南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
第三章 序列算子与灰色序列生成
? 灰色系统理论是通过对原始数据的整理来寻求其变化规律的,
这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,称之为灰色序列生
成
?一切灰色序列都可以通过某种生成弱化其随机性,显现规律性,
?算子 是处理数据的一种方法。
í? 3, 1
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
?μ áD 1 1 2 1.5 3
1 2 3 4
图3, 2
0
2
4
6
8
系列1
系列1 1 3 4.5 7.5
1 2 3 4
3.1 序列算子
一 冲击扰动系统预测陷阱
定义 3.1.1 设
为系统真实行为序列,而观测到的系统行为数据序列为,
其中,
为冲击扰动项,则称 X为冲击扰动序列,
本节的讨论围绕一个总目标,由 展开
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ??
???? ??????
?
)0()0(
2
)0(
1
)0( ))()2(,)1((
))(,),2(),1((
Xnxxx
nxxxX
n，,?
?
),,,( 21 n???? ??
X )0(X
二、缓冲算子公理
定义 3.1.2 设系统行为数据序列为 X（ x(1),x(2),…,x(n)),若
1、任意 k=2,3,…,n,总有 x(k)-x(k-1)>0,则称 X为单调增长序列；
2,1中不等号反过来成立，则称 X为单调衰减序列；
3、存在 有
则称 X为随机振荡序列。设 M=max
m=min
称 M-m为序列 X的振幅。
? ?nkk,,3,2,???
0)1()( ????? kxkx0)1()( ??? kxkx
? ?nkkx,,2,1)( ??
? ?nkkx,,2,1)( ??
定义 3.1.3 （序列算子的定义） 设 X为系统行为数据序列,D
为作用于 X的算子,X经过算子 D的作用后所得序列记为
称 D为序列算子，称 XD为一阶算子作用序列。序列算子的作
用可以进行多次，相应的若 皆为序列算子，则称
为二阶算子,为三阶算子,为二阶算子
作用序列,为三阶算子作用序列。
公理 3.1.1 （不动点公理） 设 X为系统行为序列,D为序列算
子，则 D满足
* 涉及到不动点公理 即 ‘ 布劳威尔 ’ 不动点定理
)))(,,)2(,)1(( dnxdxdxXD ??
321,,DDD
21DD 321 DDD 21DXD
321 DDXD
)()( nxdnx ?
公理 3.1.2 （信息充分利用公理）系统行为数据序列 X中
的每一个数据 都应该充分的参与
算子作用的全过程。 nkkx,,2,1),( ??
公理 3.1.3 （解析化、规范化公理）任意的,
都可以由一个统一的 的初等解析式表
达。
dnx )( nk,,2,1 ??
)(,),2(),1( nxxx ?
上述三个公理称为缓冲算子三公理，满足缓冲算子三公
理的序列算子称为缓冲算子。
设 X为原始数据序列,D为缓冲算子，当 X分别为增长
序列、衰减序列或振荡序列时,
1、若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度（或衰减速
度）减缓或振幅减小，称缓冲算子 D为弱化算子。
2、若缓冲序列 XD比原始序列 X的增长速度（或衰减速
度）加快或振幅增大，称缓冲算子 D为强化算子。
三、缓冲算子的性质
定理 3.1.1 设 X为单调增长序列,XD为其缓冲序列，则有
1,D为弱化算子
2,D为强化算子
即单调增长序列在弱化算子作用下数据膨胀，在强化算子作用
下数据萎缩。
定理 3.1.2 设 X为单调衰减序列,XD为其缓冲序列，则有
1,D为弱化算子
2,D为强化算子
即单调衰减序列在弱化算子作用下数据萎缩，在强化算子作用
下数据膨胀。
? ;,2,1,)()( nkdkxkx ???
? ;,2,1,)()( nkdkxkx ???
?
?;,2,1,)()( nkdkxkx ???;,2,1,)()( nkdkxkx ???
四、实用缓冲算子的构造
定理 3.1.4 设原始数据序列 X=
令 其中
则当 X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为
弱化算子。（证明从略）
))(,),2(),1(( nxxx ?
)))(,,)2(,)1(( dnxdxdxXD ??
? ? nknxkxkxkndkx ??,2,1;)()1()(11)( ????????
四、实用缓冲算子的构造
定理 3.1.4 设原始数据序列 X=
令 其中
则当 X为单调增长序列、单调衰减序列或振荡序列时,D皆为
强化算子。（证明从略）
))(,),2(),1(( nxxx ?
)))(,,)2(,)1(( dnxdxdxXD ??
1,2,1;12 )()1()2()1()( ??? ?????? nkk kkxkxxxdkx ??
3.2 均 值 生 成
定义 3.2.1 设序列
与 为 X的一对紧邻值,称为前值,
称为后值，若 为新信息，则对任意 为
老信息。
))(),1(),(,),2(),1(( nxkxkxxxX ?? ??
)(kx )1( ?kx )(kx )1( ?kx
)(nx )(,1 kxnk ??
定义 3.2.2 设序列 X在 k处有空穴，记为,即
则称 与 为 的界值
为前界,为后界。当 由 和
生成时，称生成值 为 的内点。
)(k?
))(),1(),(),1(,),2(),1(( nxkxkkxxxX ?? ????
)1( ?kx)1( ?kx )(k? )1( ?kx
)1( ?kx )(k? )1( ?kx )1( ?kx
)(kx )]1(),([ ?kxkx
定义 3.2.3 设 与 为序列 X中的一对紧邻值，若有
1,为老信息,为新信息；
2,
则称 为由新信息与老信息在生成系数 下的生成值，当
>0.5时，称 的生成是“重新信息、轻老信息”生成；当
<0.5 时，称的生成是“重老信息、轻新信息”生成；当
=0.5,
称 的生成为非偏生成。
定义 3.2.4 设
为在 处有空穴 的序列，而
为非紧邻均值生成数，用
非紧邻均值生成数填补空穴所得的序列称为非紧邻均值生成序
列。
)(kx )1( ?kx
)1( ?kx )(kx
]1,0[),1()1()()(* ????? ??? kxkxkx
)(* kx ? ?
)(* kx
?
?
)(* kx
))(),1(),(),1(,),2(),1(( nxkxkkxxxX ?? ????
k )(k?
)1(5.0)1(5.0)(* ???? kxkxkx
定义 3.2.5 设序列 若
则称 为紧邻均值生成数，由紧邻均值生成数构成的序列
称为紧邻均值生成序列。在 GM建模，常用紧邻信息的均值生成,
它是以原始序列为基础构造新序列的方法。
注意：设 为 n元序列,Z为 X的紧邻均值
生成序列，则 Z为 元序列,
无法由 X生成 z(1),
))(),2(),1(( nxxxX ??
)1(5.0)(5.0)(* ??? kxkxkx
)(* kx
))(),2(),1(( nxxxX ??
))(),3(),2(( nzzzZ ??1?n
3.4 级比和光滑比
当序列的起点 x(1)和终点 x(n)为空穴，就无法采用均值
生成填补空缺，只有转而采用别的方法，级比生成和
光滑比生成就是常用的填补序列端点空穴的方法。
定义 3.4.1 设序列
称
为序列 X的级比，称
为序列 X的光滑比。
))(),2(),1(( nxxxX ??
nk
ix
kx
k k
i
,,3,2;
)(
)(
)( 1
1
???
?
?
?
?
nk
kx
kxk,,3,2;
)1(
)()( ??
?
??
定义 3.4.2 设 X为端点是空穴的序列,
若用 右邻的级比（或光滑比）生成,用
左邻的级比（或光滑比）生成,则称 与
为级比（或光滑比）生成，按级比生成（或光滑比生成）填补
空穴所得的序列称为级比生成（或光滑比生成）序列。
命题 3.4.1 设 X是端点为空穴的序列，则
1、若采用级比生成，则
2、若采用光滑比生成，则
))(),1(,),2(),1(( nnxxX ???? ?
)1(? )1(x )(n?
)(nx )1(x )(nx
)1()1()(),3(/)2()1( ???? nnxnxxx ??
))1(1)(1()(,
)2()3(
)2()1( 2 ????
?
? nnxnx
xx
xx ?
命题 3.4.2 级比与光滑比有下述关系,
定义 3.4.3 若序列 X满足,
1,
2,
3,
则称 X为准光滑序列。
定义 3.4.4 设 X为有空穴的序列，若新序列生成满足准光滑条件，
则称为准光滑生成。
nkkkkk,,3,2));(1()( )1()1( ?????? ????;1)( )1( ??kk?? 1,,3,2 ?? nk ?
nkk,,4,3];,0[)( ??? ??
5.0??
3.5 累加生成算子和累减生成算子
定义 3.5.1 设 为原始序列
D为序列算子,
其中
则称 D为 的一次累加生成算子，记为 1-AGO
（ Accumulating Generation Operator),称 r阶算子 为 的 r次
累加生成算子，记为 r-AGO,习惯上，我们记
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ??)0(X
)))(,,)2(,)1(( )0()0()0()0( dnxdxdxDX ??
?
?
??
k
i
nkixdkx
1
)0()0(,,2,1);()( ?
)0(X
rD )0(X
)))(,,)2(,)1(( )1()1()1()1()0( dnxdxdxXDX ???
)))(,,)2(,)1(( )()()()()0( dnxdxdxXDX rrrrr ???
其中
定义 3.5.2 设 为原始序列,D为序列算子,
其中,
则称 D为 的一次累减生成算子,r 阶算子 称为 的 r
次累减生成算子。
定理 3.5.1 累减算子是累加算子的逆算子。
( ) ( 1 )
1
( ) ( ) ; 1,2,,
k
rr
i
x k x i k n?
?
??? L
(0)X
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ),(2 ),( ) )X x x x n? L
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ),( 2 ),( ) ),X D x d x d x n d? L
( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ) ( ) ( 1 ) ; 1,2,,x k d x k x k k n? ? ? ? L
(0)X rD (0)X
命题 3.5.1 设 为非负序列
其中,且
为 的 r次累加生成序列，则当 r充分大的时候，对于
存在 N，使得 有下式成立,
这就是说，对于有界非负序列，经过多次累加生成后，所得序
列可以充分光滑，且光滑比
(0)X
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ),(2 ),( ) )X x x x n? L
( 0 ) ( ) 0xk ? ( 0 ) ( ) [,] ; 1,2,,.x k a b k n?? L
( ) ( ) ( ) ( )( ( 1 ),(2 ),,( ) )r r r rX x x x n? L
(0)X
0,???,,k N k n? ? ?
()
1
()
1
()
()
r
k
r
i
xk
xi
?
?
?
?
?
( ) 0 ( )kk? ? ? ?
3.6 累加生成的灰指数律
一般得非负准光滑序列经过累加生成以后，都会减少随机性，呈现出近
似得指数增长规律，原始序列越光滑，生成后得指数规律越明显。
定义 3.6.1 （见教材 P37）
定义 3.6.2
定理 3.6.1 设 为正序列,
而 为 的次累加生成，则 必为 r 阶弱随机序列。
定理 3.6.3 设 为非负准光滑序列，则 的一次累加生成序列 具有
准指数规律。即 。
如果 的 r 次累加生成序列已经具有明显的指数规律，再作 AGO生成反
而会破坏其规律。因此累加生成应适可而止，对非负准光滑序列，只需进
行一次累加生成即可建立指数模型。
( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) ( 0 )( ( 1 ),(2 ),( ) )X x x x n? L
()rX (0)X ()rX
(0)X (0)X (1)X
0.5? ?