晶格振动对晶体的许多性质有影响，例如，
固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的
振动有关。
设：原胞中只含有一个原子,整个原子平面
作同位相运动。
可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个
横向振动波,
1.3 晶格振动
1.3.1 一维原子链的的振动
1.3.2 晶体振动的量子化
1.3.3 确定晶格振动谱的实验
s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4
a
K或 q
K或 q
一、一维单原子晶格的线性振动
1.3.1 一维原子链的振动
条件,
每个原子都具有相同的质量 m；
晶格常数（平衡时原子间距）为 a；
热运动使原子离开平衡位置 x。
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3
xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反
的弹性力；
两个最近邻原子间才有作用力 ------短程弹性力。
xn表示第 n个原子离开平衡位置的位移，第 n个原子
相对第 n+1个原子间的位移是：
a+ xn– xn+1- a= xn – xn+1
同理：第 n个原子相对第 n-1个原子间的位移是：
xn – xn-1
第 n个原子受第 n+1个原子的作用力,
Fn,n+1= -ks(xn- xn+1)
第 n个原子受第 n-1个原子的作用力,
Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1)
则第 n个原子所受原子的总力为：
F= Fn,n+1 +Fn，,n-1
得,F=ks(xn+1+xn-1-2xn)
1,原子间的作用力服从虎克定律
第 n个原子运动方程：
md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
2,原子间的作用力服从牛顿定律
晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）：
xn=Aexpi(?t-naq),xn=Ae i(?t-naq), xn=Acos(?t-naq)
A：振幅；
?：角频率；
n,1,2,3,4……N ；
aq：相邻原子的位相差；
naq：第 n个原子振动的位相差。
此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
0 1 2 3 4
3,原子振动方程
如果第 n?个和 n第个原子的位相之差：
(qn?a-qna)=2?s(s整数 )，
即 qn?-qn=2?s/a时，
原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子
间的振动相互间存在着固定的位相关系 。
结果：在晶格中存在着角频率为 ?的平面波 ------格波。
格波
格波,晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的
波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的
形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点,? 晶格中原子的振动；
? 相邻原子间存在固定的位相。
n
n+2
n-1
n+1
n-2
°
°
°
° ° ° °°
° °
°
°
° °
°
2?/q=?
4,色散关系（晶格的振动谱）
色散关系, 频率和波矢的关系。
（ 1）色散关系的数学表达式
将间谐振动方程,xn=Ae i(?t-naq)代入
牛顿方程,md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
得, ?2={1-cos(qa)}2ks/m
或 ?=2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|
上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ?---q
的关系 )，也为频谱关系。
?---q的关系为周期函数。
根据函数的周期性,|qa/2|??/2
即 |q| ? ?/a
在此范围以外的一切 q值，只是重复此范围的 q
值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度
(|-?/a |+|?/a|= 2?/a) 。
q的正负号说明：
正的 q对应在某方向前进的波，负的 q对应于相
反方向进行的波。
色散关系为周期函数；
当 q=0时,?=0
当 sin(qa/2)=?1时,?有最大值,且 ?max=2(ks/m)1/2
-2?/a -?/a 0 ?/a 2?/a
?max ? ?max
一维不喇菲格子振动的频谱
（ 2）频谱图
有,?(q)= ?(q+2 ?/a)
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊
区边长,
由布里渊区边界 q= ?/a=2 ?/ ?
得,?/ 2 = a 满足形成驻波的条件
q= ± ?/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条
件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
一维单原子简谐振动的波函数,xn=Aei{?t-qna}
将波矢, q=2?s/a+q′（为任意整数）代入
得 xn=Aei{?t- (2?s/a+q′ )na} = Aei 2?sn ei(?t- q′ na)
ei 2?sn=1
xn=Aei{?t-q′na}= xn′
(3) 分析讨论
结论
? 如果 q -q′ =2?s/a （为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引
起的振动完全相同。
? 对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢 q，它们之间都相
差 2?/a的整数倍。
? 为了保证 xn的单值性，把 q值限制在 (-?/a,?/a),其中 a是该格子的
晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。
例如,波矢 q′ =?/2a原子的振动同样可以当作 波矢 q
=5?/2a的原子的振动（ q -q′ =2?/a）。
红线,q =5?/2a,?=4a/5
两相邻原子振动的位相
差是 2?+ ?/2。
?
?
?
?
?
绿线,q′ =?/2a,?=4a
两相邻原子振动的位相
差是 ?/2。
格波与一般连续介质波的比较
? 相同,振动方程形式类似
? 区别：
[1] 连续介质波中 x表示空间任意一点，而格波只
取呈周期性排列的格点的位置；
[2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为 ?的振
动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为 aq.
[3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以 q 与
q′振动一样,同一振动状态对应多个波矢，或多
个波矢为同一振动状态） 。
a
2a
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2° °°
? ? ?mM
运动方程, md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)
Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)
1,色散关系（晶格振动谱）
双原子（ M?m） 一维晶格
二,一维双原子晶格的线性振动
方程的解是以角频率为 ?的简谐振动：
x2n+1=Aei{?t-q(2n+1)a} x2n=Bei{?t-q2na}
x2n+2=Bei{?t-q(2n+2)a} x2n+3=Aei{?t-q(2n+2)a}
由牛顿方程与简谐振动方程得：
-m?2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA
-M?2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA
上式可改写为,(2ks-m?2)A-(2kscosqa)B=0
-(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
若 A,B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
2ks-m?2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M?2
即
得,?2={(m+M)?[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明, 频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，
即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于
一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格
波各有自己的色散关系：
?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
由于 q值限制在 (-?/2a,?/2a), 2qa介于 (-?,?)
当 2qa= ?(或 -?)时
由 ?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?1 )最大 =(2ks/M)1/2
由 ?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?2)最小 =(2ks/m)1/2
因为 M?m，
有 (?2)最小 ? (?1 )最大 。
（ 2）频率 ?的取值
当 2qa=0时
由 ?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?1 )最小 =0
由 ?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?2)最大 = [2ks(m+m)/mM ]1/2
设 ?=mM/(m+M) （两种原子的折合质量）
则 (?2)最大 =(2ks/ ?)1/2
-?/2a,0 ?/2a q
?
(2ks/M)1/2
(2ks/m)1/2
(2ks/ ?)1/2
光频支 ?2
声频支 ?1
一维双原子复式格子的振动频谱
? 复式格子两种格波的振动频率,?1— 支 格波的频率
总比 ?2— 支 的低。
? ?2支格波：光学支格波（光学波）可以用红外光光
来激发；
? ?1支 格波：声频支格波（声学波），可以用超声波
来激发。
结 论
由 (2ks-m?2)A-(2kscosqa)B=0
得 ( A/B)1=(2kscosqa)/ (2ks-m?12)
因为 ?12? 2ks/ M,cos(qa)?0
得 ( A/B)1 ?0
三,声学波和光学波
1,声学波
说明, 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或
负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振
动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振
动。
声学波示意图
由 -(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
得 ( A/B)2= (2ks-M?2)/ 2kscos(qa)
因 ?22? 2ks/ m,cos(qa)?0
得 ( A/B)2 ?0
2,光学波
说明,对于光学波，相邻两种不同原子的振
动方向是相反的。
当 q很小时，即波长很长的光学波（长光学波），
cos(qa)?1，
又 ?22=2ks/ ?，
由 -(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
得 ( A/B)2 =-M/m
mA+MB=0
说明,原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出，
光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
相邻原
子的振
动方向
振动的
频率
长 波
振动
质点
振动质点
的质量
同号双
原子
异号双
原子
声
学
波
相同 慢 原胞 重 连续介质的弹
性波
光
学
波
相反 快 异号
原子
相对
振动
轻
产生电
偶极矩，
发射电
磁波
声学波与光学波的比较
说明,带异性电荷的离子间的相对振动产生一定的
电偶极矩，可以和电磁波相互作用。且只和波矢相
同的格波相互作用，如果有与格波相同频率的电磁
波作用，发生共振。
-?/2a 0 ?/2a q
? 光波 ?=c
oq
共振点
四,周期性边界条件（波恩 — 卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了
限定,一维不喇菲格子,q介于 (-?/a,?/a)之间 ;一维双原
子的复式格子,q介于 (-?/2a,?/2a)之间,
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成
如下面所述的周期性边界条件模型（包含 N个原胞的环
状链作为有限链的模型）,
? 包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价 。
? 如果原胞数 N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以
看作是直线的运动。
? 和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增
加 N，振动情况必须复原。
一维链的波恩 — 卡
曼边界条件
xn=Aei{?t-qna}
xn+N= Aei{?t-q(n+N)a}= Aei{?t-qna} ei{-qNa}
由于 xn= xn+N
有 ei{-qNa}=1
即 Nqa=2?h,（ h为整数），或 q= 2?h/Na
q介于 (-?/a,?/a)之间，或 -?/a? q ??/a
得 - N/2? h ?N/2
说明, h只能取由 -N/2到 N/2，一共有 N个不同的数值。
-N/2? h ?N/2,q是均匀取值。
由 N个原胞组成的链,q可以取 N个不同的值，每个 q
对应着一个格波，共有 N个不同的格波,N是一维单
原子链的自由度数，即得到链的全部振动模（或振
动状态数）。
同理：可得两种复式格子的 q取值个数为 N.
结论
原胞内
含
原子 数
原胞
数
自由
度数 q
数
格波数 [晶体振动
模或 (?,q)数 ]
声学波
数 (支 )
光学波
数（支）
单原子
链
1 N N N N 1
双原子
链
2 N 2N N 2N 1 1
三维结
构
n N 3nN N 3nN 3 3(n-1)
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，
其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简
谐平面波的线性叠加。
一、声子概念的由来
1.3.2 晶格振动的量子化 ---声子
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简
谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认
为它们的存在是相互独立振动的模式。
每一独立模式对应一个振动态 (q) 。
晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的
模式也即独立的振动态是分立的。
可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。
声子 ----晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。
二,格波能量量子化
1,三维晶格振动能量
原胞（ N个）内含 1个原子系统的三维晶格振动具有
3N个独立谐振子 ；
晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含 N个原胞
的晶体振动能量为 3N个格波能量之和；
在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总
振动能量等于 3N个简谐振子的能量之和。
谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的
能量 ?l为,
?l =(n1+1/2)??I,nl=0,1,2,……
则晶格总能量 E为：
E=? (n1+1/2)??I
2,格波能量量子化
说明,晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能
量量子 ??I称为声子。
三,声子的性质
1,声子的粒子性
光子 ------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光
子流，光子携带电磁波的能量和动量 。
声子 ------声子携带声波的能量和动量。若格波频率
为 ?，波矢 q为，则声子的能量为 ??,动量为 ?q。
声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如
同具有能量 ??和动量 ?q的粒子一样。
可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和
物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论
也正确。如，电子、光子、声子等。
准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢
改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振
动状态，所以不是真正的动量；
系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具
有能量为 Ei的状态用出现的几率来表示。
2,声子的准粒子性
3,声子概念的意义
1.3.3 确定晶格振动谱 ?(q)的实验方法
晶格的振动谱 ------格波的色散关系。
确定晶格振动谱的意义 ------晶体的许多性质和函数
?(q)有关。
测定的依据 ------利用波和格波的相互作用。
最重要的实验方法 ------中子的非弹性散射，即利用中
子的德布洛依波与格波的相互作用。
其他实验方法 ------X射线衍射、光的散射等。
本节介绍 ------中子的非弹性散射（中子与原子核的作
用）
一束 中子流：动量 p、能量 E=p2/2Mn。
样品（与原子核之间有较强的相互作用，容易
穿过晶体）
一束 中子流：动量 p′、能量 E′=p′2/2Mn。
入
射
射
出
格波振动因起中子的非弹性散射（吸收或发
射声子的过程），该过程满足能量守恒和动
量守恒。
一、实验原理
p′2/2Mn － p2/2Mn=± ??(q)
p′－ p=± ?q+?Kn
多出 ?Kn项的说明：动量平移倒格子矢量，格波的
运动状态不变。
－ 发射声子的过程 ＋ 吸收声子的过程
固定入射中子流的动量和能量，测量不同散射中子流
的动量和能量。
二、实验过程
2dh1h2h3sin ?=n?
中子流 单色器
准
直
器
样品
准直器
探测器
分
析
器
?
?
?′
三轴中子谱仪结构
p′
p
p′
p
中子源：反应堆中产生出来的慢中子流。
单色器：利用单晶的布拉格反射产生单色（ ?的 确定 ）
的中子流。
准直器：选择入射、散射中子流的方向,确定 ?,?。
分析器：利用单晶的布拉格反射来决定散射中子流
的动量。
(1,0,0)
60
50
40
30
20
10
声
子
的
能
量 (m
ev
)
LO
TO
LA
TA
(1,1,0) (1/2,1/2,1/2)
T：横； O：光学波；
L：纵； A：声学波。
硅的格波谱
? 晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为
格波）。
? 由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作
用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互
作用，独立存在。
? 晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的
波矢来描述。
? 声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，
波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质
的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，
晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。
? 由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个 N原胞，
每个原胞含有 n个原子，则共有 3nN个格波，其中 3支是声
学波,3(n-1)支是光学波，每支包含 N个格波。
小 结
? 晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单
元称作声子，声子具有能量 ??，与光子的区别是不
具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。
? 晶格振动的色散关系可以进行测定。
固体的比热、热膨胀、热导等直接与晶格的
振动有关。
设：原胞中只含有一个原子,整个原子平面
作同位相运动。
可以有三种振动波，一个纵向振动波，两个
横向振动波,
1.3 晶格振动
1.3.1 一维原子链的的振动
1.3.2 晶体振动的量子化
1.3.3 确定晶格振动谱的实验
s-1 s s+1 s+2 s+3 s+4
a
K或 q
K或 q
一、一维单原子晶格的线性振动
1.3.1 一维原子链的振动
条件,
每个原子都具有相同的质量 m；
晶格常数（平衡时原子间距）为 a；
热运动使原子离开平衡位置 x。
n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3
xn-2 xn-1 xn xn+1 xn+2 xn+3
设：原子间的作用力是和位移成正比，但方向相反
的弹性力；
两个最近邻原子间才有作用力 ------短程弹性力。
xn表示第 n个原子离开平衡位置的位移，第 n个原子
相对第 n+1个原子间的位移是：
a+ xn– xn+1- a= xn – xn+1
同理：第 n个原子相对第 n-1个原子间的位移是：
xn – xn-1
第 n个原子受第 n+1个原子的作用力,
Fn,n+1= -ks(xn- xn+1)
第 n个原子受第 n-1个原子的作用力,
Fn，,n-1= -ks(xn- xn-1)
则第 n个原子所受原子的总力为：
F= Fn,n+1 +Fn，,n-1
得,F=ks(xn+1+xn-1-2xn)
1,原子间的作用力服从虎克定律
第 n个原子运动方程：
md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
2,原子间的作用力服从牛顿定律
晶格中所有原子作简谐振动（或具有前进波的形式）：
xn=Aexpi(?t-naq),xn=Ae i(?t-naq), xn=Acos(?t-naq)
A：振幅；
?：角频率；
n,1,2,3,4……N ；
aq：相邻原子的位相差；
naq：第 n个原子振动的位相差。
此式说明所有原子以相同的频率和相同的振幅振动。
0 1 2 3 4
3,原子振动方程
如果第 n?个和 n第个原子的位相之差：
(qn?a-qna)=2?s(s整数 )，
即 qn?-qn=2?s/a时，
原子因振动而产生的位移相等，因此晶格中各个原子
间的振动相互间存在着固定的位相关系 。
结果：在晶格中存在着角频率为 ?的平面波 ------格波。
格波
格波,晶格中的所有原子以相同频率振动而形成的
波，或某一个原子在平衡位置附近的振动是以波的
形式在晶体中传播形成的波。
格波的特点,? 晶格中原子的振动；
? 相邻原子间存在固定的位相。
n
n+2
n-1
n+1
n-2
°
°
°
° ° ° °°
° °
°
°
° °
°
2?/q=?
4,色散关系（晶格的振动谱）
色散关系, 频率和波矢的关系。
（ 1）色散关系的数学表达式
将间谐振动方程,xn=Ae i(?t-naq)代入
牛顿方程,md2xn/dt2=ks(xn+1+xn-1-2xn)
得, ?2={1-cos(qa)}2ks/m
或 ?=2(ks/m)1/2|sin(qa/2)|
上式为一维简单晶格中格波的色散关系（ ?---q
的关系 )，也为频谱关系。
?---q的关系为周期函数。
根据函数的周期性,|qa/2|??/2
即 |q| ? ?/a
在此范围以外的一切 q值，只是重复此范围的 q
值所得频率。该范围的长度正好是倒格矢的长度
(|-?/a |+|?/a|= 2?/a) 。
q的正负号说明：
正的 q对应在某方向前进的波，负的 q对应于相
反方向进行的波。
色散关系为周期函数；
当 q=0时,?=0
当 sin(qa/2)=?1时,?有最大值,且 ?max=2(ks/m)1/2
-2?/a -?/a 0 ?/a 2?/a
?max ? ?max
一维不喇菲格子振动的频谱
（ 2）频谱图
有,?(q)= ?(q+2 ?/a)
说明波矢空间具有平移对称性,其周期为第一布里渊
区边长,
由布里渊区边界 q= ?/a=2 ?/ ?
得,?/ 2 = a 满足形成驻波的条件
q= ± ?/a正好是布里渊区边界，满足布拉格反射条
件，反射波与入射波叠加形成驻波。
入射波
反射波
一维单原子简谐振动的波函数,xn=Aei{?t-qna}
将波矢, q=2?s/a+q′（为任意整数）代入
得 xn=Aei{?t- (2?s/a+q′ )na} = Aei 2?sn ei(?t- q′ na)
ei 2?sn=1
xn=Aei{?t-q′na}= xn′
(3) 分析讨论
结论
? 如果 q -q′ =2?s/a （为任意整数）这两种波矢对同一种原子所引
起的振动完全相同。
? 对应某一确定振动状态，可以有无限多个波矢 q，它们之间都相
差 2?/a的整数倍。
? 为了保证 xn的单值性，把 q值限制在 (-?/a,?/a),其中 a是该格子的
晶胞常数，该范围正好在第一布里渊区。
例如,波矢 q′ =?/2a原子的振动同样可以当作 波矢 q
=5?/2a的原子的振动（ q -q′ =2?/a）。
红线,q =5?/2a,?=4a/5
两相邻原子振动的位相
差是 2?+ ?/2。
?
?
?
?
?
绿线,q′ =?/2a,?=4a
两相邻原子振动的位相
差是 ?/2。
格波与一般连续介质波的比较
? 相同,振动方程形式类似
? 区别：
[1] 连续介质波中 x表示空间任意一点，而格波只
取呈周期性排列的格点的位置；
[2] 一个格波解表示所有原子同时做频率为 ?的振
动，不同原子间有位相差，相邻原子间位相差为 aq.
[3] 二者的重要区别在于波矢的涵义（ 原子以 q 与
q′振动一样,同一振动状态对应多个波矢，或多
个波矢为同一振动状态） 。
a
2a
2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2° °°
? ? ?mM
运动方程, md2x2n+1/dt2=ks(x2n+2-2x2n+1+x2n)
Md2x2n+2/dt2=ks(x2n+3+x2n+1-2x2n+2)
1,色散关系（晶格振动谱）
双原子（ M?m） 一维晶格
二,一维双原子晶格的线性振动
方程的解是以角频率为 ?的简谐振动：
x2n+1=Aei{?t-q(2n+1)a} x2n=Bei{?t-q2na}
x2n+2=Bei{?t-q(2n+2)a} x2n+3=Aei{?t-q(2n+2)a}
由牛顿方程与简谐振动方程得：
-m?2A=ks(e iqa+e -iqa)B-2ksA
-M?2B=ks(e iqa+e -iqa)A-2ksA
上式可改写为,(2ks-m?2)A-(2kscosqa)B=0
-(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
若 A,B有异于零的解，则其行列式必须等于零，
2ks-m?2 -2kscosqa
-2kscosqa 2ks-M?2
即
得,?2={(m+M)?[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
说明, 频率与波矢之间存在着两种不同的色散关系，
即对一维复式格子，可以存在两种独立的格波（对于
一维简单晶格，只能存在一种 格波）。两种不同的格
波各有自己的色散关系：
?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
由于 q值限制在 (-?/2a,?/2a), 2qa介于 (-?,?)
当 2qa= ?(或 -?)时
由 ?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?1 )最大 =(2ks/M)1/2
由 ?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?2)最小 =(2ks/m)1/2
因为 M?m，
有 (?2)最小 ? (?1 )最大 。
（ 2）频率 ?的取值
当 2qa=0时
由 ?12={(m+M)-[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?1 )最小 =0
由 ?22={(m+M)+[m2+M2+2mMcos(2qa)]1/2}ks/mM
得 (?2)最大 = [2ks(m+m)/mM ]1/2
设 ?=mM/(m+M) （两种原子的折合质量）
则 (?2)最大 =(2ks/ ?)1/2
-?/2a,0 ?/2a q
?
(2ks/M)1/2
(2ks/m)1/2
(2ks/ ?)1/2
光频支 ?2
声频支 ?1
一维双原子复式格子的振动频谱
? 复式格子两种格波的振动频率,?1— 支 格波的频率
总比 ?2— 支 的低。
? ?2支格波：光学支格波（光学波）可以用红外光光
来激发；
? ?1支 格波：声频支格波（声学波），可以用超声波
来激发。
结 论
由 (2ks-m?2)A-(2kscosqa)B=0
得 ( A/B)1=(2kscosqa)/ (2ks-m?12)
因为 ?12? 2ks/ M,cos(qa)?0
得 ( A/B)1 ?0
三,声学波和光学波
1,声学波
说明, 相邻两种不同原子的振幅都有相同的正号或
负号，即对于声学波，相邻原子都是沿着同一方向振
动，当波长很长时，声学波实际上代表原胞质心的振
动。
声学波示意图
由 -(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
得 ( A/B)2= (2ks-M?2)/ 2kscos(qa)
因 ?22? 2ks/ m,cos(qa)?0
得 ( A/B)2 ?0
2,光学波
说明,对于光学波，相邻两种不同原子的振
动方向是相反的。
当 q很小时，即波长很长的光学波（长光学波），
cos(qa)?1，
又 ?22=2ks/ ?，
由 -(2kscosqa)A+(2ks-M?2)B=0
得 ( A/B)2 =-M/m
mA+MB=0
说明,原胞的质心保持不动，由此也可以定性的看出，
光学波代表原胞中两个原子的相对振动。
相邻原
子的振
动方向
振动的
频率
长 波
振动
质点
振动质点
的质量
同号双
原子
异号双
原子
声
学
波
相同 慢 原胞 重 连续介质的弹
性波
光
学
波
相反 快 异号
原子
相对
振动
轻
产生电
偶极矩，
发射电
磁波
声学波与光学波的比较
说明,带异性电荷的离子间的相对振动产生一定的
电偶极矩，可以和电磁波相互作用。且只和波矢相
同的格波相互作用，如果有与格波相同频率的电磁
波作用，发生共振。
-?/2a 0 ?/2a q
? 光波 ?=c
oq
共振点
四,周期性边界条件（波恩 — 卡门边界条件）
由振动 波函数单值的要求，对波矢的取值范围进行了
限定,一维不喇菲格子,q介于 (-?/a,?/a)之间 ;一维双原
子的复式格子,q介于 (-?/2a,?/2a)之间,
波恩和卡门把边界对内部原子的振动状态的影响考虑成
如下面所述的周期性边界条件模型（包含 N个原胞的环
状链作为有限链的模型）,
? 包含有限数目的原子，保持所有原胞完全等价 。
? 如果原胞数 N很大使环半径很大，沿环的运动仍可以
看作是直线的运动。
? 和以前的区别：需考虑链的循环性。即原胞的标数增
加 N，振动情况必须复原。
一维链的波恩 — 卡
曼边界条件
xn=Aei{?t-qna}
xn+N= Aei{?t-q(n+N)a}= Aei{?t-qna} ei{-qNa}
由于 xn= xn+N
有 ei{-qNa}=1
即 Nqa=2?h,（ h为整数），或 q= 2?h/Na
q介于 (-?/a,?/a)之间，或 -?/a? q ??/a
得 - N/2? h ?N/2
说明, h只能取由 -N/2到 N/2，一共有 N个不同的数值。
-N/2? h ?N/2,q是均匀取值。
由 N个原胞组成的链,q可以取 N个不同的值，每个 q
对应着一个格波，共有 N个不同的格波,N是一维单
原子链的自由度数，即得到链的全部振动模（或振
动状态数）。
同理：可得两种复式格子的 q取值个数为 N.
结论
原胞内
含
原子 数
原胞
数
自由
度数 q
数
格波数 [晶体振动
模或 (?,q)数 ]
声学波
数 (支 )
光学波
数（支）
单原子
链
1 N N N N 1
双原子
链
2 N 2N N 2N 1 1
三维结
构
n N 3nN N 3nN 3 3(n-1)
晶格振动是晶体中诸原子（离子）集体在作振动，
其结果表现为晶格中的格波。
一般而言，格波不一定是简谐波，但可以展成为简
谐平面波的线性叠加。
一、声子概念的由来
1.3.2 晶格振动的量子化 ---声子
当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况，格波为简
谐波。此时，格波之间的相互作用可以忽略，可以认
为它们的存在是相互独立振动的模式。
每一独立模式对应一个振动态 (q) 。
晶格的周期性给予格波以一定的边界条件，使独立的
模式也即独立的振动态是分立的。
可以用独立简谐振子的振动来表述格波的独立模式。
声子 ----晶格振动中的独立简谐振子的能量量子。
二,格波能量量子化
1,三维晶格振动能量
原胞（ N个）内含 1个原子系统的三维晶格振动具有
3N个独立谐振子 ；
晶体中的格波是所有原子都参与的振动，含 N个原胞
的晶体振动能量为 3N个格波能量之和；
在简谐近似下，每个格波是一个简谐振动，晶体总
振动能量等于 3N个简谐振子的能量之和。
谐振子的能量用量子力学处理时，每一个谐振子的
能量 ?l为,
?l =(n1+1/2)??I,nl=0,1,2,……
则晶格总能量 E为：
E=? (n1+1/2)??I
2,格波能量量子化
说明,晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的能
量量子 ??I称为声子。
三,声子的性质
1,声子的粒子性
光子 ------电磁波的能量量子。电磁波可以认为是光
子流，光子携带电磁波的能量和动量 。
声子 ------声子携带声波的能量和动量。若格波频率
为 ?，波矢 q为，则声子的能量为 ??,动量为 ?q。
声子和物质相互作用服从能量和动量守恒定律，如
同具有能量 ??和动量 ?q的粒子一样。
可以将格波与物质的互作用过程，理解为声子和
物质的碰撞过程，使问题大大简化，得出的结论
也正确。如，电子、光子、声子等。
准粒子性的具体表现：声子的动量不确定，波矢
改变一个周期（倒格矢量）或倍数，代表同一振
动状态，所以不是真正的动量；
系统中声子的数目一般用统计方法进行计算，具
有能量为 Ei的状态用出现的几率来表示。
2,声子的准粒子性
3,声子概念的意义
1.3.3 确定晶格振动谱 ?(q)的实验方法
晶格的振动谱 ------格波的色散关系。
确定晶格振动谱的意义 ------晶体的许多性质和函数
?(q)有关。
测定的依据 ------利用波和格波的相互作用。
最重要的实验方法 ------中子的非弹性散射，即利用中
子的德布洛依波与格波的相互作用。
其他实验方法 ------X射线衍射、光的散射等。
本节介绍 ------中子的非弹性散射（中子与原子核的作
用）
一束 中子流：动量 p、能量 E=p2/2Mn。
样品（与原子核之间有较强的相互作用，容易
穿过晶体）
一束 中子流：动量 p′、能量 E′=p′2/2Mn。
入
射
射
出
格波振动因起中子的非弹性散射（吸收或发
射声子的过程），该过程满足能量守恒和动
量守恒。
一、实验原理
p′2/2Mn － p2/2Mn=± ??(q)
p′－ p=± ?q+?Kn
多出 ?Kn项的说明：动量平移倒格子矢量，格波的
运动状态不变。
－ 发射声子的过程 ＋ 吸收声子的过程
固定入射中子流的动量和能量，测量不同散射中子流
的动量和能量。
二、实验过程
2dh1h2h3sin ?=n?
中子流 单色器
准
直
器
样品
准直器
探测器
分
析
器
?
?
?′
三轴中子谱仪结构
p′
p
p′
p
中子源：反应堆中产生出来的慢中子流。
单色器：利用单晶的布拉格反射产生单色（ ?的 确定 ）
的中子流。
准直器：选择入射、散射中子流的方向,确定 ?,?。
分析器：利用单晶的布拉格反射来决定散射中子流
的动量。
(1,0,0)
60
50
40
30
20
10
声
子
的
能
量 (m
ev
)
LO
TO
LA
TA
(1,1,0) (1/2,1/2,1/2)
T：横； O：光学波；
L：纵； A：声学波。
硅的格波谱
? 晶体中的原子在平衡位置附近的微振动具有波的形式（称为
格波）。
? 由于原子间的相互作用力，在晶体中产生格波，原子间的作
用力符合虎克定律时，格波为简谐波。格波间不发生相互
作用，独立存在。
? 晶体中所有格波都可用倒格子空间中的第一布里渊区内的
波矢来描述。
? 声学波与光学波的区别。前者是相邻原子的振动方向相同，
波长很长时，格波为晶胞中心在振动，可以看作连续介质
的弹性波；后者是相邻原子的振动方向相反，波长很长时，
晶胞中心不动，晶胞中的原子作相对振动。
? 由于边界条件，使格波发生分立，若晶体中含有个 N原胞，
每个原胞含有 n个原子，则共有 3nN个格波，其中 3支是声
学波,3(n-1)支是光学波，每支包含 N个格波。
小 结
? 晶格振动的能量是量子化的，晶格振动的量子单
元称作声子，声子具有能量 ??，与光子的区别是不
具有真正的动量，这是由格波的特性决定的。
? 晶格振动的色散关系可以进行测定。
