南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
6.1 五步建模思想
第一步：开发思想，形成概念，通过定性分析、研究，明确研究的方向、目标,
途径、措施，并将结果用准确简练的语言加以表达，这是语言模型。
第二步：剖析语言模型中各个因素之间的相互关系，并以框图的形式表示出来。
第三步：对各个环节的因果关系进行量化研究，得到量化模型。
第四步：进一步收集各环节的输入、输出数据，利用所得得数据序列建立动态模
型。这是系统分析、优化的基础。
第五步：对动态模型进行系统分析和研究，通过结构、机理、参数的调整，进行
系统重组，达到优化配置。
语言模型 网络模型 量化模型 动态模型 优化
模型
6.2 灰色微分方程
6.2.1 设微分方程为
则称 为 的导数； 为 的背景值； 为参数。因此，一个一阶
微分方程由导数、背景值和参数三部分构成。
定义 6.2.2 设 为定义在时间集 T上的函数，若当 时，恒有
则称 在 T上的信息浓度无限大。
命题 6.2.1 使微分方程
成立的函数 满足信息浓度无限大的条件。
定义 6.2.5 设
为微分方程,为背景集的元素,
则
dx ax b
dt ??
dx
dt x x
dx
dt a b
()xt 0t??
( ) ( ) 0x t t x t? ? ? ? ()xt
dx ax b
dt ??
()xt
dx ax b
dt ??
()x t t?? ()xt ? ?( ),( )X x t t x t? ? ?
1、当 时，称导数与背景值元素满足平射关系；
2、若 为背景值取值，且
设 为 的成分，当
时，则称背景取值与导数成分满足平射关系。
定理 6.2.1 微分方程构成的条件有以下三条,
1、信息浓度无限大；
2、背景值是灰数；
3、导数与背景值满足平射关系；
( ) ( )dx dxRx t t Rx tdt dt? ? ?
x
( ),( ),( ),( ),( )x x t x x t t x t x t t x t X? ? ? ? ? ? ?
( ),( )t t t???? dx
dt
( ) ( )t t R x t R x??? ? ?
6.3 GM（ 1,1）模型
定义 6.3.1 称 为灰色微分方程。
命题 6.3.1 对于灰色微分方程
灰导数 与背景值 中元素不满足平射关系。
命题 6.3.2 若背景值取 中元素的均值，即令
则背景值 与灰导数成分 具有算术平射关系。
( ) ( 1 )( ) ( )i iid k a x k b??
( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a x k b??
(0) ()xk ? ?( 1 ) ( 1 )( ),( 1 )x k x k ?
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 0, 5 ( ) 0, 5 ( 1 )z k x k x k? ? ?
(1)X
(1)()zk ( 1 ) ( 1 )( ),( 1 )x k x k ?
定义 6.3.2 若灰色微分型方程满足下列条件,
1、信息浓度无限大。
2、序列具有灰微分内涵。
3、背景值到灰导数成分具有平射关系。
则称此灰色微分型方程为灰色微分方程。
命题 6.3.3 方程 为灰色微分方程，其中
定义 6.3.3 称
为 GM（ 1,1）模型。
定理 6.3.1 设 为非负序列,
其中
(0)X
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ),(2 ),,( ) )X x x x n? L
( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 0, 5 ( ) 0, 5 ( 1 )z k x k x k? ? ?
( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
( 0 ) ( ) 0,1,2,,;x k k n?? L
为 的 1-AGO序列
其中 为 的紧邻均值生成
序列。
其中
若 为参数列，且
(0)X(1)X
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ( 1 ),( 2 ),,( ) )X x x x n? L
( 1 ) ( 0 )
1
( ) ( ),1,2,,;k
i
x k x i k n
?
??? L
(1)Z (1)X
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ( 1 ),(2 ),,( ) )Z z z z n? L
( 1 ) ( 1 ) ( 1 )( ) 0, 5 ( ) 0, 5 ( 1 ) ; 2,3,,z k x k x k k n? ? ? ? L
? (,) Ta a b?
( 0 ) ( 1 )
( 0 ) ( 1 )
( 0 ) ( 1 )
( 2) ( 2) 1
( 3 ) ( 3 ) 1
,
( ) ( ) 1
xz
xz
YB
x n z n
? ? ? ??
? ? ? ?
?? ? ? ?
??
? ? ? ?
? ? ? ?
?? ? ? ?? ? ? ?
M M M
则灰色微分方程 的最小二乘估计参数满足 ( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
1? ()TTa B B B Y??
定义 6.3.4 设 为非负序列,为 的 1-AGO序列,为
的紧邻均值生成序列,则称
为灰色微分方程
(0)X (1)X (0)X (1)Z (1)X
1[,] ( )T T Ta b B B B Y??
( 1 )
( 1 )dx a x b
dt ??
( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
的白化方程，也叫影子方程。
定理 6.3.2 设 如定理 6.3.1所示,则
1,白化方程 的解也称时间响应函数为
2,GM（ 1,1）灰色微分方程 的时间响应序
列为
3、取 则,
4、还原值
?,,B Y a 1? [,] ( ),T T Ta a b B B B Y???
( 1 )
( 1 )dx a x b
dt ??
( 1 ) ( 1 )( ) ( ( ( 0 ) ) atbbx t x e
aa
?? ? ?
( 0 ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
( 1 ) ( 1 )? ( 1 ) ( ( 0 ) ),1,2,,akbbx k x e k n
aa
?? ? ? ? ? L
( 1 ) ( 0 )( 0 ) (1 )xx?
( 1 ) ( 0 )? ( 1 ) ( ( 1 ) ) ; 1,2,,akbbx k x e k n
aa
?? ? ? ? ? L
( 0 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )?( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( )x k x k x k x k?? ? ? ? ? ?
定义 6.3.5 称 GM（ 1,1）模型中的参数 为发展系数,为灰色作用量。
定理 6.3.3 GM（ 1,1）模型
可以转化为
其中
定理 6.3.4 设
且
a? b
( ( ) ) ( 1 )( ) ( )x k a z k b??
( ( ) ) ( 1 )( ) ( 1 )x k x k??? ? ?
,1 0,5 1 0,5baaa??????
,1 0,5 1 0,5baaa??????
( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )? ?( ( 1 ),(2 ),,( ) )X x x x n? L
为 GM（ 1,1）模型时间响应序列，其中
则
( 1 ) ( ( ) ) ( 1 )? ( ) ( ( 1 ) ) akbbx k x e
aa
??? ? ?
( 0 ) ( ( ) ) ( 1 )( ) ( ( 1 ) ) akx k x e?? ????
应用研究
☆用灰色系统理论估测西藏红豆杉
小枝叶量的研究
估测枝叶生物量是林木生物量研究
中较为复杂的问题之一 如何较为准
确、方便地估测枝叶生物量是生态
系统研究中倍受重视的问题
应用灰色系统理论建立ＧＭ (1,1)灰
色动态模型,对西藏红豆杉小枝叶量
与胸径之间的关系进行研究,在此基
础上,对西藏红豆杉小枝叶蕴藏量及
可采量进行估测
☆ 我国铁路货车需求量预测
要对货车的需求量直接进行
预测是比较困难的,所以选择
对货物的周转量进行预测,然
后根据周转量与货车数的对
应关系预测货车的需求量。
根据铁路货物周转量预测的
特点,结合收集的相关资料,在
对各种预测方法进行分析比
选的基础上,我们选择先用灰
色预测ＧＭ (1,1)进行货物周
转量预测。
6.4 残差 GM（ 1,1）模型
定义 6.4.1 设
☆ 灰色ＧＭ (1∶ 1)模型在粮食产量预测中的应用
粮食生产在国家的可持续发展战略中占有举足轻重的地位,
粮食产量模拟是制订区域发展规划的重要基础工作之一。
运用灰色系统理论对粮食生产变化趋势做了预测,制定粮食
发展规划,促进粮食生产稳定增长提供参考依据。
☆ 飞机场运量的灰色预测
在运用基础 GM(1,1)模型的基础上,采用残差 GM(1,1)模型对基
础模型进行了修正,并用于飞机场的客运量和货运量的预测