第零章第一节
河北师范大学重点建设课程
矢量代数与张量初步
§ 1 矢量代数与张量初步
A
AAAAAAA
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直角坐标系中
z y zA A i A j A k? ? ?
rr rr
3
1
ii
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2
1 2 3
1
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A A A A A A
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矢量定义
矢量的基本运算
3
1
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A B A B A B ?
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1 2 3
1 2 3
1 2 3
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A B A B e A A A
B B B
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矢量代数中的两个重要公式
)()()( bacacbcba ????????? ????????混合积
矢量微分
??d A d A d A
AAd t d t d t??
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()d A B d B d AAB
d t d t d t
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()d A B d B d AAB
d t d t d t
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rrrr r r
双重矢量积 cbabcacba ???????? )()()( ??????
注意顺序
不能颠倒
并矢与张量 ABr r A B B A?rrrr（ 一般 ）
ijee
rr 为单位并矢，张量的基（ 9个分量）
矢量与张量的矩阵表示
1
2
3
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A
A A e A A
A
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1 2 3(,,)A A A A?
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B
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A B C A B C A C B A C B
C B A C B A
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r r r rrr
张量的运算
BAT ??? ?
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333231
232221
131211
TTT
TTT
TTT
T
? ? ? ? ? ?C A B C A B B C A B A C B A C? ? ? ? ? ? ? ? ?r r r r r r r r r rr r r r r
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A B C A B C
C A B C A B
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? ? ???
r r r rrr
r r r rrr
并矢
并矢
两并矢的一次点乘
? ? ? ? ? ?A B C D A B C D A B C A D C D A B? ? ? ? ? ? ?r r r r r r r r rr r r r r r r r
? ? ? ?:A B C D B C A D? ? ?r r r rr r r r两并矢的二次点乘
C C C? ? ? ?r r r r rll
A B A B A B? ? ? ?r r r r rr r rll
,A B A B??r r rrrl
单位张量与矢量、
张量的点乘
补充练习题
()a a b?? rrr ()a b a??rrr ()j i k?? rrr ()k i j??r rr
（ 0，, － 1,1 ） 2 ()a b a a b??rrrr
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b c d a c b d a d b c? ? ? ? ? ? ? ?r r r r r rr r r r r r
( ) ( ) ( ) 0a b c b c a c a b? ? ? ? ? ? ? ? ?r r rr r r r r r
? ? ? ?A B A B? ? ?rrrr ? ?? ?2 BA?? rr计算
与矢量 垂直,即 ? ? ? ?M b a c a b c? ? ? ?rrr r r r rCr MC? rr证明
计算下列各式
证明下列各式