南京大学：灰色系统理论及其应用（精品课程）：第四章

南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
一般的抽象系统都包含有许多影响因素，多种因素共同作用的结果
决定了系统的发展态势。我们希望从众多的因素中判断出，哪些是
主要因素、哪些是次要因素。这些属于系统分析的内容，数理统计
中的回归分析、方差分析、主成分分析等都可以用来进行系统分析。
这些方法的不足之处是,
1、要求有大量的数据。 2、要求样本服从某一种典型概率分布，
各因素数据与系统特征数据之间呈线性关系且个因素之间彼此无关。
3、计算量大,
4、可能出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
灰色关联分析方法的基本思想是根据序列曲线几何形状的相
似程度来判断其联系是否紧密，曲线越接近，相应序列之间
的关联度就越大，反之就越小。
对一个抽象系统或现象进行分析，首先要选准反映系统行为
特征的数据序列。我们称之为找系统行为的映射量，用映射
量来间接地表征系统行为。比如,
国民平均受教育的年限 教育的发达程度
刑事案件的发案率 社会治安面貌和社会秩序
（教材 P40-41的例子）
?
?
4.1 灰色关联因素和关联算子集
定义 4.1.1 设 为系统因素，其在序号 k上的观测数据为
则称 为因素 的行为
序列；若 k为时间序号,为因素 在 k时刻的观测数
据，则称 为因素 的行
为时间序列；若 k为指标序号,为因素 关于第 k个
指标的观测数据，则称
为因素 的行为指标序列。若 k为观测对象序号,
为因素关于第 k个对象的观测数据，则称
为因素 的行为横向序列
iX
nkkx i,,2,1),( ??
))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX
)(kxi iX
))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX
)(kxi iX
))(,),2(),1(( nxxxX niii ??
)(kxi
iX
))(,),2(),1(( nxxxX niii ??
iX
无论是时间序列数据、指标序列数据还是横向序列数据，都可
以用来做关联分析。
定义 4.1.2 设 为因素 的
行为序列,为序列算子，且
其中
则称 为初值化算子,为原像,为 在初值化算子
下的像，简称初值像。
))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX
1D
))(,,)2(,)1(( 1111 dnxdxdxXD ??
nkxkxdkx iii,,2,1);1(/)()( 1 ???
1D iX 1DXi
1D
iX
定义 4.1.4 设 为因素
的行为序列,为序列算子，且
其中
则称 为均值化算子,为 在均值化算子 下的像
，简称均值像。
))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX
2D
))(,,)2(,)1(( 2222 dnxdxdxXD ??
nkkx
n
X
X
kxdkx n
i
ii
i
i
i,,2,1;)(
1,)()(
1
2 ???? ?
?
2D 2
DXi
iX 2D
定义 4.1.4设 为因素 的
行为序列,为序列算子，且
其中
则称 为区间化算子,为区间值像。
命题 4.1.1 初值化算子,均值化算子 和区间值化算子
皆可以使系统行为序列无量纲化，且在数量上规一。一般地,
不宜混合、重叠使用。
))(,),2(),1(( nxxxX niii ?? iX
3D
))(,,)2(,)1(( 3333 dnxdxdxXD ??
nk
kxkx
kxkxdkx
ii
ii
i,,2,1,)(m in)(m a x
)(m in)()(
3 ???
??
3D
3DXi
1D 2D 3D
3D2D1D
定义 4.1.5 设
为
因素 的行为序列,为序列算子，且
其中
则称 为逆化算子,为 在逆化算子 下的像
，简称逆化像。
]1,0[)() ) ;(,),2(),1(( ?? kxnxxxX iniii ?
iX 4D
))(,,)2(,)1(( 4444 dnxdxdxXD ??
nkkxdkx ii,,2,1);(1)( 4 ????
4D 4
DXi
iX
4D
定义 4.1.6 设 为
因素 的行为序列,为序列算子，且
其中
则称 为倒数化算子,为倒数化像。
命题 4.1.3 若系统因素 与系统主行为 呈负相关关系，则
的逆化算子作用像 和倒数化作用像 与 具有
正相关关系。
));(,),2(),1(( nxxxX niii ??
iX 5D
))(,,)2(,)1(( 5555 dnxdxdxXD ??
nkkxdkx ii,,2,1;)(1)( 5 ???
5D 5DXi
iX
0X5
DXi4DXi
iX
4.3 灰色关联公理与灰色关联度
定义 4.3.1 设序列,则
称为序列 X所对应的折线。
命题 4.3.1 设系统特征行为序列 为增长序列,为相关因
素行为序列，则有
1,当 为增长序列时,与 为正相关关系；
2、当 为衰减序列时,与 为负相关关系。
由于负相关序列可以通过 4.1节中定义的逆化算子或倒数化算
子作用转化为正相关序列，所以我们主要研究非负的相关关
系。
));(,),2(),1(( nxxxX niii ??
? ?]1,[;1,,2,1)()1()(()( ????????? kktnkkxkxktkxX ?
0X iX
iX
iX iX
iX
0X
0X
定义 4.3.2 设序列 则称
1,为 X在区间 [k-1,k]上
的斜率。
2,为 X在区间 [k,s]上
的斜率。
3,为 X的平均斜率。
));(,),2(),1(( nxxxX niii ??
,,,2,1),1()( nkkxkx ??????
,,,2,1;,)()( nkksks kxsx ???????
,,,2,1)),1()((
1
1 nkxnx
n
???
?
??
定理 4.3.1 设, 皆为非负增长序列,为
非 0常数, 初值化算子，且
分别为 的初值像； 分别为 的平均
斜率； 分别为 的平均斜率，则必有
1,=
2、当 c<0时,< ；当 c>0时,>
iX jX ccXX ij,??
1D
1DXY ii ? 1DXY jj ?
iX jX i? j? i
X jX
i? j? j
YiY
i? j?
i? j? j?i?
上述定理反映出序列的增殖特性，当两个增长序列的绝对值量
相同时，初值小的序列的相对增长速度要高于初值大的序列,
要保持相同的增长速度，初值大的序列的绝对增量必须大于初
值小的序列。
定义 4.3.3 设
为系统特征序列，且
为相关因素序列,
));(,),2(),1(( nxxxX niii ??
) ) ;(,),2(),1(( 1111 nxxxX ??
) ) ;(,),2(),1(( nxxxX iiii ??
));(,),2(),1(( nxxxX mmmm ??
给定实数,若实数
满足
1、规范性
2、整体性 对于
有
3、偶对称性
=
))(),(( 0 kxkx i?
?
?
?
n
k
ii kxkxnXX
1
00 ))(),((
1),( ??
ii XXXXxx ????? 0010 1),(,1),(0 ??
? ?2;,,2,1,0 ???? mmsXXX sj ?iX
),( ji XX? jiXX ij ?),,(??
),( ji XX? ? ?jiij XXXXX,),( ???
4、接近性 越小,
越大。
则称 为 对 的灰色关联度，以上 4条称为
灰色关联四公理。
表明系统中的任何两个行为序列
都不可能时严格无关联的。
整体性则体现了环境对灰色关联比较的影响，环境不同，灰色
关联度亦随之变化。偶对对称性表明，当灰色关联因子集中只
有两个序列时，两两比较满足对称性。
接近性是对关联度量化的约束。
)()(0 kxkx i? ))(),(( 0 kxkx i?
),( 0 iXX? iX 0X
]1,0(),( 0 ?iXX?
定理 4.3.2 设系统行为序列
对于 令
) ) ;(,),2(),1(( 1111 nxxxX ??
) ) ;(,),2(),1(( nxxxX iiii ??
));(,),2(),1(( nxxxX mmmm ??
) ) ;(,),2(),1(( 0000 nxxxX ??
)()(m a xm a x)()(
)()(m a xm a x)()(m inm in
))(),((
00
00
0 kxkxkxkx
kxkxkxkx
kxkx
ikii
ikiiki
i ???
???
?
?
?
?
)1,0(??
?
?
?
n
k
ii kxkxnXX
1
00 ))(),((
1),( ??
则称 满足灰色关联四公理，其中 为分
辨系数。灰色关联度的计算步骤,
1、求各序列的初值像（或均值像），令
2、求差序列，记
3、求两极最大差与最小差，记
),( 0 iXX? ?
( 1 ) ( ( 1 ),( 2 ),,( ) )i i i i i iX X x x x x n? ? ? ??? L
0,1,2,,im? L
0( ) ( ) ( )
( ( 1 ),( 2 ),,( ) )
ii
i i i i
k x k x k
n
??? ? ?
? ? ? ? ?L
0,1,2,,im? L
4、求关联系数
5、计算关联度
（教材 P48例题）
m a x m a x ( ),
m in m in ( )
iik
iik
Mk
mk
??
??
0 ( ),(0,1 )()
1,2,,; 1,2,,
i
i
mM
k
kM
k n i m
?
??
?
?
??
??
?? LL
00
1
1 ( ) ; 1,2,n
ii
k
k i m
n
??
?
??? L
应用研究
☆一级男子百米运动员身体素质
与运动成绩的灰色关联度分析
选择 100米作为研究项目,依据灰
色关联度分析原理,揭示一级水平
男子百米运动员的各项身体素质、
各类型素质与运动成绩之间的关
联度 ;针对训练实践中对身体素质
认识上的模糊,提出相应的训练策
略,旨在对提高运动成绩有所裨益。
相关因素：行进间 30米, 230米，
460米,5150米，立定跳远，立
定三级跳，二级蛙跳，后抛铅球，
仰卧起坐，坐蹲起，深蹲，前后
劈叉，左右劈叉，站立体前屈，
折回跑，象限跳，侧跨步。
应用研究 ☆我国铁路货物运输发展的灰色关联分析
本文用灰色关联分析方法对 1989～ 2002年我国铁路运输货运量的发
展进行系统分析,探讨影响我国铁路运输货运量发展的主要因素以及
各因素相对于铁路运输货运量发展的关联程度,以便为有关部门的决
策者提供数据资料,
影响我国铁路运输货运量发展的主要因素有,GDP、人口数量、居民
消费水平、固定资产总投资及国家财政总收入等,把铁路运输货运量
作为母序列 X0,其影响因素作为子序列
4.4 广义灰色关联度
一、绝对灰色关联度
命题 4.4.1 设行为序列
记折线
为 令
则 1、当 为增长序列时,
2、当 为增长序列时,
3、当 为增长序列时,符号不定。
));(,),2(),1(( nxxxX niii ??
( ( 1 ) ( 1 ),(2 ) ( 1 ),,( ) ( 1 ) )i i i i i ix x x x x n x? ? ?L
(1 ),iiXx?
1 ( ( 1 )
n
i i is X x d t???
iX 0is ?
iX
iX
0is ?
is
定义 4.4.1 设行为序列
为序列算子，且
其中 则称 D为
始点零化算子,为 的始点零化像，记为
命题 4.4.2 设行为序列
的始点零化像分别为
( ( 1 ),(2 ),,( ) ) ;i i i iX x x x n? LD
( ( 1 ),(2 ),,( ) )i i i iX D x d x d x n d? L
( ) ( ) ( 1 ),1,2,,i i ix k d x k x k n? ? ? L
iXD iX
0 0 0 0( ( 1 ),(2 ),( ) )
i i i iX x x x n? L
( ( 1 ),(2 ),,( ) ) ;i i i iX x x x n? L
( ( 1 ),(2 ),,( ) ) ;j j j jX x x x n? L
0 0 0 0( ( 1 ),(2 ),( ) )i i i iX x x x n? L
0 0 0 0( ( 1 ),( 2 ),( ) )j j j jX x x x n? L
令
则 1、若 恒在 上方,
2、若 恒在 下方,
3、若 与 相交,符号不定。
定义 4.4.2 称序列 各个观测数据间时距之和为 的长度。
注意：长度相等的两个序列中的观测数据数量不一定相等。
00
1 ()
n
i j i js s X X d t? ? ??
0iX 0jX 0ijss??
0ijss??0iX 0jX
0jX0iX ijss?
iX iX
定义 4.4.3 设序列 与 的长度相等，则称
为 与 的灰色绝对关联度。灰色绝对关联度满足灰色
关联公理中的规范性、偶对对称性与接近性，但不满足整体性。
引理 4.4.2 设序列 与 的长度相同，且皆为 1-时距，而
分别为 和 的始点零化像，则
iX0X
0
0
00
1
1
i
i
ii
ss
s s s s
?
??
?
? ? ? ?
0X iX
0X iX
0 0 0 0( ( 1 ),(2 ),( ) )
i i i iX x x x n? L
0 0 0 0
0 0 0 0( ( 1 ),(2 ),( ) )X x x x n? L
0X i
X
1
00
0 0 0
2
1( ) ( )
2
n
k
s x k x n
?
?
???
1
00
2
1( ) ( )
2
n
i i i
k
s x k x n
?
?
???
1
0 0 0 0
0 0 0
2
1( ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) )
2
n
i i i
k
s s x k x k x n x n
?
?
? ? ? ? ??
定理 4.4.3 设序列 和 的长度相同，当他们时距不同
或至少有一个为非等时距序列时，若通过均值生成填补相应空
穴使之化成时距相等的等时距序列，则此时灰色绝对关联度不
变。
0X iX
定理 4.4,4 灰色绝对关联度 具有下列性质,
1,
2,只与 和 的几何形状有关，而与其空间相对位置
无关。
3,任何两个序列都不是绝对无关的，即 恒不为 0。
4,与 几何上的相似程度越大,越大。
5,与 的长度变化,亦变。
6,当 或 的任一个观测数据变化,将随之变化。
7,
8,
0i?
00 1 ;i???
0i? 0X iX
0i?
0X iX 0i
?
0X
0X
iX
iX
0i?
0i?
00ii???
0 0 1 11,0????
应用研究 ☆登陆地域选择
登陆作战中登陆地域的选择是决定能否“登得上”的主要因素之一。
登陆地域选择的好坏直接影响到登陆成败、战场兵力与武器损耗的
多少,以及作战价值的大小等等。因此,必须在认真分析海岸区域的
地理条件和敌海岸兵力分布情况的基础上,科学地选择登陆地域。
用灰色关联理论的方法来分析登陆地域选择问题,主要是提出一种新
的用以解决登陆地域选择的问题的解法,即灰色关联理论的方法。
二、灰色相对关联度
定义 4.4.5 设序列 长度相同，且初值不等于 0,
分别为 的初值像，则称 的灰色
绝对关联度为 与 的灰色相对关联度。记为
灰色相对关联度是序列 与 相对于初始点的变化速率的
联系的数量表征。 与 的变化速率越接近,越大，反
之越小。
命题 4.4.4 设 为长度相同且初值不等于 0的序列，若
,其中 c>0为常数，则 。
（计算示例见教材 P58）。
灰色相对关联度的性质（略）（ 9项）
0,X iX
0,X? iX? 0,X iX 0,X? iX?
0X iX 0ir
0X iX 0ir
0,X iX
0 iX cX? 0 1ir ?
0X iX
应用研究
☆海洋产业与海洋主要产业总产值关联度
分析，确定主导产业
Ｘ 0为海洋主要产业总产值 ;Ｘ 1为海洋水产
业 ;Ｘ 2为海洋油气业 ;Ｘ 3为海滨砂矿业 ;Ｘ 4
为海洋盐业 ;Ｘ 5为沿海造船业 ;Ｘ 6为海洋
交通运输业 ;Ｘ 7为沿海海外旅游业。
三、灰色综合关联度
定义 4.4.6 设序列 的长度相同，且初值不等于 0,
与 分别为 与 的灰色绝对关联度和灰色相
对关联度,则称
为 与 的灰色综合关联度。
它既体现了折线的相似程度，又反映了相对与始点的变化速率
全面反映了序列之间联系，一般取 =0.5。
综合关联度的性质（略）（ 9条）
0,X iX
0ir0i? 0X i
X
[0,1 ]? ?
0 0 0( 1 )i i ir? ? ? ?? ? ?
0X iX
?
☆ 灰色聚类决策在上市公司投资中的应用
灰色聚类分析是利用灰色系统中的决策理论,将不
同的决策对象,根据评判指标,按照一定的评判目标
进行聚类分析,从而对对象优劣进行排序,为投资者
提供决策的参考依据。文章介绍了灰类聚类决策模型的原理,并在此
基础上详细阐述了其在上市公司投资中的应用。
4.7 优 势 分 析
定义 4.7.1 设 为系统特征行为数据序列,
为相关因素序列，且 与 长度相同
为 与 的灰色关联
度，则称
为灰色关联矩阵。
12,,,sY Y YL
1 2,,,mX X XL iY 1X
( 1,2,,,1,2,,)ij i s j m? ??LL iY 1X
11 12 1
21 22 2
12
()
m
m
ij
s s sm
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
? ? ?
??
????
L
L
L L L L
L
灰色关联矩阵中第 行的元素是系统特征数据序列
与相关因素序列 的灰色关联度；第 列的元素
是系统特征数据序列 与 的灰
色关联度。
类似的我们可以定义灰色绝对关联矩阵、灰色相对关联矩阵以及
灰色综合关联矩阵。利用灰色关联矩阵可以对系统特征或相关因
素做优势分析。
i ( 1,2,,)iY i s? L
12,,mX X XL j
12,,,sY Y YL ( 1,2 )jX j m? L
定义 4.7.2 设 为系统特征行为序列,
为相关因素行为序列,
为其灰色关联矩阵，若存在 满足
则称系统特征 优于,记为
若 恒有 则称
为最优特征
( 1,2,,)iY i s? L
( 1,2,,)jX j m? L
11 12 1
21 22 2
12
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m
m
ij
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L
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L L L L
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kY iY kiYYf
1,2,,,,i s i k? ? ?L kiYYf kY
定义 4.7.3 设 为系统特征行为序列,
为相关因素行为序列，且
为其灰色关联矩阵，若存在 满足
则称系统特征 优于,记为
若 恒有 则称
为最优因素。
( 1,2,,)iY i s? L
( 1,2,,)jX j m? L
11 12 1
21 22 2
12
()
m
m
ij
s s sm
? ? ?
? ? ?
?
? ? ?
??
??
? ? ?
??
????
L
L
L L L L
L
? ?,1,2,,l j m? L; 1,2,,il ij is???? L
jXlX ljXXf
1,2,,,,j s j l? ? ?L ljXXf lX
定义 4.7.4 设
为灰色关联矩阵，若
1、存在,满足
则称系统特征 准优于系统特征 记为
11 12 1
21 22 2
12
()
m
m
ij
s s sm
? ? ?
? ? ?
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? ? ?
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????
L
L
L L L L
L
? ?,1,2,,k i s? L
11
mm
k j ij
jj
??
??
???
kY iY kiYY:f
2、存在,满足
则称因素 准优于 记为
例子 4.7.1 见书 P66
? ?,1,2,,l j m? L
11
mm
il ij
ii
??
??
???
lX jX
ljXX:f
☆ 导弹武器系统作战效能的灰色评估
依据导弹武器系统的战术技术指标要求,
建立了导弹武器系统的指标体系 ;运用灰色
系统的原理和方法结合层次分析法对该系
统的能力进行评价,评价采取定量分析为主,
与定性分析相结合。实例证明,灰色评估与
层次分析法相结合能有效降低人为因素的
影响,评价结果具有客观性,一定程度上能给
决策者提供可靠的依据