电磁波的传播
第四章
河北师范大学
重点建设课程
本章重点,
1,电磁场波动方程, 亥姆霍兹方程和平面电磁波
2,反射和折射定律的导出, 振幅的位相关系, 偏振
3,导体内的电磁波特性, 良导体条件, 趋肤效应
4,了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点,
1,振幅的位相关系
2,导体内电磁波的运动
3,波导管中电磁波解的过程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
引 言
电磁波传播问题在无线电通讯, 光信息处理, 微
波技术, 雷达和激光等领域都有着重要的应用 。
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场, 电
磁场在空间互相激发, 在空间以波动的形式存在,
这就是电磁波 。
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质
和导体的情况下的波动 。 在真空与介质, 介质与介
质, 介质与导体的分界面上, 电磁波会产生反射,
折射, 衍射和衰减等等, 因此传播问题本质上是边
值问题 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1 平面电磁波 电磁波在空间传播有各种各样的形式,
最简单, 最基本的波
型是平面电磁波 。 一、电磁场波动方程
1．自由空间电磁场的
基本方程
0
0
B
E
t
D
H
t
D
B
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
r
r
r
r
r
r
01 2
2
2
2 ?
?
???
t
B
c
B
??
2．真空中的波动方程
01 2
2
2
2 ?
?
???
t
E
c
E
??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
能否直接用到介质中？
00
1
??
?c
3．介质的色散
若电磁波仅有一种频率成分
? ? ? ? ? ?????? ED ?? ? ? ? ? ? ?????? HB ??
若电磁波具有各种频率成分，则,
? ? ? ?txEtxD,,???? ?? ? ? ? ?txHtxB,,???? ??
实际上具有各种成分的电磁波可以写为,
? ? ? ?,itE x t E e d??? ? ??rrr
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对均匀介质, 的
现象称为介质的色散。 ? ?????
()? ? ? ?电磁波动在介质
中一般频率成分
不是单一的，可
能含有各种成分 。
由此可知, 由于 以及, 而不能将真
空中的波动方程简单地用 代, 代 转化为介
质中的波动方程 。
ED ?? ?? HB ?? ??
? ? 0?0?
4,时谐波 （ 又称定态波 ） 及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的
电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。
?
这种波的空间分布与时间 t无关, 时间部分可以表
示为, 因此有以下关系成立,? ?tite ti ??? s i nc o s ???
? ? ? ?,itE x t E x e ???rrrr ? ? ? ?
tiexBtxB ??? ????,
? ? ? ? tiexDtxD ??? ????,
? ? ? ? tiexHtxH ??? ????,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对单一频率, 成立。介质中波动方程为,ED ?? ?? HB ?? ??
22
22
2 2 2 2
11 00EBEB
v t v t
??? ? ? ? ? ?
rrrr
HiBitBE ??
??
??? ????????HiBi
?? ??? ????
（ 或者 ）
EiH
??
???? ??
iBE? ? ? ?
?
rr
DitD
??
????? 2 E? ? ?? r同
样
EiDiH ??? ??? ??????
HiE
??
???
??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ? ? ?xBeitexBtB titi ????? ?? ? ?? ??????? ))((对定态波
? ? ? ? 22 BE E E E i Ht???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
??
rr r r r r
???? ?? vk令
22 0E k E
i
BE
? ? ?
? ? ? ?
?
rr
rr
称为时谐波的亥姆霍兹方
程 （ 其中 称为波矢量 ）
k?
同理可以导出磁感
应强度满足的方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
E???? 2?
EiDiH ??? ??? ??????
22
0B k B
i
EB
???
? ? ?
? ? ?
rr
rr
三、平面电磁波
1．平面波解的形式
? ? ? ?txkieEtxE ???? ????? 0,? ? ? ?txkieBtxB ????
?????
0,
证明上面的解满足亥姆霍兹方程,
])[()( 0002 EeeEeEEE xkixkixki ????? ?
????? ???
???????????????
亥姆霍兹方程有多种解：
平面波解, 球面波解, 高斯
波解等等 。 其中最简单, 最
基本的形式为平面波解 。
)( Eki ?????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
EkEkikiEkEki 2])[( ???????? ??????????
xkixkixki ekiexkie ?????? ??? ??? ????? )]([ki???
研究平面波解的意
义,① 简单, 直观,
物理意义明显； ② 一
般形式的波都可以视
为不同频率平面波的
线性叠加 。
2．平面电磁波的传播特性
（ 1）解为平面波
k?
sR
x?
S
o
? ? ? ?txkieEtxE ???? ????? 0,
设 S 为与 垂直的平面。在
S 面上相位
skRxk ??
??
k?
= 常数，因此在同一时刻，
S 平面为等相面，而波沿
方向传播。
k?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
平面波：波前或等
相面为平面，且波
沿等相面法线方向
传播 。
（ 2）波长与周期
波长定义：两相位差为 的等相面间的距离 。 ?2
k
RR ss ?? 2?????2)( ??? ss RRk两等相面相位差,
波长、波
速、频率
间的关系
fv ???? ?? 2vk ?? ??2?k
Tv
??
?
?21 ??
fT
机动 目录 上页 下页 返回 结束
波长
k
?? 2? 周期
?
?21 ??
fT
0???? BkEk ????（ 3）横波特性 (TEM波）
证明,
0)()( 000 ?????????? ??? xkixkixki eEkiEeeEE ?
????? ?????
0?? Ek ?? 0?? Bk ?? 同理
（ 4） 与 的关系 B? E? EkB ??? ??
?证明,
? ? EkEeieEiEiB xkixki ?????? ???? ?????????????? ?? ???? 00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a) 与 同相位； 几
点
说
明
B? E?
c), 振幅比为波速 （ 因为
相互垂直且 ） 。
E v
Bk
???
kBE ???,,EkB ??
BE ?? ?
? ?kBE ???,,
?
?
?
?
?
?
?
?
????? 0
?
EkEBE
?????b)
构成右手螺旋关系
（ 5） 波形图
假定在某一时刻 （ ）, 取 的实部 。
0tt ? BE
??,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
k
3．平面电磁波的偏振特
做为平面波解,也可以是复函数。
0E
?
的方向也会发生变化 。 当 为实数时, 的大小
随 做周期变化, 但方向总在一个方向 （ 直线 ） 上,
因此称为线偏振 。
因为亥姆霍兹方程的解一般可表达为复矢量函数,
不仅 在大小上是 的函数，而且随 的变化,E? t
E? 0E?E?
t
t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yixi eBeeAeE
??? ?? ??
0
? ? ? ?? ?titeBeeAetxE yixi ???? s i nc o s,??? ????
? ? ? ? yiixii eti B etBeeti A etAe ?? ???? ???? s i nc o ss i nc o s ???＝
,zekk ?? ?,0?z 0??? kzxk ??
? ?为实数BA,
? ?ttAE x ???? s i ns i nc o sc o s ??
? ?ttBE y ???? s i ns i nc o sc o s ??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
实部分量为,
（ 1）线偏振：, 0?? ??
yx eBeAE
??? ??
0
实部分量
?
?
?
??
??
)(c o s
)(c o s
0
0
BEtBE
AEtAE
yy
xx
?
?
与 轴夹角 与 无关, 因此在波动
过程中的大小变, 而方向不变 。
E? x ABtg 1??? t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2）椭圆偏振,
?
?
?
??
?
tBE
tAE
y
x
?
?
s i n
co s
0??
2
?? ??
12
2
2
2
??
B
E
A
E yx
两相位差为,
振幅不同, 振动
方向垂直的振动
的合成 。
2??
当 时，为圆偏振 BA ? 11y
x
Etg tg tg t t
E
??? ? ? ? ? ? ? ?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t?? ? ??
??
?
? ?
2
??
振动为左旋偏振 （ 顺时针 ）
t?? ?? ?????? ?? 2
??
振动为右旋偏振（逆时针）
4,平面电磁波的能量和能流
? ? ??
?
?
???
? ?????? 22 1
2
1
2
1 BEBHDEw
?
?
????
??
1?? v
B
E
?
?
2
2 BEw ??
电场能等
于磁场能
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nvHES ???
?
????
电磁能量传播方向与
电磁波传播方向一致
? ?txkEEw ??? ???? ?2202 co s
? ? ntxkEvnEvS ????? ??? ???? 2202 c o s
2
02
1 Ew ??
? ? nEHES ???? 20
2
1Re
2
1
?
???? ?
计算公式
00
1 c o s
2fg f g ??
tieff ??? 0
?? itiegg ???
0
例一：有一平面电磁波，其电场强度为
? ? )]102102(e xp [100,62 tzietxE x ?? ???? ??? ???
（ 1） 判断电场强度的方向和波传播的方向；
（ 2） 确定频率, 波长和波速；
（ 3） 若介质的磁导率 求磁场强度；
（ 4） 求在单位时间内从一个与 平面平行的单位
面积通过的电磁场能量 。
)(104 7 米亨??? ??
yx?
波沿 方向传播。
解：（ 1） 沿 轴方向振荡，, E? x kzxk ?? ?? 2102 ??? ?k
z
)(6102 Hzf ?? ??（ 2） 6102 ?? ??
)(102 2 mk ?? ?? )(10 8 sm
kv ??
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 3）,,, v
B
E ? HB ??
v
EH
??
5.210104 1 0 0 870 ???? ?? ?H
（ 与 同相位同频率，与 垂直且与 垂直,
故它在 轴方向）。
)]102102(e x p [5.2 62 tzieH y ???? ? ????
H? E? k?
y
E?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 4）,单位时间垂直通过单位横向截面的能量 S?
vwS ?? ???? 2502
2
2 ???? HBEw
8102 5 0 ?? ?S?
解：设两个电磁波分别为
? ?tkzi
x eeEE
??? ??
01
? ?tkzi
y
tkzi
y eeiEeeEE
?
??
???
??
?
? ??
?? ??
?
0
2
02
? ? ? ?tkziyx eeieEEEE ?????? ????? 021
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例二, 两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿 z
轴传播, 一个波沿 x方向偏振, 另一个波 y 沿方向偏
振, 但其相位比前者超前, 求合成波的偏振 。 2?
合成波为
? ?? ?? ?)s i n ()c o s (Re 0 tkzitkzeieEE yx ?? ????? ???
])s i n ()[ c o s (0 yx etkzetkzE ?? ?? ????
)s i n( c o s)0( 0 yx etetEzE ??? ?? ???
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
y
x
eEEt
eEEt
eEEt
eEEt
??
??
??
??
0
0
0
0
,
2
3
,
,
2
,0
???
???
??
??
?
?
??
?
?
?
同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的
线偏振波, 且沿 y轴波比 x轴波相位超前 。 2?
y
x
E?
右旋圆偏振
?
第四章
河北师范大学
重点建设课程
本章重点,
1,电磁场波动方程, 亥姆霍兹方程和平面电磁波
2,反射和折射定律的导出, 振幅的位相关系, 偏振
3,导体内的电磁波特性, 良导体条件, 趋肤效应
4,了解谐振腔和波导管中电磁波的运动形式
本章难点,
1,振幅的位相关系
2,导体内电磁波的运动
3,波导管中电磁波解的过程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
引 言
电磁波传播问题在无线电通讯, 光信息处理, 微
波技术, 雷达和激光等领域都有着重要的应用 。
随时间变化的运动电荷和电流辐射电磁场, 电
磁场在空间互相激发, 在空间以波动的形式存在,
这就是电磁波 。
传播问题是指：研究电磁场在空间存在一定介质
和导体的情况下的波动 。 在真空与介质, 介质与介
质, 介质与导体的分界面上, 电磁波会产生反射,
折射, 衍射和衰减等等, 因此传播问题本质上是边
值问题 。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
§ 1 平面电磁波 电磁波在空间传播有各种各样的形式,
最简单, 最基本的波
型是平面电磁波 。 一、电磁场波动方程
1．自由空间电磁场的
基本方程
0
0
B
E
t
D
H
t
D
B
?
? ? ? ?
?
?
? ? ?
?
? ? ?
? ? ?
r
r
r
r
r
r
01 2
2
2
2 ?
?
???
t
B
c
B
??
2．真空中的波动方程
01 2
2
2
2 ?
?
???
t
E
c
E
??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
能否直接用到介质中？
00
1
??
?c
3．介质的色散
若电磁波仅有一种频率成分
? ? ? ? ? ?????? ED ?? ? ? ? ? ? ?????? HB ??
若电磁波具有各种频率成分，则,
? ? ? ?txEtxD,,???? ?? ? ? ? ?txHtxB,,???? ??
实际上具有各种成分的电磁波可以写为,
? ? ? ?,itE x t E e d??? ? ??rrr
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对均匀介质, 的
现象称为介质的色散。 ? ?????
()? ? ? ?电磁波动在介质
中一般频率成分
不是单一的，可
能含有各种成分 。
由此可知, 由于 以及, 而不能将真
空中的波动方程简单地用 代, 代 转化为介
质中的波动方程 。
ED ?? ?? HB ?? ??
? ? 0?0?
4,时谐波 （ 又称定态波 ） 及其方程
时谐波是指以单一频率 做正弦（或余弦）振荡的
电磁波（又称为单色波或者定态电磁波）。
?
这种波的空间分布与时间 t无关, 时间部分可以表
示为, 因此有以下关系成立,? ?tite ti ??? s i nc o s ???
? ? ? ?,itE x t E x e ???rrrr ? ? ? ?
tiexBtxB ??? ????,
? ? ? ? tiexDtxD ??? ????,
? ? ? ? tiexHtxH ??? ????,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
对单一频率, 成立。介质中波动方程为,ED ?? ?? HB ?? ??
22
22
2 2 2 2
11 00EBEB
v t v t
??? ? ? ? ? ?
rrrr
HiBitBE ??
??
??? ????????HiBi
?? ??? ????
（ 或者 ）
EiH
??
???? ??
iBE? ? ? ?
?
rr
DitD
??
????? 2 E? ? ?? r同
样
EiDiH ??? ??? ??????
HiE
??
???
??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ? ? ?xBeitexBtB titi ????? ?? ? ?? ??????? ))((对定态波
? ? ? ? 22 BE E E E i Ht???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ?
??
rr r r r r
???? ?? vk令
22 0E k E
i
BE
? ? ?
? ? ? ?
?
rr
rr
称为时谐波的亥姆霍兹方
程 （ 其中 称为波矢量 ）
k?
同理可以导出磁感
应强度满足的方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
E???? 2?
EiDiH ??? ??? ??????
22
0B k B
i
EB
???
? ? ?
? ? ?
rr
rr
三、平面电磁波
1．平面波解的形式
? ? ? ?txkieEtxE ???? ????? 0,? ? ? ?txkieBtxB ????
?????
0,
证明上面的解满足亥姆霍兹方程,
])[()( 0002 EeeEeEEE xkixkixki ????? ?
????? ???
???????????????
亥姆霍兹方程有多种解：
平面波解, 球面波解, 高斯
波解等等 。 其中最简单, 最
基本的形式为平面波解 。
)( Eki ?????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
EkEkikiEkEki 2])[( ???????? ??????????
xkixkixki ekiexkie ?????? ??? ??? ????? )]([ki???
研究平面波解的意
义,① 简单, 直观,
物理意义明显； ② 一
般形式的波都可以视
为不同频率平面波的
线性叠加 。
2．平面电磁波的传播特性
（ 1）解为平面波
k?
sR
x?
S
o
? ? ? ?txkieEtxE ???? ????? 0,
设 S 为与 垂直的平面。在
S 面上相位
skRxk ??
??
k?
= 常数，因此在同一时刻，
S 平面为等相面，而波沿
方向传播。
k?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
平面波：波前或等
相面为平面，且波
沿等相面法线方向
传播 。
（ 2）波长与周期
波长定义：两相位差为 的等相面间的距离 。 ?2
k
RR ss ?? 2?????2)( ??? ss RRk两等相面相位差,
波长、波
速、频率
间的关系
fv ???? ?? 2vk ?? ??2?k
Tv
??
?
?21 ??
fT
机动 目录 上页 下页 返回 结束
波长
k
?? 2? 周期
?
?21 ??
fT
0???? BkEk ????（ 3）横波特性 (TEM波）
证明,
0)()( 000 ?????????? ??? xkixkixki eEkiEeeEE ?
????? ?????
0?? Ek ?? 0?? Bk ?? 同理
（ 4） 与 的关系 B? E? EkB ??? ??
?证明,
? ? EkEeieEiEiB xkixki ?????? ???? ?????????????? ?? ???? 00
机动 目录 上页 下页 返回 结束
a) 与 同相位； 几
点
说
明
B? E?
c), 振幅比为波速 （ 因为
相互垂直且 ） 。
E v
Bk
???
kBE ???,,EkB ??
BE ?? ?
? ?kBE ???,,
?
?
?
?
?
?
?
?
????? 0
?
EkEBE
?????b)
构成右手螺旋关系
（ 5） 波形图
假定在某一时刻 （ ）, 取 的实部 。
0tt ? BE
??,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
k
3．平面电磁波的偏振特
做为平面波解,也可以是复函数。
0E
?
的方向也会发生变化 。 当 为实数时, 的大小
随 做周期变化, 但方向总在一个方向 （ 直线 ） 上,
因此称为线偏振 。
因为亥姆霍兹方程的解一般可表达为复矢量函数,
不仅 在大小上是 的函数，而且随 的变化,E? t
E? 0E?E?
t
t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
yixi eBeeAeE
??? ?? ??
0
? ? ? ?? ?titeBeeAetxE yixi ???? s i nc o s,??? ????
? ? ? ? yiixii eti B etBeeti A etAe ?? ???? ???? s i nc o ss i nc o s ???＝
,zekk ?? ?,0?z 0??? kzxk ??
? ?为实数BA,
? ?ttAE x ???? s i ns i nc o sc o s ??
? ?ttBE y ???? s i ns i nc o sc o s ??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
实部分量为,
（ 1）线偏振：, 0?? ??
yx eBeAE
??? ??
0
实部分量
?
?
?
??
??
)(c o s
)(c o s
0
0
BEtBE
AEtAE
yy
xx
?
?
与 轴夹角 与 无关, 因此在波动
过程中的大小变, 而方向不变 。
E? x ABtg 1??? t
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2）椭圆偏振,
?
?
?
??
?
tBE
tAE
y
x
?
?
s i n
co s
0??
2
?? ??
12
2
2
2
??
B
E
A
E yx
两相位差为,
振幅不同, 振动
方向垂直的振动
的合成 。
2??
当 时，为圆偏振 BA ? 11y
x
Etg tg tg t t
E
??? ? ? ? ? ? ? ?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
t?? ? ??
??
?
? ?
2
??
振动为左旋偏振 （ 顺时针 ）
t?? ?? ?????? ?? 2
??
振动为右旋偏振（逆时针）
4,平面电磁波的能量和能流
? ? ??
?
?
???
? ?????? 22 1
2
1
2
1 BEBHDEw
?
?
????
??
1?? v
B
E
?
?
2
2 BEw ??
电场能等
于磁场能
机动 目录 上页 下页 返回 结束
nvHES ???
?
????
电磁能量传播方向与
电磁波传播方向一致
? ?txkEEw ??? ???? ?2202 co s
? ? ntxkEvnEvS ????? ??? ???? 2202 c o s
2
02
1 Ew ??
? ? nEHES ???? 20
2
1Re
2
1
?
???? ?
计算公式
00
1 c o s
2fg f g ??
tieff ??? 0
?? itiegg ???
0
例一：有一平面电磁波，其电场强度为
? ? )]102102(e xp [100,62 tzietxE x ?? ???? ??? ???
（ 1） 判断电场强度的方向和波传播的方向；
（ 2） 确定频率, 波长和波速；
（ 3） 若介质的磁导率 求磁场强度；
（ 4） 求在单位时间内从一个与 平面平行的单位
面积通过的电磁场能量 。
)(104 7 米亨??? ??
yx?
波沿 方向传播。
解：（ 1） 沿 轴方向振荡，, E? x kzxk ?? ?? 2102 ??? ?k
z
)(6102 Hzf ?? ??（ 2） 6102 ?? ??
)(102 2 mk ?? ?? )(10 8 sm
kv ??
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 3）,,, v
B
E ? HB ??
v
EH
??
5.210104 1 0 0 870 ???? ?? ?H
（ 与 同相位同频率，与 垂直且与 垂直,
故它在 轴方向）。
)]102102(e x p [5.2 62 tzieH y ???? ? ????
H? E? k?
y
E?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 4）,单位时间垂直通过单位横向截面的能量 S?
vwS ?? ???? 2502
2
2 ???? HBEw
8102 5 0 ?? ?S?
解：设两个电磁波分别为
? ?tkzi
x eeEE
??? ??
01
? ?tkzi
y
tkzi
y eeiEeeEE
?
??
???
??
?
? ??
?? ??
?
0
2
02
? ? ? ?tkziyx eeieEEEE ?????? ????? 021
机动 目录 上页 下页 返回 结束
例二, 两个频率和振幅均相等的单色平面电磁波沿 z
轴传播, 一个波沿 x方向偏振, 另一个波 y 沿方向偏
振, 但其相位比前者超前, 求合成波的偏振 。 2?
合成波为
? ?? ?? ?)s i n ()c o s (Re 0 tkzitkzeieEE yx ?? ????? ???
])s i n ()[ c o s (0 yx etkzetkzE ?? ?? ????
)s i n( c o s)0( 0 yx etetEzE ??? ?? ???
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y
x
y
x
eEEt
eEEt
eEEt
eEEt
??
??
??
??
0
0
0
0
,
2
3
,
,
2
,0
???
???
??
??
?
?
??
?
?
?
同样一个右旋圆偏振波可分解为两个相互垂直的
线偏振波, 且沿 y轴波比 x轴波相位超前 。 2?
y
x
E?
右旋圆偏振
?
