南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
一、灰色系统理论的产生与应用
1982年我国学者邓聚龙先生创立了灰色系统理论,
目前许多国家及国际组织的知名学者从事灰色系统的理
论和应用研究工作。
灰色系统理论应用于工业、农业、社会、经济,
能源、交通、地质、石油、气象、水利等众多领域，成
功地解决了大量的实际问题。
第一章：灰色系统的概念与基本原理
第一章：灰色系统的概念与基本原理
二、灰色系统与几种不确定问题方法的比较。
模糊数学 着重研究“认知不确定”问题，其研究对
象
具有,内涵明确，外延不明确,的特点。主要 凭借经验,
借助于隶属函数进行处理 。
概率统计 研究的是,随机不确定,现象的历史统计
规律，考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”
现象中每一种结果发生的可能性的大小，其出发点是,
大 样本，且对象服从某种典型分布 。
灰色系统研究的是“部分信息明确，部分信息未知”
的“小样本，贫信息”不确定性系统，它通过对已知“部
分”
信息的生成去开发了解、认识现实世界。着重研究“外延
明确，内涵不明确”的对象。
项目 灰色系统 概率统计 模糊数学
研究对象 贫信息不确定 随机不确定 认知不确定
基础集合 灰色朦胧集 康托集 模糊集
方法依据 信息覆盖 映射 映射
途径手段 灰序列生成 频率分布 截集
数据要求 任意分布 典型分布 隶属度可知
侧重 内涵 内涵 外延
目标 现实规律 历史统计规律 认知表达
特色 小样本 大样本 凭借经验
2050年中国人口控制在 15亿到 16亿之间
树高在 20米至 30米
第一章：灰色系统的概念与基本原理
二、灰色系统的基本原理。
公理 1、差异信息原理。
差异即信息，凡信息必有差异。
公理 2、解的非唯一性原理 。
信息不完全、不确定的解是非唯一的。该原理
是灰色系统理论解决实际问题所遵循的基本法则。
公理 3、最少信息原理
灰色系统理论的特点是充分利用已占有的
“最少信息”。
第一章：灰色系统的概念与基本原理
公理 4、认知根据原理。
信息是认知的根据。
公理 5、新信息优先原理。
新信息对认知的作用大于老信息。
公理 6、灰性不灭原理
,信息不完全”是绝对的。
四、灰数及其运算
1、灰数：只知道大概范围而不知道其确切的数,
通常记为：,?”。
例如,1,头发的多少才算是秃子 。 应该是个区间范围 。 模糊 。
2.多少层的楼房算高楼, 中高楼, 低楼 。
3.多么大的苹果算大苹果，小苹果 。
第一章：灰色系统的概念与基本原理
灰数的种类,
a,仅有下界的灰数。
有下界无上界的灰数记为,? ∈ [a,∞]
b,仅有上界的灰数。
有上界无下界的灰数记为,? ∈ [-∞,a ]
c,区间灰数
既有上界又有下界的灰数,? ∈ [a,a]
d,连续灰数与离散灰数
在某一区间内取有限个值的灰数称为离散灰数，取值
连续地取满整个区间地灰数称为连续灰数。
?a
第一章：灰色系统的概念与基本原理
e,黑数与白数
当 ? ∈ （ - ∞,∞）,即当 ?的上界、下界皆为无穷
或上、下界都是灰数时，称 ?为 黑数,当 ? ∈ [a,a]且 a=a,
时，称 ?为白数。
f,本征灰数与非本征灰数
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其
“代表”的灰数；非本征灰数是凭借某种手段，可以找
到
一个白数作为其“代表”的灰数。
从本质上看，灰数可分为信息型、概念型和层次型灰数。
?a
第一章：灰色系统的概念与基本原理
?a
2、区间灰数的运算。
设灰数 ?1 ∈ [a,b],?2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
① ?1 + ?2 ∈ [a+c,b+d]
② - ?1 ∈ [-a,-b]
③ ?1 - ?2 =?1 +(- ?2) ∈ [a-d,b-c]
④ 若 ab>0,则
?1-1 ∈ [ ]
⑤ ?1 · ?2 ∈ [min{ac,ad,bc,bd},max{ac,ad,bc,bd}]
ab1,1
第一章：灰色系统的概念与基本原理
?a
⑥ 若 cd>0,则
?1/ ?2= ?1·?2-1 ∈ [min{a/c,a/d,b/c,b/d},max{a/c,a/d,b/c,b/a}]
⑦ 若 k为正实数
则,k?1 ∈ [ka,kb]
定义：形如 的白化称为 等权白化 。
定义：在等权白化中 而得到的白化值称为 等权均
值白化。
定义：设区间灰数 ?1 ∈ [a,b],?2 ∈ [c,d] (a<b,c<d)
)1,0()1(~ ????? ??? ba
21??
第一章：灰色系统的概念与基本原理
?a
)1,0()1(
),1,0()1(
2
~
1
~
?????
?????
???
???
ba
ba
?? ?
当 时称 ?1与 ?2取数一致；当 时，
称为取数不一致。
定理 1：区间灰数不能相消、相约。
即：灰数自差一般不能等于 0，仅当减数与被减数
的取数一致时，灰数的自差采等于 0。
如,? ∈ [2,5],?- ? =0 取数一致
∈ [-3,3] 取数不一致
?? ?
第一章：灰色系统的概念与基本原理
?a
=1 取数一致
∈ [2/5,5/2] 取数不一致
定义：起点，终点确定的左升、右降连续函数称
为典型的白化权函数。
再如,? / ?
f(x)
1
0 x1 x2 x3 x4
L(x) R(x)
x
灰色白化权函数在股票投资组合上的应用,
Margkowitz模型提出了投资组合的有效前沿,
但对于如何在有效前沿曲线上的点作出决策这
个问题并未回答 。 本文以资本资产定价模型为
基础,构造了灰色白化权函数的效用指数,从而
解决了上述问题 。 最后,本文给出了一个实例
分析 。