第零章第二节
河北师范大学重点建设课程
矢量场论复习
一,场的概念
§ 2 矢量场论复习
(,,,) (,)
(,,,) (,)
x y z t x t
A x y z t A x t
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???
r
rr r
标量场
矢量场
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或
说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理
量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。
如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间
坐标的函数来描述,
稳恒场 （ 稳定场, 静场 ）,场与时间无关
变化场 （ 时变场 ）,场函数与时间有关
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变
化关系 （ 梯, 散, 旋度 ） 。
已知场函数的梯度, 散度, 旋度可以确定场函数,
这是电动力学求解电磁场的主要方法 。
二、标量场的梯度
d d x d y d zx y z? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ?
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在空间任意靠近两点函数 的全微分 ?
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在空间某点的任意
方向上, 导数有无
穷多个, 其中有一
个值最大, 这个方
向导数的最大值定
义为梯度,
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梯度的意义,空间某点标量场函数的最大变化率
, 刻画了标量场的空间分布特征
等值面, 常数的曲面称为等值面。 ()x? ?r
梯度与等值面的关系,梯度与等值面垂直。
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
三、矢量微分算子
既具有矢量性质，
又具有微分性质
x y ze e ex y z
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x y ze e ex y z
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r r r??? ? ? 注意,
它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。
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例 2,()??? =？
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四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点, 有一个方向, 它
沿某一曲线的切线方向, 这条曲线形成一条矢
量线, 又叫场线 （ 对静电场称为电力线 ）, 无
穷多条这样的曲线构成一个矢量族 。
矢量场的通量
面元 的通量,dsr d A d s? ? ?r r
有限面积 的通量 S
S A d s? ? ??
r r
意义：用来描述空间某一范围内场的发散或会聚, 它只具
有局域性质, 不能反映空间一点的情况 。
0
0
0
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无源
负源
闭合曲面的通量 ?
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高斯公式
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x y z
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矢量场的散度
缩小到一点
若空间各点处处 0A? ? ?r 则称 为无源场。 Ar
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A
A
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该点有源
该点无源
该点为负源 V
SdA
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例子,
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求
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证,
五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
矢量场的环量（环流）
表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 0??
0?? 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
斯托克斯公式（定理）
SdAldA
SL
????
????? ?? )(
L矢量 沿任一闭合曲线 的积分称为环量 Ar ? ???
L
ldA ??
定义 为矢量场的旋度, 它在 法线方向上
的分量为单位面积上的环量 。 刻画矢量场场线在
空间某点上的环流特征 。 若空间各点,
则称 为无旋场 。
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0A? ? ?r
Ar
矢量场的旋度
当 L无限小,
SASAAld n
L
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33
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证
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证,
六、有关场的四个定理
关于散度旋度的两个定理
1,正定理：标量场的梯度必为无旋场, 即
逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度 。
即若, 则, 称为无旋场 的标量
势函数 。
=0?? ? ?
0A?? ?r A ???r ? Ar
2,正定理, 矢量场的旋度必为无散场，即
逆定理, 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
即若,则, 称为无源场
的矢量势函数。
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0B? ? ?r BA? ? ? rr Ar Br
亥姆霍兹定理
任意矢量场 [ ]均可分
解为无旋场 和无源场 之和。
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1F
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2F
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F?
即 可分解为 [ ] 。
又称为 的横场部分，可引入标势,
又称为 的纵场部分，可引入矢势,
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定理, 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及
矢量场在区域边界上的法线分量,
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在 面上
则该矢量场在区域内是唯一确定的。
V
1795~1799年在哥廷根大学学习, 1799
年获博士学位 。 1870年任哥廷根大学数学
教授和哥廷根天文台台长, 一直到逝世 。
1855年 2月 23日在哥廷根逝世 。 他一生中
共发表 323篇 （ 种 ） 著作, 提出 404项科学
创见 （ 发表 178项 ）, 在各领域的主要成
就有,（ 1） 关于 静电学温差电和摩擦电
的研究, 利用绝对单位 （ 长度质量和时间 ）
法则量度非力学量以及地磁分布的理论研
究； （ 2） 利用几何学知识研究 光学系统
近轴光线行为和成像, 建立高斯定理光学；
（ 3） 天文学和大地测量学中, 如小行星
轨道的计算, 地球大小和形状的理论研究
等； （ 4） 结合试验数据的测算, 发展了
概率统计理论和误差理论, 发明了最小二
乘法, 引入高斯定理误差曲线 。 此外, 在
纯数学方面, 对数论, 代数, 几何学的若
干基本定理作出严格证明 。
德国数学家和
物理学家 。 1777年
4月 30日生于德国
布伦瑞克, 幼时家
境贫困, 聪敏异常,
受一贵族资助才进
学校受教育 。
高
斯
河北师范大学重点建设课程
矢量场论复习
一,场的概念
§ 2 矢量场论复习
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标量场
矢量场
描述一定空间中连续分布的物质对象的物理量。或
说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理
量的确定值，就说在这空间中确定了该物理的场。
如：强度场、速度场、引力场、电磁场。
场用一个空间和时间
坐标的函数来描述,
稳恒场 （ 稳定场, 静场 ）,场与时间无关
变化场 （ 时变场 ）,场函数与时间有关
已知场函数可以了解场的各种性质：随时空的变
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已知场函数的梯度, 散度, 旋度可以确定场函数,
这是电动力学求解电磁场的主要方法 。
二、标量场的梯度
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梯度的意义,空间某点标量场函数的最大变化率
, 刻画了标量场的空间分布特征
等值面, 常数的曲面称为等值面。 ()x? ?r
梯度与等值面的关系,梯度与等值面垂直。
已知梯度即可求出沿任一方向的方向导数。
三、矢量微分算子
既具有矢量性质，
又具有微分性质
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四、高斯定理与矢量场的散度
矢量族
在矢量场中对于给定的一点, 有一个方向, 它
沿某一曲线的切线方向, 这条曲线形成一条矢
量线, 又叫场线 （ 对静电场称为电力线 ）, 无
穷多条这样的曲线构成一个矢量族 。
矢量场的通量
面元 的通量,dsr d A d s? ? ?r r
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缩小到一点
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五、斯托克斯公式与矢量场的旋度
矢量场的环量（环流）
表明在区域内无涡旋状态，场线不闭合 0??
0?? 表明在区域内存在涡旋状态，场线闭合
斯托克斯公式（定理）
SdAldA
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L矢量 沿任一闭合曲线 的积分称为环量 Ar ? ???
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定义 为矢量场的旋度, 它在 法线方向上
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六、有关场的四个定理
关于散度旋度的两个定理
1,正定理：标量场的梯度必为无旋场, 即
逆定理：无旋场必可以表示为某一标量场的梯度 。
即若, 则, 称为无旋场 的标量
势函数 。
=0?? ? ?
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2,正定理, 矢量场的旋度必为无散场，即
逆定理, 无源场必可表示为某个矢量场的旋度。
即若,则, 称为无源场
的矢量势函数。
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亥姆霍兹定理
任意矢量场 [ ]均可分
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又称为 的横场部分，可引入标势,
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唯一性定理
定理, 在空间某一区域内给定场的散度和旋度以及
矢量场在区域边界上的法线分量,
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则该矢量场在区域内是唯一确定的。
V
1795~1799年在哥廷根大学学习, 1799
年获博士学位 。 1870年任哥廷根大学数学
教授和哥廷根天文台台长, 一直到逝世 。
1855年 2月 23日在哥廷根逝世 。 他一生中
共发表 323篇 （ 种 ） 著作, 提出 404项科学
创见 （ 发表 178项 ）, 在各领域的主要成
就有,（ 1） 关于 静电学温差电和摩擦电
的研究, 利用绝对单位 （ 长度质量和时间 ）
法则量度非力学量以及地磁分布的理论研
究； （ 2） 利用几何学知识研究 光学系统
近轴光线行为和成像, 建立高斯定理光学；
（ 3） 天文学和大地测量学中, 如小行星
轨道的计算, 地球大小和形状的理论研究
等； （ 4） 结合试验数据的测算, 发展了
概率统计理论和误差理论, 发明了最小二
乘法, 引入高斯定理误差曲线 。 此外, 在
纯数学方面, 对数论, 代数, 几何学的若
干基本定理作出严格证明 。
德国数学家和
物理学家 。 1777年
4月 30日生于德国
布伦瑞克, 幼时家
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