着一定 周期,不同方向上 周期 一 般不相同。
基元 平移结果,点阵 中每个结点周围情况都一样。
2, 点阵学说概括了晶体结构的周期性
3, 晶格的形成
通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族
和平行的晶面族，点阵成为一些网格 ------晶格。
平行六面体
原胞概念的引出：
由于 晶格 周期性，可取一个以 结点 为顶点，边长等于
该方向上的 周期 的平行六面体作为重复单元，来概括
晶格的特征。
即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一
个结点 （或 原子）加上周期长度为 a的区域，其中 a叫
做基矢 。
这样的 重复单元 称为 原胞 。
原胞（重复单元）的选取规则
反映周期性特征,只需概括空间三个方向上的周期大
小，原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只
在顶角上。
反映对称性特征：
晶体都具有自己特殊对称性。
结晶学上所取原胞体积不一定最小，结点不一定只在顶
角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；
原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；
原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。
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引出物理学原胞的意义：
三维格子的周期性可用数学的形式表示如下：
T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)
r为重复单元中任意处的矢量； T为晶格中任意物理量；
l1,l2,l3是整数,a1,a2,a3是重复单元的边长矢量。
为进行固体物理学中的计算带来很大的方便。
位矢 R
r
R+r
不喇菲点阵的特点：
每点周围情况都一样。是由一个结点沿三维空间周
期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复
单元（结晶学原胞）。
? 完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的
网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。
? 晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基
元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格 ----
子晶格（或亚晶格）。
? 复式格子（或晶体格子）是由所有相同结构子晶
格相互位移套构形成。
4,结点的总体 ------不喇菲点阵或不喇菲格子
晶体格子（简称晶格）,晶体中原子排列的具体形
式。
原子规则堆积的意义,把晶格设想成为原子规则堆
积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的
性能等。
二, 晶 格 的 实 例
1,简单立方晶格
2,体心立方晶格
3,原子球最紧密排列的两种方式
特点,
层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；
原子层叠起来，各层球完全对应，形成简单立方晶格；
这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更复杂的晶格
可以在简单立方晶格基础上加以分析。
原子球的正方排列 简单立方晶格典型单元
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1,简单立方晶格
简单立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结
构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三
个方向重复排列构成的结果。
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简单立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形
2,体心立方晶格
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体心立方晶格的典型单元
排列规则, 层与层堆积方式是上面一层原子球心对
准下面一层球隙，下层球心的排列位置用 A标记，
上面一层球心的排列位置用 B标记，体心立方晶格
中正方排列原子层之间的堆积方式可以表示为,
AB AB AB AB…
体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的特点：
为了保证同一层中原子球间的距离等于 A-A层之间的
距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；
由几何关系证明，间隙 ?=0.31r0,r0为原子球的半径。
具有体心立方晶格结构的金属,Li,Na, K,Rb、
Cs,Fe等，
密排面,原子球在该平面内以最紧密方式排列。
堆积方式,在堆积时把一层的球心对准另一层球隙，
获得最紧密堆积，可以形成两种不同最紧密晶格排列。
AB AB AB排列
（六角密排晶格）
ABC ABC ABC排列
（立方密堆）
3.原子球最紧密排列的两种方式
前一种为六角密排晶格，（如 Be,Mg,Zn,Cd），
后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如
Cu,Ag,Au,Al）
面心立方晶格
（立方密排晶格）
面心（ 111）
以立方密堆方式排列
面心立方晶体（立方密排晶格）
六方密堆晶格的原胞
三,不喇菲格子与复式格子
把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲格子；
把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。
注,如果晶体由一种原子构成，但在晶体中原子周
围的情况并不相同（例如用 X射线方法，鉴别出
原子周围电子云的分布不一样），则这样的晶格
虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复
式格子。原胞中包含两个原子。
1, 氯化钠结构
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? 表示钠
? 表示氯
钠离子与氯离子
分别构成面心立
方格子，氯化钠
结构是由这两种
格子相互平移一
定距离套购而成。
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2, 氯化铯结构
? 表示 Cs
。 表示 Cl
3, 钙钛矿型 结构
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? 表示 Ba
° 表示 O
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结晶学原胞 氧八面体
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基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构
复式原胞
重复的
晶体结构
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五个子晶胞
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注：
结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，
对于反映晶体中的周期性是很有用的。
基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式
格子中各个子晶格之间的相对运动。
固体物理在讨论晶体内部粒子的集体运动时，对于
基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子
的概念显得重要，
四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化
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简立方 体立方 面心立方
立方晶系不喇菲原胞
原胞的基矢为,a1=ia,a2=ja,a3=ka
结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简
立方、体心立方和面心立方。
1,简立方
2,体心立方
固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：
a1=(-i+j+k)a\2
a2=(k+i-j)a\2
a3=(i+j-k)a\2
体积关系,结晶学原胞的体积是物理学原胞的 2
倍。原因是结晶学原胞中含有两个原子，而物理
学原胞中含有一个原子。
R=l1a1+l2a2+l2a3
R=2a1+a2+a3
R物理 =a2+a3
R结晶 =(1/2)a+ (1/2) a+a
= (1/2)(a+a+2a)
3,面心立方
a1
a2
a3
4,六角密堆
固体物理学的原胞基矢与结
晶学原胞基矢的关系：
a1=(j+k)a\2
a2=(k+i)a\2
a3=(i+j)a\2
体积关系,结晶学原胞的体积是物理学原胞的 4倍。
原因是结晶学原胞中含有 4个原子，而物理学原胞中
含有一个原子。
1.1.2 密 勒 指 数
一、晶列
1,晶列
通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限
个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表
上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期 -----
-任意两相邻格点的间距。
1,晶列的特点
（ 1）一族平行晶列把所有点 包括无遗。
（ 2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。
（ 3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一
族平行的晶列与之对应。
（ 4 ）有无限多族平行晶列。
- 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。
晶面的特点：
（ 1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成
一族平行晶面,
（ 2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；
（ 3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同；
（ 4）晶格中有无限多族的平行晶面。
二、晶面
三、晶向
一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向；
同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶
列或晶面，只需标志其取向。
注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。
任一格点 A的位矢 Rl为
Rl =l1a1+l2a2+l3a3
式中 l1,l2,l3是整数。若互质，直接用他们来表征晶列 OA的方
向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以
[l1,l2,l3]
同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是
最小重复简单整数倍，以任一格点 o为原点,a,b,c为基矢，任
何其他格点 A的位矢为
k ma+knb+kpc
其中 m,n,p为三个互质整数，于是用 m,n,p来表示晶列 OA
的方向，记以 [nmp]。
1, 晶列指数 （晶列方向的表示方法）
O Rl
A
a1
a2
a3
表示晶面的方法，即方位,在一个坐标系中用该平
面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的
截距。
a1
a2
a3
设这一族晶面的面间距为 d，它
的法线方向的单位矢量为 n，
则这族晶面中，离开原点的距离
等于 ?d的晶面的方程式为：
R ?n=?d
?为整数； R是晶面上的任意点的
位矢。
R
2,密勒指数（ 晶面方向的表示方法）
设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为 ra1, sa2、
ta3,代入上式，则有
ra1cos(a1,n)=?d
sa2cos(a2,n)=?d
ta3cos(a3,n)=?d
a1, a2,a3取单位长度，则得
cos(a1,n),cos(a2,n), cos(a3,n)=1\r,1\s,1\t
结论：晶面的法线方向 n与三个坐标轴（基矢）的夹角
的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
已知一族晶面必包含所有的格点,因此在三个基矢
末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。
设 a1, a2,a3的末端上的格点分别在离原点的距离为
h1d,h2d,h3d的晶面上，其中 h1,h2,h3都是整数，
三个晶面分别有
a1?n=h1d,a2?n=h2d,a3?n=h3d
n是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是
a1cos(a1,n)=h1d
a2cos(a2,n)=h2d
a3cos(a3,n)=h3d
证明截距的倒数之比为 整数之比
cos(a1,n),cos(a2,n), cos(a3,n)=h1,h2,h3
结论,晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等
于三个整数之比。
可以证明, h1,h2,h3三个数互质，称它们为该晶面族
的面指数，记以（ h1h2h3）。
即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整
数比，所得的互质整数就是面指数。
几何意义, 在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个
晶面为同族晶面，在二者之间存在 hn个晶面，所以最靠
近原点的晶面（ ?=1） 在坐标轴上的截距为 a1/h1,a2/h2、
a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。
实际工作中，常以结晶学原胞的基矢 a,b,c为坐标
轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向
的互质整数称为晶面族的密勒指数，用 (hkl)表示。
例如：
有一 ABC面，截距为 4a,b,c,截距的倒数为 1/4,1、
1，它的密勒指数为（ 1,4,4）。
另有一晶面，截距为 2a,4b,?c,截距的倒数为 1/2、
1/4,0，它的密勒指数为（ 2,1,0）。
简单晶面指数的特点：
? 晶轴本身的晶列指数特别简单，为 [100]、
[010],[001]；
? 晶体中重要的带轴的指数都是简单的；
? 晶面指数简单的晶面如 （ 110）、（ 111）是重
要的晶面；
? 晶面指数越简单的晶面，面间距 d就越大，格
点的面密度大，易于解理；
? 格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程
中易于显露在外表；对 X射线的散射强，在 X射线
衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。
1.1.3 倒 格 子
条件：
X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的
多，入射线和衍射线可看成平行光线；
散射前后的波长不变,且为单色。
一、从 X射线衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念
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CO= -Rl · S0 OD= Rl · S
衍射加强条件,Rl ·（ S－ S0 ） =??
有, ko=(2?/ ?) S0 k=(2?/ ?) S
得, Rl · （ k－ k0 ） = 2? ?
设, k－ k0 =n Kh
k－ k0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个
Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件,n为衍射级数。
1,衍射方程
C Rl
D
衍射线单位基矢 S
O
A入射线单位基矢 S
0
晶面
2,反射公式
|k－ k0 |= 2? |S/ ? - S0 / ? | =( 4?/ ?) sin ?
|k－ k0 | = | n Kh |= 2?n/dh1h2h3
| Kh |= 2?/dh1h2h3
P
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A?
? T
A
P?
Q
Q?
S d
入射线与反射线之间的光程差：
?=SA?+A? T=2d sin ?
满足衍射方程,2dh1h2h3 sin ? =n ?
? k－ k0
k
k0
设一晶格的基矢为 a1, a2,a3,有如下的关系：
b1= 2?(a2?a3)\? 说明 b1垂直于 a2和 a3所确定的面；
b2= 2?(a3?a1)\? 说明 b2垂直于 a3和 a1所确定的面
b3= 2?(a1?a2\? 说明 b3垂直于 a1和 a2所确定的面
式中,?= a1 ·( a2?a3)为晶格原胞的体积。
二、倒格子的概念
1,倒格子的数学定义
倒格子, 以 b1,b2,b3为基矢的格子是以 a1,a2,a3
为基矢的格子的倒格子。
（ 1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系
2,正格子与倒格子的几何关系
=2? (i=j)
ai·bj=2??i j
=0 (i?j)
证明如下, a1·b1=2?a1 ·( a2?a3) / a1 ·( a2?a3) = 2?
因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有,
a2·b1=0 a3·b1=0
（ 2）除（ 2?） 3因子外，正格子原胞体积 ?和倒
格子原胞体积 ?*互为倒数 。
?*=b1 ·( b2?b3) = (2?） 3/ ?
?表示正格点
? 表示倒格点
ABC为 一族晶面（ h1h2h3）中的最
靠近原点的晶面，与 k h垂直?
??
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a1
a2
a3
B
C
A
k h
a1/h1
a3/h3
a2/h2
（ 3）正格子中一族晶面 （ h1h2h3） 和倒格矢
k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，
即 晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标,
?
由（ 3）、（ 4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族
平行晶面 。
晶面族（ h1h2h3）中离原点的距离为 ? d h1h2h3的晶面的
方程式可写成,R l· kh/|kh|= ? d h1h2h3
(?=0,± 1,± 2,……)
得出正格矢和倒格矢的关系,R l · kh= 2??
结论：如果两矢量的关系,R l · kh= 2??，则其中一个
为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满
足正格矢和倒格矢的关系。
（ 4）倒格矢的长度正比于晶面族 （ h1h2h3）的面间
距的倒数。
dh1h2h3=a1/h1·k h/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2?/|kh|
结论,
? 倒格矢 Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该
晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。
? 倒格矢 Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正
比。
? 一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以
对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，
大小为最小倒格矢的整数倍。
? 满足 X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，
该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一
族晶面指数。
k－ k0 =n Kh的物理意义：
当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢 Kh时，
则该族晶面 （ h1h2h3） 满足衍射加强条件,n为衍射
级数。
从 2dh1h2h3 sin ? =n ?中可知：
对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，
可以改变入射波矢的方向，即 改变 ?,或改变入射波
矢的大小,即 改变 ?。
b1 ? a1 =2?
b2 ? a2=2?
a2
a1 b1
b2
Kl
|Kl|=[(3b1)2+4b2)2]1/2 =[(3?2?/ a1)2+4 ? 2?/a2)2]1/2
面间距,d= 2?/ |Kl|=[(6/ a1)2+ (8/a2)2]1/2
Rl
O
A
B
Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3
Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2
证明,3b1+4b2 ?(3 4) 有,AB=OA-OB=a1/3 - a2/4
AB ?(3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) ?(3b1+4b2 )= a1 ?b1 - a2 ?b2 a1 ?b1 =0
例
如
利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶
面间距和晶面夹角。
晶面间距 dh1h2h3, dh1h2h3=2?/ |kh1h2h3|
两边开平方,将 kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子
的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。
晶面夹角 ?,k1· k2 = k1 k2 COS ?
100
200
300001
002
003
101
201
301
103
202
203
(100)
(001)
(102)
O
倒格子与正格子间的相互转化
102
0 b1
b2
一维格子
倒格子原胞,
作由原点出发的诸倒格矢
的垂直平分面，这些平面
完全封闭形成的最小的多
面体（体积最小） ------第
一布里渊区 。
b1
b2
0
二维格子
3, 倒格子原胞和布里渊区
?? ?? a
b?? ? ?
构成第一布里渊区
（简约布里渊区）的
垂直平分线的方程式
如下：
? x=± ?/a
及 ? y=± ?/a
第二布里渊区的各
个部分分别平移一个
倒格矢，可以同第一
区重合。第三布里渊
区的各个部分分别平
移适当的倒格矢也能
同第一区重合。
(2?/a) i-(2?/a) i
(2?/a) j
-(2?/a) j
4, X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系
（ 1） X射线衍射
与倒格子的关系
根据公式,k－ k0 =n Kh,
建立反射球或衍射球
入射线的波矢 k0
反射线的波矢 k
倒格矢 Kh
OC
A
晶面
反射球
R l· kh/|kh|= ? d h1h2h3
Rl,( k－ k0 ） = 2? ?
dh1h2h3=2?/ |kh1h2h3|
（ h1h2h3）
（ h1 ′h2 ′ h3 ′）
建立反射球的意义
? 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和
衍射照片上的斑点直接联系起来。
? 利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向
（若反射球上的 A点是一个倒格点，则 CA就是以
OA为倒格矢的一族晶面 h1h2h3的衍射方向 S）。
O
C
倒格矢球面与反射球
相交于一圆
同一晶面由于晶体的旋转引
起该晶面倒格矢的旋转从而
形成倒格矢球面。
结论：
所有落在此球上的倒格点都满足
关系式, k－ k0 =n Kh
即满足衍射加强条件。
衍射线束的方向是 C点至 A点的联线方向。
第一布里渊区 第一布里渊区 第一布里渊区
二维正方格子的布里渊区
(2?/a) i-(2?/a) i
(2?/a) j
-(2?/a) j
（ 2） X射线衍射与布里渊区的关系
结论：
入射波矢从倒
格子原点出发
终止在布里渊
区边界，该对
应的入射波满
足衍射条件 k－
k0 =n Kh。
复式格子（几个子晶格）
子晶格
复式原胞
基矢子原胞
固体物理学原胞 平行六面体 最小重复单元
基矢 多原子 周期性晶格
结点 基元 空间点阵 晶列晶面
单原子 晶向 对称性晶格
面指数晶列指数 最小重复单元的
布喇菲格子（正格子） 倒格子 倒格矢
结晶学原胞
布喇菲原胞
子原胞 复式原胞
基矢
几倍
晶体结构中的概念体系
? 晶体的基本特征是结构具有周期性。用空间点阵概括周期
性，空间点阵是由 R=l1a1+l2a2+l3a3的点的集合组成的点
阵。
? 布喇菲格子的最主要特征是每个格点周围的情况都一样。
对于多个原子组成的“分子”，将其看作基元。真实的
晶体结构是由点阵 +基元构成。
? 晶体结构的周期性重复单元称为原胞。最小的重复单元是
固体物理学原胞（包含一个原子或一个“分子”），最
小单元的整数倍是结晶学原胞（包含多个原子或多个
“分子”）。由周围情况相同的原子组成的格子为子晶
胞，子晶胞相互沿空间移动（套购）形成的晶胞为复式
格子。
? 晶体中的晶面用密勒指数表示。
? 重要的简单结构有体心立方、面心立方、六角密堆、氯化
钠、氯化铯、金刚石结构。
小 结
? 每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，
正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的
点阵。结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，
因为它在数学处理上具有优越性。
? 两个点阵的基矢具有一定的几何关系（包括方向、大小）。
? 倒格子原胞的选取：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，
为这些平面所完全封闭的最小体积 ------第一布里渊区。其体
积与正格子体积成正比。
? 倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。
? 衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒
格矢的整数倍。
? 晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的
一点的过程。
性，或者称长程有序。有此排列结构的材料为晶体。
晶体中原子、分子规则排列的结果使晶体具有规则的几何
外形,X射线衍射已证实这一结论。
非晶体结构, 不具有长程有序。有此排列结构的材料为非
晶体。
了解固体结构的意义, 固体中原子排列形式是研究固体
材料宏观性质和各种微观过程的基础。
晶体结构
固体的结构分为,非晶体结构
多晶体结构
1.1 晶体结构 1.1.1 空间点阵1.1.2 密勒指数
1.1.3 倒格子
晶体内部结构概括为是由一些相同点子在空间
有规则作周期性无限分布，这些点子的总体称
为点阵。
（该学说正确地反映了晶体内部结构长程有序特征，后
来被空间群理论充实发展为空间点阵学说，形成近代关
于晶体几何结构的完备理论。）
1.1.1 空 间 点 阵
一、布喇菲的空间点阵学说
关于结点的说明：
当晶体是由完全相同的一种原子组成，结点可以是原子本身位置。
当晶体中含有数种原子，这数种原子构成基本结构单元（基元），
结点可以代表基元重心，原因是所有基元的重心都是结构中相同
位置，也可以代表基元中任意点子
结点示例图
1, 点子
空间点阵学说中所称的 点子,代表着结构中相同的位
置，也为 结点,也可以代表原子周围相应点的位置。
晶体由基元沿空间三个不同方向，各按一定的距离 周期
性 地平移而构成,基元 每一平移距离称为 周期 。
在一定方向有着一定 周期,不同方向上 周期 一 般不相同。
基元 平移结果,点阵 中每个结点周围情况都一样。
2, 点阵学说概括了晶体结构的周期性
3, 晶格的形成
通过点阵中的结点，可以作许多平行的直线族
和平行的晶面族，点阵成为一些网格 ------晶格。
平行六面体
原胞概念的引出：
由于 晶格 周期性，可取一个以 结点 为顶点，边长等于
该方向上的 周期 的平行六面体作为重复单元，来概括
晶格的特征。
即每个方向不能是一个结点（或原子）本身，而是一
个结点 （或 原子）加上周期长度为 a的区域，其中 a叫
做基矢 。
这样的 重复单元 称为 原胞 。
原胞（重复单元）的选取规则
反映周期性特征,只需概括空间三个方向上的周期大
小，原胞可以取最小重复单元（物理学原胞），结点只
在顶角上。
反映对称性特征：
晶体都具有自己特殊对称性。
结晶学上所取原胞体积不一定最小，结点不一定只在顶
角上，可以在体心或面心上（晶体学原胞）；
原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴方向；
原胞体积为物理学原胞体积的整数倍数。
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引出物理学原胞的意义：
三维格子的周期性可用数学的形式表示如下：
T(r)=T(r+l1a1+l2a2+l2a3)
r为重复单元中任意处的矢量； T为晶格中任意物理量；
l1,l2,l3是整数,a1,a2,a3是重复单元的边长矢量。
为进行固体物理学中的计算带来很大的方便。
位矢 R
r
R+r
不喇菲点阵的特点：
每点周围情况都一样。是由一个结点沿三维空间周
期性平移形成，为了直观，可以取一些特殊的重复
单元（结晶学原胞）。
? 完全由相同的一种原子组成，则这种原子组成的
网格为不喇菲格子，和结点所组成的网格相同。
? 晶体的基元中包含两种或两种以上原子，每个基
元中，相应的同种原子各构成和结点相同网格 ----
子晶格（或亚晶格）。
? 复式格子（或晶体格子）是由所有相同结构子晶
格相互位移套构形成。
4,结点的总体 ------不喇菲点阵或不喇菲格子
晶体格子（简称晶格）,晶体中原子排列的具体形
式。
原子规则堆积的意义,把晶格设想成为原子规则堆
积，有助于理解晶格组成，晶体结构及与其有关的
性能等。
二, 晶 格 的 实 例
1,简单立方晶格
2,体心立方晶格
3,原子球最紧密排列的两种方式
特点,
层内为正方排列，是原子球规则排列的最简单形式；
原子层叠起来，各层球完全对应，形成简单立方晶格；
这种晶格在实际晶体中不存在，但是一些更复杂的晶格
可以在简单立方晶格基础上加以分析。
原子球的正方排列 简单立方晶格典型单元
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1,简单立方晶格
简单立方晶格的原子球心形成一个三维立方格子结
构，整个晶格可以看作是这样一个典型单元沿着三
个方向重复排列构成的结果。
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简单立方晶格单元沿着三个方向重复排列构成的图形
2,体心立方晶格
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体心立方晶格的典型单元
排列规则, 层与层堆积方式是上面一层原子球心对
准下面一层球隙，下层球心的排列位置用 A标记，
上面一层球心的排列位置用 B标记，体心立方晶格
中正方排列原子层之间的堆积方式可以表示为,
AB AB AB AB…
体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的特点：
为了保证同一层中原子球间的距离等于 A-A层之间的
距离，正方排列的原子球并不是紧密靠在一起；
由几何关系证明，间隙 ?=0.31r0,r0为原子球的半径。
具有体心立方晶格结构的金属,Li,Na, K,Rb、
Cs,Fe等，
密排面,原子球在该平面内以最紧密方式排列。
堆积方式,在堆积时把一层的球心对准另一层球隙，
获得最紧密堆积，可以形成两种不同最紧密晶格排列。
AB AB AB排列
（六角密排晶格）
ABC ABC ABC排列
（立方密堆）
3.原子球最紧密排列的两种方式
前一种为六角密排晶格，（如 Be,Mg,Zn,Cd），
后一种晶格为立方密排晶格，或面心立方晶格（如
Cu,Ag,Au,Al）
面心立方晶格
（立方密排晶格）
面心（ 111）
以立方密堆方式排列
面心立方晶体（立方密排晶格）
六方密堆晶格的原胞
三,不喇菲格子与复式格子
把基元只有一个原子的晶格，叫做不喇菲格子；
把基元包含两个或两个以上原子的，叫做复式格子。
注,如果晶体由一种原子构成，但在晶体中原子周
围的情况并不相同（例如用 X射线方法，鉴别出
原子周围电子云的分布不一样），则这样的晶格
虽由一种原子组成，但不是不喇菲格子，而是复
式格子。原胞中包含两个原子。
1, 氯化钠结构
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? 表示钠
? 表示氯
钠离子与氯离子
分别构成面心立
方格子，氯化钠
结构是由这两种
格子相互平移一
定距离套购而成。
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2, 氯化铯结构
? 表示 Cs
。 表示 Cl
3, 钙钛矿型 结构
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? 表示 Ba
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结晶学原胞 氧八面体
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基元中任意点子或结点作周期性重复的晶体结构
复式原胞
重复的
晶体结构
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五个子晶胞
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注：
结点的概念以及结点所组成的不喇菲格子的概念，
对于反映晶体中的周期性是很有用的。
基元中不同原子所构成的集体运动常可概括为复式
格子中各个子晶格之间的相对运动。
固体物理在讨论晶体内部粒子的集体运动时，对于
基元中包含两个或两个以上原子的晶体，复式格子
的概念显得重要，
四、结晶学原胞与固体物理学原胞间的相互转化
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简立方 体立方 面心立方
立方晶系不喇菲原胞
原胞的基矢为,a1=ia,a2=ja,a3=ka
结晶学中，属于立方晶系的不喇菲原胞有简
立方、体心立方和面心立方。
1,简立方
2,体心立方
固体物理学的原胞基矢与结晶学原胞基矢的关系：
a1=(-i+j+k)a\2
a2=(k+i-j)a\2
a3=(i+j-k)a\2
体积关系,结晶学原胞的体积是物理学原胞的 2
倍。原因是结晶学原胞中含有两个原子，而物理
学原胞中含有一个原子。
R=l1a1+l2a2+l2a3
R=2a1+a2+a3
R物理 =a2+a3
R结晶 =(1/2)a+ (1/2) a+a
= (1/2)(a+a+2a)
3,面心立方
a1
a2
a3
4,六角密堆
固体物理学的原胞基矢与结
晶学原胞基矢的关系：
a1=(j+k)a\2
a2=(k+i)a\2
a3=(i+j)a\2
体积关系,结晶学原胞的体积是物理学原胞的 4倍。
原因是结晶学原胞中含有 4个原子，而物理学原胞中
含有一个原子。
1.1.2 密 勒 指 数
一、晶列
1,晶列
通过任意两个格点连一直线，则这一直线包含无限
个相同格点，这样的直线称为晶列，也是晶体外表
上所见的晶棱。其上的格点分布具有一定的周期 -----
-任意两相邻格点的间距。
1,晶列的特点
（ 1）一族平行晶列把所有点 包括无遗。
（ 2）在一平面中，同族的相邻晶列之间的距离相等。
（ 3）通过一格点可以有无限 多个晶列，其中每一晶列都有一
族平行的晶列与之对应。
（ 4 ）有无限多族平行晶列。
- 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。
。。。。。。。。。。。
晶面的特点：
（ 1）通过任一格点，可以作全同的晶面与一晶面平行，构成
一族平行晶面,
（ 2）所有的格点都在一族平行的晶面上而无遗漏；
（ 3）一族晶面平行且等距，各晶面上格点分布情况相同；
（ 4）晶格中有无限多族的平行晶面。
二、晶面
三、晶向
一族晶列的特点是晶列的取向，该取向为晶向；
同样一族晶面的特点也由取向决定，因此无论对于晶
列或晶面，只需标志其取向。
注：为明确起见，下面仍只讨论物理学的不喇菲格子。
任一格点 A的位矢 Rl为
Rl =l1a1+l2a2+l3a3
式中 l1,l2,l3是整数。若互质，直接用他们来表征晶列 OA的方
向（晶向），这三个互质整数为晶列的指数，记以
[l1,l2,l3]
同样，在结晶学上，原胞不是最小的重复单元，而原胞的体积是
最小重复简单整数倍，以任一格点 o为原点,a,b,c为基矢，任
何其他格点 A的位矢为
k ma+knb+kpc
其中 m,n,p为三个互质整数，于是用 m,n,p来表示晶列 OA
的方向，记以 [nmp]。
1, 晶列指数 （晶列方向的表示方法）
O Rl
A
a1
a2
a3
表示晶面的方法，即方位,在一个坐标系中用该平
面的法线方向的余弦；或表示出这平面在座标轴上的
截距。
a1
a2
a3
设这一族晶面的面间距为 d，它
的法线方向的单位矢量为 n，
则这族晶面中，离开原点的距离
等于 ?d的晶面的方程式为：
R ?n=?d
?为整数； R是晶面上的任意点的
位矢。
R
2,密勒指数（ 晶面方向的表示方法）
设此晶面与三个座标轴的交点的位矢分别为 ra1, sa2、
ta3,代入上式，则有
ra1cos(a1,n)=?d
sa2cos(a2,n)=?d
ta3cos(a3,n)=?d
a1, a2,a3取单位长度，则得
cos(a1,n),cos(a2,n), cos(a3,n)=1\r,1\s,1\t
结论：晶面的法线方向 n与三个坐标轴（基矢）的夹角
的余弦之比等于晶面在三个轴上的截距的倒数之比。
已知一族晶面必包含所有的格点,因此在三个基矢
末端的格点必分别落在该族的不同的晶面上。
设 a1, a2,a3的末端上的格点分别在离原点的距离为
h1d,h2d,h3d的晶面上，其中 h1,h2,h3都是整数，
三个晶面分别有
a1?n=h1d,a2?n=h2d,a3?n=h3d
n是这一族晶面公共法线的单位矢量，于是
a1cos(a1,n)=h1d
a2cos(a2,n)=h2d
a3cos(a3,n)=h3d
证明截距的倒数之比为 整数之比
cos(a1,n),cos(a2,n), cos(a3,n)=h1,h2,h3
结论,晶面族的法线与三个基矢的夹角的余弦之比等
于三个整数之比。
可以证明, h1,h2,h3三个数互质，称它们为该晶面族
的面指数，记以（ h1h2h3）。
即把晶面在座标轴上的截距的倒数的比简约为互质的整
数比，所得的互质整数就是面指数。
几何意义, 在基矢的两端各有一个晶面通过，且这两个
晶面为同族晶面，在二者之间存在 hn个晶面，所以最靠
近原点的晶面（ ?=1） 在坐标轴上的截距为 a1/h1,a2/h2、
a3/h3,同族的其他晶面的截距为这组截距的整数倍。
实际工作中，常以结晶学原胞的基矢 a,b,c为坐标
轴来表示面指数。在这样的坐标系中，标征晶面取向
的互质整数称为晶面族的密勒指数，用 (hkl)表示。
例如：
有一 ABC面，截距为 4a,b,c,截距的倒数为 1/4,1、
1，它的密勒指数为（ 1,4,4）。
另有一晶面，截距为 2a,4b,?c,截距的倒数为 1/2、
1/4,0，它的密勒指数为（ 2,1,0）。
简单晶面指数的特点：
? 晶轴本身的晶列指数特别简单，为 [100]、
[010],[001]；
? 晶体中重要的带轴的指数都是简单的；
? 晶面指数简单的晶面如 （ 110）、（ 111）是重
要的晶面；
? 晶面指数越简单的晶面，面间距 d就越大，格
点的面密度大，易于解理；
? 格点的面密度大，表面能小，在晶体生长过程
中易于显露在外表；对 X射线的散射强，在 X射线
衍射中，往往为照片中的浓黑斑点所对应。
1.1.3 倒 格 子
条件：
X射线源、观测点与晶体的距离都比晶体的线度大的
多，入射线和衍射线可看成平行光线；
散射前后的波长不变,且为单色。
一、从 X射线衍射方程 反射公式引出倒 格矢概念
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CO= -Rl · S0 OD= Rl · S
衍射加强条件,Rl ·（ S－ S0 ） =??
有, ko=(2?/ ?) S0 k=(2?/ ?) S
得, Rl · （ k－ k0 ） = 2? ?
设, k－ k0 =n Kh
k－ k0 =n Kh的物理意义：当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个
Kh（倒格矢）时，满足衍射加强条件,n为衍射级数。
1,衍射方程
C Rl
D
衍射线单位基矢 S
O
A入射线单位基矢 S
0
晶面
2,反射公式
|k－ k0 |= 2? |S/ ? - S0 / ? | =( 4?/ ?) sin ?
|k－ k0 | = | n Kh |= 2?n/dh1h2h3
| Kh |= 2?/dh1h2h3
P
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A?
? T
A
P?
Q
Q?
S d
入射线与反射线之间的光程差：
?=SA?+A? T=2d sin ?
满足衍射方程,2dh1h2h3 sin ? =n ?
? k－ k0
k
k0
设一晶格的基矢为 a1, a2,a3,有如下的关系：
b1= 2?(a2?a3)\? 说明 b1垂直于 a2和 a3所确定的面；
b2= 2?(a3?a1)\? 说明 b2垂直于 a3和 a1所确定的面
b3= 2?(a1?a2\? 说明 b3垂直于 a1和 a2所确定的面
式中,?= a1 ·( a2?a3)为晶格原胞的体积。
二、倒格子的概念
1,倒格子的数学定义
倒格子, 以 b1,b2,b3为基矢的格子是以 a1,a2,a3
为基矢的格子的倒格子。
（ 1） 正格子基矢和倒格子基矢的关系
2,正格子与倒格子的几何关系
=2? (i=j)
ai·bj=2??i j
=0 (i?j)
证明如下, a1·b1=2?a1 ·( a2?a3) / a1 ·( a2?a3) = 2?
因为倒格子基矢与不同下脚标的正格子基矢垂直，有,
a2·b1=0 a3·b1=0
（ 2）除（ 2?） 3因子外，正格子原胞体积 ?和倒
格子原胞体积 ?*互为倒数 。
?*=b1 ·( b2?b3) = (2?） 3/ ?
?表示正格点
? 表示倒格点
ABC为 一族晶面（ h1h2h3）中的最
靠近原点的晶面，与 k h垂直?
??
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a1
a2
a3
B
C
A
k h
a1/h1
a3/h3
a2/h2
（ 3）正格子中一族晶面 （ h1h2h3） 和倒格矢
k h=h1b1+h2b2+h3b3 正交，
即 晶面的弥勒指数是垂直于该晶面的最短倒格矢坐标,
?
由（ 3）、（ 4）可知，一个倒格矢代表正格子中的一族
平行晶面 。
晶面族（ h1h2h3）中离原点的距离为 ? d h1h2h3的晶面的
方程式可写成,R l· kh/|kh|= ? d h1h2h3
(?=0,± 1,± 2,……)
得出正格矢和倒格矢的关系,R l · kh= 2??
结论：如果两矢量的关系,R l · kh= 2??，则其中一个
为正格子，另一个必为倒格子；即正格矢和倒格矢恒满
足正格矢和倒格矢的关系。
（ 4）倒格矢的长度正比于晶面族 （ h1h2h3）的面间
距的倒数。
dh1h2h3=a1/h1·k h/|kh|=a1(h1b1+h2b2+h3b3)/h1|kh|=2?/|kh|
结论,
? 倒格矢 Kh垂直某一晶面（ h1h2h3 ），也即该
晶面的法线方向与此倒格矢方向一致。
? 倒格矢 Kh的大小与和其垂直的晶面间距成正
比。
? 一个倒格矢对应一族晶面，但一族晶面可以
对应无数个倒格矢，这些倒格矢的方向一致，
大小为最小倒格矢的整数倍。
? 满足 X射线衍射的一族晶面产生一个斑点，
该斑点代表一个倒格点，即该倒格点对应一
族晶面指数。
k－ k0 =n Kh的物理意义：
当入射波矢和衍射波矢相差一个或几个倒格矢 Kh时，
则该族晶面 （ h1h2h3） 满足衍射加强条件,n为衍射
级数。
从 2dh1h2h3 sin ? =n ?中可知：
对于某一个确定的晶面族，要满足衍射加强条件，
可以改变入射波矢的方向，即 改变 ?,或改变入射波
矢的大小,即 改变 ?。
b1 ? a1 =2?
b2 ? a2=2?
a2
a1 b1
b2
Kl
|Kl|=[(3b1)2+4b2)2]1/2 =[(3?2?/ a1)2+4 ? 2?/a2)2]1/2
面间距,d= 2?/ |Kl|=[(6/ a1)2+ (8/a2)2]1/2
Rl
O
A
B
Rl=l1a1+l2a2+l3a3 Kl=l1b1+l2b2+l3b3
Rl=5a1+2a2 Kl=3b1+4b2
证明,3b1+4b2 ?(3 4) 有,AB=OA-OB=a1/3 - a2/4
AB ?(3b1+4b2 )=(a1/3 - a2/4) ?(3b1+4b2 )= a1 ?b1 - a2 ?b2 a1 ?b1 =0
例
如
利用倒易点阵（倒格子）与正格子间的关系导出晶
面间距和晶面夹角。
晶面间距 dh1h2h3, dh1h2h3=2?/ |kh1h2h3|
两边开平方,将 kh1h2h3 =h1b1+h2b2+h3b3及正倒格子
的基矢关系代入，经过数学运算，得到面间距公式。
晶面夹角 ?,k1· k2 = k1 k2 COS ?
100
200
300001
002
003
101
201
301
103
202
203
(100)
(001)
(102)
O
倒格子与正格子间的相互转化
102
0 b1
b2
一维格子
倒格子原胞,
作由原点出发的诸倒格矢
的垂直平分面，这些平面
完全封闭形成的最小的多
面体（体积最小） ------第
一布里渊区 。
b1
b2
0
二维格子
3, 倒格子原胞和布里渊区
?? ?? a
b?? ? ?
构成第一布里渊区
（简约布里渊区）的
垂直平分线的方程式
如下：
? x=± ?/a
及 ? y=± ?/a
第二布里渊区的各
个部分分别平移一个
倒格矢，可以同第一
区重合。第三布里渊
区的各个部分分别平
移适当的倒格矢也能
同第一区重合。
(2?/a) i-(2?/a) i
(2?/a) j
-(2?/a) j
4, X射线衍射与倒格子、布里渊区的关系
（ 1） X射线衍射
与倒格子的关系
根据公式,k－ k0 =n Kh,
建立反射球或衍射球
入射线的波矢 k0
反射线的波矢 k
倒格矢 Kh
OC
A
晶面
反射球
R l· kh/|kh|= ? d h1h2h3
Rl,( k－ k0 ） = 2? ?
dh1h2h3=2?/ |kh1h2h3|
（ h1h2h3）
（ h1 ′h2 ′ h3 ′）
建立反射球的意义
? 通过所建立的反射球，把晶格的衍射条件和
衍射照片上的斑点直接联系起来。
? 利用反射球求出某一晶面族发生衍射的方向
（若反射球上的 A点是一个倒格点，则 CA就是以
OA为倒格矢的一族晶面 h1h2h3的衍射方向 S）。
O
C
倒格矢球面与反射球
相交于一圆
同一晶面由于晶体的旋转引
起该晶面倒格矢的旋转从而
形成倒格矢球面。
结论：
所有落在此球上的倒格点都满足
关系式, k－ k0 =n Kh
即满足衍射加强条件。
衍射线束的方向是 C点至 A点的联线方向。
第一布里渊区 第一布里渊区 第一布里渊区
二维正方格子的布里渊区
(2?/a) i-(2?/a) i
(2?/a) j
-(2?/a) j
（ 2） X射线衍射与布里渊区的关系
结论：
入射波矢从倒
格子原点出发
终止在布里渊
区边界，该对
应的入射波满
足衍射条件 k－
k0 =n Kh。
复式格子（几个子晶格）
子晶格
复式原胞
基矢子原胞
固体物理学原胞 平行六面体 最小重复单元
基矢 多原子 周期性晶格
结点 基元 空间点阵 晶列晶面
单原子 晶向 对称性晶格
面指数晶列指数 最小重复单元的
布喇菲格子（正格子） 倒格子 倒格矢
结晶学原胞
布喇菲原胞
子原胞 复式原胞
基矢
几倍
晶体结构中的概念体系
? 晶体的基本特征是结构具有周期性。用空间点阵概括周期
性，空间点阵是由 R=l1a1+l2a2+l3a3的点的集合组成的点
阵。
? 布喇菲格子的最主要特征是每个格点周围的情况都一样。
对于多个原子组成的“分子”，将其看作基元。真实的
晶体结构是由点阵 +基元构成。
? 晶体结构的周期性重复单元称为原胞。最小的重复单元是
固体物理学原胞（包含一个原子或一个“分子”），最
小单元的整数倍是结晶学原胞（包含多个原子或多个
“分子”）。由周围情况相同的原子组成的格子为子晶
胞，子晶胞相互沿空间移动（套购）形成的晶胞为复式
格子。
? 晶体中的晶面用密勒指数表示。
? 重要的简单结构有体心立方、面心立方、六角密堆、氯化
钠、氯化铯、金刚石结构。
小 结
? 每个晶体结构有两个点阵同它联系：晶体点阵和倒格子点阵，
正格子点阵是真实空间的点阵，倒格子点阵是在波矢空间的
点阵。结晶学家喜欢用正格子，而物理学家喜欢用倒格子，
因为它在数学处理上具有优越性。
? 两个点阵的基矢具有一定的几何关系（包括方向、大小）。
? 倒格子原胞的选取：作由原点出发的诸倒格矢的垂直平分面，
为这些平面所完全封闭的最小体积 ------第一布里渊区。其体
积与正格子体积成正比。
? 倒格子中的一个格点与正格子中的一族晶面相对应。
? 衍射条件：入射波矢和反射波矢之差为该平面族所对应的倒
格矢的整数倍。
? 晶体衍射的过程就是把正格子中一族晶面转化为倒格子中的
一点的过程。
