3.2.1 应力集中强度理论
流
体
的
流
动
（ 1） 应力集中
3.2 微裂纹强度理论
445:
材料中的裂纹型缺陷：材料中的伤痕、裂纹、气孔、
杂质等宏观缺陷。
平板弹性体的受力情况
力线 n
力管
裂纹
长度 2c
? 为了传递力，力线一定穿过材料组织到达固定端
力以音速通过力管（截面积为 A），把 P/n大小的力
传给此端面。
? 远离孔的地方，其应力为,?=(P/n)/A
? 孔周围力管端面积减小为 A1,孔周围局部应力为：
? =(P/n)/A1
? 椭圆裂纹 越扁平或者尖端半径越小，其效果越明
显。
应力集中：材料中存在裂纹时，裂纹尖端处的应力
远超过表观应力。
裂纹尖端处的应力集中
用弹性理论计算得：
?Ln = ?{[1+ ?/(2x+ ?)] c 1/2 / (2x+ ?)1/2 + ?/(2x+ ?)}
当 x=0,?Ln = ?[ 2(c/ ?)1/2+1]
当 c>> ?，即裂纹为扁平的锐裂纹 ?Ln = 2? (c/ ?)1/2
当 ?最小时（为原子间距 r0） ?Ln = 2? (c/ r0)1/2
裂纹尖端的弹性应力沿 x
分布通式：
?Ln =q(c,?,x) ?
?
?Ln
x
?
?
2c ?
?Ln
0
裂纹尖端处的弹性应力分布
（ 2） 裂纹尖端的弹性应力
断裂的条件：当裂纹尖端的局部应力等于理论强度
? th = (?s E/ r0 )1/2
时，裂纹扩展，沿着横截面分为两部分，此时的外
加应力为断裂强度。
即 ?Ln = 2? (c/ r0)1/2=? th = (?s E/ r0 )1/2
断裂强度 ? f = ( ?s E / 4c )1/2
考虑裂纹尖端的曲率半径是一个变数，即不等于 r0,
其一般式为,? f =y ( ?s E / c )1/2
y是裂纹的几何（形状）因子。
(3) 应力集中强度理论
裂纹模型根据固体的受力状态和形变方式，分为三种
基本的裂纹模型，其中最危险的是张开型，一般在计
算时，按最危险的计算。
张开型 错开型 撕开型
（ 1） 裂纹模型
3.2.2 Griffith微裂纹脆断理论
(a) (b) (C) (d)
(a)平板受力状态 (b) 预先开有裂纹的平板受力状态
(c) 恒位移式裂纹扩展 (d) 恒应力式裂纹扩展
裂纹失稳扩展导致材料断裂的必要条件是：在裂
纹扩展中，系统的自由能必须下降。
2(C+dC)
d?
??
2C 2(C+dC)
（ 2） 裂纹扩展的判据
(c),(d)与 (b)状态相比，自由能发生了三项变化：
裂纹扩展弹性应变能的变化 dUE；
裂纹扩展新生表面所增加的表面能 dUS =4dC?s ；
外力对平板作功 dUW。
两个状态与 (b) 相比自由能之差分别为：
UC－ UB= dUE ＋ dUS ＋ dUW和 UD－ UB= dUE ＋ dUS ＋ dUW
裂纹失稳而扩展的能量判据,
dUW -dUE ?dUS
或 d (UW － UE ) /?C ? dUs /?C
即,d (UW － UE )? 4dC?sM
J L
N
2C 2(C+dC)
应变
应
力
O
K
在恒应力状态 (d)下，外力作功：
UW=P ?
说明：
外力作功一半被吸收成为平板的弹性应变能，另一
半支付裂纹扩展新生表面所需的表面能，
外力作功平板中储存的 弹性应变能：
UE =2·P ?
有 UE = UW /2
由裂纹扩展的条件,?(UW － UE )/ ?C ? ?US /?C
及 UE = UW /2
得 ? UE / ?C ? ?US /?C
结论,在恒应力状态下，弹性应变能的增量大于扩
展单位裂纹长度的表面能增量时，裂纹失稳扩展。
结论,弹性应变能释放率 ?UE / ?C等于或大于裂纹
扩展单位裂纹长度所需的表面能增量 ?US /?C,裂
纹失稳而扩展。
在恒位移状态下，外力不作功，所以,UW=0
得裂纹扩展的条件,-? UE / ?C ? ? US /?C
Griffith提出的关于裂纹扩展的
能量判据
弹性应变能的变化率 ?UE / ?C等于或大于裂纹扩展单
位裂纹长度所需的表面能增量 ?US /?C,裂纹失稳而
扩展。
根据 Griffith能量判据计算材料 断裂强度（临界应力）
外力作功，单位体积内储存弹性应变能：
W=UE/AL=（ 1/2） P ?L/A L
=（ 1/2） ??=?2/2E
设平板的厚度为 1个单位，半径为 C的裂纹其弹性应
变能为：
UE = W ?裂纹的体积 =W? （ ?C2× 1）
= ?C2?2/2E
（ 3）断裂强度（临界应力）的计算
平面应力状态下扩展单位长度的微裂纹释放应变能为：
dUE / dC= ?C?2/E（平面应力条件）
或 dUE / dC = ?(1－ ?2 )C?2/E （平面应变条件）
由于扩展单位长度的裂纹所需的表面能为：
?US / ? C =2?s
断裂强度（临界应力）的表达式：
?f= [2E ?s /?C]1/2 （平面应力条件）
?f= [2E ?s / (1－ ?2 )?C]1/2 （平面应变条件）
弹性模量 E：取决于材料的组分、晶体的结构、气孔。
对其他显微结构较不敏感。
断裂能 ? f,不仅取决于组分、结构，在很大程度上
受到微观缺陷、显微结构的影响，是一种织构敏感
参数,起着断裂过程的阻力作用。
裂纹半长度 c：材料中最危险的缺陷，其作用在于导
致材料内部的局部应力集中，是断裂的动力因素。
（ 4） 控制强度的三个参数
? 断裂能
热力学表面能,固体内部新生单位原子面所吸收的能
量。
塑性形变能,发生塑变所需的能量。
相变弹性能,晶粒弹性各向异性、第二弥散质点的可
逆相变等特性，在一定的温度下，引起体内应变和相
应的内应力。结果在材料内部储存了弹性应变能。
微裂纹形成能,在非立方结构的多晶材料中，由于弹
性和热膨胀各向异性，产生失配应变，在晶界处引起
内应力。当应变能大于微裂纹形成所需的表面能，在
晶粒边界处形成微裂纹。
径向裂纹
侧向裂纹
残余应力 材料表面受研磨粒子损
伤后形成的
裂纹
工艺缺陷
工艺缺陷包括大孔洞、大晶粒、夹杂物等，形成于材料制
备过程中。与原料的纯度、颗粒尺寸、粒度的分布、颗粒
形貌等有关。
? 裂纹的形成
表面裂纹：一个硬质粒子（如研磨粒子）受到力 P的作用
而穿入脆性固体的表面，可能引起局部屈服，塑性形变造
成的残余应力将激发出表面裂纹。
形成于表面加工（切割、研磨、抛光）或粒子冲刷过程。
例 1：由坯釉热膨胀系数不同引起。上釉陶瓷, 釉的热
膨胀系数,?1 ；坯体的热膨胀系数,?2
坯受较强的拉力作用
釉被拉离坯面
?1 >?2 ?1<?2
釉受较大拉力的作用
发生龟裂或坯向内侧弯曲
陶瓷的无釉坯料与上釉坯料的抗弯强度
陶瓷的种类 无釉坯料 (kg/cm2) 上釉坯料 (kg/cm2)
粘土质绝缘子 735 910
滑石瓷绝缘子 1330 1715
粘土质化学瓷 840 925
锆英石质化学瓷 1740 2100
瓷砖 672 861
硬质瓷 364 490
上釉 NaO— BaO— Al2O3— SiO2系微晶玻璃的抗弯强度
热膨胀系数 (0— 3000oC)
× 10-7/oC
热膨胀系
数差
上釉温度
(oC)
抗弯强度
(kg/cm2)
坯料 釉
114.1 65 49.1 1030 3520
114.1 81 33.1 1030 1400
96.8 65 31.8 1030 2600
96.8 81 15.8 1050 1400
96.8 40 56.8 1100 2740
91.2 65 26.2 1030 3160
91.2 81 10.2 1050 1260
88.6 65 23.6 1030 2810
107.5 65 42.5 1030 3020
固定支座对膨胀的约束
自由膨胀
T0 L0
T L0+?L
（ a)
(b)
有下列关系,?=E(- ?L/L)=E?(T－ To)
T<To,即在冷却过程，得 ??0，则材料中的内应力
为张应力，这种应力易使杆件断裂。
例 2, 由材料热膨胀或收缩受到限制形成
的热应力引起
例 3, 材料中存在温度梯度形成的热应力引起
在 373K的沸水中
在 273K的冰水浴中,表面
层趋于 ??T=100?收缩,
内层的收缩为零。
结果：表面层的收缩受到限制，在表面层产生张应力，
内层受到压应力。随着时间的延长，内层温度不断下
降，材料中的热应力逐渐减小。
表面 273K
玻璃
内部
373K
应力分布温度分布
表面
中心
表面
?－
?+
?+
Ts Tc
玻璃平板冷却时温度和应力分布图
z
x y
?x
?x
?y=0
?z
?z
垂直 y轴各平面上的温度一致,可以自由膨胀,?y=0 ；
在 x和 z轴方向上，表面和内部的温度有差异，内部温
度高，约束前后两个表面的收缩,?x=?z=0。
根据虎克定律,?x= ?x /E－ ?(?y /E+ ?z /E) － ??T=0
?z= ?z /E－ ?(?x /E+ ?y /E) － ??T=0
?y= ?y /E－ ?(?x /E+ ?z /E) － ??T
根据陶瓷薄板热应力的状态分析求
冷却的最大温差和最大冷却速度
最大温差,(产生最大应力的温差，且为非平面薄板状）
?Tmax=S ?f (1－ ?)/ ? E
?Tmax=[ ??f (1－ ?)/ ? E] / 0.31rmh
最大冷却速率,
－ |dT/dt|max=[( ? /?cp )× ?f (1－ ?)/ ? E ]× 3/ rm2
三个热应力因子间的关系：
R??= ? /?cp × ?f (1－ ?)/ ? E =R ? /?cp = R?/ ?cp
温差热应力往往在陶瓷表面具有最大值，热震损坏
对表面裂纹最敏感。
得,?x = ?y = [? E /(1－ ?)] ?T
原因：快冷却开始时，玻璃的表面比内部冷却的更快，
外部首先变硬，而内部仍处于熔融状态，由于收缩程
度不同，在玻璃表面产生拉应力，淬火以后几秒之内，
表面与内部的温差达最大值，继续冷却，内部的收缩
将比刚硬的外部收缩更快，此时，表面张应力随着减
小，直至室温，表面由拉应力变为压应力。
?
T 软化点
转变点
利用快速冷却产生的热应力增强材料
例如：玻璃的淬火 -----将在转化点和转化温度间的玻
璃快速冷却。
冷却方法：冷空气喷射、油浴。
结果：在玻璃的表面产生压应力，提高玻璃的强度。
例 4,多晶材料中的非立方晶体的热、弹性各向异性导
致晶界裂纹成核。
?? = ? c－ ?a =1× 10-6 K-1
气孔
c轴
a轴
例 5：环境条件诱发缺陷：在氧化气氛下，特别在高温，
如果体内氧化伴有氧化新相的体积增大（犹如膨胀系数
较低的夹杂物），会出现严重的晶向开裂。
与环境介质相互作用随时间的持续，发展成足以导致晶
向开裂的临界尺寸。
例 6：球形夹杂物处于各向同性基体中，由于与基体存
在热膨胀、弹性的差异，颗粒受到应力而引起微裂纹。
晶 粒
?夹杂 ??基体
P=
2E基体 E夹杂
???T
1+? 基体 1－ 2 ? 夹杂＋
基体同时受到
切向应力：－ PR3/r3
径向应力,＋ PR3/2r3
??= ?基体 － ?夹杂?夹杂 ??基体
晶 粒
晶 粒
R
r
夹杂物诱发裂纹模型
E夹杂 ? E基体
高热膨胀系数 ?夹杂 ???基体 低热膨胀系数 ?夹杂 ???基体
刚性夹杂物
E夹杂 较大
韧性高于基体 韧性低于基体
相等模量
E夹杂 =E基体E夹杂 适中
E夹杂 > E基体
夹杂物脱离基
体，形成空洞 形成与张应力
平行的微裂纹
形成与张应力
垂直的微裂纹
基体的切向应力引起切向裂
纹,最危险
导致断裂的几率较小 高断裂几率 高断裂几率 危险条件
径向热拉
应力引起
夹杂物类
似于楔子
夹杂物在
张应力的
作用下发
生拉伸 临界和亚临界夹杂物断裂
最危险
条件
位错运动对材料断裂有两方面的作用：
? 引起塑性形变，导致应力松弛和抑制裂纹扩
展；
? 位错运动受阻，导致应力集中和裂纹成核。
例如：位错塞积群的前端，可产生使裂纹开裂的
应力集中。
例 7,位错型缺陷引起微裂纹
1,位错塞积模型
? ? ? ?
? 滑移带的前端有障碍物，领先位错到达时，受阻
而停止不前；
? 相继释放出来的位错最终导致位错源的封闭；
? 在障碍物前形成一个位错塞积群，导致裂纹成核。
2,位错反应模型
（ 110）
（ 100）
（ 110）
设：平板为无限大的薄板
A点处的 r<<C,?zz=0,?xz=0,?yz=0
?xx=K1cos(?/2)(1－ sin ?/2·sin3?/2)/(2 ?r)1/2
?yy = K1cos(?/2)(1＋ sin ?/2·sin3?/2)/(2 ?r)1/2
?xy=K1cos(?/2)sin(?/2)cos(3?/2)/(2 ?r)1/2
当 ??0时，为裂纹尖端处的一点,?xx= ?yy = K1/(2 ?r)1/2
其中裂纹扩展的主要动力是 ?yy 。
3.2.3 应力的强度因子和韧性
x
A
z
y
?
（ 1） 裂纹尖端的应力场分析
当 c>> ?，即裂纹为扁平的锐裂纹,裂纹尖端局部（ x
=0,y=0）的应力,?Ln = 2? (c/ ?)1/2
和 ?Ln = ?yy = K1/(2 ?r)1/2
得 K1 = (2 ?r)1/2 ?yy =[2 (2 ?r)1/2 / ?1/2 ]? c 1/2
=Y? c 1/2
定义：张开裂纹模型的应力强度因子为,K1 =Y? c 1/2
说明,Y是与裂纹模型和加载状态及试样形状有关的无
量纲几何因子，与应力场的分布无关，用之以描述裂纹
尖端的应力场参量。
对于无限宽板中的穿透性裂纹 Y=?1/2
（ 2） 应力强度因子
（ 3）断裂韧性
临界应力强度因子 K1C,当 K1随着外应力增大到某一临
界值，裂纹尖端处的局部应力不断增大到足以使原子键
分离的应力 ?f，此时，裂纹快速扩展并导致试样断裂。
K1c = ?f （ ? c )?
由 ?f= （ 2E ?s / ?c)1/2
得,K1c =（ 2E ?s )1/2
断裂韧性参数 (K1c ),是材料固有的性能，也是材料的
组成和显微结构的函数,是材料抵抗裂纹扩展的阻力因
素。与裂纹的大小、形状以及外力无关。随着材料的
弹性模量和断裂能的增加而提高，
经典强度理论与断裂力学强度理论的比较
经典强度理论 断裂强度理论
断裂准则, ?? ?f/n K1 = ?（ ? c )? ? K1c
有一构件，实际使用应力为 1.30GPa,有下列两种钢供
选：
甲钢,?f =1.95GPa,K1c =45Mpa·m 1\2
乙钢,?f =1.56GPa,K1c =75Mpa·m 1\2
传统设计：甲钢的安全系数, 1.5,乙钢的安全系数 1.2
断裂力学观点,最大裂纹尺寸为 1mm,Y=1.5
甲钢的断裂应力为, 1.0GPa
乙钢的断裂应力为, 1.67GPa
3.2.4 应变能释放率与应力强度因子的关系
说明：应变能释放率与应力强度因子之间有着密切
联系，即两者都是裂纹扩展的动力。
当 dUE / dC= K1 2/E ? （ dUE / dCC = K1C 2/E(临界应
变能释放率）时，裂纹发生扩展。
当 dUE / dC <（ dUE / dC） C (临界应变能释放率）
时，裂纹处于稳定状态。
平面应力状态下的应变能释放为：
dUE / dC = ?C?2/E = K1 2/E
平面应变状态时,dUE / dC = （ 1－ ?2 ) K1 2/E
? ij= K1/(2 ?r)1/2f ij (?)
r<<C处，弹性应力非常大，
且在 r <<ry的范围内超过
了材料的屈服应力 ? y引起
局部塑性形变。
此时,?f= ? ( C/2 ry)1/2
ry = ( C/2) ( ?/ ?f) 2
=(K1/ ?f)2/ 2 ?
塑性区 弹性区 x
y
?y
R
ry
但由于小范围屈服引起应力重新分布，塑性区的长
度增加到 R.
3.2.5 裂纹尖端处的微塑性区
流
体
的
流
动
（ 1） 应力集中
3.2 微裂纹强度理论
445:
材料中的裂纹型缺陷：材料中的伤痕、裂纹、气孔、
杂质等宏观缺陷。
平板弹性体的受力情况
力线 n
力管
裂纹
长度 2c
? 为了传递力，力线一定穿过材料组织到达固定端
力以音速通过力管（截面积为 A），把 P/n大小的力
传给此端面。
? 远离孔的地方，其应力为,?=(P/n)/A
? 孔周围力管端面积减小为 A1,孔周围局部应力为：
? =(P/n)/A1
? 椭圆裂纹 越扁平或者尖端半径越小，其效果越明
显。
应力集中：材料中存在裂纹时，裂纹尖端处的应力
远超过表观应力。
裂纹尖端处的应力集中
用弹性理论计算得：
?Ln = ?{[1+ ?/(2x+ ?)] c 1/2 / (2x+ ?)1/2 + ?/(2x+ ?)}
当 x=0,?Ln = ?[ 2(c/ ?)1/2+1]
当 c>> ?，即裂纹为扁平的锐裂纹 ?Ln = 2? (c/ ?)1/2
当 ?最小时（为原子间距 r0） ?Ln = 2? (c/ r0)1/2
裂纹尖端的弹性应力沿 x
分布通式：
?Ln =q(c,?,x) ?
?
?Ln
x
?
?
2c ?
?Ln
0
裂纹尖端处的弹性应力分布
（ 2） 裂纹尖端的弹性应力
断裂的条件：当裂纹尖端的局部应力等于理论强度
? th = (?s E/ r0 )1/2
时，裂纹扩展，沿着横截面分为两部分，此时的外
加应力为断裂强度。
即 ?Ln = 2? (c/ r0)1/2=? th = (?s E/ r0 )1/2
断裂强度 ? f = ( ?s E / 4c )1/2
考虑裂纹尖端的曲率半径是一个变数，即不等于 r0,
其一般式为,? f =y ( ?s E / c )1/2
y是裂纹的几何（形状）因子。
(3) 应力集中强度理论
裂纹模型根据固体的受力状态和形变方式，分为三种
基本的裂纹模型，其中最危险的是张开型，一般在计
算时，按最危险的计算。
张开型 错开型 撕开型
（ 1） 裂纹模型
3.2.2 Griffith微裂纹脆断理论
(a) (b) (C) (d)
(a)平板受力状态 (b) 预先开有裂纹的平板受力状态
(c) 恒位移式裂纹扩展 (d) 恒应力式裂纹扩展
裂纹失稳扩展导致材料断裂的必要条件是：在裂
纹扩展中，系统的自由能必须下降。
2(C+dC)
d?
??
2C 2(C+dC)
（ 2） 裂纹扩展的判据
(c),(d)与 (b)状态相比，自由能发生了三项变化：
裂纹扩展弹性应变能的变化 dUE；
裂纹扩展新生表面所增加的表面能 dUS =4dC?s ；
外力对平板作功 dUW。
两个状态与 (b) 相比自由能之差分别为：
UC－ UB= dUE ＋ dUS ＋ dUW和 UD－ UB= dUE ＋ dUS ＋ dUW
裂纹失稳而扩展的能量判据,
dUW -dUE ?dUS
或 d (UW － UE ) /?C ? dUs /?C
即,d (UW － UE )? 4dC?sM
J L
N
2C 2(C+dC)
应变
应
力
O
K
在恒应力状态 (d)下，外力作功：
UW=P ?
说明：
外力作功一半被吸收成为平板的弹性应变能，另一
半支付裂纹扩展新生表面所需的表面能，
外力作功平板中储存的 弹性应变能：
UE =2·P ?
有 UE = UW /2
由裂纹扩展的条件,?(UW － UE )/ ?C ? ?US /?C
及 UE = UW /2
得 ? UE / ?C ? ?US /?C
结论,在恒应力状态下，弹性应变能的增量大于扩
展单位裂纹长度的表面能增量时，裂纹失稳扩展。
结论,弹性应变能释放率 ?UE / ?C等于或大于裂纹
扩展单位裂纹长度所需的表面能增量 ?US /?C,裂
纹失稳而扩展。
在恒位移状态下，外力不作功，所以,UW=0
得裂纹扩展的条件,-? UE / ?C ? ? US /?C
Griffith提出的关于裂纹扩展的
能量判据
弹性应变能的变化率 ?UE / ?C等于或大于裂纹扩展单
位裂纹长度所需的表面能增量 ?US /?C,裂纹失稳而
扩展。
根据 Griffith能量判据计算材料 断裂强度（临界应力）
外力作功，单位体积内储存弹性应变能：
W=UE/AL=（ 1/2） P ?L/A L
=（ 1/2） ??=?2/2E
设平板的厚度为 1个单位，半径为 C的裂纹其弹性应
变能为：
UE = W ?裂纹的体积 =W? （ ?C2× 1）
= ?C2?2/2E
（ 3）断裂强度（临界应力）的计算
平面应力状态下扩展单位长度的微裂纹释放应变能为：
dUE / dC= ?C?2/E（平面应力条件）
或 dUE / dC = ?(1－ ?2 )C?2/E （平面应变条件）
由于扩展单位长度的裂纹所需的表面能为：
?US / ? C =2?s
断裂强度（临界应力）的表达式：
?f= [2E ?s /?C]1/2 （平面应力条件）
?f= [2E ?s / (1－ ?2 )?C]1/2 （平面应变条件）
弹性模量 E：取决于材料的组分、晶体的结构、气孔。
对其他显微结构较不敏感。
断裂能 ? f,不仅取决于组分、结构，在很大程度上
受到微观缺陷、显微结构的影响，是一种织构敏感
参数,起着断裂过程的阻力作用。
裂纹半长度 c：材料中最危险的缺陷，其作用在于导
致材料内部的局部应力集中，是断裂的动力因素。
（ 4） 控制强度的三个参数
? 断裂能
热力学表面能,固体内部新生单位原子面所吸收的能
量。
塑性形变能,发生塑变所需的能量。
相变弹性能,晶粒弹性各向异性、第二弥散质点的可
逆相变等特性，在一定的温度下，引起体内应变和相
应的内应力。结果在材料内部储存了弹性应变能。
微裂纹形成能,在非立方结构的多晶材料中，由于弹
性和热膨胀各向异性，产生失配应变，在晶界处引起
内应力。当应变能大于微裂纹形成所需的表面能，在
晶粒边界处形成微裂纹。
径向裂纹
侧向裂纹
残余应力 材料表面受研磨粒子损
伤后形成的
裂纹
工艺缺陷
工艺缺陷包括大孔洞、大晶粒、夹杂物等，形成于材料制
备过程中。与原料的纯度、颗粒尺寸、粒度的分布、颗粒
形貌等有关。
? 裂纹的形成
表面裂纹：一个硬质粒子（如研磨粒子）受到力 P的作用
而穿入脆性固体的表面，可能引起局部屈服，塑性形变造
成的残余应力将激发出表面裂纹。
形成于表面加工（切割、研磨、抛光）或粒子冲刷过程。
例 1：由坯釉热膨胀系数不同引起。上釉陶瓷, 釉的热
膨胀系数,?1 ；坯体的热膨胀系数,?2
坯受较强的拉力作用
釉被拉离坯面
?1 >?2 ?1<?2
釉受较大拉力的作用
发生龟裂或坯向内侧弯曲
陶瓷的无釉坯料与上釉坯料的抗弯强度
陶瓷的种类 无釉坯料 (kg/cm2) 上釉坯料 (kg/cm2)
粘土质绝缘子 735 910
滑石瓷绝缘子 1330 1715
粘土质化学瓷 840 925
锆英石质化学瓷 1740 2100
瓷砖 672 861
硬质瓷 364 490
上釉 NaO— BaO— Al2O3— SiO2系微晶玻璃的抗弯强度
热膨胀系数 (0— 3000oC)
× 10-7/oC
热膨胀系
数差
上釉温度
(oC)
抗弯强度
(kg/cm2)
坯料 釉
114.1 65 49.1 1030 3520
114.1 81 33.1 1030 1400
96.8 65 31.8 1030 2600
96.8 81 15.8 1050 1400
96.8 40 56.8 1100 2740
91.2 65 26.2 1030 3160
91.2 81 10.2 1050 1260
88.6 65 23.6 1030 2810
107.5 65 42.5 1030 3020
固定支座对膨胀的约束
自由膨胀
T0 L0
T L0+?L
（ a)
(b)
有下列关系,?=E(- ?L/L)=E?(T－ To)
T<To,即在冷却过程，得 ??0，则材料中的内应力
为张应力，这种应力易使杆件断裂。
例 2, 由材料热膨胀或收缩受到限制形成
的热应力引起
例 3, 材料中存在温度梯度形成的热应力引起
在 373K的沸水中
在 273K的冰水浴中,表面
层趋于 ??T=100?收缩,
内层的收缩为零。
结果：表面层的收缩受到限制，在表面层产生张应力，
内层受到压应力。随着时间的延长，内层温度不断下
降，材料中的热应力逐渐减小。
表面 273K
玻璃
内部
373K
应力分布温度分布
表面
中心
表面
?－
?+
?+
Ts Tc
玻璃平板冷却时温度和应力分布图
z
x y
?x
?x
?y=0
?z
?z
垂直 y轴各平面上的温度一致,可以自由膨胀,?y=0 ；
在 x和 z轴方向上，表面和内部的温度有差异，内部温
度高，约束前后两个表面的收缩,?x=?z=0。
根据虎克定律,?x= ?x /E－ ?(?y /E+ ?z /E) － ??T=0
?z= ?z /E－ ?(?x /E+ ?y /E) － ??T=0
?y= ?y /E－ ?(?x /E+ ?z /E) － ??T
根据陶瓷薄板热应力的状态分析求
冷却的最大温差和最大冷却速度
最大温差,(产生最大应力的温差，且为非平面薄板状）
?Tmax=S ?f (1－ ?)/ ? E
?Tmax=[ ??f (1－ ?)/ ? E] / 0.31rmh
最大冷却速率,
－ |dT/dt|max=[( ? /?cp )× ?f (1－ ?)/ ? E ]× 3/ rm2
三个热应力因子间的关系：
R??= ? /?cp × ?f (1－ ?)/ ? E =R ? /?cp = R?/ ?cp
温差热应力往往在陶瓷表面具有最大值，热震损坏
对表面裂纹最敏感。
得,?x = ?y = [? E /(1－ ?)] ?T
原因：快冷却开始时，玻璃的表面比内部冷却的更快，
外部首先变硬，而内部仍处于熔融状态，由于收缩程
度不同，在玻璃表面产生拉应力，淬火以后几秒之内，
表面与内部的温差达最大值，继续冷却，内部的收缩
将比刚硬的外部收缩更快，此时，表面张应力随着减
小，直至室温，表面由拉应力变为压应力。
?
T 软化点
转变点
利用快速冷却产生的热应力增强材料
例如：玻璃的淬火 -----将在转化点和转化温度间的玻
璃快速冷却。
冷却方法：冷空气喷射、油浴。
结果：在玻璃的表面产生压应力，提高玻璃的强度。
例 4,多晶材料中的非立方晶体的热、弹性各向异性导
致晶界裂纹成核。
?? = ? c－ ?a =1× 10-6 K-1
气孔
c轴
a轴
例 5：环境条件诱发缺陷：在氧化气氛下，特别在高温，
如果体内氧化伴有氧化新相的体积增大（犹如膨胀系数
较低的夹杂物），会出现严重的晶向开裂。
与环境介质相互作用随时间的持续，发展成足以导致晶
向开裂的临界尺寸。
例 6：球形夹杂物处于各向同性基体中，由于与基体存
在热膨胀、弹性的差异，颗粒受到应力而引起微裂纹。
晶 粒
?夹杂 ??基体
P=
2E基体 E夹杂
???T
1+? 基体 1－ 2 ? 夹杂＋
基体同时受到
切向应力：－ PR3/r3
径向应力,＋ PR3/2r3
??= ?基体 － ?夹杂?夹杂 ??基体
晶 粒
晶 粒
R
r
夹杂物诱发裂纹模型
E夹杂 ? E基体
高热膨胀系数 ?夹杂 ???基体 低热膨胀系数 ?夹杂 ???基体
刚性夹杂物
E夹杂 较大
韧性高于基体 韧性低于基体
相等模量
E夹杂 =E基体E夹杂 适中
E夹杂 > E基体
夹杂物脱离基
体，形成空洞 形成与张应力
平行的微裂纹
形成与张应力
垂直的微裂纹
基体的切向应力引起切向裂
纹,最危险
导致断裂的几率较小 高断裂几率 高断裂几率 危险条件
径向热拉
应力引起
夹杂物类
似于楔子
夹杂物在
张应力的
作用下发
生拉伸 临界和亚临界夹杂物断裂
最危险
条件
位错运动对材料断裂有两方面的作用：
? 引起塑性形变，导致应力松弛和抑制裂纹扩
展；
? 位错运动受阻，导致应力集中和裂纹成核。
例如：位错塞积群的前端，可产生使裂纹开裂的
应力集中。
例 7,位错型缺陷引起微裂纹
1,位错塞积模型
? ? ? ?
? 滑移带的前端有障碍物，领先位错到达时，受阻
而停止不前；
? 相继释放出来的位错最终导致位错源的封闭；
? 在障碍物前形成一个位错塞积群，导致裂纹成核。
2,位错反应模型
（ 110）
（ 100）
（ 110）
设：平板为无限大的薄板
A点处的 r<<C,?zz=0,?xz=0,?yz=0
?xx=K1cos(?/2)(1－ sin ?/2·sin3?/2)/(2 ?r)1/2
?yy = K1cos(?/2)(1＋ sin ?/2·sin3?/2)/(2 ?r)1/2
?xy=K1cos(?/2)sin(?/2)cos(3?/2)/(2 ?r)1/2
当 ??0时，为裂纹尖端处的一点,?xx= ?yy = K1/(2 ?r)1/2
其中裂纹扩展的主要动力是 ?yy 。
3.2.3 应力的强度因子和韧性
x
A
z
y
?
（ 1） 裂纹尖端的应力场分析
当 c>> ?，即裂纹为扁平的锐裂纹,裂纹尖端局部（ x
=0,y=0）的应力,?Ln = 2? (c/ ?)1/2
和 ?Ln = ?yy = K1/(2 ?r)1/2
得 K1 = (2 ?r)1/2 ?yy =[2 (2 ?r)1/2 / ?1/2 ]? c 1/2
=Y? c 1/2
定义：张开裂纹模型的应力强度因子为,K1 =Y? c 1/2
说明,Y是与裂纹模型和加载状态及试样形状有关的无
量纲几何因子，与应力场的分布无关，用之以描述裂纹
尖端的应力场参量。
对于无限宽板中的穿透性裂纹 Y=?1/2
（ 2） 应力强度因子
（ 3）断裂韧性
临界应力强度因子 K1C,当 K1随着外应力增大到某一临
界值，裂纹尖端处的局部应力不断增大到足以使原子键
分离的应力 ?f，此时，裂纹快速扩展并导致试样断裂。
K1c = ?f （ ? c )?
由 ?f= （ 2E ?s / ?c)1/2
得,K1c =（ 2E ?s )1/2
断裂韧性参数 (K1c ),是材料固有的性能，也是材料的
组成和显微结构的函数,是材料抵抗裂纹扩展的阻力因
素。与裂纹的大小、形状以及外力无关。随着材料的
弹性模量和断裂能的增加而提高，
经典强度理论与断裂力学强度理论的比较
经典强度理论 断裂强度理论
断裂准则, ?? ?f/n K1 = ?（ ? c )? ? K1c
有一构件，实际使用应力为 1.30GPa,有下列两种钢供
选：
甲钢,?f =1.95GPa,K1c =45Mpa·m 1\2
乙钢,?f =1.56GPa,K1c =75Mpa·m 1\2
传统设计：甲钢的安全系数, 1.5,乙钢的安全系数 1.2
断裂力学观点,最大裂纹尺寸为 1mm,Y=1.5
甲钢的断裂应力为, 1.0GPa
乙钢的断裂应力为, 1.67GPa
3.2.4 应变能释放率与应力强度因子的关系
说明：应变能释放率与应力强度因子之间有着密切
联系，即两者都是裂纹扩展的动力。
当 dUE / dC= K1 2/E ? （ dUE / dCC = K1C 2/E(临界应
变能释放率）时，裂纹发生扩展。
当 dUE / dC <（ dUE / dC） C (临界应变能释放率）
时，裂纹处于稳定状态。
平面应力状态下的应变能释放为：
dUE / dC = ?C?2/E = K1 2/E
平面应变状态时,dUE / dC = （ 1－ ?2 ) K1 2/E
? ij= K1/(2 ?r)1/2f ij (?)
r<<C处，弹性应力非常大，
且在 r <<ry的范围内超过
了材料的屈服应力 ? y引起
局部塑性形变。
此时,?f= ? ( C/2 ry)1/2
ry = ( C/2) ( ?/ ?f) 2
=(K1/ ?f)2/ 2 ?
塑性区 弹性区 x
y
?y
R
ry
但由于小范围屈服引起应力重新分布，塑性区的长
度增加到 R.
3.2.5 裂纹尖端处的微塑性区
