第二章 静电场
本章重点,
本章难点,
静电势及其特性、分离变量法、镜象法
分离变量法（柱坐标）、电多极子
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第二章
河北师范大学重点建设课程
静 电 场
静电场的基本特点,
0)( 12 ??? EEn ???
???? )( 12 DDn ???
? 边值关系,
0?J? PBE ???,,,?
0?M? 0?? HB ??
0,0 ?????? BH ?? 0?? BH ??
② 等均与时间无关
（, 为唯一解）
? ①
③ 不考虑永久磁体（ ） ④
0??? E? ???? D?
? 基本方程,
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? 介质分界面上的束缚电荷,
? 电磁性质方程,
② 静电平衡时的导体,
导体内
外表面 0,???
tn EEE ?
?
电荷分布在表面上，电
场处处垂直于导体表面
）（ 00 ??? ?? EJ ??
0,,,,????? ?PDE
0
12 )( ?
?? fP
EEn
?
???
??? 0?f?
? ?nnp EE 120 ?? ??
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P
P
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???
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??
????
① 均匀各向同性线性介质,
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§ 2.1 静电势及其微分方程
一、静电场的标势
二、静电势的微分方程和边值关系
三．静电场的能量
本节主要内容
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1．静电势的引入
一、静电场的标势
0??? E? ? ????E?
静电场标势
[简称电势 ]
② 取负号是为了与电磁学讨论一致
? 满足迭加原理 ③
?
? E?
① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
即可确定 知道
?
?
?
??
?
?
?????????
??????
?????
)( 2121
2211
21
?????
??
?
EE
EEE
??
???
?
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2、电势差 空间某点电势无物
理意义，两点间 电
势差才有意义
电势差为电场力将
单位正电荷从 P移
到 Q点所作功负值
)( PQ ?? ?
)( PQ ?? ?
① 电场力作正功，电势下降
电场力作负功，电势上升
)0( ? ??L ldE ???② 两点电势差与作功的路径无关
ldEldd ??? ?????? ??
? ???? QPPQ ldE
??
??
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● 等势面：电势处处相等的曲面
E? nE ???与等势面垂直，即
点电荷电场
线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
均匀场电场线与等势面
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? 参考点
通常选无穷远为电势
参考点
)(0 ???? Q?
（ 1） 电荷分布在有限区域,?
? ??
PP
ldE ???
P点电势为将单位正
电荷从 P移到 ∞ 电场
力所做的功。
（ 2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考
点，否则积分将无穷大。
3,电荷分布在有限区几种情况 的电势
（ 1） 点电荷
r
Q
r
rQdld
r
rQP
PP
0
2
0
3
0 444
)(
??????
? ?
?
???
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（ 2）电荷组 ?
?
?
n
i i
i
r
QP
1 04
)( ???
r
Q f
f
04??
? ?Q 产生的电势
PQ r
Q P
P
04??
? ? 产生的电势
r
Q
r
QQ fPf
Pf ??????? 44
0
?????
))1(( 0 fP QQ ?? ??
（ 3） 无限大均匀线性介质中点电荷
r
Q
??? 4?
点电荷在均匀介质中
的空间电势分布（ Q
为自由电荷）
（ 4）连续分布电荷 ? ??? V rVdxP
04
)()(
??
?? ?
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二,静电势的微分方程和边值关系
1.电势 满足的方程
?
?? ??? 2
适用于均
匀 介质 ? 泊松方程
? 导出过程
?????? ???????????? 2E?
? 拉普拉斯方程
2 0???
适用于 无自由电荷分布
的 均匀 介质
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??? ??????? DEED ????,
2．静电势的边值关系 (1) 两介质分界面
? ????
Q
PPQ
ldE
??
?? 0
P Q
QP ?? ?
1?
2?Q
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2? n?
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1
1
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2
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??? ?? nn EE 1122
n
E n
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???? )( 12 DDn ???
???? nn DD 12
ED
??
??
由于导体表面为等势面, 因此在导体表
面上电势为一常数 。 将介质情况下的边
值关系用到介质与导体的分界面上, 并
考虑导体内部电场为零, 则可以得到第
二个边值关系 。
（ 2）导体表面上的边值关系
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常数?s|? ?
?
? ??
?
?
sn
?
??
nE
dS
n
dSQ
SS ?? ?
?
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?
??
三．静电场的能量
DEw
??
??
2
11,一般方程,能量密度
??,2,若已知 总能量为
?? V dVW ??21 ??21 不 是 能量密度
总能量 dVDEW ?
?
??
??
2
1
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仅讨论均匀介质
)()( DDDDDE ?????? ?????? ????????????????
? ?? ? ???? dVDdVW )(2121 ????
导出过程,
? ?????? S SdDSdD 01
????
??
?
?
() SD d V D d S??? ? ? ??? rrr ?
??? dVW ??21
该公式只适合于静电场情况 。
能量不仅分布在电荷区，而
且存在于整个场中。
r
1??
2
1
rD ?
2rdS ?
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四、例题
0E
?
1.求均匀电场 的电势
解：均匀电场可看作由两无限
大平行板组成的电容器产生的
电场。因为电荷分布在无穷区
域，可选空间任一点为参考点，
为方便取坐标原点电势
0?? ?
x
y
z
θ
P
R 0
E?
? ? ? ??????????? 0 0 0 0000 )( P P P REldEldEldEP ?????????
)c o s()( 000000 ????? REZEREP ??????? ??
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P
?r
?r
z
x
y
?
l2 R
-Q
Q
)( Rl ??
2,电偶极子产生的电势
l2
解：电偶极子,两个相距为
的同量异号点电荷构成的
系统 偶极矩
)11(
4
)(
0 ??
?? ???? rr
QP
??
???
P点电势,
（无穷远为零点）
zeQlP
?? 2?
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?c o s2222 RllRr ????
??? c o s)c o s2211(/c o s21 lRRlRRlRr ???????
?c o slRr ???同理
2222
c o s2
c o s
c o s211
R
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lR
l
rr
rr
rr
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3
0
3
0
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c o s2
4
c o s2)(
R
Rp
R
Q lR
R
QlP
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??
??
??
????
xy? 平面为等势面（ Z = 0的平面）。
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求 近似值,
若电偶极子放在均匀介质
中（无限大介质）,)( Rl ??34 RRP???
??
??
?注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质,而
0?
0?
?? ???? pE?用真空中的 。 这由 决定。
QQ p )1( 0????? PeQlelQP zzPp ???? )1(22 0 ??? ??
3
0
3
0
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0
3
0 4
)]1(1[
444 R
RP
R
RP
R
RP
R
RP p
???
?
??????
?
????????
??????????
均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电
荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与
束缚偶极子产生的势的迭加，设 为 束缚电荷,
pQ
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3,56页例 2 （自学）
4．带电 Q的导体球（半径为 a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
对称性，导体产生的场
具有球对称性，电势也
应具有球对称性 。 当考
虑较远处场时，导体球
可视为点电荷 。
)0( ??? rBrA? )(02 ar ??? ?满足
a
Q P
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)0(03 ????????? rrr
?
? 0,??? ?r
r
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)(44 3
0
2
0
arrrQrrQE ??????? ?????
??
此题也可用高斯定理（积分形式）求解。
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? 2
2
0
200
4
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Q
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内? 表面? )(4
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本章重点,
本章难点,
静电势及其特性、分离变量法、镜象法
分离变量法（柱坐标）、电多极子
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第二章
河北师范大学重点建设课程
静 电 场
静电场的基本特点,
0)( 12 ??? EEn ???
???? )( 12 DDn ???
? 边值关系,
0?J? PBE ???,,,?
0?M? 0?? HB ??
0,0 ?????? BH ?? 0?? BH ??
② 等均与时间无关
（, 为唯一解）
? ①
③ 不考虑永久磁体（ ） ④
0??? E? ???? D?
? 基本方程,
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? 介质分界面上的束缚电荷,
? 电磁性质方程,
② 静电平衡时的导体,
导体内
外表面 0,???
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?
电荷分布在表面上，电
场处处垂直于导体表面
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① 均匀各向同性线性介质,
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§ 2.1 静电势及其微分方程
一、静电场的标势
二、静电势的微分方程和边值关系
三．静电场的能量
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1．静电势的引入
一、静电场的标势
0??? E? ? ????E?
静电场标势
[简称电势 ]
② 取负号是为了与电磁学讨论一致
? 满足迭加原理 ③
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① 的选择不唯一，相差一个常数，只要
即可确定 知道
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2、电势差 空间某点电势无物
理意义，两点间 电
势差才有意义
电势差为电场力将
单位正电荷从 P移
到 Q点所作功负值
)( PQ ?? ?
)( PQ ?? ?
① 电场力作正功，电势下降
电场力作负功，电势上升
)0( ? ??L ldE ???② 两点电势差与作功的路径无关
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● 等势面：电势处处相等的曲面
E? nE ???与等势面垂直，即
点电荷电场
线与等势面
+
电偶极子的电场线与等势面
均匀场电场线与等势面
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? 参考点
通常选无穷远为电势
参考点
)(0 ???? Q?
（ 1） 电荷分布在有限区域,?
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P点电势为将单位正
电荷从 P移到 ∞ 电场
力所做的功。
（ 2）电荷分布在无限区域不能选无穷远点作参考
点，否则积分将无穷大。
3,电荷分布在有限区几种情况 的电势
（ 1） 点电荷
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（ 2）电荷组 ?
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（ 3） 无限大均匀线性介质中点电荷
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点电荷在均匀介质中
的空间电势分布（ Q
为自由电荷）
（ 4）连续分布电荷 ? ??? V rVdxP
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二,静电势的微分方程和边值关系
1.电势 满足的方程
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适用于均
匀 介质 ? 泊松方程
? 导出过程
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? 拉普拉斯方程
2 0???
适用于 无自由电荷分布
的 均匀 介质
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??? ??????? DEED ????,
2．静电势的边值关系 (1) 两介质分界面
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由于导体表面为等势面, 因此在导体表
面上电势为一常数 。 将介质情况下的边
值关系用到介质与导体的分界面上, 并
考虑导体内部电场为零, 则可以得到第
二个边值关系 。
（ 2）导体表面上的边值关系
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三．静电场的能量
DEw
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2
11,一般方程,能量密度
??,2,若已知 总能量为
?? V dVW ??21 ??21 不 是 能量密度
总能量 dVDEW ?
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2
1
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仅讨论均匀介质
)()( DDDDDE ?????? ?????? ????????????????
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导出过程,
? ?????? S SdDSdD 01
????
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该公式只适合于静电场情况 。
能量不仅分布在电荷区，而
且存在于整个场中。
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四、例题
0E
?
1.求均匀电场 的电势
解：均匀电场可看作由两无限
大平行板组成的电容器产生的
电场。因为电荷分布在无穷区
域，可选空间任一点为参考点，
为方便取坐标原点电势
0?? ?
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2,电偶极子产生的电势
l2
解：电偶极子,两个相距为
的同量异号点电荷构成的
系统 偶极矩
)11(
4
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P点电势,
（无穷远为零点）
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求 近似值,
若电偶极子放在均匀介质
中（无限大介质）,)( Rl ??34 RRP???
??
??
?注意：考虑了束缚电荷，就不能再考虑介质,而
0?
0?
?? ???? pE?用真空中的 。 这由 决定。
QQ p )1( 0????? PeQlelQP zzPp ???? )1(22 0 ??? ??
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均匀介质中点电荷产生的束缚电荷分布在自由点电
荷附近，介质中电偶极子产生的势为自由偶极子与
束缚偶极子产生的势的迭加，设 为 束缚电荷,
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4．带电 Q的导体球（半径为 a）产生的电势。
电荷分布在有限区，参
考点选在无穷远。根据
对称性，导体产生的场
具有球对称性，电势也
应具有球对称性 。 当考
虑较远处场时，导体球
可视为点电荷 。
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此题也可用高斯定理（积分形式）求解。
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