第二章第二节
河北师范大学重点建设课程
唯一性定理
§ 2.2 唯一性定理
一,泊松方程和边界条件
二、唯一性定理的内容
三、唯一性定理的意义
主要内容
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),,2,1(2 mi
i
i ????? ?
??
一,泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为 V,在一般情况下 V内可以
有多种介质或导体, 对于每一种介质自身是均匀
线性各向同性 。
设 V内所求电势为, 它们满足泊松方程
i?
S? Sn?
??
Sn?
?? dS
nQ SS? ?
??? ??
S?
两类边界条件：① 边界 S上,为已知，若为 导体
=常数。② 边界 S上,为已知,
给定（ ） 定总电荷 Q。它相当于
若是导体要给
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?
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ijij S
i
i
S
j
j nn
内边界条件 为 边值关系
注,在实际问题
中, 因为导体内
场强为零, 可以
不包含在所求区
域 V内 。 导体 面
上 的 边界条件 可
视为 外边界条件 。
ijij S
jSi ?? ?
ijij S
i
i
S
j
j nn ?
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V内两介质分
界面上 自由
电荷为零
二、唯一性定理
1．均匀单一介质
?
?? ??? 2
电场 ） 唯一确定 。
? ?
S?
分布已知,满足 若 V边界上
已知，或 V边界上 已知，则 V 内场（ 静
区域内
Sn?
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证明,
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1
2
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2
假定泊松方程有两个解, 有
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Sn?
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由格林第一公式
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V dV 0)(
2
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由于 0)( 2 ??? 积分为零必然 有 0???
???? 21 ?? 常数
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21 ?? ?
（ 1）若给定的是第一类边值关系
即 常数为零 。 电场唯一确定且
电势也是唯一确定的。
虽 不唯一，但电场
0?
?
?
Sn
?
?? 21 ?? 21,??
E?
（ 2）若给定的是第二类边值关系
常数, 相差一个常数,
是唯一确定的。
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2,介质分区均匀（不包含导体）
?
i?
?? ??? 2
S?
Sn?
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j
j nn ?
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已知,成立，给定区域
或 。 在分界面上,或
V 内
（证明见书 P,60）
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v 1?
2?
3?
区域 V内电场唯一确定
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3,均匀单一介质中有导体（证明见 教材 ）
Q2
Q1
ε
S
S1
S2
V
（或 Q1,Q2 ） 为已知，则 区域 V
S?
Sn?
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2S
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??已知, 或,
内电场唯一确定。
当
0?E?, 求 内的 电势 。 导体中 V
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dS
n
Q
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??? ??
三、唯一性定理的意义
2,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论
采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程
和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用
繁杂的数学去求解泊松方程，而是 通过 提出尝
试解,然后验证是否 满足方程和边界条件 。满
足 即为 唯一 解，若不满足，可以加以修改 。
1,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求 电
场强度 指明了方向。
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四、应用举例
1,半径为 a的导体球壳接地
壳内中心放置一个点电荷 Q，
求壳内场强 。
0?S?解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
02 ?? ? )0( ?R 因而腔内场唯一确定。
Q
0?S?不满足
已知 点电荷产生的电势为
R
Q
0
1 4 ??? ?
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a
Q
S
0
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但 它在边界上
要使边界上任何一点电势为 0,
?
R
Q
04??
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a
Q
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02 ?? ? 0?S?它满足
根据唯一性定理，它是腔内的 唯一 解 。
)(
4 30
aR
R
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??
?
??
可见腔内场与腔外电荷 无关，只与腔内电荷 Q
有关。
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Q?
解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。
假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 ??,
无关。 0?
??因电荷分布在有限区，外边界条件
导体表面电荷 Q已知,电 场唯一确定。设 B
R
A ???
3R
RA
R
A ????
)(03 aRRRA ?????????
?
?
02 ?? ? ??R 0???R? 0?B 满足,
2,带电荷 Q 的半径为 a 的导体球放在均匀无限大介
质中，求空间电势分布。
在导体边界上
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?
SS
aR
A
a
aAdS
R
AdS
R
Q ??????? 44 2
2
2
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3,两种均匀介质 （ 和
） 充满空间, 一 半
径 a 的带电 Q导体球放
在介质分界面上 （ 球心
在界面上 ）, 求空间电
势分布 。
1?
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Q
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4 3 aRR
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21 ?? ? R
Q
??? 4? 场对称
对称性分析,
21 ?? ? 场仍对称！
在两介质分界面上,
021 ?? nn EE
0
12 ?
?? p
nn EE
???
0?p?
束缚电荷只分布在导体与
介质分界面上。对于上半
个空间，介质均匀极化，
场具有对称性，同样下半
空间也具有对称性。而在
介质分界面上,
所以可考虑球外 电场仍具
有球对称性。
21 EE
?? ?试 探
解
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给定，所以球外场唯一确定。
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在介质分界面上
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下半空间
上半空间
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导体球面上面电荷分布,
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下半球面上均匀分布
上半球面上均匀分布
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P 2
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?? ??
P
束缚电荷分布,
其他实例,
Q 左半空
间电势？
Q
球壳外
空间电
势？
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唯一性定理
§ 2.2 唯一性定理
一,泊松方程和边界条件
二、唯一性定理的内容
三、唯一性定理的意义
主要内容
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一,泊松方程和边界条件
假定所研究的区域为 V,在一般情况下 V内可以
有多种介质或导体, 对于每一种介质自身是均匀
线性各向同性 。
设 V内所求电势为, 它们满足泊松方程
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两类边界条件：① 边界 S上,为已知，若为 导体
=常数。② 边界 S上,为已知,
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注,在实际问题
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视为 外边界条件 。
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二、唯一性定理
1．均匀单一介质
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分布已知,满足 若 V边界上
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（ 1）若给定的是第一类边值关系
即 常数为零 。 电场唯一确定且
电势也是唯一确定的。
虽 不唯一，但电场
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（ 2）若给定的是第二类边值关系
常数, 相差一个常数,
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2,介质分区均匀（不包含导体）
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3,均匀单一介质中有导体（证明见 教材 ）
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三、唯一性定理的意义
2,更重要的是它具有十分重要的实用价值。无论
采用什么方法得到解，只要该解满足泊松方程
和给定边界条件，则该解就是唯一的正确解。
因此对于许多具有对称性的问题，可以不必用
繁杂的数学去求解泊松方程，而是 通过 提出尝
试解,然后验证是否 满足方程和边界条件 。满
足 即为 唯一 解，若不满足，可以加以修改 。
1,唯一性定理给出了确定静电场的条件，为求 电
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四、应用举例
1,半径为 a的导体球壳接地
壳内中心放置一个点电荷 Q，
求壳内场强 。
0?S?解：点电荷 Q 放在球心处，壳接地
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Q
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可见腔内场与腔外电荷 无关，只与腔内电荷 Q
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解：导体球具有球对称性，电荷只分布在外表面上。
假定电场也具有球对称性，则电势坐标与 ??,
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导体表面电荷 Q已知,电 场唯一确定。设 B
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02 ?? ? ??R 0???R? 0?B 满足,
2,带电荷 Q 的半径为 a 的导体球放在均匀无限大介
质中，求空间电势分布。
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3,两种均匀介质 （ 和
） 充满空间, 一 半
径 a 的带电 Q导体球放
在介质分界面上 （ 球心
在界面上 ）, 求空间电
势分布 。
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介质分界面上,
所以可考虑球外 电场仍具
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给定，所以球外场唯一确定。
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