南京大学：灰色系统理论及其应用（精品课程）：第八章

南京航空航天大学经济管理学院
精品课程群建设组
8.1 GM(1,1)模型
定义 8.1.1 称
为灰色微分型方程,
定义 8.1.2 若灰色微分型方程满足下列条件,
1 信息浓度无限大
2 序列具有灰微分内涵
3 背景值到灰导数成分具有平射关系
则称此灰色微分型方程为灰色微分方程,
命题 8.1.1 方程 为灰色微分方程,其中
bkaxkd iii ?? )()( )1()(
bkazkx ?? )()( )1()0(
)1(5.0)(5.0)( )1()1()1( ??? kxkxkz
定义 8.1.3 称
为 GM(1,1)模型,
符号 GM(1,1)的含义如下,
G M (1,1)
↑ ↑ ↑ ↑
Grey Model 1阶方程 1个变量
bkazkx ?? )()( )1()0(
定理 8.1.1 设 X(0)为非负序列,
其中 x(0)(k)>=0,k=1,2,…,n; X (1)为 X(0)的 1-AGO序列,
其中 ; Z(1)为 X(1)的紧邻均值生成序
列,
其中 ;k=2,3,…,n
若 为参数列,且
则灰色微分方程 的最小二乘估计参数
列满足
)1(5.0)(5.0)( )1()1()1( ??? kxkxkz
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxX ????
nkixkx k
i
,,2,1,)()(
1
)0()1( ????? ?
?
))(,),3(),2(( )1()1()1()1( nzzzZ ????
bkazkx ?? )()( )1()0(
Tbaa ),(? ?
?
?
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?
?
?
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?
?
???
?
1)(
1)3(
1)2(
,
)(
)3(
)2(
)1(
)1(
)1(
)0(
)0(
)0(
nz
z
z
B
nx
x
x
Y
YBBBa TT 1)(? ??
定义 8.1.4 设 X(0)为非负序列,X(1)为 X(0)的 1-AGO序列,Z(1)
为 X(1)的紧邻均值生成序列,,则称
为灰色微分方程
的白化方程,也叫影子方程,
YBBBa TT 1)(? ??
baxdtdx ?? )1()1(
bkazkx ?? )()( )1()0(
定理 8.1.2 设 B,Y,如定理 8.1.1所述,则
1 白化方程 的解也称时间响应函数为
2 GM(1,1)灰色微分方程 的时间响应序
列为
3 取 x(1)(0)=x(0)(1),则
4 还原值
a?
baxdtdx ?? )1()1(
bkazkx ?? )()( )1()0(
nkkxkxkxakx,,2,1);(?)1(?)1(?)1(? )1()1()1()1()0( ??????????
nkabeabxkx ak,,2,1;))0(()1(? )1()1( ???????? ?
nkabeabxkx ak,,2,1;))1(()1(? )0()1( ???????? ?
a
be
a
bxtx ak ??? ?))0(()( )1()1(
定义 8.1.5 称 GM(1,1)模型中的参数 -a为发展系数,b为灰
色作用量,
-a反映了 及 的发展态势,一般情况下,系统作用
量应是外生的或前定的,而 GM(1,1)是单序列建模,只用到
系统的行为序列 (或称输出序列,背景值 ),而无外作用序
列 (或称输入序列,驱动量 ).GM(1,1)中的灰色作用量是从
背景值挖掘出来的数据,它反映数据变化的关系,其确切
内涵是灰的,灰色作用量是内涵外延化的具体体现,它的
存在,是区别灰色建模与一般输入输出建模 (黑箱建模 )的
分水岭,也是区分灰色系统观点与灰箱观点的重要标志,
)1(?X )0(?X
定理 8.1.3 GM(1,1)模型
可以转化为
其中
bkazkx ?? )()( )1()0(
)1()( )1()0( ??? kxkx ??
a
b
5.01 ??? a
a
5.01 ???
定理 8.1.4 设,,且
为 GM(1,1)模型时间响应序列,其中
则
a
b
5.01 ??? a
a
5.01 ???
))(?,),2(?),1(?(? )1()1()1()1( nxxxX ????
a
be
a
bxkx ka ??? ?? )1()0()1( ))1(()(?
)2()0()0( ))1(()( ???? kaexkx ??
8.2 GM(1,1)模型群
定义 8.2.1 设序列
将 x(0)(n)取为时间轴的原点,则称 t<n为过去,t=n为现
在,t>n为未来,
定义 8.2.2 设序列
为其 GM(1,1)时间响应式的累减还原值,则
1 当 t<=n时,称 为模型模拟值 ;
2 当 t>n时,称 为模型预测值,
建模的主要目的是预测,为提高预测精度,首先要
保证有充分高的模拟精度,尤其是 t=n时的模拟精度,因
此建模数据一般应取为包括 x(0)(n)在内的一个等时距
序列,
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
aka e
a
bxekx ????? ))1()(1()1(? )0()0(
)(? )0( tx
)(? )0( tx
定义 8.2.3 设原始数据序列
1 用 建立的 GM(1,1)模型称
为全数据 GM(1,1)
2 用 建立的 GM(1,1)模型
称为部分数据 GM(1,1)
3 设 x(0)(n+1)为最新信息,将 x(0)(n+1)置入 X(0),称用
建立的模型为新信息 GM(1,1)
4 置入最新信息 x(0)(n+1),去掉最老信息 x(0)(1),称用
建立的模型为新陈代谢 GM(1,1),
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),1(),(( )0(0)0(0)0()0( nxkxkxX ?????
))1(),(,),2(),1(( )0()0()0()0()0( ????? nxnxxxX
))1(),(,),2(( )0()0()0()0( ????? nxnxxX
8.3 GM(1,1)模型的适用范围
模型具有多种不同的形式,主要有,
a
a
a
b
kxkx
kxkxkx
a
b
e
a
b
xkx
bax
dt
dx
bkazkx
bkaxkx
ak
5.01
,
5.01
),1()()5(
)(?)1(?)1(?
))1(()1(?
)4(
)3(
)()()2(
)()()1(
)1()0(
)1()1()0(
)0()1(
)1(
)1(
)1()0(
)1()0(
?
?
?
????
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?
?
?
????
????
??
??
??
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????
??
?
???
??
)1()1()(
)1()2()6(
)0()0(
)0()0(
kxkx
xx
?
??
)2()0()0(
)1l n ()0(
3
)0(
)0(
2)0(
)0(
)1(
)1(
)0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
))1(()()11(
)3(
)1(
1
)()10(
)
5.01
)1(
()
5.01
5.01
()()9(
)1(
5.0)2(
5.0)1(
)(
)1()2(
)8(
)1(
5.01
5.01
)(
)1()2(
)7(
??
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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ka
k
k
exkx
exkx
a
axb
a
a
kx
kx
bkx
bkx
kx
xx
kx
a
a
kx
xx
??
?
??
??
?
)1()0()0(
)1()0()0(
))1()(()(?)13(
))1()(1()(?)12(
??
??
???
???
ka
kaa
e
a
b
xakx
e
a
b
xekx
命题 8.3.1 当 时,GM(1,1)
模型无意义,
命题 8.3.2 当 GM(1,1)发展系数 |a|>=2时,GM(1,1)模型无
意义,
通过分析,可得下述结论,
(1)当 -a<=0.3时,GM(1,1)可用于中长期预测
(2)当 0.3<-a<=0.5时,GM(1,1)可用于短期预测,中长期预
测慎用
(3)当 0.5<-a<=0.8时,GM(1,1)作短期预测应十分谨慎
(4)当 0.8<-a<=1时,应采用残差修正 GM(1,1)
(5)当 -a>1时,不宜采用 GM(1,1)
? ?
? ?
?? n
k
n
k
kzkzn
2 2
2)1(2)1( ])]([[)]([)1(
8.4 GM(2,1)和 Verhulst模型
GM(1,1)适用于具有较强指数规律的序列,只能描
述单调的变化过程,对于非单调的摆动发展序列或有饱
和的 S形序列,可以考虑建立 GM(2,1),DGM和 Verhulst模
型,
一,GM(2,1)模型
定义 8.4.1 设原始序列
其 1-AGO序列 X(1)和 1-IAGO序列 ?(1)X(0)分别为
和
其中
X(1)的紧邻均值生成序列为
则称
为 GM(2,1)灰色微分方程,
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )0()1()0()1()0()1()0()1( nxxxX ???? ????
)1()()( )0()0()0()1( ??? kxkxkx?
))(,),3(),2(( )1()1()1()1( nzzzZ ????
bZaXaX ??? )1(2)0(1)0()1(?
定义 8.4.2 称
为 GM(2,1)灰色微分方程的白化方程,
定理 8.4.1 设 如定义 8.4.1所述,且
则 GM(2,1)参数列 的最小二乘估计为
bxadtdxadt xd ??? )1(2)1(12 )1(2
)0()1()1()1()0(,,,XZXX ?
Tbaaa ],,[? 21?
YBBBa TT 1)(? ??
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?????????
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1)()(
1)3()3(
1)2()2(
)1()0(
)1()0(
)1()0(
nznx
zx
zx
B
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?
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?
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???
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???
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)1()(
)2()3(
)1()2(
)(
)3(
)2(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()1(
)0()1(
)0()1(
nxnx
xx
xx
nx
x
x
Y
?
?
?
定理 8.4.2 关于 GM(2,1)白化方程的解有以下结论,
1 若 是
的特解,是对应齐次方程
的通解,则 是 GM(2,1)白化方程的通解,
2 齐次方程的通解有以下三种情况,
当特征方程 有两个不相等实根时,
当特征方程有重根时,
当特征方程有一对共轭复根 时
bxadtdxadt xd ??? )1(2)1(12 )1(2
0)1(2
)1(
12
)1(2
??? xadtdxadt xd
*)1(X
)1(X
)1()1( * XX ?
0212 ??? arar
trtr eCeCX 21 21)1( ??
)( 21)1( tCCeX rt ??
)s i nc o s( 21)1( tCtCeX t ??? ??
???? irir ???? 21,
3 白化方程的特解有以下三种情况,
当零不是特征方程的根时,
当零是特征方程的单根时,
当零是特征方程的重根时,
cX ?*)1(
cxX ?*)1( 2)1( * cxX ?
二,DGM模型
定义 8.4.3 设原始序列为
1-AGO序列为
1-IAGO序列为
则
称为 DGM(2,1)灰色微分方程,
定义 8.4.4 称
为 DGM(2,1)灰色微分方程的白化方程,
))(,),2(),1(( )0()0()0()0( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )1()1()1()1( nxxxX ????
))(,),2(),1(( )0()1()0()1()0()1()0()1( nxxxX ???? ????
bXaX ?? )0(1)0()1(?
bdtdxadtxd ?? )1(2 )1(2
定理 8.4.3 若 为参数列,而 如定
义 8.4.3所述
则灰色微分方程 的最小二乘估计参
数满足
YBBBbaa TTT 1)(],[? ???
bXaX ?? )0(1)0()1(?
Tbaa ],[? ? )1()0()1()0(,,XXX ?
?
?
?
?
?
?
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)1()(
)2()3(
)1()2(
)(
)3(
)2(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()1(
)0()1(
)0()1(
nxnx
xx
xx
nx
x
x
Y
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
1)(
1)3(
1)2(
)0(
)0(
)0(
nx
x
x
B
定理 8.4.4 设 X(0)为非负序列,X(1)为 X(0)的 1-AGO序
列,B,Y,如定理 8.4.3所述,则
1 白化方程 的时间响应函数为
2 灰色微分方程 的时间响应序列为
3 还原值为
a?
bdtdxadtxd ?? )1(2 )1(2
a
a
a
bxt
a
be
a
x
a
btx ta ?????? ?? 1))1(())1(()(? )0()1()0(
2
)1(
a
a
a
bxk
a
be
a
x
a
bkx ak ???????? ? 1))1(()1())1(()1(? )0()0(
2
)1(
bXaX ?? )0(1)0()1(?
)(?)1(?)1(?)1(? )1()1()1()1()0( kxkxkxkx ?????? ?
三,Verhulst模型
定义 8.4.5 设 X(0)为原始数据序列,X(1)为 X(0)的 1-AGO序
列,Z(1)为 X(1)的紧邻均值生成序列,则称
为 GM(1,1)幂模型,
定义 8.4.6 称
为 GM(1,1)幂模型的白化方程,
定理 8.4.5 GM(1,1)幂模型之白化方程的解为
?)( )1()1()1( xbax
dt
dx ??
?)( )1()1()0( ZbaZX ??
?? ???? ? ??? 1
1
)1()1()1( ]})1[({)( Cdtbeetx ataata
定理 8.4.6 设 如定义 8.4.5所述
则 GM(1,1)幂模型参数列 的最小二乘估计为
)1()1()0(,,ZXX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
)(
)3(
)2(
)0(
)0(
)0(
nx
x
x
Y
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
?
?
?
?
?
?
))(()(
))3(()3(
))2(()2(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
nznz
zz
zz
B
Tbaa ],[? ?
YBBBbaa TTT 1)(],[? ???
定义 8.4.7 当 a=2时,称
为灰色 Verhulst模型,
定义 8.4.8 称
为灰色 Verhulst模型的白化过程,,
2)1()1()0( )( ZbaZX ??
2)1()1(
)1(
)( xbaxdtdx ??
定理 8.4.7
1 Verhulst白化方程的解为
2 灰色 Verhulst模型的时间响应式为
at
atat
atat
ebxabx
ax
ebxae
ax
e
a
b
x
e
tx
))0(()0(
)0(
)]1)(0([
)0(
)]1(
)0(
1
[
1
)(
)1()1(
)1(
)1(
)1(
)1(
)1(
??
?
??
?
??
?
?
?
akebxabx
axkx
))0(()0(
)0()1(?
)1()1(
)1(
)1(
????
Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程,即 S
形过程,常用于人口预测,生物生长,繁殖预测和产品经济
寿命预测等,由 Verhulst方程的解可以看出,当 t→∞时,若
a>0,则 x(1)(t) →0;若 a<0,则 x(1)(t) →a/b,即有充分大 t的,对
任意的 k>t,x(1)(k+1) 与 x(1)(k) 充分接近,此时 x(0)(k) ≈0,系
统趋于死亡,
基于串联灰色神经网络的电力负荷预测方
法
为了提高电力负荷预测的精度,分析现有
人工神经网络和灰色预测方法各自的优缺点
,将二者相结合提出了一种串联灰色神经网
络预测方法,新方法利用灰色预测中的累加
生成运算对原始数据进行变换,从而得到规
律性较强的累加数据,便于神经网络进行建
模和训练,同时避免了灰色预测方法存在的
理论误差,最后实际算例证明了方法的有效
性,方法适用于中长期负荷预测,
灰色神经网络模型在湖泊水质预测中的应
用
应用灰色 GM(1,1)预测模型和人工神经
网络预测模型相结合而成的灰色神经网络模
型,对湖泊高锰酸盐指数进行预测 。 此方法
是用人工神经网络去把握灰色 GM(1,1)所
得到的预测值和实测值之间的未知关系,再
进行新的预测 。 其特点是可行性强,且方法
简便 。 通过准确地预测湖泊高锰酸盐指数可
以为治理, 控制湖泊营养化和综合利用自然
环境资源, 规划管理, 决策提供重要的科学
依据 。
用灰色组合模型预测环保投资
针对环保投资变化的非平稳性，采用灰色 GM
（ 1,1）模型分析环保投资的趋势项并与历
史环保投资比较得一系列残差，然后应用人
工神经网络模型进行修正以提高精度。应用
实例表明，该方法效果良好，较单一的灰色
模型信息利用率要高，在分析、预测环保投
资动态发展趋势方面具有一定的应用价值。
井壁安全远程自动监测及井壁变形的灰
色马尔柯夫预测
介绍了井壁安全远程智能化自动监测,
破裂预测与信息化施工 。 监测系统采用信
息网络技术,通过电话拨号,利用计算机进
行应力, 应变和温度等数据的采集, 传输
,报警,可以实现自动无人实时监测 。 鉴
于井壁破坏影响因素的复杂性,研究了利
用灰色马尔可夫链进行井壁变形预测的可
能,用灰色理论体现其灰色性,用马尔可夫
动态过程来反映系统受影响的随机性,取
得了较好的预测效果 。
基于灰色 -马尔可夫链改进方法的铁路货运
量预测研究
科学的预测对于经济现象的研究和经济决
策的制定都具有十分重要的意义,因此,关于
经济预测理论和方法的研究一直是一个热点
。本文将灰色模型预测方法 GM(1,1)和马尔
可夫链预测相结合,提出灰色马尔可夫链改
进预测方法,并且针对我国铁路货运量的发
展趋势进行了预测,得出比灰色预测更加准
确的结论。从而证明,灰色马尔可夫链改进
方法的预测结果更加准确可靠,更有利于决
策者的经济决策行为。
灰色 ·马尔柯夫模型在棉花产量预测中的应
用
住宅需求量预测的灰色马尔柯夫模型及应
用
统计数据显示出非平稳的特征时,采用
一般的预测方法往往精度不高,考虑到 GM(
1,1 )模型和 Markov链预测的特点,用
GM( 1,1 )模型进行趋势预测,用
Markov链预测反映数据序列的非平稳特征
,将二者有机结合起来,对住宅的需求量作
预测。文章应用该模型对 1 992～ 2 0 0
2年间某城市住宅的数据进行了检验,经验
证预测精度较高