第二章第四节
河北师范大学重点建设课程
镜 象 法
§ 2.4 镜 象 法
重点掌握,
1、镜象法的基本概念
2、求解电势的基本方法
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1,求解泊松方程的难度
一,电象法的概念和适用条件
一般静电问题可以通过求
解泊松方程或拉普拉斯方程
得到电场 。 但是, 在许多情
况下非常困难 。 例如, 对于
介质中, 导体外存在点电荷
的情况虽然可以采用叠加法
求解, 但是求解比较困难 。
求解的困难主要是介质分界
面或导体表面上的电荷一般
非均匀分布的, 造成电场缺
乏对称性 。
Q Q
2,以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下, 采
用试探解, 只要保证解满足泊
松方程及边界条件即是正确解 。
特别是对于只有几个自由
点电荷时, 可以将导体面上感
应电荷分布等效地看作一个或
几个点电荷来给出尝试解 。
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3,电象法概念、适用情况
电象法,
用假想点电荷来等效地
代替导体边界面上的面
电荷分布, 然后用空间
点电荷和等效点电荷迭
加给出空间电势分布 。
适用情况,
a) 所求区域有少许几个点电荷,
它产生的感应电荷一般可以
用假想点电荷代替 。
b)导体边界面形状比较规则, 具
有一定对称性 。
c) 给定边界条件
注意,
a） 做替代时, 所研究空间的泊松方程不能被改变 （ 即自由
点电荷位置, Q 大小不能变 ） 。 所以假想电荷必须放在
所求区域之外 。
b） 不能改变原有边界条件 （ 实际是通过边界条件来确定假
想电荷的大小和位置 ） 。
c） 一旦用了假想 （ 等效 ） 电荷, 不再考虑原来的电荷分布 。
d） 坐标系选择仍然根据边界形状来定 。
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4,格林等效层定理（不证明） *
（ 1） 等势面包围的体积 V内
的电荷在 V外产生的电势与在
此等势面上置一导体面, 并
将 V内电荷都搬到导体上所产
生的电势完全一样 。
（ 2） 相反, 带电导体所产生
的电势也可以用导体面内一
定等效电荷分布来代替, 只
要它产生与导体表面完全重
合的等势面 。
等势面
V ?
Q
P
)(p?
导体面
Q
)(p?
P
Q
Q’
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四、应用举例
1,接地无限大平面导体板附近有
一点电荷，求空间电势。
Q
Q/
P
z
r
r?
a
0??解,根据唯一性定理 左半空间
右半空间,Q在（ 0,0,a）点,
电势满足泊松方程。
边界 上 00 ??z?
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
Q?设电量为 a?,位置为（ 0,0,）
]
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[
4
1
222222
0 azyx
Q
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0
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Q
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Q
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由边界条件确定 Q? a? ?和,
唯一解是 因为象电荷在左半空间, 所以舍去正号 解 aaQQ ??????,
]
)(
1
)(
1[
4 2222220 azyxazyx
Q
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讨论,（ a）导体面上感应电荷分布
2/3222
0
0 )(2 ayx
Qa
z z ??
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? ? ? ?????????? 0 2/322 )( 22 QQar r d rQadSQ ???
（ b） 电荷 Q 产生的电场 的 电力线全部终止在导体面上
它与无导体时, 两个等量异号电荷产生的电场在
右半 空间完全 相同 。
（ c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
Q? Q
（ d）导体对电荷 Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
zzz ea
Qe
a
Qe
r
QF ????
2
0
2
0
2
0
2
16)2(
1
44 ??????
??????
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解,（ 1） 分析,
因 导体 球 接地 故球的电
势为零 。 根据镜象法原
则 假想电荷应在球内 。
因空间只有 两个点电荷,
场 应具有轴对称, 故假
想电荷应在线上, 即极
轴上 。
2,真空中有一半径 R0的接地导体球，距球心 a > R0
处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
][
4
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0 r
Q
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Q
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球坐标系
P
R
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Z
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Q? Q
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?c o s222 RbbRr ????
000
0 2
2
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RRRRRR
R r
Q
r
Q
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Q
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Q
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（ 2）由边界条件确定 Q? r?和
bQO ??设
2 2 2 200( ) 2 c o sQ R b Q R b ??? 2 2 2 200( ) 2 c o sQ R a Q R a ???? ? ?
因 任意的 ? aQbQ 22 ?? )()( 22022202 aRQbRQ ????
解得 ①
a
QRQ
a
Rb 020 ????
② QQab ???? a
QRQ
a
Rb 020 ????
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22
0
RR
RR
aRRaRR
aR
RaaR
Q
?
????
?
①, 因此 Q发出的电力线一部分会聚到导
体球面上，剩余传到无穷远。
② 球面感应电荷分布
QQ ??
（ 3）讨论,
2/3
0
2
0
2
0
2
0
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0 )c o s2(4
0
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???
aRRaR
RaQ
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RR
0
0
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导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为 电荷
移到地中去了。 a QRQQ 0??????
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?co s2)/(
1
2
0
2
0 RaRRRa ??
（ 4） 若导体不接地, 可视为 分布在导体面上 。 不接
地导体已为等势体, 加上 还要使导体为等势体, 必
须均匀分布在球面上 。 这时导体球上总电量
（ 因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球
心的点电荷产生的电势 ） 。
Q?
0????? QQ
Q? Q?
R
Q
0
1 4 ????
????
（ 5） 若导体球不接地, 且带上自由电荷, 导体上总电
荷为, 此时要保持导体为等势体, 也应均匀分布在
球面上 。 0
Q0Q
0Q
R
Q
R
Q
0
0
0
2 44 ?????? ?
??
??
等效电荷一般是一个点电荷组或
一个带电体系，而不一定就是一
个点电荷 。
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（ 6） 导体球不接地而带自由电荷 时 所受 到的
作用 力可以看作 与 及 位于球心处的等效电荷
的作用力之和 。
0Q Q
Q?
Q?
0Q
]
)(
)2([
4
1
4
)(
)(4 22023
2
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0
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0 Raa
RaRQ
a
QQ
a
QQQ
ba
QQF
?
???????
?
??
??????
设,, 第一项为排斥力, 第二项为
吸引力 （ 与 无关, 与 正负无关 ） 。 当
时, F < 0, 即正电荷与带正电导体球在靠的很近时
会出现相互吸引 。
00 ?Q 0?Q
0Q Q 0Ra ?
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3,有一点电荷 位于两个互相垂直的 半无限大 接
地导体 板 所围成的直角空间内, 它到两个平面的
距离为 a 和 b,求空间的电势 。
Q
假想电荷应在第
I 象限之外。
要保证互相垂直
的两个接地导体板
的电势同时为零，
应当放几个电荷？
解：（ 1）分析,
Q （ -a,-b,0） -Q （ a,-b,0）
x
y
O
Q （ a,b,0） -Q （ -a,b,0）
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S2
S1
Q
?
0?
（ 2）电势分布 2 2 2 2 2 2
0
2 2 2 2 2 2
11
[
4 ( ) ( ) ( ) ( )
011
]
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Q
x a y b z x a y b z
x
yx a y b z x a y b z
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放在 处
用 镜 象法求解的条
件是什么？
2
?? ?
Q )(0 ?? ?
（ 3）若两平面夹角
n
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12 ?n
象电荷数
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4．另外几种容易求解又常见的情况,
作业 8,9,11,
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1?
2?
河北师范大学重点建设课程
镜 象 法
§ 2.4 镜 象 法
重点掌握,
1、镜象法的基本概念
2、求解电势的基本方法
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1,求解泊松方程的难度
一,电象法的概念和适用条件
一般静电问题可以通过求
解泊松方程或拉普拉斯方程
得到电场 。 但是, 在许多情
况下非常困难 。 例如, 对于
介质中, 导体外存在点电荷
的情况虽然可以采用叠加法
求解, 但是求解比较困难 。
求解的困难主要是介质分界
面或导体表面上的电荷一般
非均匀分布的, 造成电场缺
乏对称性 。
Q Q
2,以唯一性定理为依据
在唯一性定理保证下, 采
用试探解, 只要保证解满足泊
松方程及边界条件即是正确解 。
特别是对于只有几个自由
点电荷时, 可以将导体面上感
应电荷分布等效地看作一个或
几个点电荷来给出尝试解 。
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3,电象法概念、适用情况
电象法,
用假想点电荷来等效地
代替导体边界面上的面
电荷分布, 然后用空间
点电荷和等效点电荷迭
加给出空间电势分布 。
适用情况,
a) 所求区域有少许几个点电荷,
它产生的感应电荷一般可以
用假想点电荷代替 。
b)导体边界面形状比较规则, 具
有一定对称性 。
c) 给定边界条件
注意,
a） 做替代时, 所研究空间的泊松方程不能被改变 （ 即自由
点电荷位置, Q 大小不能变 ） 。 所以假想电荷必须放在
所求区域之外 。
b） 不能改变原有边界条件 （ 实际是通过边界条件来确定假
想电荷的大小和位置 ） 。
c） 一旦用了假想 （ 等效 ） 电荷, 不再考虑原来的电荷分布 。
d） 坐标系选择仍然根据边界形状来定 。
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4,格林等效层定理（不证明） *
（ 1） 等势面包围的体积 V内
的电荷在 V外产生的电势与在
此等势面上置一导体面, 并
将 V内电荷都搬到导体上所产
生的电势完全一样 。
（ 2） 相反, 带电导体所产生
的电势也可以用导体面内一
定等效电荷分布来代替, 只
要它产生与导体表面完全重
合的等势面 。
等势面
V ?
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Q
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四、应用举例
1,接地无限大平面导体板附近有
一点电荷，求空间电势。
Q
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a
0??解,根据唯一性定理 左半空间
右半空间,Q在（ 0,0,a）点,
电势满足泊松方程。
边界 上 00 ??z?
从物理问题的对称性和边界条件考虑，假想电荷应在左
半空间 z 轴上。
Q?设电量为 a?,位置为（ 0,0,）
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讨论,（ a）导体面上感应电荷分布
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（ b） 电荷 Q 产生的电场 的 电力线全部终止在导体面上
它与无导体时, 两个等量异号电荷产生的电场在
右半 空间完全 相同 。
（ c） 与 位置对于导体板镜象对称，故这种方法称
为镜象法（又称电象法）
Q? Q
（ d）导体对电荷 Q 的作用力相当两点电荷间的作用力
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解,（ 1） 分析,
因 导体 球 接地 故球的电
势为零 。 根据镜象法原
则 假想电荷应在球内 。
因空间只有 两个点电荷,
场 应具有轴对称, 故假
想电荷应在线上, 即极
轴上 。
2,真空中有一半径 R0的接地导体球，距球心 a > R0
处有一点电荷 Q，求空间各点电势。
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（ 2）由边界条件确定 Q? r?和
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因 任意的 ? aQbQ 22 ?? )()( 22022202 aRQbRQ ????
解得 ①
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② QQab ???? a
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①, 因此 Q发出的电力线一部分会聚到导
体球面上，剩余传到无穷远。
② 球面感应电荷分布
QQ ??
（ 3）讨论,
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导体球接地后，感应电荷总量不为零，可认为 电荷
移到地中去了。 a QRQQ 0??????
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1
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（ 4） 若导体不接地, 可视为 分布在导体面上 。 不接
地导体已为等势体, 加上 还要使导体为等势体, 必
须均匀分布在球面上 。 这时导体球上总电量
（ 因为均匀分布球面上可使导体产生的电势等效于在球
心的点电荷产生的电势 ） 。
Q?
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（ 5） 若导体球不接地, 且带上自由电荷, 导体上总电
荷为, 此时要保持导体为等势体, 也应均匀分布在
球面上 。 0
Q0Q
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等效电荷一般是一个点电荷组或
一个带电体系，而不一定就是一
个点电荷 。
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（ 6） 导体球不接地而带自由电荷 时 所受 到的
作用 力可以看作 与 及 位于球心处的等效电荷
的作用力之和 。
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设,, 第一项为排斥力, 第二项为
吸引力 （ 与 无关, 与 正负无关 ） 。 当
时, F < 0, 即正电荷与带正电导体球在靠的很近时
会出现相互吸引 。
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3,有一点电荷 位于两个互相垂直的 半无限大 接
地导体 板 所围成的直角空间内, 它到两个平面的
距离为 a 和 b,求空间的电势 。
Q
假想电荷应在第
I 象限之外。
要保证互相垂直
的两个接地导体板
的电势同时为零，
应当放几个电荷？
解：（ 1）分析,
Q （ -a,-b,0） -Q （ a,-b,0）
x
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（ 2）电势分布 2 2 2 2 2 2
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用 镜 象法求解的条
件是什么？
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（ 3）若两平面夹角
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象电荷数
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4．另外几种容易求解又常见的情况,
作业 8,9,11,
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