§ 2.5 格林函数方法
三、用格林函数求解一般的边值问题
?一、点电荷密度的 函数表示
二、格林函数
内容提要
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解
的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
设 V内电荷分布 已知,
—— 第一边值问题
S?
Sn?
??
① 给定 V边界 S上的各点电势
② 或给定边界 S上法向分量 —— 第二边值问题
求 V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的
某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重
要的工具。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?一、点电荷密度的 函数表示
)()( xxx ???? ??? ??
)(1)()( VxdVxxxdx VV ?????? ?? ???? ??
)()()()( VxxfxdxxxfV ??????? ?????? ?
x??1,处于 点上的单位点电荷的密度
)()( xxQx ???? ??? ??[一般 ]
2．常用公式
??点电荷的泊松方程：设电势为
)()(
0
2 xxQx ?????? ??? ?
?
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
2 )()(
?
?? xxx ?????? ???
单位点电荷产生的电势
空间区域 V上的边界条件
0?S? ?
?
?
Sn
?或 常数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(),( xxGxxG ???? ???格林函数的对称性 （偶函数）
),()( xxGx ??? ????
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
0
2 )(),(
?
? xxxxG ?????? ????
（ 0),( ??
SxxG
?? ?
?
??
Sn
xxG ),( ?? 或 常数）
2? x? 只对 微商。
),( xxG ???2,格林函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上单位点电荷在无穷空间中激发的电势 x??
222
0 )()()(
1
4
1),()(
zzyyxx
xxGx
????????
??? ??? ???
222 )()()( zzyyxxr ?????????
（ 1）无界空间中的格林函数
的距离 到 x?? x?
xxrxxG ????? ??
??
00 4
1
4
1),(
????
球坐标中
（偶函数）
),()(412 xxGxxr ?????? ??????
显然满足点电荷泊松方程。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2）上半空间的格林函数
0
1 1 1( ) (,) [ ]
4x G x x rr? ??
?? ? ? ?r r r
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r x x y y z z
r x x y y z z
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ???
（ 3）球外空间的格林函数
),,( zyxP ????设点电荷 Q = 1 坐标为
),,( zyxP观察点为
222 zyxxR ???? ?
222 zyxxR ????????? ?
RR ??0 （ R? 相当于题中的 a ）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?c o s222 RRRRxxrPP ?????????? ??
P? xRR ?? ?2
2
0设假想点电荷在,它的坐标为
PO ?
R
R
?
2
0（它在 连线上，题中 b对应这里的 ）
?c o s2 2
2
0
2
4
02
2
2
0
R
RR
R
RRx
R
RxrPP
?????????????
??
)(1
2
0
2
000
R
RR
a
Rb
R
R
R
QRQQ
??????????????∵
220
11(,) ( ) [
4 2 c o sG x x x R R R R? ?? ?? ?? ????
r r r
22
0
0
1 ]
( ) 2 c o sRR R R R
R
?
?
? ?
??
)c o s (s i ns i nc o sc o sc o s ??????? ??????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、用格林函数求解一般的边值问题
x??相应格林函数问题,V内 点上有单位点电荷,
)(x?? S?
)(x??
0
2
?
?? ???
,给定，求 V内
。 满足 （真空情况）
0),( ?? SxxG ?? ),()( xxGx ?? ???? 解为 边界上
1,第一类边值问题求解的格林方法
（ 1） V内有电荷分布
（ 2）二者的联系由格林第二公式给出
?? ? ?????????????? SV S dSnnSddV )()()( 22 ???????????? ?
? 满足泊松方程，为 V内电势 设
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
2 )()(
?
?? xx ????? ? ?? x?? x?（为讨论方便 与 互换）
? ),( xxG ???
0
2 ),(
?
? xxG ?? ???? ?为格林函数
Sd
n
xxG
x
n
x
xxG
VdxxGxxxxG
S
V
?
??
??
??
??
??
??
??? ????? ??
?
?
]
),(
)(
)(
),([
)],()()(),([ 22
??
?
?
??
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????? ???
???????? ??
??
??
0),(
)(
1
)()(
1
),()(
)(),(
1
)(),(
00
2
0
2
S
VV
VV
xxG
xVdxxxVdxxGx
VdxxxGVdxxxG
??
???????
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ? ???? ??????? V S SdxxGnxVdxxxGx ),()()(),()( 0 ??????? ????∴
),( xxG ??? Sx)(??只要知道相应问题的 和
)(x??即可得到
2．第二类边值问题解的格林函数方法
)(x??
Sn?
??,S上 给定,（ 1） V内有电荷分布
)(x??求 V内 相应格林函数问题
?? ??
Sn
xxG ),( ?? 在 S上） x?常数（
（ 2） ?? ?????????????
S SV SdxnxxGVdxxxGx ????? )(),()(),()( 0
??????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( xxG ???
Sn?
?? )(x??只要知道 和,即可马上得到
（ 1） 的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
),( xxG ???
3．格林函数方法求解讨论
（ 2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0??
? ???????? S SdxxGnxx ),()()( 0 ???? ???
? ??????? S SdxnxxGx )(),()( 0 ???? ???
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、用格林函数求解一般的边值问题
?一、点电荷密度的 函数表示
二、格林函数
内容提要
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?
本节仅研究泊松方程解的格林函数方法。 它与点电荷解
的边值相关，但可以解静电学的许多边值问题。
设 V内电荷分布 已知,
—— 第一边值问题
S?
Sn?
??
① 给定 V边界 S上的各点电势
② 或给定边界 S上法向分量 —— 第二边值问题
求 V内各点电势值。
本节内容不作考试要求。格林函数方法在求解静电场的
某些问题中非常有用，而且在理论物理的研究中是很重
要的工具。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?一、点电荷密度的 函数表示
)()( xxx ???? ??? ??
)(1)()( VxdVxxxdx VV ?????? ?? ???? ??
)()()()( VxxfxdxxxfV ??????? ?????? ?
x??1,处于 点上的单位点电荷的密度
)()( xxQx ???? ??? ??[一般 ]
2．常用公式
??点电荷的泊松方程：设电势为
)()(
0
2 xxQx ?????? ??? ?
?
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
2 )()(
?
?? xxx ?????? ???
单位点电荷产生的电势
空间区域 V上的边界条件
0?S? ?
?
?
Sn
?或 常数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),(),( xxGxxG ???? ???格林函数的对称性 （偶函数）
),()( xxGx ??? ????
对于静电场的点电荷问题
称为静电场的格林函数
0
2 )(),(
?
? xxxxG ?????? ????
（ 0),( ??
SxxG
?? ?
?
??
Sn
xxG ),( ?? 或 常数）
2? x? 只对 微商。
),( xxG ???2,格林函数
机动 目录 上页 下页 返回 结束
上单位点电荷在无穷空间中激发的电势 x??
222
0 )()()(
1
4
1),()(
zzyyxx
xxGx
????????
??? ??? ???
222 )()()( zzyyxxr ?????????
（ 1）无界空间中的格林函数
的距离 到 x?? x?
xxrxxG ????? ??
??
00 4
1
4
1),(
????
球坐标中
（偶函数）
),()(412 xxGxxr ?????? ??????
显然满足点电荷泊松方程。
机动 目录 上页 下页 返回 结束
（ 2）上半空间的格林函数
0
1 1 1( ) (,) [ ]
4x G x x rr? ??
?? ? ? ?r r r
2 2 2
2 2 2
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
r x x y y z z
r x x y y z z
? ? ? ?? ? ? ? ? ??
?
? ? ? ?? ? ? ? ? ???
（ 3）球外空间的格林函数
),,( zyxP ????设点电荷 Q = 1 坐标为
),,( zyxP观察点为
222 zyxxR ???? ?
222 zyxxR ????????? ?
RR ??0 （ R? 相当于题中的 a ）
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?c o s222 RRRRxxrPP ?????????? ??
P? xRR ?? ?2
2
0设假想点电荷在,它的坐标为
PO ?
R
R
?
2
0（它在 连线上，题中 b对应这里的 ）
?c o s2 2
2
0
2
4
02
2
2
0
R
RR
R
RRx
R
RxrPP
?????????????
??
)(1
2
0
2
000
R
RR
a
Rb
R
R
R
QRQQ
??????????????∵
220
11(,) ( ) [
4 2 c o sG x x x R R R R? ?? ?? ?? ????
r r r
22
0
0
1 ]
( ) 2 c o sRR R R R
R
?
?
? ?
??
)c o s (s i ns i nc o sc o sc o s ??????? ??????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三、用格林函数求解一般的边值问题
x??相应格林函数问题,V内 点上有单位点电荷,
)(x?? S?
)(x??
0
2
?
?? ???
,给定，求 V内
。 满足 （真空情况）
0),( ?? SxxG ?? ),()( xxGx ?? ???? 解为 边界上
1,第一类边值问题求解的格林方法
（ 1） V内有电荷分布
（ 2）二者的联系由格林第二公式给出
?? ? ?????????????? SV S dSnnSddV )()()( 22 ???????????? ?
? 满足泊松方程，为 V内电势 设
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0
2 )()(
?
?? xx ????? ? ?? x?? x?（为讨论方便 与 互换）
? ),( xxG ???
0
2 ),(
?
? xxG ?? ???? ?为格林函数
Sd
n
xxG
x
n
x
xxG
VdxxGxxxxG
S
V
?
??
??
??
??
??
??
??? ????? ??
?
?
]
),(
)(
)(
),([
)],()()(),([ 22
??
?
?
??
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????? ???
???????? ??
??
??
0),(
)(
1
)()(
1
),()(
)(),(
1
)(),(
00
2
0
2
S
VV
VV
xxG
xVdxxxVdxxGx
VdxxxGVdxxxG
??
???????
??????
?
?
??
?
?
?
?
?
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ? ???? ??????? V S SdxxGnxVdxxxGx ),()()(),()( 0 ??????? ????∴
),( xxG ??? Sx)(??只要知道相应问题的 和
)(x??即可得到
2．第二类边值问题解的格林函数方法
)(x??
Sn?
??,S上 给定,（ 1） V内有电荷分布
)(x??求 V内 相应格林函数问题
?? ??
Sn
xxG ),( ?? 在 S上） x?常数（
（ 2） ?? ?????????????
S SV SdxnxxGVdxxxGx ????? )(),()(),()( 0
??????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
),( xxG ???
Sn?
?? )(x??只要知道 和,即可马上得到
（ 1） 的求解本身也不是一件很容易的事
情。一般只有区域几何形状规则、简单才容易求解。
电象法是求解格林函数的有效方法之一。
),( xxG ???
3．格林函数方法求解讨论
（ 2）格林函数方法也可用来解拉普拉斯方程的
边值问题。由 0??
? ???????? S SdxxGnxx ),()()( 0 ???? ???
? ??????? S SdxnxxGx )(),()( 0 ???? ???
—— 第一类边值问题
—— 第二类边值问题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
