南京大学：灰色系统理论及其应用（精品课程）：第二章

南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
6.1 序列算子 (sequence operator)
一、冲击扰动系统预测陷阱
定义 6.1.1 设
为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为
其中 ?为冲击扰动项,则称 X为冲击扰动序列,
要从冲击扰动序列 X出发实现对真实行为序列 X(0)的系
统之变化规律的正确把握和认识,必须首先跨越障碍 ?,
如果不事先排除干扰,而用失真的数据 X 直接建模、预
测，则会因模型所描述的并非由 X(0) 所反映的系统真实
变化规律而导致预测的失败。
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
?
???
??
???????????
)0(
)0(
2
)0(
1
)0( ))(,,)2(,)1(())(,),2(),1((
X
nxxxnxxxX n
二、缓冲算子公理 (the axioms of buffer operator)
定义 6.1.2 设系统行为数据序列为
X=(x(1),x(2),…,x(n)),若
1 ?k=2,3,…,n,x(k)-x(k-1)>0则称 X 为单调增长序
列 ;
2 1中不等号反过来成立,则称 X 为单调衰减序列 ;
3 存在 k,k1,有
x(k)-x(k-1)>0 x(k1)-x(k1-1)<0
则称 X为随机振荡序列,设
M=max{x(k)|k=1,2,…,n},m=min{x(k)|k=1,2,…,n}
称 M-m 为序列 X 的振幅,
定义 6.1.3 设 X为系统行为数据序列,D为作用于 X的算
子,X经过算子 D作用后所得序列记为
XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)
称 D为序列算子,称 XD为一阶算子作用序列,
序列算子的作用可以进行多次,若 D1,D2,D3皆为序列算子,
我们称 D1D2为二阶算子,并称
X D1D2=(x(1)d 1d2,x(2)d 1d2,…,x(n)d 1d2)
为二阶算子作用序列,
公理 6.1.1(不动点公理,Axiom of Fixed Points)
设 X为系统行为数据序列,D为序列算子,则 D满足
x(n)d=x(n)
公理 6.1.2(信息充分利用公理,Axiom on Suffi-
cient Usage of Information)系统行为数据序列 X
中的每一个数据 x(k),k=1,2,…,n,都应充分参与算
子作用的全过程,
公理 6.1.3(解析化、规范化公理,Axiom of Ana-
lytic Representations)任意的 x(k)d，皆可由一个
统一的 x(1),x(2),…,x(n) 的初等解析式表达。
定义 6.1.4 称上述三个公理为缓冲算子三公理
(three axioms of buffer operators),满足缓冲算子
三公理的序列算子,称为缓冲算子,一阶、二
阶,… … 缓冲算子作用序列称为一阶、二
阶,… … 缓冲序列 (buffer sequences)。
定义 6.1.5 设 X为原始数据序列,D为缓冲算子,当
X分别为增长序列,衰减序列或振荡序列时,
1 若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度 (或衰
减速度 )减缓或振幅减小,我们称缓冲算子 D为
弱化算子 ;
2 若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度 (或衰
减速度 )加快或振幅增大,则称缓冲算子 D为强
化算子,
三、缓冲算子的性质
定理 6.1.1 设 X为单调增长序列,XD为其缓冲序列,则有
1 D为弱化算子 ?x(k)≤x(k)d
2 D为强化算子 ?x(k) ≥x(k)d
定理 6.1.2 设 X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列,则有
1 D为弱化算子 ?x(k) ≥x(k)d
2 D为强化算子 ?x(k) ≤ x(k)d
定理 6.1.3 设 X为振荡序列,XD为其缓冲序列,则有
1 D为弱化算子
max{x(k)} ≥max{x(k)d}
min {x(k)} ≤ min{x(k)d}
2 D为强化算子
max{x(k)} ≤ max{x(k)d}
min {x(k)} ≥ min{x(k)d}
四、实用缓冲算子的构造
定理 6.1.4 设原始数据序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)),令
XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)
其中
则当 X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为
弱化算子 (weakening operator),
推论 6.1.1 对于定理 6.1.4中定义的弱化算子 D,令
XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d 2)
)]()1()([11)( nxkxkxkndkx ??????????
])()1()([11)( 2 dnxdkxdkxkndkx ??????????
则 D2对于单调增长、单调衰减或振荡序列，皆为二阶弱化
算子。
定理 6.1.5 设原始序列和其缓冲序列分别为
X=(x(1),x(2),…,x(n))
XD=(x(1)d,x(2)d,…,x(n)d)
其中
x(n)d=x(n) 则当 X为单调增长序列或单调衰减序
列时,D皆为强化算子 (strengthening operator),
推论 6.1.2 设 D为定理 6.1.5中定义的强化算子,令
XD2=(x(1)d2,x(2)d2,…,x(n)d 2)
其中
x(n)d2=x(n)d=x(n)
则 D2 对于单调增长序列和单调衰减序列皆为二阶强化算
子,
12
)()1()2()1()(
?
?????????
k
kkxkxxxdkx
12
)()1()2()1()( 2
?
?????????
k
dkkxdkxdxdxdkx
定理 6.1.6 设 X=(x(1),x(2),…,x(n)),令
XDi=(x(1)di,x(2)di,…,x(n)d i)
其中
x(1)d1=?x(1),x(1)d2=(?+1)x(1)
x(n)di=x(n) i=1,2
则 D1对单调增长序列为强化算子,D2对单调衰减序列
为强化算子,
推论 6.1.3 对于定理 6.1.6中定义的 D1,D2,则,分
别为单调增长,单调衰减序列的二阶强化算子,
2
)()1()( kxkxdkx
i
???
12D 22D
6.2 均值生成 (Generations Based on Average)
在收集数据时,常常由于一些不易克服的困
难导致数据序列出现空缺 (也称空穴,blank)也
有一些数据序列虽然数据完整,但由于系统行
为在某个时点上发生突变而形成异常数据,给
研究工作带来很大困难,这时如果剔除异常数
据就会留下空穴,因此,如何有效的填补空穴,自
然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值
生成是常用的构造新数据,填补老序列空穴,生
成新序列的方法,
定义 6.2.1 设序列 X= (x(1),x(2),…,x(k),x(k+1),…,x(n))
x(k)与 x(k+1)为 X的一对紧邻值,x(k)称为前值,x(k+1)
称为后值,若 x(n)为新信息,则对任意 k<=n-1,x(k)为老
信息,
定义 6.2.2 设序列 X在 k处有空穴,记为 ?(k),即
X=(x(1),x(2),…,x(k -1),?(k),x(k+1),…,x(n))
则称 x(k-1) 和 x(k+1)为 ?(k)的界值,x(k-1)为前界,x(k+1)
为后界,当 ?(k)由 x(k-1)与 x(k+1)生成时,称生成值 x(k)
为 [x(k-1),x(k+1)]的内点,
定义 6.2.3 设 x(k)和 x(k-1)为序列 X中的一对紧邻值,若有
1 x(k-1)为老信息,x(k)为新信息
2 X*(k)=?x(k)+(1- ?)x(k-1)
则称 X*(k)为由新信息与老信息在生成系数 ?下的生成值
(generated value),
定义 6.2.4 设序列
X=(x(1),x(2),…,x(k -1),?(k),(k+1),…,x(n)),为
在 k处有空穴 ?(k)的序列,而
X*(k)=0.5x(k+1)+0.5x(k-1)为非紧邻均值生成数,
用非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为
非紧邻均值生成序列 (generated mean sequence
of nonconsecutive neighbors),
定义 6.2.5 设序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)),若
X*(k)=0.5x(k)+0.5x(k-1)则称 X*(k)为紧邻均值生
成数,由紧邻均值生成数构成的序列称为紧邻均
值生成序列 (generated mean sequence of
consecutive neighbors),
在 GM建模中,常用紧邻信息的均值生成,它是以
原始序列为基础构造新序列的方法,
6.3 级比与光滑比 (Stepwise and Smooth Ratios)
当序列的起点和终点为空穴,这时,就无法采用
均值生成填补空缺,只有转而考虑别的方法,级
比生成和光滑比生成就是常用的填补序列端点
空穴的方法,
定义 6.3.1 设序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)) 我们称
)1(
)()(
?? kx
kxk?
?
?
?
? 1
1
)(
)(
)( k
i
ix
kx
k?
为序列的级比 (stepwise ratio).称
为序列的光滑比 (smooth ratio),
定义 6.3.2 设 X为端点是空穴的序列,
X=(?(1),x(2),…,x(n -1),?(n))
若用 ?(1)右邻的级比 (或光滑比 )生成 x(1),用 ?(n)左
邻的级比 (或光滑比 )生成 x(n),则称 x(1)和 x(n)为
级比 (或光滑比 )生成 ;按级比生成 (或光滑比生成 )
填补空穴所得的序列成为级比生成 (或光滑比生
成 )序列,
命题 6.3.1 设 X是端点为空穴的序列,那么
1 若采取级比生成,则
x(1)=x(2)/?(3) x(n)=x(n-1) ?(n-1)
2 若采取光滑比生成,则
)2()3(
)2()1( 2
xx
xx
??
))1(1)(1()( ???? nnxnx ?
命题 6.3.2 级比与光滑比有下述关系,
))(1()( )1()1( kkkk ???? ????
命题 6.3.3 若 X=(x(1),x(2),…,x(n)) 为递增序列,且有
1 对于 k=2,3,…,n,?(k)<2
2 对于 k=2,3,…,n,
1)( )1( ??kk??
(即光滑比递减 )
则对指定的实数 ?∈ [0,1]和 k=2,3,…,n,当 ?(k)
∈ [0,?]时,必有 ?(k+1) ∈ [0,1+ ?],
2
3 ?<0.5
则称 X为准光滑序列 (quasi-smooth sequence),
定义 6.3.4 设 X为有空穴的序列,若新序列生成满足准
光滑条件,则称此生成为准光滑生成,
],0[)( ?? ?k
1)( )1( ??kk??
定义 6.3.3 若序列 X满足
1
6.4 累加生成算子 (Accumulating Generation
Operator)与累减生成算子 (Inverse
Accumulating Generation Operator)
累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,
它在灰色系统理论中占有极其重要的地位,通过
累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱
的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露
出来,
累减生成是在获取增量信息时常用的生成,
累减生成对累加生成起还原作用,累减生成与累
加生成是一对互逆的序列算子,
则称 D为 X(0)的一次累加生成算子,记为 1-AGO.称 r阶算子 Dr
为 X(0)的 r次累加生成算子,记为 r-AGO,
定义 6.4.2 设 X(0)为原始序列 X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),D
为序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,x(0)(2)d,…,x (0)(n)d),其中
x(0)(k)d= x(0)(k)- x(0)(k-1)
则称 D为 X(0)的一次累减生成算子,称 r阶算子 Dr为 X(0)的 r次
累减生成算子,
?
?
?
k
i
ixdkx
1
)0()0( )()(
定义 6.4.1 设 X(0)为原始序列 X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),D为
序列算子,X(0)D=(x(0)(1)d,x(0)(2)d,…,x (0)(n)d),其中
定理 6.4.1 累减算子是累加算子的逆算子,即
?(r)X(r)=x(0)
鉴于累减与累加互逆,我们将累减生成算子记为 IAGO,
命题 6.4.1 设 X(0)为非负序列,X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),
其中,x(0)(k)>=0,且 x(0)(k) ∈ [a,b]
X(r)=(x(r)(1),x(r)(2),…,x (r)(n))
为 X(0)的 r次累加生成序列,则当 r充分大时,对于 ??>0,存在 N,
使 ?k,N<k<=n,有下式成立,
??
?
?
?
1
1
)(
)(
)(
)(
k
i
r
r
ix
kx
这就是说,对于有界非负序列,经过多次累加生成后,所得
序列可充分光滑,且光滑比 ?(k) →0
命题 6.4.2 设 X(0)为非负序列
X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),
其中,x(0)(k)>=0,且 x(0)(k) ∈ [a,b]
X(1)=(x(1)(1),x(1)(2),…,x (1)(n))
为 X(0)的 1次累加生成序列
z(1)=(z(1)(1),z(1)(2),…,z (1)(n))
为 X(1)的紧邻均值生成序列,则对于 ??>0,存在 N,使
?k,N<k<=n,有下式成立,
?? ?? )(
)(
)(
)1(
)0(
k
kz
kx
6.5 累加生成的灰指数律 (Grey Exponen-
tiality of Accumulating Generations )
一般的非负准光滑序列经过累加
生成后,都会减少随机性,呈现出近似
的指数增长规律,原始序列越光滑,生
成后指数规律也越明显,
定义 6.5.1 设原始序列
X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),
?(1)X(0)=(?(1) x(0)(1),?(1) x(0)(2),…,?(1) x(0)(n))
为 X(0)的一次累减生成序列,若
1 有 k,使 ?(1) x(0)(k)= x(0)(k)- x(0)(k-1)>0,则称序列
X(0)在第 k步是增长的,反之,称 X(0)在第 k步是衰
减的
2 对于 k=1,2,…,n,恒有 ?(1) x(0)(k)>0,则称序列 X(0)
为非波动增长序列
3 对于 k=1,2,…,n,恒有 ?(1) x(0)(k)<0,则称序列 X(0)
为非波动衰减序列
4 存在 k1,k2,使 ?(1) x(0)(k1)>0,?(1) x(0)(k2)<0则称 X(0)
为随机序列,
定义 6.5.2 若
1 X(0)为非波动序列,?(1)X(0)为随机序列,则称
X(0)为一阶弱随机序列 ;
2 对于 i=0,1,2,…,r -1,?(i)X(0)皆为非波动序列,
而 ?(r)X(0)为随机序列,则称 X(0)为 r阶弱随机
序列 ;
3 对于 ?r,r?∞,?(r)X(0)为非波动序列,则称 X(0)
为非随机序列,
定理 6.5.1 设 X(0)为正序列,即
X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x (0)(n)),x(0)(k)>0
而 x(r)为 X(0)的 r次累加生成序列,则 X(0)必为 r阶弱
随机序列,
,则当 b=0时,称 X(t)为齐 (homogeneous )指
数函数 ;b≠0时,称 X(t)为非齐次 (non-
homogeneous )指数函数
定义 6.5.4 设序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)),
若对于任意的 k
?,x(0)(1)
0,;)( ??? acbcetX at
0,;)( ?? accekx ak
0,,;)( ??? bacbcekx ak
定义 6.5.3 设连续函数为
则称 X为 齐次指数序 列
,则称 X为非齐次指
数序列
定理 6.5.2 X为齐次指数序列的充分必要
条件是,对于 k=1,2,…,n,恒有 ?(k)=const成立,
定义 6.5.5 设序列 X=(x(1),x(2),…,x(n)),若
? 则称序列 X具有负的灰指数规律
? 则称序列 X具有正的灰指数规律
? 则称序列 X具有绝对灰度
?为的 ?灰指数规律
?? <0.5时,称 X具有准指数规律 (the law of quasi-
exponent)
]1,0()(,?? kk ?
],1()(,bkk ?? ?
?? ???? abbakk ],,()(,
定理 6.5.3 设 X(0)为非负准光滑序列,则 X(0)的一次
累加生成序列 X(1)具有准指数规律,
定理 6.5.4 设 X(0)为非负序列,若 X(r)具有指数规律,
且 X(r)的级比 ?(r)(k)= ?,则有
1
)1(
1
1)(.1
?
?
?
??
k
k
r k
?
??
]1,1()(,,1)(,)1,0(.2 )1()1(lim ???? ???? ??
??
kkk rr
k
对每个时当
]1,()(,,)(,1.3 )1()1(lim ?????? ???? ??
??
kkk rr
k
对每个时当