南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
灰色聚类是根据灰色关联矩阵或灰数的白化权函数将
一些观测指标或观测对象聚集成若干个可以定义类别的方
法。按聚类对象划分，可以分为灰色关联聚类和灰色白化
权函数聚类。
灰色关联聚类主要用于同类因素的归并，以使复杂系
统简化。由此，我们可以检查许多因素中是否有若干个因
素关系十分密切，使我们既能够用这些因素的综合平均指
标或其中的某一个因素来代表这几个因素，又可以使信息
不受到严重损失。灰色白化权函数聚类主要用于检查观测
对象是否属于事先设定的不同类别，以区别对待。
5.1 灰色关联聚类
设有 个观测对象，每个观测对象 个特征数据，得到序列如下
对所有的 计算出 与 的绝对关联度
得上三角矩阵
1 1 1 1
2 2 2 2
( ( 1 ),( 2 ),,( ) )
( ( 1 ),( 2 ),,( ) )
( ( 1 ),( 2 ),,( ) )
m m m m
X x x x n
X x x x n
X x x x n
?
?
?
L
L
LLLLLLLL
L
n m
,,1,2,,,i j i j m?? L iX jX
ij?
1 1 1 2 1
2 2 2
m
m
mm
A
? ? ?
??
?
??
??
?
??
????
L
L
OM
其中
定义 5.1.1 上述矩阵 A称为特征变量关联矩阵,
取定临界值 一般要求 当 时
则视 与 为同类特征,
定义 5.1.2 特征变量在临界值 下的分类称为特征变量的 灰色
关联聚类, 可以根据实际问题的需要确定,越接近于 1,分类
越细 ; 越小,分类越粗,
1 ; 1,2,,ii im? ?? L
[0,1],r ? 0.5.r ? ()
ij r i j? ??
iX jX
r r
r
r
5.2 灰色变权聚类
定义 5.2.1 设有 个聚类对象,个聚类指标,个不同灰类,根
据第 个对象关于 指标的样本值
将第 个对象归入第
个灰类之中,称为灰色聚类,
定义 5.2.2 将 个对象关于指标 的取值相应地分为 个灰类,
我们称之为 指标子类, 指标 子类的白化权函数记为
定义 5.2.3 设 指标 子类的白化权函数 为如下图所示
的典型白化权函,则称 为 的转折
点,典型白化权函数记为
n m s
( 1,2,,)i i n? L ( 1,2,,)j j m? L
( 1,2,,; 1,2,,)ijx i n j m??LL i ? ?( 1,2,,k k s? L
n j s
j j k ()kjf ?
j k ()kjf ?
(1)kjx (2)kjx (3)kjx (4)kjx ()kjf ?
[ ( 1 ),(2 ),( 3 ),(4 ) ]k k k k kj j j j jf x x x x
kjf
x
(1)kjx (2)kjx (3)kjx (4)kjx
1
0 x(3)k
jx (4)kjx
0
1
kjf
定义 5.2.4 1、若白化权函数 无第一和第二个转折点
则称 为下限测度白化权函数，记为
2、若白化权函数 的第二和第三个转折点重合，则称
为适中测度白化权函数，记为
3、若 无第三和第四个转折点，则称 为上限测度白
化权函数，记为
()kjf ? (1)kjx (2)
kjx
()kjf ?
()kjf ?
()kjf ?
()kjf ?
()kjf ?
[,,( 3 ),(4 ) ],k k kj j jf x x??
[ ( 1 ),(2 ),,(4 ) ]k k k kj j j jf x x x?
[ ( 1 ),(2 ),,]k k kj j jf x x ??
5,2,1 5,2,2
kjf
x
(1)kjx (2)kjx (4)kjx
1
0
kjf
x
(1)kjx (2)kjx
1
0
命题 5.2.1 对于图 5.2.1所示的典型白化权函数，有（其余见
书 P81-82）
0 [ ( 1 ),( 4)]
( 1 )
[ ( 1 ),( 2)]
( 2) ( 1 )
1 [ ( 2),( 3 ) ]
( 4)
[ ( 3 ),( 4)]
( 4) ( 3 )
kk
jj
k
j kk
jjkk
jjk
j kk
jj
k
j kk
jjkk
jj
x x x
xx
x x x
xx
f
x x x
xx
x x x
xx
? ?
?
??
?
?
??
? ?
?
?
?
?
? ?
??
?
5.2.3 5,2,4
定义 5.2.2 1、对于图 5.2.1所示的 指标 子类白化权函数，令
2、对于图 5.2.2所示的 指标 子类白化权函数，令
3、对于图 5.2.1和图 5.2.4所示的 指标 子类白化权函数，令
则称 为 指标 子类临界值。
定义 5.2.6 设 为 指标 子类临界值，则称
为 指标关于 子类的权。
定义 5.2.7 设 为对象 关于指标 的标本,为 指标 子类
白化权函数,为 指标关于 子类的权，则称
为对象 属于 灰类的灰色变权聚类系数。
j k 1 ( ( 2 ) ( 3 ) )
2k k kj j jxx? ??
j
j
j
j
j
k
k
k
k
k
(3 )kkjjx? ?
( 2 )kkjjx? ?
kj?
kj?
1
k
jk
j m
k
j
j
?
?
?
?
?
?
1
()
m
k k k
i j ij j
j
fx??
?
???
ijx i j ()kjf ?
j k
kj? j k
i k
定义 5.2.8 称 1,
为对象 属于 灰类的灰色变权聚类系数。
2,
为聚类系数矩阵。
定义 5.2.9 设,则称对象 属于灰类
灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆相同的情形，当指标的意义、量纲
不同，且指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜采用灰色变权聚类。
1 2 1 1 2 2
1 1 1
(,,,) ( ( ),( ),,( ) )
m m m
s s s
i i i i j i j j j i j j j i j j
j j j
f x f x f x? ? ? ? ? ? ?
? ? ?
? ? ? ? ?? ? ?LL
12
1 1 1
12
2 2 2
12
()
s
s
k
i
s
n n n
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
? ? ?
??
????
L
L
L L L L
L
? ?1m a xkkiiks??? ??? i k?
5.3 灰色定权聚类
解决上述问题有两条途径,1、采用初值化算子或均值化算子将指标样本
值化为无量纲数据，然后进行聚类。这种方式不能反映不同指标在聚类过
程中的差异性。 2、对各聚类指标事先赋权。即定权聚类。
定义 5.3.1 设 为对象 关于指标 的样
本值,为 指标 子类白化权函数。
若 指标关于 子类的权 与 无关,
即对任意的,并称
为对象 属于 灰类的灰色定权聚类系数。
( 1,2,,; 1,2,,)ijx i n j m??LL
( ) ( 1,2,,; 1,2,,)kjf j m k s? ? ?LL
( 1,2,,; 1,2,,)kj j m k s? ??LL
kj
i j
j k k
? ?12,1,2,,k k j m?? L
1
()
m
kk
i j ij j
j
fx??
?
???
i k
定义 5.3.2设 为对象 关于指标 的样
本值,为 指标 子类白化权函数。
若对任意的 总有 则称
为对象 属于 灰类的灰色等权聚类系数。
定义 5.3.3 1、根据灰色定权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为灰
色定权聚类。 2,根据灰色等权聚类系数的值对聚类对象进行归类，称为
灰色等权聚类。灰色定权聚类按下列步骤进行：,
1、给出 指标 子类白化权函数
2、根据定性分析结论确定各指标的聚类权
3、由前两步得到的结果以及对象 关于 指标的样本值
算出灰色定权聚类系数
( 1,2,,; 1,2,,)ijx i n j m??LL
( ) ( 1,2,,; 1,2,,)kjf j m k s? ? ?LL
i j
j k
1,2,,,jm? L 1j m? ?
11
1( ) ( )mmk k k
i j i j j j i j
jj
f x f xm??
??
? ? ???
ki
j k ( ) ( 1,2,,; 1,2,,)kjf j m k s? ? ?LL
( 1,2,,; )j jm? ? L
i j ( 1,2,,; 1,2,,)ijx i n j m??LL
1
()
m
kk
i j ij j
j
fx??
?
???
5.4 基于三角白化权函数的灰色评估
设有 个对象,个评估指标,个不同的灰类，对象 关于指标 的样
本观测值为 我们要根据 的值对相应
的对象 进行评估、诊断，具体步骤如下：见书 P89。
m n s i j
( 1,2,,; 1,2,,)ijx i n j m??LL ijx
i
5.5 灰色聚类应用
1.关联聚类应用飞机方案的选择 。
? 将灰色系统理论应用到飞机设计方案评价中,
研究了一种含有方案评价指标体系和考虑评价
指标权重以及灰关联分析的飞机方案优选灰色
模糊聚类决策理论,这种决策理论利用指标权
重将评价指标联系在一起,在评价方案与理想
方案灰关联度的基础上进行灰色模糊聚类,实
现方案优 选,最 后以一个 短距 /垂直起 降
(V/STOL)飞机设计实例证实此方法的科学性
与可行性,通过各种方案和评价指标之间的关
联度分析来选择 。
2.公路交通中交叉路口安全状况灰色聚类评价研究
对信号交叉口的状况进行分析和评价,发达国家通常采用饱和度和
停车延误两项指标,在我国,由于机动车, 非机动车, 行人在交叉口处
混行严重,现有的评价方法需要进一步发展,本文提出了一种新的评价
方法,采用五个指标全面反映混合交通状况下交叉口的综合性能,运用
灰色系统理论对信号交叉口综合质量进行灰色评价,研究表明,灰色聚
类用于信号交叉口的综合评价,机理简单,实用性强,
3.灰色聚类决策在上市公司投资中的应用
灰色聚类分析是利用灰色系统中的决策理论,将不同的决策对象,根据
评判指标,按照一定的评判目标进行聚类分析,从而对对象优劣进行排序
,为投资者提供决策的参考依据 。 文章介绍了灰类聚类决策模型的原理,
并在此基础上详细阐述了其在上市公司投资中的应用 。
16,日用陶瓷等级的灰色聚类分析
利用灰色聚类分析的原理和方法来确定日用陶瓷等级归属问题,避
免了人为判断中的主观任意性,从而使等级归属问题有定性判断推进到
定量计算 。
