第二章第六节
河北师范大学重点建设课程
电多极矩
§ 2.6 电多极矩
二、电多极矩
一、电势的多极展开
三, 电荷体系在外电场中
的能量 (相互作用能 )
主要内容
机动 目录 上页 下页 返回 结束
一、电势的多极展开
1,小区域电荷分布
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求电势。
一般若体电荷分布不均匀或
区域不规则, 积分十分困难
（ 用计算机可数值求解 ） 。
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区
域到场点的距离，可以近似处
理，解析求解。条件 。 rl ?? rR?? R
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(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
(2) 三元函数的麦克劳林展开
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3,小区域电荷分布产生的电势
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电四极矩张量
电偶极矩矢量
二、电多极矩
1,展开式的物理意义
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等效于坐标原点点电
荷产生的电势。 因此 小
电荷体系 在电荷分布区
外 产生的电势在零级近
似下可视为将电荷集中
于原点处产生的电势。
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等效电偶极矩 产生的电势。最简单的体系为
两个点电荷产生的电势。
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等效为体系电四极矩张量产生的电势 。 最简
单的体系为坐标原点附近 （ +,-,+,-） 四个点
电荷产生的电势
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2,电四极矩张量 VdxxxD
V ????? ? )(3
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有 9个分量 ? ????? VdxxxD
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电四极矩有 6个不同分量
jiij DD ? )( ji?
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电四极矩最简单体系举例,
四个点电荷在一直线上按
（ +,-,-,+）排列，可看作
一对正负电偶极子。
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peabQP z ??? ??? )(上
peabQP z ??? ????? )(下
体系总 电荷、总电偶极矩为零
依定义 其它分量均为零 033 ?D
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作业：计算图示情况下的电四极矩张量
自学：教材９０页例题
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022 ?D
02112 ?? DD
03113 ?? DD
03223 ?? DD
四个点电荷 在 x 轴
四个点电荷 在 y 轴
x-y 平面
x-z 平面
y-z 平面
电四极矩其它例子
三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能） 0
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电荷分布为, 体系
具有的总能量为,
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因此, +
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称为体系的相互作用能, 或带电
体系在外场中的能量。
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2．带电体系为小区域 时相互作用能的展开
将 对 电荷 所在小区域 展开为麦克劳林级数 )(x
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3,相互作用能的 意义,
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体系电荷集中在原点时，在外场
中的能量；
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体系等效电偶极子在
外场中的能量；
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体系等效电四极子在
外场中的能量。若 外
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4,带电体系在外场 中受 到的 力和力矩
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设 W为带电体系在外场中的静电势能, 则带电体系在外场
中受到的力 （ 假定 Q不变 ） 以下仅讨论 和 WF ???? )0(W )1(W
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力, ( 0 ) ( 1 )F W W? ? ? ? ? ?r L
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相当于带电体系集中在一点上
点电荷在外场中 受到的作用力
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电偶极子只在非均匀场中受力。
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假定在外场作用下 不变，设 为 与 之
间的夹角，则
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??? s i n)c o s( ee pEpE ?????
可见即使均匀场, 但 0)1( ?F? 0)1( ?L?
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力矩,
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河北师范大学重点建设课程
电多极矩
§ 2.6 电多极矩
二、电多极矩
一、电势的多极展开
三, 电荷体系在外电场中
的能量 (相互作用能 )
主要内容
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一、电势的多极展开
1,小区域电荷分布
0
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求电势。
一般若体电荷分布不均匀或
区域不规则, 积分十分困难
（ 用计算机可数值求解 ） 。
但是在许多实际情况中，电
荷分布区域的线度远小于该区
域到场点的距离，可以近似处
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(1) 一元函数的麦克劳林展开式（在坐标原点展开）
(2) 三元函数的麦克劳林展开
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3,小区域电荷分布产生的电势
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电四极矩张量
电偶极矩矢量
二、电多极矩
1,展开式的物理意义
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等效于坐标原点点电
荷产生的电势。 因此 小
电荷体系 在电荷分布区
外 产生的电势在零级近
似下可视为将电荷集中
于原点处产生的电势。
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两个点电荷产生的电势。
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等效为体系电四极矩张量产生的电势 。 最简
单的体系为坐标原点附近 （ +,-,+,-） 四个点
电荷产生的电势
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2,电四极矩张量 VdxxxD
V ????? ? )(3
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有 9个分量 ? ????? VdxxxD
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电四极矩有 6个不同分量
jiij DD ? )( ji?
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电四极矩最简单体系举例,
四个点电荷在一直线上按
（ +,-,-,+）排列，可看作
一对正负电偶极子。
bal ??
peabQP z ??? ??? )(上
peabQP z ??? ????? )(下
体系总 电荷、总电偶极矩为零
依定义 其它分量均为零 033 ?D
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作业：计算图示情况下的电四极矩张量
自学：教材９０页例题
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四个点电荷 在 x 轴
四个点电荷 在 y 轴
x-y 平面
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y-z 平面
电四极矩其它例子
三、电荷体系在外电场中的能量（相互作用能） 0
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电荷分布为, 体系
具有的总能量为,
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因此, +
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称为体系的相互作用能, 或带电
体系在外场中的能量。
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2．带电体系为小区域 时相互作用能的展开
将 对 电荷 所在小区域 展开为麦克劳林级数 )(x
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体系电荷集中在原点时，在外场
中的能量；
)0()0()1( ee EppW ??? ?????? ?
体系等效电偶极子在
外场中的能量；
)0(:61)0(:61)2( ee EDDW ??? ?????? ?
体系等效电四极子在
外场中的能量。若 外
场为均匀场 0??
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?
4,带电体系在外场 中受 到的 力和力矩
eE
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设 W为带电体系在外场中的静电势能, 则带电体系在外场
中受到的力 （ 假定 Q不变 ） 以下仅讨论 和 WF ???? )0(W )1(W
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力, ( 0 ) ( 1 )F W W? ? ? ? ? ?r L
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)()0( xEQF e ??? ?
相当于带电体系集中在一点上
点电荷在外场中 受到的作用力
( 1 ) () eF p E? ? ?rr r 0)1( ?F?若为均匀场
电偶极子只在非均匀场中受力。
( 1 ) ( ) ( ) ( ) ( )e e e eF p E p E E p E p? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r r r r rr r r r
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假定在外场作用下 不变，设 为 与 之
间的夹角，则
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??? )1(WL
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可见即使均匀场, 但 0)1( ?F? 0)1( ?L?
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力矩,
( 1 ) eL p E??rrr
