第三章
河北师范大学重点建设课程
静 磁 场
本章重点,
1,矢势的引入和它满足的微分方程, 静磁
场的能量
2,引入磁标势的条件及磁标势满足的方程
与静电势方程的比较
3,了解 A-B效应和超导体的电磁性质
机动 目录 上页 下页 返回 结束
本章难点：利用磁标势解决具体问题
§ 1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
稳恒电流磁场：传导电流 （ 即运动电荷 ） 产生的不
随时间变化的磁场 。
??
?
?
?
???
???
0B
JH
?
??
基本方程
??
?
?
?
???
???
0)(
)(
12
12
BBn
HHn
???
????
?边值关系
本节仅讨论 情况, 即非铁磁的均匀介质 。 这
种情况静电场和磁场可以分离, 不发生直接联系 。
HB ?? ??
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时,
在这个参照系中观测, 只有静电场 。
2．矢势的引入及意义
静电场 0E? ? ?r
物理意义,
（ a） 与 的关系 A?B?
稳恒电流磁场 HJ? ? ?rr
? ? ? ???????S S L ldASdASdB ?????? )(
BrdSr
L其中 S 为回路 L 为边界的任一曲面
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0B? ? ?r A? BA? ? ? rr
沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一
曲面的磁通量, 而每点 A无直接物理意义 。
A?A?
（ b）磁通量只与曲面 L的边界有关，与曲面的具体形状无关
LSA d l B d S? ? ???
rrr r?（ c）物理意义
３、矢势的不唯一性
?? ??? 21 SS SdBSdB ????21()d S d S d S? ? ? ?r r r
????? AA ?? ()A A A B?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r r r r
0??? A?令 可减少矢势的任意性 ? 满足的方程？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Br
L
1Sd
?
2Sd
?
12
12 0SSB d S B d S? ? ? ???
rrrr0
S B d S???
rr?
二, 矢势满足的方程及方程的解
2 1,2,3iiA J i? ? ? ? ?
1,满足的方程 A?
HB ?? ??
JA ?? ???? 2
（ 1） 稳 恒电流磁场矢势满足 (矢量 )泊松方程
（ 2） 与静电场中 形式相同
?
?? ??? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
JH ?? ???
JAAABB
??????
????????????????? ])([1)(11 2????
0??? A?
（ 3） 矢势为无源有旋场
3
( ) 1
( ) ( )
44
()
4
VV
V
Jx
B A d V J x d V
rr
J x r
dV
r
???
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
??
?
??
?
r r
rrr r
r rr
2,矢势的形式解
? ??? V r VdxJA )(4
???
?
?
已知电流密度, 可从方程直接积分求解, 但一般电流分
布与磁场相互制约, 因此一般情况需要求解矢量泊松方程 。
3,的解 B?
这正是毕奥 -- 萨伐尔定律
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ??? V r Vdx )(4 1
??
??
?通过类比
()
4
i
i V
J x dVA
r
????
? ?
r
A?4,的边值关系 *
机动 目录 上页 下页 返回 结束
tt AA 12 ?
A = 0?? r 12AA?rr
? ????L tt lAAldA )( 12??
LSA d l B d S? ? ???
rrr r? 0
1
2
n?
1 n 2 nAA?
0)(
0)(
12
12
????????
???
AAn
BBn
???
???（ a）
zzA A e e????
r rrr
?? ?? eeAA
???? ??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?
??
?
????
????
???????
????
)
11
(
)(
1
1
2
2
12
AAn
HHn（ b）
特殊情况,
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
② 若分界面为球面, 当
z
x
y
A?
?
??
?
?
??
?
?
r
A
r
A 2
2
1
1
11
?
??
?
?
??
?
? )(1)(1[1
2
2
1
1
rA
r
rA
rr
] x
z
y A
?
5,矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定 V内传导电流 和 V边界 S上的 或
V 内稳恒电流磁场由 和边界
条件唯 一确定 。
J?
tA tB
JA ?? ???? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三, 稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为 ?? ?? dVHBW
??
2
1
1,在稳恒场中有 ?
?
?? dVJAW
??
2
1
② 不是能量密度。 JA ???
2
1
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
HAHB ???? ????? )(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③ 导出过程
)()( HAHA ???? ????????
JAHA ???? ?????? )(
?? ?? dVJA
??
2
1
()
( ) 0
V
S
A H d V
A H d S
? ? ?
? ? ? ?
?
?
r r
rrr
?
)()()( gfgfgf ?????? ???????????
?? ?? dVHBW ??21 ?? ?? ?????? dVJAdVHA
????
2
1)(
2
1
2,电流分布在外磁场中的相互作用能
? ???? dVJJAAW ee )()(21 ??
??
? ?? dVJA )(21
??
? ?? dVJA ee )(21 ?
?
? ???? dVJAJA ee )(21
????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
最后一项称为相互作用能, 记为,
iW
可以证明,
iW ? ?? dVJA e )(
?? ? ?? dVJA
e )(
??
作业（ 131页）,1,3,4
设 为外磁场电流分布, 为外磁场的矢
势； 为处于外磁场 中的电流分布, 它激
发的场的矢势为 。 总能量,
J?
A?
eJ
?
eA
?
eB
?
河北师范大学重点建设课程
静 磁 场
本章重点,
1,矢势的引入和它满足的微分方程, 静磁
场的能量
2,引入磁标势的条件及磁标势满足的方程
与静电势方程的比较
3,了解 A-B效应和超导体的电磁性质
机动 目录 上页 下页 返回 结束
本章难点：利用磁标势解决具体问题
§ 1 矢势及其微分方程
一、稳恒电流磁场的矢势
1．稳恒电流磁场的基本方程
机动 目录 上页 下页 返回 结束
稳恒电流磁场：传导电流 （ 即运动电荷 ） 产生的不
随时间变化的磁场 。
??
?
?
?
???
???
0B
JH
?
??
基本方程
??
?
?
?
???
???
0)(
)(
12
12
BBn
HHn
???
????
?边值关系
本节仅讨论 情况, 即非铁磁的均匀介质 。 这
种情况静电场和磁场可以分离, 不发生直接联系 。
HB ?? ??
实际上当建立一个与电荷一起运动的参照系时,
在这个参照系中观测, 只有静电场 。
2．矢势的引入及意义
静电场 0E? ? ?r
物理意义,
（ a） 与 的关系 A?B?
稳恒电流磁场 HJ? ? ?rr
? ? ? ???????S S L ldASdASdB ?????? )(
BrdSr
L其中 S 为回路 L 为边界的任一曲面
机动 目录 上页 下页 返回 结束
0B? ? ?r A? BA? ? ? rr
沿任一闭合回路的环量代表通过由该回路为边界的任一
曲面的磁通量, 而每点 A无直接物理意义 。
A?A?
（ b）磁通量只与曲面 L的边界有关，与曲面的具体形状无关
LSA d l B d S? ? ???
rrr r?（ c）物理意义
３、矢势的不唯一性
?? ??? 21 SS SdBSdB ????21()d S d S d S? ? ? ?r r r
????? AA ?? ()A A A B?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?r r r r
0??? A?令 可减少矢势的任意性 ? 满足的方程？
机动 目录 上页 下页 返回 结束
Br
L
1Sd
?
2Sd
?
12
12 0SSB d S B d S? ? ? ???
rrrr0
S B d S???
rr?
二, 矢势满足的方程及方程的解
2 1,2,3iiA J i? ? ? ? ?
1,满足的方程 A?
HB ?? ??
JA ?? ???? 2
（ 1） 稳 恒电流磁场矢势满足 (矢量 )泊松方程
（ 2） 与静电场中 形式相同
?
?? ??? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
JH ?? ???
JAAABB
??????
????????????????? ])([1)(11 2????
0??? A?
（ 3） 矢势为无源有旋场
3
( ) 1
( ) ( )
44
()
4
VV
V
Jx
B A d V J x d V
rr
J x r
dV
r
???
? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?
??
???
??
?
??
?
r r
rrr r
r rr
2,矢势的形式解
? ??? V r VdxJA )(4
???
?
?
已知电流密度, 可从方程直接积分求解, 但一般电流分
布与磁场相互制约, 因此一般情况需要求解矢量泊松方程 。
3,的解 B?
这正是毕奥 -- 萨伐尔定律
机动 目录 上页 下页 返回 结束
? ??? V r Vdx )(4 1
??
??
?通过类比
()
4
i
i V
J x dVA
r
????
? ?
r
A?4,的边值关系 *
机动 目录 上页 下页 返回 结束
tt AA 12 ?
A = 0?? r 12AA?rr
? ????L tt lAAldA )( 12??
LSA d l B d S? ? ???
rrr r? 0
1
2
n?
1 n 2 nAA?
0)(
0)(
12
12
????????
???
AAn
BBn
???
???（ a）
zzA A e e????
r rrr
?? ?? eeAA
???? ??
机动 目录 上页 下页 返回 结束
?
??
?
????
????
???????
????
)
11
(
)(
1
1
2
2
12
AAn
HHn（ b）
特殊情况,
① 若分界面为柱面，柱坐标系中当
② 若分界面为球面, 当
z
x
y
A?
?
??
?
?
??
?
?
r
A
r
A 2
2
1
1
11
?
??
?
?
??
?
? )(1)(1[1
2
2
1
1
rA
r
rA
rr
] x
z
y A
?
5,矢量泊松方程解的唯一性定理
定理：给定 V内传导电流 和 V边界 S上的 或
V 内稳恒电流磁场由 和边界
条件唯 一确定 。
J?
tA tB
JA ?? ???? 2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
三, 稳恒电流磁场的能量
已知均匀介质
中总能量为 ?? ?? dVHBW
??
2
1
1,在稳恒场中有 ?
?
?? dVJAW
??
2
1
② 不是能量密度。 JA ???
2
1
① 能量分布在磁场内，不仅分布在电流区。
HAHB ???? ????? )(
机动 目录 上页 下页 返回 结束
③ 导出过程
)()( HAHA ???? ????????
JAHA ???? ?????? )(
?? ?? dVJA
??
2
1
()
( ) 0
V
S
A H d V
A H d S
? ? ?
? ? ? ?
?
?
r r
rrr
?
)()()( gfgfgf ?????? ???????????
?? ?? dVHBW ??21 ?? ?? ?????? dVJAdVHA
????
2
1)(
2
1
2,电流分布在外磁场中的相互作用能
? ???? dVJJAAW ee )()(21 ??
??
? ?? dVJA )(21
??
? ?? dVJA ee )(21 ?
?
? ???? dVJAJA ee )(21
????
机动 目录 上页 下页 返回 结束
最后一项称为相互作用能, 记为,
iW
可以证明,
iW ? ?? dVJA e )(
?? ? ?? dVJA
e )(
??
作业（ 131页）,1,3,4
设 为外磁场电流分布, 为外磁场的矢
势； 为处于外磁场 中的电流分布, 它激
发的场的矢势为 。 总能量,
J?
A?
eJ
?
eA
?
eB
?
