第二章第三节
河北师范大学重点建设课程
分离变量法
§ 2,3 拉普拉斯方程的解
—— 分离变量法
一,分离变量法的适用条件
四、应用实例（习题课）
三、解题步骤
二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式
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1,空间, 自由电荷只分布在某些介质 （ 或导
体 ） 表面上, 将这些表面视为区域边界, 可用
拉普拉斯方程 。
0??
一、拉普拉斯方程的适用条件
2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求
自由电荷分布在真空中产生的势为已知。
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一般所求区域为分区均匀介质, 则不同介质分界
面上有束缚面电荷 。 区域 V中电势可表示为两部分
的和, 即, 为已知自由电荷产生
的电势, 不满足, 为束缚电荷产生
的电势, 满足拉普拉斯方程
? 02 ?? ? ??
02 ??? ?
??? ??? 0 0?
但注意, 边值关系还要用 而不能用
S? S??
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
02
2
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2
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zyx
????1,直角坐标
)()()(),,( zZyYxXzyx ??（ 1） 令
11
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Y
dy
Yd
X
dx
Xd
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?
注意,在 （ 1）, （ 2） 两种情况中 若考虑了某些边
界条件, 将与某些正整数有关, 它们可取 1，
2,3,…, 只有对它们取和后才得到通解 。
kkk,,21
0?? ?? 22,kk ??? ??
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12( ) s i n c o sg a a? ? ? ? ? ? ?
)(rf ?r ??r 有两个线性无关解,
)2()0( ??? ? n??单值性要求, 只能取整数，令 ?
1
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n
r r A n B n r C n D n? ? ? ? ? ?
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nm nm
n m nn
nm
bR a R P m
R ????? ? ? ? ?
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nm nm
n m nn
nm
dc R P m
R ???? ??
3,球坐标
)(c o s?mnP —— 缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
? ???
n
nn
nn
n PR
bRaR )( c o s)(),(
1 ???
? ? ?? 若 不依赖于,即 具有轴对称性, 通解 为
)1c o s3(21)( c o s 22 ?? ??P
?? c o s)( c o s1 10 ?? PP
)(c o s?nP -----为勒让德函数
R
baR ??)(?
?,??
?
? 若 与 均无关,
具有球对称性,通解,
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三．解题步骤
3,根据具体条件确定常数
1.选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参
考点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选
坐标系中的通解；
（ 1）外边界条件,电荷分布有限 0?
??
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注意,边界条件和边值关系是相对的 。 导体边界
可视为外边界, 给定 （ 接地 ）, 或给
定总电荷 Q,或给定 。
S?
?
0?S?
zeEE
??
0? zErE 00 c o s ????? ??
电荷分布无限,电势参考点一般选在有限区。如
（直角坐标或柱坐标）,电势可选在坐标原点。
均匀场中,
（ 2）内部边值关系：介质分界面上
SS
SS nn ?
??
?
?? 2
2
1
121
??????
一般讨论分
界面无自由
电荷的情况
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四．应用举例
1,两无限大平行导体板, 相距为, 两板间 电势
差为 V (与 无关 ),一板接地, 求 两板间的
电势 和 。
l
zyx,,
? E?
x
y O
V
Z
l
解：（ 1）边界为平面，故
应选直角坐标系
下板 0
1
?S?, 设为 参考点
lz?
V??
? yx,
（ 2）定性分析,因 在
（ 常数 ）,可考虑
与 无关。
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(4) 定常数,00)0( ??? Bz?
l
VAVAlVlz ???? )(?
)0( lzzlV ????(5) 电场为均匀场
????????? lVEelVedzdE zz ??? ?? 常数
电势,
(3) 列出方程并给出解,
BAz ??? 方程的解,)0( lz ??
02 ?? ?
2
2 0
d
dz
??
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2,一对接地半无限大平板，相距为,左端有 一极 b
板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。
x
y
z
V
解,（ 1） 边界为平面,
选直角坐标系 ； 上, 下两
平板接地, 取 为参考点 ；
且当 0,,yb? 0?
??x?
22
2
22 0 (0,0 )x y bxy
??? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
z
0,0,x y b V? ? ? ??
（ 2） 轴平行于平板，且
z ),( yx?? ?与 无关，可设
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k x k xX x A e B e
X x Y y
Y y C k y D k y
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(,) ( ) ( s in c o s )k x k xx y A e B e C k y D k y?? ? ??
（ 3）确定常数 A,B,C,D,k
① 00,0 ???? Dy ?
②,0 s i n 0y b k b?? ? ? ?
( 1,2,3,)nk b n k nb??? ? ? LL
(,) ( ) ( s i n ) ( 1,2,3 )n n n nk x k xx y A e B e C k y n? ?? ? ? LL?
?
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1
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n
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通解
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bn n n n nn xx y C y e B C C
b
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ynCVVx ??④
b
ym?sin两边同乘 并从 0 → b 积分,
00 1
s in s in s inbb n
n
m y n y m yV d y C d y
b b b
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01 sin sin
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b
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V
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C
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mb
m
（ m = 奇数）
（ m = 偶数）
/
1,3,5
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m
V m yx y e
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L
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nb
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??????
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3.半径 a，带有均匀电荷分布 ? 的无限长圆柱导体,
求导体柱外空间的电势和电场。
解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可
选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。 )0)(( ?? ar?
对称性分析,
① 导体为圆柱，柱上电荷均匀
分布,? ?一定与 无关。
② 柱外无电荷，电场线从面上
发出后，不会终止到面上，只
能终止到无穷远，且在导体面
上电场只沿 方向，可认为
re? ?
)(r?? ?与 z无关,
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x
y
z
o
r
θ
Cdrdrdrdrdrdr ????? ??? 0)(102
a
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a
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DrCr ?? ln)(? 0)( ?a? aCD ln??当 r = a 时,
0
r
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a
C
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在导体面上
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??
0
)(
?
??
[补充题 1]长方形盒的长为 A,宽
为 B,高为 C,上盖电位为, 其
余接地, 求盒内的电位分布 。
0?
C
A
B
0?
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nm πs i n h
πs i nπs i n 22
1
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C
B
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A
n
mn
C mm
πs i n hπ
16
22
2
0?
0V?
0V
[补充题 2]无穷长导体圆筒, 半径为
a,厚度可以忽略不计 。 圆筒分成相
等的两个半片, 相互绝缘 。 其中的
一半 的 电位 为, 另 一 半电 位
为, 求圆筒内的电位分布 。 0
V
0V?
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4,一半径为 a,介电常数为 的无
限长电介质 圆柱, 柱轴沿 方
向, 方向上有一 外加均匀电
场, 求空间电势分布和柱面
上的束缚电荷分布 。
?
yer
0E
?z
e?
解,(1)边界为柱面,选柱坐标系 。
均匀场电势在无穷远处不为零, 故
参考点选在有限区域, 例如可选在
坐标原点 ?
?0r? 常数（或 0）
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
1
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?
?
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x
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z O
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(2) 考虑对称性电势与 z无关，设柱内电势为,柱外为 它
们分别满足,。通解为,
1? 2?
2 1 0??? (0 )ra?? 2
2 0 ( )ra? ? ??
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2
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[ ( s in c o s ) ( s in c o s ) ]nnn n n n
n
r A n B n r C n D n? ? ? ? ?
?
?
?
? ? ? ??
ar? ? ?
(3) 确定常数
① 因为有外加均匀场, 它们对 x轴对称, 可考虑, 也
相对 x轴对称 （ 为偶函数 ）, 所以 中不应包
含 项, 故,
1? 2?
)(?? 1? 2?,
?nsin )2()1()2()1(,,,nnnn ACAA 均为零。
?? 10 ?r② 常数（或零），有限，故 1? nr?
0)1( ?? nD
中不应有
项 。
2?
（均匀场电势）,
中不 含 项 02
0)2(1 ??? nBEB
），得 nr 1?n（ 因此
?? c o s02 rEr ????
?
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n n
n
n
n
n
n n
n
n
n
n
naDnEnanB
naDaEnaB
??????
???121 2 0 0aa rrr a r a
????
??
??? ? ? ?
ar ?③ 时,
两边 为任意值,前系数应相等（ ） ? ?cos ?,2,1?n
( 1 ) ( 2 ) 1
1 0 1
( 1 ) ( 2 ) 2
1 0 0 0 1
1
B a E a D a
n
B E D a? ? ?
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? ?
? ? ???
( 2 ) 20
10
0
( 1 ) 0
10
0
2
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?
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?
? ??
( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 )
0
1 ( 1 )
nn
nn
nn
nn
B a D ann
n B a n D a??
?
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? ??
?? ?
????
( 1 )
( 2 )
0 ( 1 )
0
n
n
B n
D
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???
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0
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1 ???
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???????? raErarE ??? ???? c o sc o s 0
2
0
0
02
（ 4）解为
（ 5）求柱内电场,)c o s(2 0
0
0
1 xrxE ???? ???
??
0
1 0 1 1
0
2 0
x y zE E E E? ? ??
?
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0
0
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???
仍沿 x方向
12
0
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01 EE ? ∴ ∵
Z
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0
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?????
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???
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????
（ 6）柱面上束缚面电荷分布
0)( 12
0
????? ?? ?? EEnP
???
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?
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??
??
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2
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0
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0
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E
EEE
rr
EE
arnnP
?
?
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??
?
?
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?
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????
?
（ 7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令 ???
?
?
?
?
?
?
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???
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???
???
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c o s2
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0
00
0
2
02
1
E
E
r
a
rE
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5,如图所示的导体球 （ 带电 Q） 和不带电荷的导体球壳, 用分
离变量法求空间各点的电势及球壳内, 外面上的感应电荷 。
解,(1)边界为球形, 选球坐标系,
电荷分布在有限区, 选 0?
??r?
若将 Q移到壳上,
球接地为书中
P64例题
（ 2）设球壳内为 I区,壳外为 II区 。
球壳内,
2 2 0? ? ?
2 1 0? ? ?
球壳外
电荷在球上均匀分布，场有球对称
性,?,??与 无关
?
?
?
??
?
?
????
???
)(
)(
211
32
RRR
R
b
a
RR
R
d
C
?
?
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2R
3R
1R
Q
OI II
（ 3）确定常数 1200
dRC
R???? ? ? ? ? ?
①
② ??? ?
?
???
RRR
1
01,
23
1200 0
SS d S d Snn
??? ? ???蜒 ????
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③ 导体壳为等势体
3221SS
???
3 0 2
1
4
dQa
RR?? ??
1
1
21
0 0 12
1
4
S RR
bQ d S R
R R?
?? ? ? ? ?
???
?? ? ?
04
Qb ?
??
④ 在导体壳上
23
23 0SSQ d S d S? ? ?????
2
3
1
20
2
30
S
S
n
n
?
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n?
n?
R
23
120 [ ] 0
SS d S d SRR
?? ????蜒 ???
)11(4
230 RR
Qa ??
??
（ 4）
13
04
Q RR
R? ? ? ?? ??
21
2300
2 )
11(
44 RRRRR
Q
R
Q ?????
?????
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0
4 4 0 4 Qb d d b?? ??? ? ? ? ? ?
2322
0SSd S d SbdRR? ? ???蜒
（ 5）球壳上的感应电荷
?? ??????? 33 220 14 SS QdSRQdSnQ ???壳外面
?? ??????????? 22 110 SS QdSRdSnQ ???壳内面
0????? QQ 以上结果均与高斯定理求解一致。
pr
2?
1?
R0
z
6,均匀介质球 （ 介电常数为 ）
的中心置一自由电偶极子, 球
外充满另一种介质 （ 介电常数
为 ）, 求空间各点电势和束缚电
荷分布 。
1?
fp?
2?
解, (1) 与 的边界为球面，故选
球坐标系,电荷分布在有限区，选 1? 2?
0r ????
(2)设球内电势为, 球外电势为,球外无自由电荷分布,
电势满足 。 但球内有自由偶极子, 不满足拉普拉斯
方程, 但满足泊松方程 。 考虑偶极子使介质极化, 极化电荷分
布在偶极子附近和球面上 。 自由偶极子在介质中产生的电势
1? 2?
022 ?? ?
33
0
30 444 R
Rp
R
Rp
R
Rp pff
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?
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101 ??? ??? 3
1
0 4 R
Rp f
??
?
??
?
?所以
1?? )(0 012 RR ???? ?满足
2 0 2? ? ?????还可设 00 ?? ?? 为简单令
?
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)( c o s)(
12
11
??
??
考虑轴对称,
101 ??? ??? 202 ??? ???（ 3）确定常数
1?? 0??
nb① R→0,
有限
????
n
n
n
n
f PRa
R
Rp )( c o s
4 311 ????
??
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R→∞ 2 00 nC? ? ? ?
2 31
1
( c o s )
4
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nn
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pR d P
RR
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rr
② 边值关系
?
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?????
00
0000
2
2
1
1
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RR
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RR
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1c o s ( c o s )f f fp R p R p R p??? ? ?
rr并注意到
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0
( c o s ) ( c o s )n nn n nn
nn
da R P P
R?? ????
)(c o s?nP比较 的系数，得
??
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（ 4）电势解为
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（ 5）球面上束缚（极化）电荷分布
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R
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[补充题 3]
一半径为 R0的球面, 给定球面上任意
一点 P 的电势, 为常数
,求面内外的电势分布 。
?? 20 sin 0? ?
R0
P
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答案,
机动 目录 上页 下页 返回 结束
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0
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答案,
作业,1,2,4,5
补充题 3,4
选作,6 *、补充题 1,2
[补充题 4]
有一半径为 a 的无限长圆柱导体, 柱轴沿 方向, 沿 方向
上有一外加均匀电场, 求空间电势分布 （ 球外为真空 ） 和
面 电荷分布 （ 令柱面处电势为零 ） 。
ze
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x
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z
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河北师范大学重点建设课程
分离变量法
§ 2,3 拉普拉斯方程的解
—— 分离变量法
一,分离变量法的适用条件
四、应用实例（习题课）
三、解题步骤
二、拉普拉斯方程的解在坐标系中的形式
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1,空间, 自由电荷只分布在某些介质 （ 或导
体 ） 表面上, 将这些表面视为区域边界, 可用
拉普拉斯方程 。
0??
一、拉普拉斯方程的适用条件
2、在所求区域的介质中若有自由电荷分布，则要求
自由电荷分布在真空中产生的势为已知。
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一般所求区域为分区均匀介质, 则不同介质分界
面上有束缚面电荷 。 区域 V中电势可表示为两部分
的和, 即, 为已知自由电荷产生
的电势, 不满足, 为束缚电荷产生
的电势, 满足拉普拉斯方程
? 02 ?? ? ??
02 ??? ?
??? ??? 0 0?
但注意, 边值关系还要用 而不能用
S? S??
二、拉普拉斯方程在几种坐标系中解的形式
02
2
2
2
2
2
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zyx
????1,直角坐标
)()()(),,( zZyYxXzyx ??（ 1） 令
11
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Y
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Yd
X
dx
Xd
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?
注意,在 （ 1）, （ 2） 两种情况中 若考虑了某些边
界条件, 将与某些正整数有关, 它们可取 1，
2,3,…, 只有对它们取和后才得到通解 。
kkk,,21
0?? ?? 22,kk ??? ??
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)(rf ?r ??r 有两个线性无关解,
)2()0( ??? ? n??单值性要求, 只能取整数，令 ?
1
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nm nm
n m nn
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R ???? ??
3,球坐标
)(c o s?mnP —— 缔合勒让德函数（连带勒让德函数）
? ???
n
nn
nn
n PR
bRaR )( c o s)(),(
1 ???
? ? ?? 若 不依赖于,即 具有轴对称性, 通解 为
)1c o s3(21)( c o s 22 ?? ??P
?? c o s)( c o s1 10 ?? PP
)(c o s?nP -----为勒让德函数
R
baR ??)(?
?,??
?
? 若 与 均无关,
具有球对称性,通解,
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三．解题步骤
3,根据具体条件确定常数
1.选择坐标系和电势参考点
坐标系选择主要根据区域中分界面形状，参
考点主要根据电荷分布是有限还是无限；
2.分析对称性、分区写出拉普拉斯方程在所选
坐标系中的通解；
（ 1）外边界条件,电荷分布有限 0?
??
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注意,边界条件和边值关系是相对的 。 导体边界
可视为外边界, 给定 （ 接地 ）, 或给
定总电荷 Q,或给定 。
S?
?
0?S?
zeEE
??
0? zErE 00 c o s ????? ??
电荷分布无限,电势参考点一般选在有限区。如
（直角坐标或柱坐标）,电势可选在坐标原点。
均匀场中,
（ 2）内部边值关系：介质分界面上
SS
SS nn ?
??
?
?? 2
2
1
121
??????
一般讨论分
界面无自由
电荷的情况
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四．应用举例
1,两无限大平行导体板, 相距为, 两板间 电势
差为 V (与 无关 ),一板接地, 求 两板间的
电势 和 。
l
zyx,,
? E?
x
y O
V
Z
l
解：（ 1）边界为平面，故
应选直角坐标系
下板 0
1
?S?, 设为 参考点
lz?
V??
? yx,
（ 2）定性分析,因 在
（ 常数 ）,可考虑
与 无关。
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(4) 定常数,00)0( ??? Bz?
l
VAVAlVlz ???? )(?
)0( lzzlV ????(5) 电场为均匀场
????????? lVEelVedzdE zz ??? ?? 常数
电势,
(3) 列出方程并给出解,
BAz ??? 方程的解,)0( lz ??
02 ?? ?
2
2 0
d
dz
??
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2,一对接地半无限大平板，相距为,左端有 一极 b
板电势为 V（常数），求两平行板之间的电势。
x
y
z
V
解,（ 1） 边界为平面,
选直角坐标系 ； 上, 下两
平板接地, 取 为参考点 ；
且当 0,,yb? 0?
??x?
22
2
22 0 (0,0 )x y bxy
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??
???
z
0,0,x y b V? ? ? ??
（ 2） 轴平行于平板，且
z ),( yx?? ?与 无关，可设
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(,) ( ) ( s in c o s )k x k xx y A e B e C k y D k y?? ? ??
（ 3）确定常数 A,B,C,D,k
① 00,0 ???? Dy ?
②,0 s i n 0y b k b?? ? ? ?
( 1,2,3,)nk b n k nb??? ? ? LL
(,) ( ) ( s i n ) ( 1,2,3 )n n n nk x k xx y A e B e C k y n? ?? ? ? LL?
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通解
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m y n y m yV d y C d y
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V
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（ m = 奇数）
（ m = 偶数）
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V m yx y e
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3.半径 a，带有均匀电荷分布 ? 的无限长圆柱导体,
求导体柱外空间的电势和电场。
解：电荷分布在无限远，电势零点可选在有限区，为简单可
选在导体面 r = a 处，即 选柱坐标系。 )0)(( ?? ar?
对称性分析,
① 导体为圆柱，柱上电荷均匀
分布,? ?一定与 无关。
② 柱外无电荷，电场线从面上
发出后，不会终止到面上，只
能终止到无穷远，且在导体面
上电场只沿 方向，可认为
re? ?
)(r?? ?与 z无关,
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
在导体面上
reaE
??
0
)(
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??
[补充题 1]长方形盒的长为 A,宽
为 B,高为 C,上盖电位为, 其
余接地, 求盒内的电位分布 。
0?
C
A
B
0?
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mn
C mm
πs i n hπ
16
22
2
0?
0V?
0V
[补充题 2]无穷长导体圆筒, 半径为
a,厚度可以忽略不计 。 圆筒分成相
等的两个半片, 相互绝缘 。 其中的
一半 的 电位 为, 另 一 半电 位
为, 求圆筒内的电位分布 。 0
V
0V?
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4,一半径为 a,介电常数为 的无
限长电介质 圆柱, 柱轴沿 方
向, 方向上有一 外加均匀电
场, 求空间电势分布和柱面
上的束缚电荷分布 。
?
yer
0E
?z
e?
解,(1)边界为柱面,选柱坐标系 。
均匀场电势在无穷远处不为零, 故
参考点选在有限区域, 例如可选在
坐标原点 ?
?0r? 常数（或 0）
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )
1
1
[ ( s in c o s ) ( s in c o s ) ]nnn n n n
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机动 目录 上页 下页 返回 结束
(2) 考虑对称性电势与 z无关，设柱内电势为,柱外为 它
们分别满足,。通解为,
1? 2?
2 1 0??? (0 )ra?? 2
2 0 ( )ra? ? ??
( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )
2
1
[ ( s in c o s ) ( s in c o s ) ]nnn n n n
n
r A n B n r C n D n? ? ? ? ?
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? ? ? ??
ar? ? ?
(3) 确定常数
① 因为有外加均匀场, 它们对 x轴对称, 可考虑, 也
相对 x轴对称 （ 为偶函数 ）, 所以 中不应包
含 项, 故,
1? 2?
)(?? 1? 2?,
?nsin )2()1()2()1(,,,nnnn ACAA 均为零。
?? 10 ?r② 常数（或零），有限，故 1? nr?
0)1( ?? nD
中不应有
项 。
2?
（均匀场电势）,
中不 含 项 02
0)2(1 ??? nBEB
），得 nr 1?n（ 因此
?? c o s02 rEr ????
?
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n
n
n
n
n n
n
n
n
n
naDnEnanB
naDaEnaB
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???121 2 0 0aa rrr a r a
????
??
??? ? ? ?
ar ?③ 时,
两边 为任意值,前系数应相等（ ） ? ?cos ?,2,1?n
( 1 ) ( 2 ) 1
1 0 1
( 1 ) ( 2 ) 2
1 0 0 0 1
1
B a E a D a
n
B E D a? ? ?
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( 2 ) 20
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0
( 1 ) 0
10
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2
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( 1 ) ( 2 )
( 1 ) 1 ( 2 ) ( 1 )
0
1 ( 1 )
nn
nn
nn
nn
B a D ann
n B a n D a??
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( 1 )
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B n
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2
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（ 4）解为
（ 5）求柱内电场,)c o s(2 0
0
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2 0
x y zE E E E? ? ??
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仍沿 x方向
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（ 6）柱面上束缚面电荷分布
0)( 12
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????
?
（ 7）若圆柱为导体，可用上述方法重新求解，或令 ???
?
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?
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c o s2
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0
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0
2
02
1
E
E
r
a
rE
机动 目录 上页 下页 返回 结束
5,如图所示的导体球 （ 带电 Q） 和不带电荷的导体球壳, 用分
离变量法求空间各点的电势及球壳内, 外面上的感应电荷 。
解,(1)边界为球形, 选球坐标系,
电荷分布在有限区, 选 0?
??r?
若将 Q移到壳上,
球接地为书中
P64例题
（ 2）设球壳内为 I区,壳外为 II区 。
球壳内,
2 2 0? ? ?
2 1 0? ? ?
球壳外
电荷在球上均匀分布，场有球对称
性,?,??与 无关
?
?
?
??
?
?
????
???
)(
)(
211
32
RRR
R
b
a
RR
R
d
C
?
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2R
3R
1R
Q
OI II
（ 3）确定常数 1200
dRC
R???? ? ? ? ? ?
①
② ??? ?
?
???
RRR
1
01,
23
1200 0
SS d S d Snn
??? ? ???蜒 ????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③ 导体壳为等势体
3221SS
???
3 0 2
1
4
dQa
RR?? ??
1
1
21
0 0 12
1
4
S RR
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R R?
?? ? ? ? ?
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04
Qb ?
??
④ 在导体壳上
23
23 0SSQ d S d S? ? ?????
2
3
1
20
2
30
S
S
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n
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R
23
120 [ ] 0
SS d S d SRR
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)11(4
230 RR
Qa ??
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（ 4）
13
04
Q RR
R? ? ? ?? ??
21
2300
2 )
11(
44 RRRRR
Q
R
Q ?????
?????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
4 4 0 4 Qb d d b?? ??? ? ? ? ? ?
2322
0SSd S d SbdRR? ? ???蜒
（ 5）球壳上的感应电荷
?? ??????? 33 220 14 SS QdSRQdSnQ ???壳外面
?? ??????????? 22 110 SS QdSRdSnQ ???壳内面
0????? QQ 以上结果均与高斯定理求解一致。
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1?
R0
z
6,均匀介质球 （ 介电常数为 ）
的中心置一自由电偶极子, 球
外充满另一种介质 （ 介电常数
为 ）, 求空间各点电势和束缚电
荷分布 。
1?
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2?
解, (1) 与 的边界为球面，故选
球坐标系,电荷分布在有限区，选 1? 2?
0r ????
(2)设球内电势为, 球外电势为,球外无自由电荷分布,
电势满足 。 但球内有自由偶极子, 不满足拉普拉斯
方程, 但满足泊松方程 。 考虑偶极子使介质极化, 极化电荷分
布在偶极子附近和球面上 。 自由偶极子在介质中产生的电势
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（ 4）电势解为
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（ 5）球面上束缚（极化）电荷分布
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[补充题 3]
一半径为 R0的球面, 给定球面上任意
一点 P 的电势, 为常数
,求面内外的电势分布 。
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答案,
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)1c o s3(21 22 ?? ?P注意,
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答案,
作业,1,2,4,5
补充题 3,4
选作,6 *、补充题 1,2
[补充题 4]
有一半径为 a 的无限长圆柱导体, 柱轴沿 方向, 沿 方向
上有一外加均匀电场, 求空间电势分布 （ 球外为真空 ） 和
面 电荷分布 （ 令柱面处电势为零 ） 。
ze
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