电磁现象的普遍规律
第一章
河北师范大学重点建设课程
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般, 由一些重要的实
验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程 。
主要内容,
讨论几个定律, 总结出静电场, 静磁场方程；
找出问题, 提出假设, 总结真空中麦氏方程；
讨论介质电磁性质, 得出介质中麦氏方程；
给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场
能量, 能流并讨论电磁能量的传输 。
本章难点：电磁场的边值关系, 电磁场能量 。
§ 1,电荷和静电场
一, 库仑定律和电场强度 描述一个静止点电
荷对另一
静止点电
荷的作用
力
F?
Q
Q’
r?
r
r
QQ
F ?
4
1
2
0
?? ?
?
??
1,库仑定律
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对 Q的作用力
为 ；⑶ 两种物理解释, FF ?? ???
超距作用：一个点电荷不需中间媒介
直接施力与另一点电荷 。
场传递：相互作用通过场来传递 。
对静电情
况两种观
点等价
2,点电荷电场强度
它的方向沿试探电荷受力的方向, 大小与试
探点电荷无关 。 给定 Q,它仅是空间点函数,
因而静电场是一个矢量场 。
电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自
己周围空间激发电场。
3
0
()
4
F Q rEx
Qr ??
??
?
r rr
r
电荷 电场 电荷
电场的基本性质, 对电场中的电荷有力的作用
描述电场的函
数 ----电场强度
3．场的叠加原理（实验定律）
3
11 0
()
4
nn
ii
i
ii i
Qr
E x E
r????
????
rrr
r
电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系
的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
E?
Q1
Qn
1r?
Qi
2Q
1Q P
E?
2E
?
1E
?
平行四边型法则
4．电荷密度分布
? ?
0
l i m
V
Q d Qx
V d V? ??
?? ??
???
r
dVdQ ??
? ?
0
l i m
l
Q d Qx
l d l? ??
?? ??
???
r dldQ ??
? ?
0
l i m
S
Q d Qx
S d S
?
??
?? ??
???
r
dsdQ ??
体电荷
面电荷
线电荷
5．连续分布电荷激发的电场强度
? ?
3
0
()
4L
x r
E x d l
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
对场中一个点电荷，受力 仍成立 F Q E??rr
? ?
3
0
()
4V
x r
E x d V
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
3
04 r
rdQ
Ed
??
??
?
? ?
3
0
()
4S
x r
E x d S
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
dQ
P
r Ed
?
若已知, 原则上可求出 。 若不能
积分,可近似求解或数值积分 。 但是在许多
实际情况 不总是已知的 。 例如, 空间
存在导体介质, 导体上会出现感应电荷分布,
介质中会出现束缚电荷分布, 这些电荷分布
一般是不知道或不可测的, 它们产生一个附
加场, 总场为 。 因此要确定
空间电场, 在许多情况下不能用上式, 而需
用其他方法 。
? ?x? ?r ? ?Exr r
? ?x? ?r
=E E E ??r r r总E??
二、高斯定理与静电场的散度方程
静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷
与真空介电常数比值 。
它适用求解对称性很高情况下的静电场 。
它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内
的关系, 不反应电场的点与点间的关系 。
电场是有源场, 源为电荷 。
1.高斯
定理
? ?VQ x d V? ??? ? r
E ? ? Sd? ?
n?
0?
QSdE
S
???
??
高斯定理的证明（不要求掌握）
? ? 3
0
1
4S V S
rE d S x d S d V
r
?
?? ?
????? ? ?
????? ? ?
rrrr r
蜒
? ? 3
0
1
4 VV
rx d V d V
r
?
?? ?
????? ? ?
??????
rr
? ? ? ?
0
1 4
4 VV
x x x d V d V? ? ?
?? ?
??? ? ???
????
r r r
? ? ? ?
0
1
VV
x x x d V d V??
? ?
??? ? ???
????
r r r
0
Q
?
?
? ? 314 rxx r? ??? ? ? ?
rrr
+
E
dS
利用点电荷可以验证高斯定理
? ?
3
0
1
4 V
xE r d V
r
?
??
? ?
? ?
rr r
2,静电场的散度方程
它又称为静电场高斯定理的微分形式 。
它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷
体密度有关, 与其它点的无关 。
它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况 。
它仅适用于连续分布的区域, 在分界面上, 电场
强度一般不连续, 因而不能使用 。
由于电场强度有三个分量, 仅此方程不能确定,
还要知道静电场的旋度方程 。
? ?
0
1
S V V
E d S E d V x d V?
?
?? ? ? ? ?? ? ?
rrr r
?
0
E ?
?
? ? ?
r
三、静电场的环路定理与旋度方程
1,环路定理
⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零 。
⑵ 说明在回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。
证明 （ 不要求 ）
? ? 3
0
1
4L V L
r
E d l d V x d l
r
?
?? ?
????? ? ?
????? ? ?
rrrr
r
蜒
? ? 3
0
1
0
4 VS
r
x d V d S
r
?
??
????? ? ? ? ?
??
????
r r
r
0???
L
ldE
??
⑴ 又称为环路定理的微分形式, 仅适用静电场 。
⑵ 它说明静电场为无旋场, 电力线永不闭合 。
⑶ 在分界面上电场强度一般不连续, 旋度方程
不适用, 只能用环路定理 。
⑷ 电场强度有三个分量方程, 但只有两个独立
的方程 。
？
? ? 0LSE d l E d S? ? ? ? ? ??? r rrr? 0E? ? ?r
2、旋度方程
四、静电场的基本方程
0
0,EE ?
?
? ? ? ? ? ?
rr微分形式
? ?
00
1
SV
QE d S x d V?
??
??? ? ???
rr r
?
0L E d l??? rr?
积分形式
物理意义：反
映电荷激发电
场及电场内部
联系的规律性
物理图像：电荷是电场的源,
静电场是有源无旋场
例 题, 电荷均匀分布于半径为 a的球体内,
求各点场强的散度和旋度 。
第一章
河北师范大学重点建设课程
本章重点、难点及主要内容简介
本章重点：从特殊到一般, 由一些重要的实
验定律及一些假设总结出麦克斯韦方程 。
主要内容,
讨论几个定律, 总结出静电场, 静磁场方程；
找出问题, 提出假设, 总结真空中麦氏方程；
讨论介质电磁性质, 得出介质中麦氏方程；
给出求解麦氏方程的边值关系；引入电磁场
能量, 能流并讨论电磁能量的传输 。
本章难点：电磁场的边值关系, 电磁场能量 。
§ 1,电荷和静电场
一, 库仑定律和电场强度 描述一个静止点电
荷对另一
静止点电
荷的作用
力
F?
Q
Q’
r?
r
r
F ?
4
1
2
0
?? ?
?
??
1,库仑定律
⑴ 静电学的基本实验定律； ⑵ Q’ 对 Q的作用力
为 ；⑶ 两种物理解释, FF ?? ???
超距作用：一个点电荷不需中间媒介
直接施力与另一点电荷 。
场传递：相互作用通过场来传递 。
对静电情
况两种观
点等价
2,点电荷电场强度
它的方向沿试探电荷受力的方向, 大小与试
探点电荷无关 。 给定 Q,它仅是空间点函数,
因而静电场是一个矢量场 。
电荷周围空间存在电场：即任何电荷都在自
己周围空间激发电场。
3
0
()
4
F Q rEx
Qr ??
??
?
r rr
r
电荷 电场 电荷
电场的基本性质, 对电场中的电荷有力的作用
描述电场的函
数 ----电场强度
3．场的叠加原理（实验定律）
3
11 0
()
4
nn
ii
i
ii i
Qr
E x E
r????
????
rrr
r
电荷系在空间某点产生的电场强度等于组成该电荷系
的各点电荷单独存在时在该点产生的场强的矢量和。
E?
Q1
Qn
1r?
Qi
2Q
1Q P
E?
2E
?
1E
?
平行四边型法则
4．电荷密度分布
? ?
0
l i m
V
Q d Qx
V d V? ??
?? ??
???
r
dVdQ ??
? ?
0
l i m
l
Q d Qx
l d l? ??
?? ??
???
r dldQ ??
? ?
0
l i m
S
Q d Qx
S d S
?
??
?? ??
???
r
dsdQ ??
体电荷
面电荷
线电荷
5．连续分布电荷激发的电场强度
? ?
3
0
()
4L
x r
E x d l
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
对场中一个点电荷，受力 仍成立 F Q E??rr
? ?
3
0
()
4V
x r
E x d V
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
3
04 r
rdQ
Ed
??
??
?
? ?
3
0
()
4S
x r
E x d S
r
?
??
?
?? ?
r rr
r
dQ
P
r Ed
?
若已知, 原则上可求出 。 若不能
积分,可近似求解或数值积分 。 但是在许多
实际情况 不总是已知的 。 例如, 空间
存在导体介质, 导体上会出现感应电荷分布,
介质中会出现束缚电荷分布, 这些电荷分布
一般是不知道或不可测的, 它们产生一个附
加场, 总场为 。 因此要确定
空间电场, 在许多情况下不能用上式, 而需
用其他方法 。
? ?x? ?r ? ?Exr r
? ?x? ?r
=E E E ??r r r总E??
二、高斯定理与静电场的散度方程
静电场对任一闭合曲面的通量等于面内电荷
与真空介电常数比值 。
它适用求解对称性很高情况下的静电场 。
它反映了电荷分布与电场强度在给定区域内
的关系, 不反应电场的点与点间的关系 。
电场是有源场, 源为电荷 。
1.高斯
定理
? ?VQ x d V? ??? ? r
E ? ? Sd? ?
n?
0?
QSdE
S
???
??
高斯定理的证明（不要求掌握）
? ? 3
0
1
4S V S
rE d S x d S d V
r
?
?? ?
????? ? ?
????? ? ?
rrrr r
蜒
? ? 3
0
1
4 VV
rx d V d V
r
?
?? ?
????? ? ?
??????
rr
? ? ? ?
0
1 4
4 VV
x x x d V d V? ? ?
?? ?
??? ? ???
????
r r r
? ? ? ?
0
1
VV
x x x d V d V??
? ?
??? ? ???
????
r r r
0
Q
?
?
? ? 314 rxx r? ??? ? ? ?
rrr
+
E
dS
利用点电荷可以验证高斯定理
? ?
3
0
1
4 V
xE r d V
r
?
??
? ?
? ?
rr r
2,静电场的散度方程
它又称为静电场高斯定理的微分形式 。
它说明空间某点的电场强度的散度只与该点电荷
体密度有关, 与其它点的无关 。
它刻划静电场在空间各点发散和会聚情况 。
它仅适用于连续分布的区域, 在分界面上, 电场
强度一般不连续, 因而不能使用 。
由于电场强度有三个分量, 仅此方程不能确定,
还要知道静电场的旋度方程 。
? ?
0
1
S V V
E d S E d V x d V?
?
?? ? ? ? ?? ? ?
rrr r
?
0
E ?
?
? ? ?
r
三、静电场的环路定理与旋度方程
1,环路定理
⑴ 静电场对任意闭合回路的环量为零 。
⑵ 说明在回路内无涡旋存在，静电场是不闭合的。
证明 （ 不要求 ）
? ? 3
0
1
4L V L
r
E d l d V x d l
r
?
?? ?
????? ? ?
????? ? ?
rrrr
r
蜒
? ? 3
0
1
0
4 VS
r
x d V d S
r
?
??
????? ? ? ? ?
??
????
r r
r
0???
L
ldE
??
⑴ 又称为环路定理的微分形式, 仅适用静电场 。
⑵ 它说明静电场为无旋场, 电力线永不闭合 。
⑶ 在分界面上电场强度一般不连续, 旋度方程
不适用, 只能用环路定理 。
⑷ 电场强度有三个分量方程, 但只有两个独立
的方程 。
？
? ? 0LSE d l E d S? ? ? ? ? ??? r rrr? 0E? ? ?r
2、旋度方程
四、静电场的基本方程
0
0,EE ?
?
? ? ? ? ? ?
rr微分形式
? ?
00
1
SV
QE d S x d V?
??
??? ? ???
rr r
?
0L E d l??? rr?
积分形式
物理意义：反
映电荷激发电
场及电场内部
联系的规律性
物理图像：电荷是电场的源,
静电场是有源无旋场
例 题, 电荷均匀分布于半径为 a的球体内,
求各点场强的散度和旋度 。
