南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
灰色聚类,
1：灰关联聚类：用于同类因素的归并，
减少指标个数。
2：灰色白化权函数聚类：检查观测对象
属于何类。
灰色白化权函数聚类又可分为
（ 1） 变权聚类；
（ 2）定权聚类。
7.1 灰色关联聚类
设有 n个观测对象，每个观测对象 m个特征
数据,
X1=(x1(1),x1(2),…,x 1(n))
X2=(x2(1),x2(2),…,x 2(n))
…………,
Xm=(xm(1),xm(2),…,x m(n))
对于所有的 I ≤ j，计算出 Xi与 Xj的绝对
关联度，得到特征变量关联矩阵 A。
给定临界值 r,0 ≤ r ≤ 1，当关联度大于
等于给定的临界值时，就把 Xi与 Xj 看为同一
类。
7.2 灰色变权聚类
定义 7.2.1 设有 n个聚类对象,m个聚类指标,s个不同灰类,
根据第 i(i=1,2,…,n) 个对象关于 j(j=1,2,…,m) 指标的样本
值 xij将第 i个对象归入第 k个灰类之中,称为灰色聚类,
定义 7.2.2 将 n个对象关于指标 j的取值相应的分为 s个灰
类,我们称之为 j指标子类,
j指标 k子类的白化权函数记为
定义 7.2.3 设 j指标 k子类的白化权函数 为图 7.2.1所
示的典型白化权函数,则称 为
的转折点,典型白化权函数记为
)(?kjf
)(?kjf
)(?kjf )4(),3(),2(),1( kjkjkjkj xxxx
)]4(),3(),2(),1([ kjkjkjkjkj xxxxf
1
kjf
0 x )1(k
jx )2(kjx )3(kjx )4(kjx
图 7.2.1
定义 7.2.4
1 若白化权函数 无第一和第二个转折点,,
即如图 7.2.2所示,则称 为下限测度白化权函数,记
为
2 若白化权函数 第二和第三个转折点,重
合,即如图 7.2.3所示,则称 为适中测度白化权函数,
记为
3 若白化权函数 无第三和第四个转折点,,
即如图 7.2.4所示,则称 为上限测度白化权函数,记
为
)(?kjf
)(?kjf
)(?kjf
)(?kjf
)(?kjf
)(?kjf
)2(kjx
)2(kjx
)1(kjx
)3(kjx
)3(kjx )4(kjx
)4(kjx)4(kjx)3(kjx )1(kjx )1(kjx)2(kjx )2(kjx
)]4(),3(,,[ kjkjkj xxf ??
)]4(,),2(),1([ kjkjkjkj xxxf ?
],),2(),1([ ??kjkjkj xxf
图 7.2.2 图 7.2.3 图 7.2.4
定义 7.2.5
1 对于图 7.2.1所示的 j指标 k子类白化权函数,令
2 对于图 7.2.2所示的 j指标 k子类白化权函数,令
3 对于图 7.2.3和图 7.2.4所示的 j指标 k子类白化
权函数,令
则称 为 j指标 k子类临界值,
))3()2((21 kjkjkj xx ???
)3(kjkj x??
)2(kjkj x??
kj?
定义 7.2.6 设为 j指标 k子类临界值,则称
为 j指标关于 k子类的权,
?
?
? m
j
k
j
k
jk
j
1
?
?
?
定义 7.2.7 设 xij为对象 i关于指标 j的样本,为 j指标 k
子类的白化权函数,为 j指标关于 k子类的权,则称
为对象 i属于 k灰类的灰色变权聚类系数,
)(?kjf
kj?
k
j
m
j
ij
k
j
k
i xf ?? ?? ?
? 1
)(
定义 7.2.8 称
1
为对象 i的聚类系数向量,
2
为聚类系数矩阵,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????????????
???
???
???
s
nnn
s
s
k
i
1
21
1
2
2
1
2
1
2
1
1
1
)(
???
???
???
?
))(,,)(,)((),,,(
11
22
1
1121 ???
???
???????????
m
j
s
jij
s
j
m
j
jijj
m
j
jijj
s
iiii xfxfxf ???????
定义 7.2.9 设,则称对象 i属于灰
类 k*
灰色变权聚类适用于指标的意义、量纲皆
相同的情形，当聚类指标的意义、量纲不同且
不同指标的样本值在数量上悬殊较大时，不宜
采用灰色变权聚类。
}{m a x
1
* k
i
sk
k
i ??
??
?
第三步：计算对象 i关于灰类 k的综合聚类系数
第四步：由,判断对象 i属于灰
类 k*；
当有多个对象同属于 k*时，可以进一步根据综合
聚类系数的大小确定同属于 k*灰类之各对象的优
劣或位次。
ki?
k
j
m
j
ij
k
j
k
i xf ?? ?? ?
? 1
)(
}{m a x
1
* k
i
sk
k
i ??
??
?
7.3 灰色定权聚类
定义 7.3.1 设有 n个聚类对象,m个聚类指标,s个不同灰类,
根据第 i(i=1,2,…,n) 个对象关于 j(j=1,2,…,m) 指标的样本值 xij
j指标 k子类的白化权函数记为 fjk(*)
为 j指标关于 k子类的权，且与 k无关,记为,则称
为对象 i属于 k灰类的灰色定权聚类系数,
kj?
j
m
j
ij
k
j
k
i xf ?? ?? ?
? 1
)(
}{m a x
1
* k
i
sk
k
i ??
??
?
若 则 称对象 i属于灰类 k*
j?
7.4 基于三角白化权函数的灰色评估
设有 n个对象,m个评估指标,s个不同的灰类，对象 i关于
指标 j的样本观测值为 xij，我们要根据 xij的值对相应的对象
i进行评估，诊断，具体步骤如下,
第一步：按照评估要求所需划分的灰类数 s，将各个指标
的取值范围也相应的划分为 s个灰类
第二步：令 (ak+ak+1)/2属于第 k个灰类的白化权函数值为 1，
((ak+ak+1)/2,1)与第 k-1个灰类的起点 ak-1和第 k+1个灰类的终
点 ak+2连接，得到 j 指标关于 k 灰类的三角白化权函
数,对于 和,可分别将 j指标取数域向
左，右延拓至 a0,as+2。 (见图 7.4.1) )(?
kjf )(1 ?jf )(?sjf
0 a0 a1 a2 a3 a4 ak-1ak ak+1ak+2 as-1as as+1 as+2 x
1
)(xfkj
灰色数列模型在医院工作中的应用分析
目的构造灰色数列模型,预测医院人均住院费用的变化趋
势 。 方法利用灰色系统 GM(1,1)预测模型 y(t)=[x(1)-
ua]e-a(t-1)+ua分别预测 2002～ 2005年医院人均住院费
用的趋势 。 结果依据某院 1994～ 2001年医院人均住院费用
资料,所构造的灰色预测模型为,^y=597.87e0.0469(t-
1)-574.23,拟合结果显示,模型的平均相对误差为 1.8%,
精度为优 (C=0.14,P=1)。 结论该模型在预测方面具有所需
样本量小, 无需典型的概率分布, 计算简便和预测效果好等
优点,可作为预测的有效工具 。
应用灰色系统模型对麦蜘蛛灾变预测的研究
应用灰色系统理论方法,对冬小麦麦蜘蛛的统计数列,建
立了灰色 GM(1,1)灾变长期预测模型。经检验,该模型精度
高,回测效果好,可用于冬小麦麦蜘蛛的长期预报。
灰色数列模型在煤炭需求预测中的应用
以实际数据为基础,建立了我国煤炭需求
量的数列预测模型,并研究了 GM (1,1)模
型在我国煤炭需求预测中的应用 。 认为该模
型可用于对我国煤炭需求总量的预测 。 进一
步分析了根据实际变化不断改进模型的必要
性 。
灰色数列模型田径比赛赛成绩的灰色区间预测方法的研究
灰色区间预测方法是把运动员的原始成绩划分为上, 下限线,根据时
间和成绩的二维坐标平面的上, 下限线的发展趋势,预测出未来的运动成
绩,从而为教练员制定训练计划提供精确信息,也为运动员参加比赛时对
对手成绩的了解提供依据,灰色区间预测的方法简单,实用,准确性高,