?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
1/48
cjkCAFD cjkD1A7 cjkCEEF cjkC0ED cjkB7BD cjkB7A8
cjkBDCCcjkCAA6: cjkCFF2cjkB0B2cjkC6BD
cjkD6B0cjkB3C6: cjkBDCC cjkCADA
cjkB5E7cjkBBB0: 85966381(O)
85533790(H)
cjkD3CAcjkD6B7: xiangap@126.com
gdjsxzrs@cuit.edu.cn
cjkB5A5cjkCEBB: cjkB9E2cjkB5E7cjkBCBCcjkCAF5cjkCFB5
cjkC9CFcjkD6C7cjkB2BBcjkBDCCcjkB6F8cjkB3C9cjkA3ACcjkCFC2cjkD3DEcjkCBE4cjkBDCCcjkCEDEcjkD2E6cjkA3AC
cjkD6D0cjkD3B9cjkD6AEcjkC8CBcjkA3ACcjkB2BBcjkBDCCcjkB2BBcjkD6AAcjkD2B2
—cjkD1D5cjkD6AEcjkCDC6cjkA3ACcjkA1B6cjkD1D5cjkCACFcjkBCD2cjkD1B5cjkA1B7
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
2/48
cjkB5DAcjkC1F9cjkD5C2 LaplacecjkB1E4cjkBBBB
cjkC9CFcjkD5C2cjkD6B8cjkB3F6cjkA3ACcjkD6B8cjkB3F6FouriercjkBBFDcjkB7D6cjkBACDFouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB4E6cjkD4DAcjkB5C4cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFD
f(x)cjkD4DAcjkC8CEcjkD2BBcjkD3D0cjkCFDEcjkC7F8cjkD3F2cjkC9CFcjkC2FAcjkD7E3DirichletcjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB2A2cjkC7D2cjkD4DA(?∞,∞)cjkC7F8cjkBCE4cjkC9CFcjkBEF8
cjkB6D4cjkBFC9cjkBBFDcjkA3ACcjkD5E2cjkCAC7cjkBADCcjkC7BFcjkB5C4cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkD4DAcjkD0EDcjkB6E0cjkCEEFcjkC0EDcjkCFD6cjkCFD6cjkCFF3cjkCFF3cjkD6D0cjkA3ACcjkBFBCcjkC2C7cjkB5C4cjkCAC7cjkD2D4cjkCAB1cjkBCE4cjkCEAAcjkD7D4
cjkB1E4cjkC1BFcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3A8cjkC8E7cjkA3ACcjkD1D0cjkBEBFcjkB5E7cjkC2B7cjkD6D0cjkB5E7cjkC1F7cjkA1A2cjkB5E7cjkD1B9cjkBACDcjkB5E7cjkC1BFcjkB5C4cjkCAB1cjkBCE4cjkB1E4cjkBBAFcjkB9E6cjkC2C9cjkA3A9cjkB5C4
cjkB3F5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3BAcjkBCB4cjkD2D1cjkD6AAcjkCEEFcjkC0EDcjkC0EDcjkC1BFcjkC1BFcjkD4DAcjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCC t = 0cjkA3A8cjkB5E7cjkC2B7cjkBDD3cjkCDA8cjkCBB2cjkCAB1cjkA3A9cjkB5C4cjkD6B5
f(0)cjkA3ACcjkD1D0cjkBEBFcjkCBFCcjkC3C7cjkD4DA t > 0cjkA3A8cjkC1AAcjkC2E7cjkBDD3cjkCDA8cjkBAF3cjkA3A9cjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkC7E9cjkBFF6 f(t)cjkA3ACcjkB6D4cjkD3DA t < 0
cjkA3A8cjkB5E7cjkC2B7cjkBDD3cjkCDA8cjkD6AEcjkC7B0cjkA3A9cjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkB2BBcjkB2BBcjkB1D8cjkB1D8cjkBFBCcjkC2C7cjkA1A3cjkC1EDcjkCDE2cjkA3ACcjkD0EDcjkB6E0cjkB3A3cjkBCFBcjkBAAFcjkCAFDcjkA3A8cjkC8E7
cjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA1A2cjkC8FDcjkBDC7cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C8cjkA3A9cjkB2BBcjkC2FAcjkD7E3FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkCCF5cjkBCFEcjkA1A3
cjkD7DCcjkD6AEcjkA3ACcjkB6D4cjkD3DAcjkCEEFcjkC0EDcjkD1A7cjkBACDcjkB9A4cjkB3CCcjkBCBCcjkCAF5cjkC9CFcjkB3A3cjkD3F6cjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkD2E5cjkD4DA[0,∞)cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFD
f(t) (0 ≤ t < ∞)cjkA3ACFouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB2BBcjkD4DAcjkD3D0cjkD0A7cjkA3ACcjkCEAAcjkB4CBcjkCED2cjkC3C7cjkB1D8cjkD0E8cjkB2C9cjkD3C3cjkD0C2cjkB5C4cjkB1E4
cjkBBBBcjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
3/48
cjkC0FAcjkCAB7cjkC9CFcjkA3ACLaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkD3EBcjkCEDEcjkCFDFcjkB5E7cjkB9A4cjkB3CCcjkCAA6HeavisidecjkB7A2cjkC3F7cjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkD0D4
cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8—cjkBAF3cjkBEADJeffreyscjkB7A2cjkD5B9cjkCEAAcjkD4CBcjkCBE3cjkCEA2cjkBBFD—cjkC3DCcjkC7D0cjkCFE0cjkB9D8cjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.1. cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8? 4/48
§6.1 cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8?
cjkD4CBcjkCBE3cjkCEA2cjkBBFDcjkB5C4cjkD4ADcjkCABCcjkD0CEcjkCABDcjkCABDcjkCAC7cjkCAC7cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8cjkA3AE
cjkBAAFcjkCAFD?(t)cjkB5C4 ncjkBDD7cjkB5BCcjkCAFDcjkBFC9cjkD2D4cjkBFB4cjkB3C9cjkC7F3cjkB5BCcjkCBE3cjkB7FB p = ddt cjkD4DAcjkBAAFcjkCAFD?(t)cjkC9CFcjkD7F7
cjkD3C3 ncjkB4CEcjkB5C4cjkBDE1cjkB9FBcjkA3ACpn?(t) = dndtn?(t)cjkA3AEcjkCBE3cjkB7FB pcjkB5C4“cjkB5B9cjkCAFD” 1p cjkD4F2cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkBBFDcjkB7D6cjkCBE3
cjkB7FBcjkA3AC1p?(t) = integraltext t0 ?(τ)dτcjkA3AEcjkC0FDcjkC8E7cjkA3AC
1
p1 =
integraldisplay t
0
1dτ = t, 1p21 =
integraldisplay t
0
integraldisplay τ1
0
1dτdτ1 = 12t2,
cjkD2C0cjkB4CBcjkC0E0cjkCDC6cjkA3AC
1
pn1 =
1
n!t
n. (6.1-1)
cjkCEDEcjkCFDEcjkB5E7cjkB9A4cjkB3CCcjkCAA6cjkB3D0HeavisidecjkB0D1cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DAcjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkD0D4cjkB7CBcjkB7CBcjkB7D6cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AC
cjkB4D3cjkB6F8cjkB4F3cjkB4F3cjkB4F3cjkB4F3cjkB4F3cjkB4D9cjkB4D9cjkBDF8cjkC1CBcjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8cjkB5C4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkA3AEcjkC0FDcjkC8E7cjkA3ACcjkB5E7cjkD7E8 RcjkBACDcjkD7D4cjkB8D0 LcjkB4AEcjkC1AAcjkB5E7cjkC2B7cjkB7CB
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.1. cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8? 5/48
cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkCAC7 Ldjdt + Rj = EcjkA3ACcjkBCB4parenleftbigg
L ddt + R
parenrightbigg
j = E. (6.1-2)
HeavisidecjkB0D1cjkCABD(6.1-2)cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA
j = ELp+ R1. (6.1-3)
cjkCBE3cjkB7FB pcjkB3F6cjkCFD6cjkD4DAcjkB7D6cjkC4B8cjkD6D0cjkCAC7cjkC3BBcjkD3D0cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkA3AEcjkCABD(6.1-3)cjkD7EEcjkB6E0cjkD6BBcjkC4DCcjkB5B1cjkD7F7“jcjkCAC7cjkCEA2cjkB7D6
cjkB7BDcjkB3CC(6.1-2)cjkB5C4cjkBDE2”cjkD5E2cjkBEE4cjkBBB0cjkB5C4cjkCBF5cjkD0B4cjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7HeavisidecjkBEB9cjkB0D1(6.1-3)cjkB5C4cjkB7D6cjkCABDcjkD5B9
cjkBFAAcjkCEAAcjkBCB6cjkCAFDcjkB2A2cjkD6F0cjkCFEEcjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3(6.1-1)cjkA3AE
j= ELp+ R1 = ELp · 11 + R
l
1
p
1 = ELp
parenleftbigg
1 + RL1p
parenrightbigg?1
1
= ELp
braceleftbigg
1 ? RL1p + R
2
L2
1
p2 ?
R3
L3
1
p3 + ···
bracerightbigg
1
= ER
braceleftbiggR
L
1
p ?
R2
L2
1
P2 +
R3
L3
1
p3 ?
R4
L4
1
p4 + ···
bracerightbigg
1
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.1. cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8? 6/48
= ER
braceleftbiggR
Lt ?
R2
L2
t2
2! +
R3
L3
t3
3! ?
R4
L4
t4
4! + ···
bracerightbigg
= ER braceleftbig1 ? e?(R/L)tbracerightbig.
HeavisidecjkBECDcjkC8E7cjkB4CBcjkBDE2cjkB3F6cjkC1CBcjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE
cjkD7F7cjkCEAAcjkCEAAcjkCEDEcjkCEDEcjkCFDFcjkB5E7cjkB9A4cjkB3CCcjkCAA6cjkA3ACHeavisidecjkB2BBcjkD4F5cjkC3B4cjkBFBCcjkC2C7cjkCAFDcjkD1A7cjkB5C4cjkD1CFcjkBDF7cjkA3ACcjkCBFBcjkC8A1cjkB5C3cjkB5C3cjkB5C4cjkB5C4
cjkB3C9cjkBCA8cjkCAB9cjkB5B1cjkCAB1cjkCAB1cjkCAFDcjkCAFDcjkD1A7cjkBCD2cjkB4F3cjkCEAAcjkB3D4cjkBEAAcjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACHeavisidecjkD2B2cjkD7F7cjkB3F6cjkC1CBcjkD2BBcjkCFB5cjkC1D0cjkBCC6cjkCBE3cjkB4ED
cjkCEF3cjkA3ACcjkBAF3cjkC0B4cjkD3C9JeffreyscjkD6B8cjkB3F6cjkC4CBcjkCAC7cjkC3BBcjkD3D0cjkD7A2cjkD2E2cjkB5BD pcjkD3EB1/pcjkB5C4cjkB4CEcjkD0F2cjkB2BBcjkBFC9cjkBDBBcjkBBBBcjkA3AC
1
ppf(t) =
integraldisplay t
0
dτfprime(τ) = f(t) ? f(0),
p1pf(t) = ddt
integraldisplay t
0
dτf(τ) = f(t).
cjkBAF3cjkC0B4cjkA3ACcjkC8CBcjkC3C7cjkB7A2cjkCFD6cjkC1CBcjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8cjkB8FALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkC1AAcjkCFB5cjkA3ACcjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8cjkB2C5cjkCDD1cjkC0EB
cjkC1CBcjkB4D6cjkB2DAcjkB5C4cjkD0CEcjkCABDcjkB6F8cjkBDA8cjkC1A2cjkD4DALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkBBF9cjkB4A1cjkC9CFcjkA3ACcjkCDA8cjkB3A3cjkB0D1cjkCBFCcjkB8C4cjkB3C6cjkCEAAcjkD4CBcjkCBE3
cjkCEA2cjkBBFDcjkA3AEcjkBBFDcjkB7CAcjkD4DAcjkD4DAcjkD4CBcjkD4CBcjkCBE3cjkCEA2cjkBBFDcjkD6D0cjkA3ACcjkD7D6cjkC4B8 pcjkB2BBcjkD4D9cjkBDE2cjkCACDcjkCEAAcjkCBE3cjkB7FBcjkA3ACcjkB6F8cjkCAC7cjkB4FAcjkB1EDcjkD2BBcjkB8F6cjkB8F6cjkB8B4cjkB8B4
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.1. cjkB7FBcjkBAC5cjkB7A8? 7/48
cjkB1E4cjkCAFDcjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 8/48
§6.2 LaplacecjkB1E4cjkBBBB
LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB3A3cjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DAcjkB3F5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBCB4cjkD2D1cjkD6AAcjkC4B3cjkB8F6cjkCEEFcjkC0EDcjkC0EDcjkC1BFcjkC1BFcjkD4DAcjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCC
t = 0cjkB5C4cjkD6B5 f(0)cjkA3ACcjkB6F8cjkC7F3cjkBDE2cjkCBFCcjkD4DAcjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCCcjkBAF3cjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkC7E9cjkBFF6 f(t)cjkA3AEcjkD6C1cjkD3DAcjkD4DAcjkB3F5cjkCABC
cjkCAB1cjkBFCCcjkD6AEcjkC7B0cjkB5C4cjkD6B5cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkB2BBcjkB8D0cjkD0CBcjkC8A4cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkC1EEcjkC6E4cjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACcjkBCB4 f(t) = 0, t < 0cjkA3AE
cjkB6D4cjkD3DAcjkB6A8cjkD2E5cjkD4DA(0,∞)cjkC9CFcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkC2FAcjkD7E3FouriercjkBBFDcjkB7D6cjkBACDcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkCCF5
cjkBCFEcjkA3AEcjkD4F5cjkC3B4cjkB0ECcjkC4D8cjkA3AE
cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8 cjkC9E8cjkB7A8cjkBCD3cjkB9A4cjkB2BBcjkC2FAcjkD7E3 FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkCAB9cjkC6E4cjkC2FAcjkD7E3 FouriercjkB1E4
cjkBBBBcjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkD3C3FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkA3BB
cjkBCD3cjkB9A4 cjkB0DAcjkCDD1FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB4E6cjkD4DAcjkD0D4cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkCFDEcjkD6C6cjkCCF5cjkBCFEcjkA3BA
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 9/48
1 cjkD3C9HeavisidecjkBAAFcjkCAFD H(t)cjkB5C4cjkCCD8cjkB5E3cjkA3ACcjkB9B9cjkD4ECcjkC2FAcjkD7E3DirichletcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkBAAF
cjkCAFD
f(t)H(t) =
braceleftBigg
0 , t < 0,
f(y), t > 0. (6.2-1)
2 cjkD3C3cjkD6B8cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFDe?σt (σ > 0)cjkB5B1 t → ∞cjkCAB1cjkBFECcjkCBD9cjkCBA5cjkBCF5cjkB5C4cjkCCD8cjkB5E3cjkA3ACcjkB9B9cjkD4EC
cjkC2FAcjkD7E3cjkBEF8cjkB6D4cjkBFC9cjkBBFDcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFD
g(t) = f(t)H(t)e?σt, (?∞ < t < ∞). (6.2-2)
e?σt cjkB3C6cjkCEAAcjkCAD5cjkC1B2cjkD2F2cjkD7D3cjkA3AEcjkB6D4cjkD3DAcjkCAB5cjkBCCAcjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkD6BBcjkD2AAσcjkD7E3cjkB9BBcjkB4F3cjkA3ACcjkBFC9cjkB1A3cjkD6A4
cjkC9CFcjkC3E6cjkB9B9cjkD4ECcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFD g(t)cjkCAC7cjkBEF8cjkB6D4cjkBFC9cjkBBFDcjkB5C4cjkA3AEcjkB4D3cjkB6F8cjkBFC9cjkB6D4cjkBCD3cjkB9A4cjkBAF3cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFD
g(t)cjkBDF8cjkD0D0FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkA3AE
G(ω) = 12pi
integraldisplay ∞
?∞
g(t)e?iωtdt = 12pi
integraldisplay ∞
?∞
f(t)H(t)e?σte?iωtdt
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 10/48
= 12pi
integraldisplay ∞
0
f(t)e?(σ+iω)tdt.
cjkC1EE
p = σ + iω, ˉf(p) = 2piG(ω),
cjkD4F2
ˉf(p) =
integraldisplay ∞
0
f(t)e?ptdt. (6.2-3)
cjkD5E2cjkBECDcjkCAC7cjkBAAFcjkCAFD f(t)cjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkD3D2cjkB1DFcjkB5C4cjkBBFDcjkB7D6cjkB3C6cjkCEAALaplacecjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACe?pt
cjkB3C6cjkCEAALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkBACBcjkA3AE
char7e cjkB6A8
. cjkD2E5. cjkA3BAcjkC9E8cjkBAAFcjkCAFD f(t)cjkCAC7cjkB6A8cjkD2E5cjkD4DA(0,∞)cjkC9CFcjkB5C4cjkCAB5cjkA3A8cjkB8B4cjkA3A9cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkBBFDcjkB7D6integraldisplay ∞
0
f(t)e?ptdt, p = σ + iω
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 11/48
cjkD4DA pcjkB5C4cjkC4B3cjkD2BBcjkC7F8cjkD3F2cjkC4DAcjkCAD5cjkC1B2cjkA3ACcjkD4F2cjkD3C9cjkB4CBcjkBBFDcjkB7D6cjkC8B7cjkB6A8cjkC1CBcjkD2BBcjkB8F6cjkB8F6cjkB8B4cjkB8B4cjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkB8B4cjkD6B5cjkBAAFcjkCAFD
ˉf(t) —LaplacecjkB1E4cjkBBBB
ˉf(p) =
integraldisplay ∞
0
f(t)e?ptdt.
cjkD3C9cjkCABD(6.2-2)cjkB1EDcjkCABEcjkB5C4FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkC4E6cjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkD3D0
g(t) =
integraldisplay ∞
?∞
G(ω)eiωtdω =
integraldisplay ∞
?∞
1
2pi
ˉf(σ + iω)eiωtdω
f(t) = 12pi
integraldisplay ∞
?∞
ˉf(σ + iω)e(σ+iω)tdω
f(t) = 12pii
integraldisplay σ+i∞
σ?i∞
ˉf(p)eptdp. (6.2-4)
cjkC9CFcjkCABDcjkD6D0 p = σ + iω,dω = 1idp.
cjkCABD(6.2-4)cjkD3A6cjkC0EDcjkBDE2cjkCEAA
f(t) = 12pii limω→∞
integraldisplay σ+iω
σ?iω
ˉf(p)eptdp.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 12/48
cjkCABD(6.2-4)cjkB3C6cjkCEAALaplacecjkC4E6cjkB1E4cjkBBBBcjkBBBBcjkBBF2cjkBBF2LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD—Riemann-Mellin
cjkB7B4cjkD1DDcjkB9ABcjkCABDcjkA3AE
char7e LaplacecjkB1E4
. cjkBBBB. cjkBACD. LaplacecjkC4E6. cjkB1E4. cjkBBBB. cjkB3A3. cjkBCC7. cjkCEAA.
ˉf(p) =L[f(t)], (6.2-5)
f(t) =L?1[ ˉf(p)]. (6.2-6)
cjkBBF2cjkB5C8cjkBCDBcjkB5D8
ˉf(p) equaldotrightleft f(t), (6.2-7)
f(t) equaldotleftright ˉf(p). (6.2-8)
char7e cjkD7A2
. cjkD2E2. cjkA3BAcjkD4AD. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkBEF9. cjkD3A6. cjkC0ED. cjkBDE2. cjkCEAA. f(t)H(t)cjkA3ACcjkD4DA. cjkC4E6. cjkB1E4. cjkBBBB. cjkD6D0. cjkD3C8. cjkC6E4. cjkD2AA. cjkD7A2. cjkD2E2. cjkB4CB. cjkB5E3. cjkA3AE
6.2.1 LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkD0D4?
LaplacecjkBBFDcjkB7D6cjkBACDcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkA3BA
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 13/48
1 cjkD4DA 0 ≤ t < ∞cjkB5C4cjkC8CEcjkD2BBcjkD3D0cjkCFDEcjkC7F8cjkBCE4cjkC9CFcjkA3ACcjkB3FDcjkC1CBcjkD3D0cjkD3D0cjkCFDEcjkB8F6cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkBCE4cjkB6CFcjkB5E3
cjkCDE2cjkA3ACcjkBAAFcjkCAFDcjkBCB0cjkC6E4cjkB5BCcjkCAFDcjkB4A6cjkB4A6cjkB4A6cjkB4A6cjkC1ACcjkD0F8cjkA3BB
2 cjkB4E6cjkD4DAcjkB3A3cjkCAFD M > 0cjkBACDσ ≥ 0cjkA3ACcjkCAB9cjkB6D4cjkC8CEcjkBACE t cjkD6B5cjkA3A80 ≤ t < ∞cjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkD3D0
|f(t)| < Meσt. (6.2-9)
cjkC9CFcjkCABDcjkB5C4cjkD2E2cjkCBBCcjkCAC7 f(t)cjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkCBD9cjkB6C8cjkB2BBcjkB3ACcjkB9FDcjkD6B8cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkB3C6
cjkCEAAcjkD6B8cjkCAFDcjkBCB6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEσcjkB5C4cjkCFC2cjkBDE7cjkB3C6cjkCEAAcjkCAD5cjkC1B2cjkD6B8cjkB1EAcjkA3ACcjkD3C3 σ0 cjkB1EDcjkCABEcjkA3AEcjkCAB5cjkBCCAcjkD3A6cjkD3C3
cjkD6D0cjkA3ACcjkB4F3cjkB6E0cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFDcjkC2FAcjkD7E3cjkB4CBcjkB3E4cjkB7D6cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AE
char7e cjkC0FD
a58cjkC0FDcjkA3B1cjkC7F3HeavisidecjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkBCB4L[1]cjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BA
L[H(t)] = ˉH(p) =
integraldisplay ∞
0
e?ptdt = ?1pe?pt vextendsinglevextendsinglet=∞t=0 ,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 14/48
∵ vextendsinglevextendsinglee?ptvextendsinglevextendsingle = vextendsinglevextendsinglee?(σ+iω)tvextendsinglevextendsingle = e?σt,
∴cjkBDF6cjkB5B1σ = Rep > 0cjkCAB1cjkA3AClimt→∞ e?pt cjkB4E6cjkD4DAcjkC7D2cjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4
ˉH(p) = 1p, (Rep > 0).
a58cjkC0FDcjkA3B2cjkC7F3δcjkBAAFcjkCAFDδ(t)cjkBACDδ(t ? τ)cjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBL[δ(t)]cjkBACD
L[δ(t ? τ)]cjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BA
L[δ(t)] =
integraldisplay ∞
0
δ(t)e?ptdt =
integraldisplay ∞
0?
δ(t)e?ptdt
=
integraldisplay 0+
0?
δ(t)e?ptdt =
integraldisplay ∞
?∞
δ(t)e?ptdt
=e?pt |t=0 = 1.
L[δ(t ? τ)] =
integraldisplay ∞
0
δ(t ? τ)e?ptdt =
integraldisplay ∞
0?
δ(t ? τ)e?ptdt
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 15/48
=
integraldisplay 0+
0?
δ(t ? τ)e?ptdt =
integraldisplay ∞
?∞
δ(t ? τ)e?ptdt
=e?pt |t=τ = e?pτ.
cjkBCB4
L[δ(t)] = 1, L[δ(t ? τ)] = e?pτ.
a58cjkC0FDcjkA3B3cjkC7F3L[t]cjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkD4DARep > 0cjkB5C4cjkC9CFcjkB0EBcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkA3AC
L[t] =
integraldisplay ∞
0
te?ptdt = ?1p
integraldisplay ∞
0
tdparenleftbige?ptparenrightbig
=?1pbracketleftbigt parenleftbige?ptparenrightbigbracketrightbig∞0 + 1p
integraldisplay ∞
0
e?ptdt
= 1p
integraldisplay ∞
0
e?ptdt = 1p2,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 16/48
cjkCBF9cjkD2D4
L[t] = 1p2, (Rep > 0).
cjkCDACcjkC0ED
L[tn] = n!p(n+ 1), (Rep > 0).
a58cjkC0FDcjkA3B4cjkC7F3L bracketleftbigestbracketrightbigcjkBACDL bracketleftbigtestbracketrightbig,scjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkD4DARep > RescjkB5C4cjkC9CFcjkB0EBcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkA3AC
L bracketleftbigestbracketrightbig =
integraldisplay ∞
0
este?ptdt =
integraldisplay ∞
0
e?(p?s)tdt = ? 1p? s bracketleftbige?(p?s)tbracketrightbig∞0 = 1p? s.
cjkCBF9cjkD2D4
L bracketleftbigestbracketrightbig = 1p? s, (Rep > Res).
cjkC0E0cjkCBC6cjkB5D8
L bracketleftbigtestbracketrightbig=
integraldisplay ∞
0
teste?ptdt =
integraldisplay ∞
0
te?(p?s)td = ? 1p? s
integraldisplay ∞
0
tdbracketleftbige?(p?s)tbracketrightbig
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 17/48
=? 1p? s
braceleftbiggbracketleftbig
te?(p?s)tbracketrightbig∞0 ?
integraldisplay ∞
0
e?(p?s)tdt
bracerightbigg
= 1(p? s)2, (Rep > Res).
cjkCDACcjkC0ED
L bracketleftbigtnestbracketrightbig = n!(p? s)n+1.
a58cjkC0FDcjkA3B5cjkC7F3L [tf(t)]cjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0 f(t)cjkCAC7cjkB4E6cjkD4DALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkC8CEcjkD2E2cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkBDABLaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkD2E5cjkCABD(6.2-3)cjkA3ACcjkC1BDcjkB1DFcjkB7D6cjkB1F0cjkB6D4 pcjkC7F3cjkB5BCcjkA3AC
d ˉf(t)
dp =
integraldisplay ∞
0
(?t)e?pt f(t)dt,
cjkB4D3cjkB6F8
tf(t) equaldotleftright (?1)d
ˉf(p)
dp .
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 18/48
cjkD2D4cjkB4CBcjkC0E0cjkCDC6cjkA3ACcjkD3D0
tnf(t) equaldotleftright (?1)d
n
dp
ˉf(p).
6.2.2 LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkD0D4cjkD6CA
a58LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkC8B7cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFD ˉf(p)cjkD4DARep = σ > σ0 cjkB5C4cjkC9CFcjkB0EBcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkBEF8cjkB6D4cjkC7D2
cjkB9D8cjkD3DA pcjkD2BBcjkD6C2cjkCAD5cjkC1B2cjkA3ACcjkCAC7cjkBDE2cjkCEF6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE(cjkC1CBcjkBDE2)
cjkD6A4cjkC3F7cjkC2D4cjkA3A8P.118cjkA3A9
a58cjkB5B1|p| → ∞cjkA3ACcjkB6F8Argp ≤ pi2 ? ε (ε > 0)cjkCAB1cjkA3AC ˉf(p)cjkB4E6cjkD4DAcjkA3ACcjkC7D2cjkC2FAcjkD7E3(cjkC1CBcjkBDE2)
limp→∞ ˉf(p) = 0. (6.2-10)
cjkD6A4cjkC3F7cjkC2D4cjkA3A8P.119cjkA3A9
cjkB3FDcjkC1CBcjkC4B3cjkD0A9cjkC6E6cjkD2ECcjkB5E3cjkCDE2cjkA3ACcjkCFF1cjkBAAFcjkCAFD ˉf(p)cjkB3A3cjkB3A3cjkB3A3cjkB3A3cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE2cjkCEF6cjkD1D3cjkCDD8cjkB5BDcjkC8ABcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CF
cjkC8A5cjkA3ACcjkCFF1cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkBDE2cjkCEF6cjkD0D4cjkD6CAcjkD4DALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkC0EDcjkC2DBcjkD6D0cjkD3D0cjkD6D8cjkD2AAcjkD2AAcjkD2E2cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkA3AE(cjkC1CBcjkBDE2)
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 19/48
1. cjkCFDFcjkD0D4cjkB6A8cjkC0ED
cjkC8E7cjkB9FB f1(t) equaldotleftright ˉf1(p), f2(t) equaldotleftright ˉf2(p)cjkA3ACcjkD4F2
c1 f1(t) + c2 f2(t) equaldotleftright c1 ˉf1(p) + c2 ˉf2(p). (6.2-11)
cjkD6A4cjkC3F7cjkA3BAcjkD3C9cjkCABD(6.2-3)cjkA3ACcjkD3D0
c1 f1(t) + c2 f2(t) equaldotleftright
integraldisplay ∞
0
[c1 f1(t) + c2 f2(t)]e?ptdt
=
integraldisplay ∞
0
c1 f1(t)e?ptdt +
integraldisplay ∞
0
c2 f2(t)e?ptdt
= c1 ˉf1(p) + c2 ˉf2(p).
a58cjkC0FDcjkA3B6cjkC7F3L[sinωt],ωcjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BA
sinωt = 12i parenleftbigeiωt ? e?iωtparenrightbig,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 20/48
L[sinωt] =L
bracketleftbigg1
2i
parenleftbigeiωt ? e?iωtparenrightbigbracketrightbigg = 1
2iL
bracketleftbigeiωtbracketrightbig ? 1
2iL
bracketleftbige?iωtbracketrightbig
= 12i
bracketleftbigg 1
p? iω ?
1
p+ iω
bracketrightbigg
= ωp2 + ω2, (Rep > 0).
cjkCDACcjkC0EDcjkA3A8cjkD2B2cjkBFC9cjkD3C9cjkCFC2cjkC3E6cjkB5C4cjkB5C4cjkB5BCcjkB5BCcjkCAFDcjkB6A8cjkC0EDcjkC7F3cjkB5C3cjkA3A9
L[cosωt] = pp2 + ω2, (Rep > 0).
2. cjkB5BCcjkCAFDcjkB6A8cjkC0ED
fprime(t) equaldotleftright p ˉf(p) ? f(0). (6.2-12)
cjkD6A4cjkC3F7
fprime(t) equaldotleftright
integraldisplay ∞
0
fprime(t)e?ptdt =
integraldisplay ∞
0
e?ptdf
=bracketleftbige?pt f(t)bracketrightbig∞0 ?
integraldisplay ∞
0
f(t)dparenleftbige?ptparenrightbig.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 21/48
cjkC8A1Rep > σ0cjkA3ACcjkD3D0limt→∞ ept f(t) = 0cjkA3ACcjkD3DAcjkCAC7cjkA3AC
fprime(t) equaldotleftright?f(0) ?
integraldisplay ∞
0
f(t)dparenleftbige?ptparenrightbig = p
integraldisplay ∞
0
f(t)e?ptdt ? f(0)
= p ˉf(p) ? f(0), (Rep > σ0).
cjkCDC6cjkB9E3cjkB5BDcjkB8DFcjkBDD7cjkB5BCcjkCAFD
f(n)(t) equaldotleftright pn ˉf(p) ? pn?1 f(0) ? pn?2 fprime(0) ? ···
?pf(n?2)(0) ? f(n?1)(0). (6.2-13)
3. cjkBBFDcjkB7D6cjkB6A8cjkC0ED
integraldisplay t
0
ψ(τ)dτ equaldotleftright 1pL[ψ(t)]. (6.2-14)
cjkD6A4cjkC3F7cjkA3BAcjkBFBCcjkC2C7cjkBAAFcjkCAFD f(t) = integraltext t0 ψ(τ)dτcjkA3ACcjkB6D4 f(t)cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkB5BCcjkCAFDcjkB6A8cjkC0ED(6.2-12),
fprime(t) equaldotleftright pL[f(t)] ? f(0) = pL[f(t)],
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 22/48
cjkC6E4cjkD6D0 f(0) = integraltext00 ψ(τ)dτ = 0cjkA3AE
1
pL[ψ(t)] = L[f(t)] = L
bracketleftbiggintegraldisplay t
0
ψ(τ)dτ
bracketrightbigg
,
cjkBCB4 integraldisplay
t
0
ψ(τ)dτ equaldotleftright 1pL bracketleftbigψ(t)bracketrightbig.
4. cjkCFE0cjkCBC6cjkB6A8cjkC0ED
f(at) equaldotleftright 1a ˉf
parenleftBigp
a
parenrightBig
. (6.2-15)
5. cjkCEBBcjkD2C6cjkB6A8cjkC0ED
e?λt f(t) equaldotleftright ˉf(p+λ). (6.2-16)
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 23/48
cjkD2D4cjkC9CFcjkC1BDcjkCCF5cjkBDE1cjkC2DBcjkBFC9cjkB7C2cjkD5D5FouriercjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkC7E9cjkD0CEcjkD1E9cjkD6A4cjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkD4ADcjkBAAFcjkCAFD f(t)
6. cjkD1D3cjkB3D9cjkB6A8cjkC0ED
f(t ? t0) equaldotleftright e?pt0 ˉf(p). (6.2-17)
cjkD6A4cjkC3F7cjkA3BA
f(t ? t0) equaldotleftright
integraldisplay ∞
0
f(t ? t0)e?ptdt,
cjkD3A6cjkC0EDcjkBDE2cjkCEAA f(t)H(t)cjkA3ACcjkD2F2cjkB4CBcjkC9CFcjkCABDcjkD6D0cjkB5C4 f(t ? t0)cjkD3A6cjkC0EDcjkBDE2cjkCEAA
f(t ? t0)H(t ? t0)cjkA3ACcjkC8E7cjkCDBC6-1cjkD6D0cjkB5C4cjkD0E9cjkCFDFcjkB1EDcjkCABEcjkA3AEcjkD2F2cjkB6F8cjkBBFDcjkB7D6cjkCFC20cjkBFC9cjkB8C4cjkCEAA t0cjkA3ACcjkBCB4
f(t ? t0) equaldotleftright
integraldisplay ∞
t0
f(t ? t0)e?ptdt.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 24/48
cjkB8C4cjkD3C3ξ = t ? t0 cjkB4FAcjkCCE6 t cjkD7F7cjkCEAAcjkBBFDcjkB7D6cjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2
f(t ? t0) equaldotleftright
integraldisplay ∞
0
f(ξ)e?p(ξ+t0)dξ = e?pt0
integraldisplay ∞
0
f(ξ)e?pξdξ = e?pt0 ˉf(p).
7. cjkBEEDcjkBBFDcjkB6A8cjkC0ED
cjkC8F4 f1(t) equaldotleftright ˉf1(p), f2(t) equaldotleftright ˉf2(p)cjkA3ACcjkD4F2
f1(t) ? f2(t) equaldotleftright ˉf1(p) ˉf2(p), (6.2-18)
cjkC6E4cjkD6D0 f1(t) ? f2(t) ≡ integraltext t0 f1(τ)f2(t ? τ)dτcjkA3ACcjkB3C6cjkCEAA f1(t)
cjkD3EB f2(t)cjkB5C4cjkBEEDcjkBBFDcjkA3AE
cjkD6A4cjkC3F7cjkA3BA
L[f1(t) ? f2(t)] =
integraldisplay ∞
0
f1(t) ? f2(t)e?ptdt
=
integraldisplay ∞
0
bracketleftbiggintegraldisplay t
0
f1(τ)f2(t ? τ)dτ
bracketrightbigg
e?ptdt.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 25/48
cjkD5E2cjkCAC7cjkB6FEcjkD6D8cjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkCFC8cjkB6D4τcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkD4D9cjkB6D4 t cjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkBBFDcjkB7D6cjkC7F8cjkD3F2cjkCEAAcjkCDBC6-2cjkD6D0cjkB5C4cjkBBADcjkCFDF
cjkC7F8cjkD3F2cjkA3AEcjkB8C4cjkB1E4cjkBBFDcjkB7D6cjkB4CEcjkD0F2cjkA3ACcjkCFC8cjkB6D4 t cjkD4DAcjkB6D4τcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkBBFDcjkB7D6cjkCFDEcjkBFC9cjkB2CEcjkD5D5cjkCDBC6-2cjkC8B7cjkB6A8cjkA3AE
L[f1(t) ? f2(t)] =
integraldisplay ∞
0
bracketleftbiggintegraldisplay ∞
τ
f2(t ? τ)e?ptdt
bracketrightbigg
f1(τ)dτ.
cjkB8C4cjkD3C3ξ = t ? τcjkCCE6cjkBBBB t cjkD7F7cjkCEAAcjkBBFDcjkB7D6cjkB1E4cjkCAFDcjkA3AC
L[f1(t) ? f2(t)] =
integraldisplay ∞
0
bracketleftbiggintegraldisplay ∞
0
f2(ξ)e?pξdξ
bracketrightbigg
f1(τ)e?pτdτ
=
integraldisplay ∞
0
f1(τ)e?ptdτ
integraldisplay ∞
0
f2(ξ)epξdξ
= ˉf1(p) ˉf2(p).
a58cjkC0FDcjkA3B7cjkC7F3cjkC7F3cjkC7F3cjkC7F3cjkCFC2cjkC1D0cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.122cjkA3AC1cjkA3A9
(1) shωt, chωt, (2) e?λt sinωt, e?λt cosωt,
(3)
radicalbigg
1
pit , (4) δ(t ? τ).
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 26/48
cjkBDE2cjkA3BAcjkA3BAcjkA3A8cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B1cjkA3B1cjkA3B1cjkA3A9cjkA3A9cjkD3C9cjkCEBBcjkD2C6cjkB6A8cjkC0EDL bracketleftbigestbracketrightbig = 1p?s
?1(t) =shωt = 12 parenleftbigeωt ? e?ωtparenrightbig
ˉ?1(p) equaldotrightleft 12
bracketleftbigg 1
p? ω ?
1
p+ ω
bracketrightbigg
= ωp2 ? ω2;
?2(t) =chωt = 12 parenleftbigeωt + e?ωtparenrightbig
ˉ?2(p) equaldotrightleft 12
bracketleftbigg 1
p? ω ?
1
p+ ω
bracketrightbigg
= ωp2 ? ω2
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B2cjkA3B2cjkA3B2cjkA3A9cjkA3A9cjkD3C9cjkCEBBcjkD2C6cjkB6A8cjkC0EDe?λt f(t) equaldotleftright ˉf(p+λ)cjkBACDL bracketleftbigestbracketrightbig = 1p?s
?3(t) =e?λt sinωt = 12ie?λt parenleftbigeiωt ? e?iωtparenrightbig
ˉ?3(p) equaldotrightleft 12i
bracketleftbigg 1
(p+λ) ? iω ?
1
(p+λ) + iω
bracketrightbigg
= ω(p+λ)2 + ω2;
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 27/48
?4(t) =e?λt cosωt = 12e?λt parenleftbigeiωt + e?iωtparenrightbig
ˉ?4(p) equaldotrightleft 12
bracketleftbigg 1
(p+λ) ? iω +
1
(p+λ) + iω
bracketrightbigg
= p+λ(p+λ)2 + ω2.
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B3cjkA3B3cjkA3B3cjkA3A9cjkA3A9
?5(t) = 1√pit
ˉ?5(p) =
integraldisplay ∞
0
1√
pit e
?pt dt,
cjkC8F4cjkC1EE t = x2, dt = 2xdxcjkA3ACcjkD4F2
ˉ?5(p) =
integraldisplay ∞
0
1√
pi
1
x e
?px2 · 2xdx
= 2√pi
integraldisplay ∞
0
e?px2 dx
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 28/48
= 2√pi
integraldisplay ∞
0
1√
pe
?px2 d(√px)
= 2√pip
integraldisplay ∞
0
e?y2 dy
= 2√pip ·
√pi
2 =
1√
p.
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B4cjkA3B4cjkA3B4cjkA3A9cjkA3A9cjkD3C9cjkD1D3cjkB3D9cjkB6A8cjkC0ED f(t ? t0) equaldotleftright e?pt0 ˉf(p)
L[δ(t ? τ)] =e?pτL[δ(t)] = e?pτ
integraldisplay ∞
0
δ(t)e?pt dt
=e?pτ
integraldisplay +∞
?∞
δ(t)e?pt dt
=e?pτe?ptvextendsinglevextendsinglet=0 = e?pτ
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.2. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBB 29/48
cjkD7F7cjkD2B5(No.12)
P. 122cjkA3BA1(1)—1(4)
END
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 30/48
§6.3 LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD
LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkD6F7cjkD2AAcjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DAcjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkD0D4cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3A8cjkBBF2cjkBBF2cjkBBFDcjkBBFDcjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkCDA8cjkB9FD
cjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkCBF9cjkD7F1cjkB4D3cjkB5C4cjkCEA2cjkB7D6cjkA3A8cjkBBFDcjkB7D6cjkA3A9cjkB7BDcjkB3CCcjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkCBF9cjkC2FAcjkD7E3cjkB5C4cjkB4FAcjkCAFD
cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB4FAcjkCAFDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkCAC7cjkC8DDcjkD2D7cjkB5C4cjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkB1D8cjkD0EBcjkB0D1cjkC7F3cjkB5C3cjkB5C3cjkB5C4cjkB5C4cjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkCDA8cjkB9FD
LaplacecjkC4E6cjkB1E4cjkBBBBcjkB1E4cjkBBD8cjkB5BDcjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB2C5cjkC4DCcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD4ADcjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AEcjkD3C9cjkCFF3cjkA3A8cjkD4ADcjkA3A9cjkBAAF
cjkCAFDcjkC7F3cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkB9FDcjkB3CCcjkB3CCcjkB3C6cjkB3C6cjkCEAALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DDcjkA3AE
LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB7B4cjkD1DDcjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkD3D0cjkA3BA
cjkA2D9 cjkD3D0cjkC0EDcjkB7D6cjkCABDcjkB7B4cjkD1DDcjkB7A8cjkA3BB
cjkA2DA cjkB2E9cjkB1EDcjkB7A8cjkA3BB
cjkA2DB Riemann-MellincjkB7B4cjkD1DDcjkB9ABcjkCABDcjkB7A8cjkA3AE
6.3.1 cjkD3D0cjkC0EDcjkB7D6cjkCABDcjkB7A8
cjkC8E7cjkB9FBcjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7cjkD3D0cjkC0EDcjkB7D6cjkCABDcjkA3ACcjkD6BBcjkD2AAcjkB0D1cjkD3D0cjkC0EDcjkB7D6cjkCABDcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkB7D6cjkCFEEcjkCABDcjkA3ACcjkC8BBcjkBAF3cjkD6B1
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 31/48
cjkBDD3cjkC0FBcjkD3C3LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkB9ABcjkCABDcjkA3A8cjkB1E4cjkBBBBcjkB1EDcjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkBCB4cjkBFC9cjkBBF1cjkB5C3cjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAF
cjkCAFDcjkA3AE
a58cjkC0FDcjkA3B1cjkC7F3
ˉf(p) = p3 + 2p2 ? 9p+ 36
p4 ? 81
cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkBDABcjkB4CBcjkD3D0cjkC0EDcjkCABDcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkB7D6cjkCFEEcjkCABD
ˉf(p) = p3 + 2p2 ? 9p+ 36
(p? 3)(p+ 3)(p2 + 9)
= 12 · 1p? 3 ? 12 · 1p+ 3 + p? 1p2 + 9
= 12 · 1p? 3 ? 12 · 1p+ 3 + pp2 + 9 ? 13 · 3p2 + 9.
cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3§6.2cjkC0FDcjkA3B5cjkB5C4cjkBDE1cjkB9FBcjkA3AC
L bracketleftbigestbracketrightbig = 1p? s, L[sinωt] = ωp2 + ω2, L[cosωt] = pp2 + ω2,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 32/48
cjkBCB4cjkB5C3
f(t) = 12e3t ? 12e?3t + cos 3t ? 13 sin 3t.
6.3.2 cjkB2E9cjkB1EDcjkB7A8
cjkD0EDcjkB6E0cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB6BCcjkBFC9cjkD4DALaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkCAFDcjkB1EDcjkA3A8cjkBCFBP.471cjkA3A9cjkD6D0
cjkB2E9cjkB5BDcjkA3ACcjkD2F2cjkB4CBcjkC0FBcjkD3C3LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkD0D4cjkD6CAcjkA3ACcjkD4D9cjkC5E4cjkBACFcjkB2E9cjkB1EDcjkA3ACcjkBCB4cjkBFC9cjkBDE2cjkBDE2cjkBEF6cjkBEF6cjkC6E4cjkB7B4cjkD1DD
cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE
a58cjkC0FDcjkA3B2cjkC7F3
e?τp√
p
cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkC5D7cjkBFAAcjkD2F2cjkD7D3e?τpcjkA3ACcjkB4D3cjkB8BDcjkC2BCcjkB6FEcjkBCFBP.471cjkA3A9cjkB5DAcjkA3B1cjkA3B1cjkA3B2cjkA3B2cjkCABDcjkB2E9cjkB5C3
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 33/48
1√
p equaldotrightleft
1√
pitcjkA3AEcjkD4D9cjkC0FBcjkD3C3cjkD1D3cjkB3D9cjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACcjkBDABcjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkD6D0cjkB5C4 t cjkD1D3cjkB3D9cjkCEAA t ? τcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3
e?τp√
p equaldotrightleft
1√
pi(t ? τ).
a58cjkC0FDcjkA3B3cjkC7F3
ω
(p+λ)2 + ω2 cjkBACD
p+λ
(p+λ)2 + ω2
cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkBDABcjkC1BDcjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4 p+λcjkCEBBcjkD2C6cjkCEAA pcjkA3ACcjkB4D3cjkB8BDcjkC2BCcjkB5DAcjkA3B5cjkA1A2cjkA3B6cjkC1BDcjkCABDcjkB2E9cjkB5C3
ω
p2 + ω2 equaldotrightleft sinωt,
p
p2 + ω2 equaldotrightleft cosωt.
cjkD4D9cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkCEBBcjkD2C6cjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3
ω
(p+λ)2 + ω2 equaldotrightleft e
?λt sinωt, p+λ
(p+λ)2 + ω2 equaldotrightleft e
?λt cosωt.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 34/48
a58cjkC0FDcjkA3B4cjkC7F3
e?ap
p(p+ b)
cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
cjkBDE2cjkA3BAcjkB4D3S6.2cjkC0FDcjkBFC9cjkD6AAcjkA3AC1p equaldotrightleft H(t)cjkA3ACcjkD3C3cjkD1D3cjkB3D9cjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACe?ap/p equaldotrightleft H(t ? a)cjkA3AE
cjkD3D6cjkD2F21/(p+ b) equaldotrightleft e?btcjkA3AEcjkCBF9cjkD2D4cjkA3ACcjkB1BEcjkCCE2cjkB5C4cjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkBFC9cjkD2D4cjkBFB4cjkD7F7e?ap/pcjkD3EB
1/(p+ b)cjkB5C4cjkB3CBcjkBBFDcjkA3ACcjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkBEEDcjkBBFDcjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACcjkD3D0
e?ap
p(p+ b) equaldotrightleft
integraldisplay t
a
H(τ ? a)e?b(t?τ)dτ = H(t ? a)
integraldisplay t
a
e?b(t?τ)dτ
= H(t ? a)
bracketleftbigg1
be
?b(t?τ)
bracketrightbiggt
a
= 1b bracketleftbig1 ? e?b(t?a)bracketrightbig H(t ? a).
a58cjkC0FDcjkA3B5cjkC7F3cjkA3A8P.122cjkA3AC(2)cjkA3A9
e?λt sinωt, e?λt cosωt
cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 35/48
cjkBDE2cjkA3BA(a)
?(t) =e?λt sinωt = 12ie?λt parenleftbigeiωt ? e?iωtparenrightbig
equaldotrightleft 12i
bracketleftbigg 1
(p+λ) ? iω ?
1
(p+λ) + iω
bracketrightbigg
= ω(p+λ)2 + ω2.
(b)
?(t) =e?λt cosωt = 12e?λt parenleftbigeiωt + e?iωtparenrightbig
equaldotrightleft 12
bracketleftbigg 1
(p+λ) ? iω +
1
(p+λ) + iω
bracketrightbigg
= p+λ(p+λ)2 + ω2.
6.3.3 Riemann-MellincjkB7B4cjkD1DDcjkB9ABcjkCABD?
cjkD4DAcjkB2BBcjkC4DCcjkD3C3cjkD2D4cjkC9CFcjkC1BDcjkD6D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkC7F3cjkB7B4cjkD1DDcjkCAB1cjkA3ACcjkD4ADcjkD4ADcjkD4F2cjkD4F2cjkC9CFcjkBFC9cjkC0FBcjkD3C3(6.2-4)cjkC7F3cjkD4ADcjkBAAF
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 36/48
cjkCAFDcjkA3AE(6.2-4)cjkD5FDcjkCAC7cjkD6F8cjkC3FBcjkB5C4Riemann-MellincjkB7B4cjkD1DDcjkB9ABcjkCABDcjkA3AE
f(t) = L?1 bracketleftbig ˉf(p)bracketrightbig = 12pii
integraldisplay σ+i∞
σ?i∞
ˉf(p)eptdp.
cjkD5E2cjkCAC7cjkB4D3cjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkC7F3cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkB9ABcjkCABDcjkA3AEcjkB8F9cjkBEDDLaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkB4E6cjkD4DAcjkB5C4cjkCCF5cjkBCFEcjkBCFEcjkBCB0cjkBCB0
cjkC6E4cjkCCD8cjkD0D4cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkD6AAcjkB5C0cjkA3ACcjkD4DA(6.2-4)cjkD6D0cjkA3ACσcjkD3A6cjkCAC7cjkB4F3cjkD3DAcjkCAD5cjkC1B2cjkBAE1cjkB1EAσ0 cjkB5C4cjkC8CE
cjkD2E2cjkD5FDcjkCAFDcjkA3AEcjkB6F8cjkBBFDcjkB7D6cjkC2B7cjkBEB6cjkCAC7 pcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkC6BDcjkD0D0cjkD3DAcjkD0E9cjkD6E1cjkB5C4cjkD2BBcjkCCF5cjkD6B1cjkCFDFcjkA3ACcjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2
cjkCCF5cjkD6B1cjkCFDFcjkB5C4cjkD3D2cjkB0EBcjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkC3BBcjkD3D0cjkC6E6cjkB5E3cjkA3AE
cjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkCFF3cjkBAAFcjkCAFD ˉf(p)cjkCAC7 pcjkB5C4cjkBDE2cjkCEF6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AC(6.2-4)cjkD6D0cjkB5C4cjkBBFDcjkB7D6cjkBFC9cjkD2D4cjkBDE8cjkD6FAcjkD3DAcjkC1F4
cjkCAFDcjkB6A8cjkC0EDcjkB6F8cjkC7F3cjkB5C3cjkA3AEcjkCEAAcjkC1CBcjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkC1F4cjkCAFDcjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACcjkD0E8cjkD2AAcjkBDAB§4.2cjkD6D0cjkB5C4cjkD4BCcjkB5B1cjkD2FDcjkC0EDcjkBCD3cjkD2D4cjkCDC6
cjkB9E3cjkA3AE(cjkBAF3cjkC2D4)
a58cjkC0FDcjkA3B7cjkB0D1cjkCFC2cjkC1D0cjkCFF1cjkBAAFcjkCAFDcjkB7B4cjkD1DDcjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.127cjkA3AC1cjkA3A9
(1) y(p) = 6(p+ 1)4 , (2) y(p) = 3pp2?1;
(3) y(p) = 1p? 2, z(p) = 3p? 2, (4) y(p) = 2(p?1)5.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 37/48
cjkBDE2cjkA3BAcjkA3BAcjkA3A8cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B1cjkA3B1cjkA3B1cjkA3A9cjkA3A9cjkD3C9cjkCEBBcjkD2C6cjkB6A8cjkC2C9cjkB5C3
3!
(p+ 1)(3+1) equaldotrightleft t
3e?t
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B2cjkA3B2cjkA3B2cjkA3A9cjkA3A9
3p
p2 ? 1 =
3
2
parenleftbigg 1
p+ 1 +
1
p? 1
parenrightbigg
equaldotrightleft 32(e?t + et) = 3 cosh t.
cjkD7A2cjkD2E2cjkA3BAcosh t = cht cjkB3C6cjkCEAAcjkCBABcjkC7FAcjkD3E0cjkCFD2cjkA3AE
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B3cjkA3B3cjkA3B3cjkA3A9cjkA3A9
1
p? 2 equaldotrightleft e
2t = y(t),
3
p? 2 equaldotrightleft 3e
2t = z(t).
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B4cjkA3B4cjkA3B4cjkA3A9cjkA3A9
2
(p? 1)(4+1) equaldotrightleft
2
4!t
4et.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 38/48
a58cjkC0FDcjkA3B8cjkC7F3 y(p) = λμ p(p+C)4 cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.127cjkA3ACcjkA3ACcjkA3B4cjkA3B4cjkA3B4cjkA3A9cjkA3A9cjkBDE2cjkA3BA
y(p) =λμ
bracketleftbigg p+ C
(p+ C)4 ?
C
(p+ C)4
bracketrightbigg
=λμ
bracketleftbigg 1
(p+ C)3 ?
C
(p+ C)4
bracketrightbigg
y(t) =L[y(p)] = λμ
bracketleftbigg 1
2!t
2e?Ct ? C
3!t
3e?Ct
bracketrightbigg
= 12λμe?Ct
bracketleftbigg
t2 ? C3 t3
bracketrightbigg
.
a58cjkC0FDcjkA3B9. cjkC7F3cjkCFC2cjkC1D0cjkCFF1cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.128cjkA3AC12cjkA3A9
(1) I(p) = pi2a 1p+ a , (2) I(p) = pi2p,
(3) I(p) = pi2 1p(p+ 1) , (4) I(p) = pi2p2.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.3. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkB5C4cjkB7B4cjkD1DD 39/48
cjkBDE2cjkA3BA
(1) I(t) = pi2ae?at.
(2) I(t) = pi2.
(3) I(p) = pi2
parenleftbigg1
p ?
1
p+ 1
parenrightbigg
,
I(t) = pi2 parenleftbig1 ? e?tparenrightbig.
(4) I(t) = pi2t.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 40/48
§6.4 LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD
cjkD7DBcjkBACFcjkD2D4cjkC9CFcjkC1BDcjkBDDAcjkA3ACcjkD3C3LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkC7F3cjkBDE2cjkCEA2cjkB7D6cjkA3A8cjkBBFDcjkB7D6cjkA3A9cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB2BDcjkD4EAcjkBFC9
cjkB9E9cjkC4C9cjkCEAAcjkA3BA
(1) cjkB6D4cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkB2A2cjkB6D4cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkD2BBcjkB2A2cjkBFBCcjkC2C7cjkA3BB
(2) cjkB4D3cjkB1E4cjkBBBBcjkBBBBcjkBAF3cjkBAF3cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB7BDcjkB3CCcjkBDE2cjkB3F6cjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkA3BB
(3) cjkB6D4cjkCFF3cjkBAAFcjkCAFDcjkBDF8cjkD0D0LaplacecjkB7B4cjkD1DDcjkA3ACcjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkBECDcjkCAC7cjkD4ADcjkC0B4cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkA3AE
a58cjkC0FDcjkA3B1cjkC7F3cjkBDBBcjkC1F7 RLcjkB5E7cjkC2B7cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC?
?
?
L ddt j + Rj = E0 sinωt,
j(0) = 0.
cjkBDE2cjkA3BAcjkB6D4cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3AC
Lpˉj + Rˉj = E0 ωp2 + ω2.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 41/48
cjkD3C9cjkB4CBcjkBDE2cjkB3F6
ˉj(p) = E0Lp+ R ωp2 + ω2 = E0L 1p+ R/L ωp2 + ω2
cjkD7EEcjkBAF3cjkBDF8cjkD0D0cjkB7B4cjkD1DDcjkA3ACcjkD2F2cjkCEAA
ω
p2 + ω2 equaldotrightleft sinωt,
1
p+ R/L equaldotrightleft e
?(R/L)t,
cjkC0FBcjkD3C3cjkBEEDcjkBBFDcjkB6A8cjkC0EDcjkCDEAcjkB3C9cjkB7B4cjkD1DD
j(t) = E0L
integraldisplay t
0
e?(R/L)(t?τ) sinωτdτ
= E0L
braceleftBigg
e?(R/L)t
bracketleftbigg
e(R/L)τ(R/L) sinωτ ? ωcosωτR2/L2 + ω2
bracketrightbiggt
0
bracerightBigg
= E0L (R/L) sinωt ? ωcosωtR2/L2 + ω2 + E0L ωe
?(R/L)t
R2/L2 + ω2
= E0R2 + L2ω2(Rsinωt ? ωcosωt) + E0ωLR2 + L2ω2e?(R/L)t.
cjkCBF9cjkB5C3cjkBDE1cjkB9FBcjkB5C4cjkB5C4cjkB5DAcjkB5DAcjkD2BBcjkB2BFcjkB7D6cjkB4FAcjkB1EDcjkD2BBcjkB8F6cjkCEC8cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4(cjkB7F9cjkB6C8cjkB2BBcjkB2BBcjkB1E4cjkB1E4cjkB5C4)cjkD5F1cjkB5B4cjkA3ACcjkB5DAcjkB6FEcjkB2BFcjkB7D6cjkD4F2
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 42/48
cjkCAC7cjkCBE6cjkCAB1cjkBCE4cjkB6F8cjkCBA5cjkBCF5cjkB5C4cjkA3AE
cjkCEC8cjkB6A8cjkD5F1cjkB5B4cjkB2BFcjkB7D6cjkBBB9cjkBFC9cjkD2D4cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA
E0
R2 + L2ω2(Rsinωt ? ωcosωt)
= E0R2 + L2ω2
parenleftbigg R
√R2 + ω2L2 sinωt ? ωL√R2 + ω2L2 cosωt
parenrightbigg
= E0R2 + L2ω2(cosθsinωt ? sinθcosωt)
= E0R2 + L2ω2 sin(ωt ? θ),
cjkC6E4cjkD6D0
θ = arccos R√
R2 + ω2L2
= arcsin ωL√
R2 + ω2L2
.
cjkB5E7cjkB9A4cjkD1A7cjkC0EFcjkB3A3cjkD3C3cjkB5C4cjkB8B4cjkCAFDcjkD7E8cjkBFB9cjkB7A8cjkBBF2cjkCAB8cjkC1BFcjkB7A3cjkD6BBcjkB8F8cjkB3F6cjkD5E2cjkB8F6cjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkCEC8cjkB6A8cjkD5F1cjkB5B4cjkA3ACcjkC3BB
cjkD3D0cjkBFBCcjkC2C7cjkCBE6cjkCAB1cjkBCE4cjkCBA5cjkBCF5cjkB5C4cjkB2BFcjkB7D6cjkB5D8cjkC7F8cjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 43/48
a58cjkC0FDcjkA3B2cjkC1BDcjkB8F6cjkCFDFcjkC8A6cjkA3A8cjkCDBC6-5cjkA3A9cjkBEDFcjkD3D0cjkCFE0cjkCDACcjkB5C4 R,LcjkBACDCcjkA3AEcjkC1BDcjkCFDFcjkC8A6cjkD6AEcjkBCE4cjkBBA5cjkB8D0cjkCFB5
cjkCAFDcjkCEAA McjkA3ACcjkD4DAcjkB3F5cjkBCB6cjkCFDFcjkC2B7cjkD3D0cjkD6B1cjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkA3ACcjkC6E4cjkB5E7cjkD1B9cjkCEAA E0cjkA3ACcjkBDF1cjkBDF1cjkBDD3cjkBDD3cjkCDA8cjkB3F5cjkBCB6cjkCFDFcjkC2B7cjkD6D0
cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkD4BF KcjkA3ACcjkCECAcjkB3F5cjkBCB6cjkB5E7cjkC2B7cjkD6D0cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkC1F7 j2 cjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkC7E9cjkBFF6cjkC8E7cjkBACEcjkA3BF
cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkD0B4cjkB3F6cjkB5E7cjkC2B7cjkB7BDcjkB3CCcjkA3AC?
???
???
???
???
L ddt j1 + Rj1 + 1C
integraldisplay t
0
j1dt + M ddt j2 = E0,
L ddt j2 + Rj2 + 1C
integraldisplay t
0
j2dt + M ddt j1 = 0,
j ? 1(0) = 0, j2(0) = 0, cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE.
cjkB6D4cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3AC?
???
???
parenleftbigg
Lp+ R + 1Cp
parenrightbigg
ˉj1 + Mpˉj2 = E0p ,
parenleftbigg
Lp+ R + 1Cp
parenrightbigg
ˉj2 + Mpˉj1 = 0.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 44/48
cjkD3C9cjkB4CBcjkBDE2cjkB5C3 ˉj2
ˉj2 = E0Mp2
M2p4 ? parenleftbigLp2 + Rp+ 1Cparenrightbig2
.
cjkB0D1cjkC6E4cjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkB7D6cjkCFEEcjkCABD
ˉj2 = E02
bracketleftBigg
1
(L + M)p2 + Rp+ 1C ?
1
(L ? M)p2 + Rp+ 1C
bracketrightBigg
.
cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3§6.3cjkC0FDcjkA3B3cjkBDF8cjkD0D0cjkB7B4cjkD1DDcjkA3ACcjkB5C3
j2(t) = C1e?λ1t sinω1t + C2e?λ2t sinω2t,
cjkC6E4cjkD6D0
λ1 = R2(L + M), λ2 = R2(L ? M),
ω1 =
radicalBigg
1
C(L + M) ?
R2
4(L + M)2,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 45/48
ω2 =
radicalBigg
1
C(L ? M) ?
R2
4(L ? M)2,
C1 = E02(L + M)ω
1
, C2 = ?E02(L ? M)ω
2
.
a58cjkC0FDcjkA3B3cjkC7F3cjkBDE2cjkCFC2cjkC1D0cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.131cjkA3AC1cjkA3A9
(1) d
3y
dt3 + 3
d2y
dt2 + 3
dy
ddt + y = 6e
?t , y(0) = dy
dt
vextendsinglevextendsingle
t=0 =
d2y
dt2
vextendsinglevextendsingle
t=0 = 0,
(2) d
2y
dt2 + 9y = 30 cosh t, y(0) = 3, y
prime(0) = 0.
cjkBDE2cjkA3BAcjkA3BAcjkA3A8cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B1cjkA3B1cjkA3B1cjkA3A9cjkA3A9cjkB6D4cjkB8C3cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkB5C3
y(p) = 6(p+ 1)4 ,
cjkC8BBcjkBAF3cjkD4D9cjkC7F3cjkB3F6 y(p)cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkCEAA
y(t) = t3e?t.
cjkD5E2cjkBECDcjkCAC7cjkB8C3cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkA3AE
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 46/48
cjkA3A8cjkA3A8cjkA3B2cjkA3B2cjkA3B2cjkA3A9cjkA3A9cjkB6D4cjkB8C3cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkA3ACcjkB5C3
y(p) = 3pp2 ? 1,
cjkC8BBcjkBAF3cjkD4D9cjkC7F3cjkB3F6 y(p)cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkCEAA
y(t) = 3 cosh t,
cjkB4CBcjkBCB4cjkB8C3cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkA3AE
a58cjkC0FDcjkA3B4cjkB5E7cjkD1B9cjkCEAA EcjkB5C4cjkD6B1cjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkCDA8cjkB9FDcjkB5E7cjkB8D0 LcjkBACDcjkB5E7cjkD7E8 RcjkB6D4cjkB6D4cjkB5E7cjkB5E7cjkC8DDCcjkB3E4cjkB5E7cjkA3AEcjkC7F3
cjkBDE2cjkB3E4cjkB5E7cjkB5E7cjkB5E7cjkB5E7cjkC1F7 jcjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkC7E9cjkBFF6cjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.131cjkA3AC1cjkA3A9
cjkBDE2cjkA3BAcjkC9E8cjkB5E7cjkBCFCcjkA3CBcjkB9D8cjkB1D5cjkC7B0cjkB5E7cjkC2B7cjkD6D0cjkCEDEcjkB5E7cjkC1F7cjkA3ACcjkBCB4 j(0) = 0cjkA3AEcjkB5E7cjkBCFCcjkA3CBcjkB1D5cjkBACFcjkBAF3
cjkB5E7cjkC1F7 jcjkCBF9cjkC2FAcjkD7E3cjkB5C4cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkCAC7
Ldjdt + Rj + 1C
integraldisplay t
0
jdt = E.
cjkBDE1cjkBACFcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEj(0) = 0cjkB6D4cjkC9CFcjkCAF6cjkB7BDcjkB3CCcjkCAA9cjkD0D0LaplacecjkB1E4cjkBBBBcjkBBBBcjkBAF3cjkBAF3cjkA3ACcjkB5C3
Lpj(p) + Rj(p) + 1C · 1pj(p) = Ep,
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 47/48
Lp2 j(p) + Rpj(p) + 1C j(p) = E,
j(p) = ELp2 + Rp+ 1
C
.
cjkC8BBcjkBAF3cjkD4D9cjkC7F3cjkB3F6 j(p)cjkB5C4cjkD4ADcjkBAAFcjkCAFDcjkCEAA
(1)cjkC8E7cjkB9FB R2 ? 4LC = 0cjkA3ACcjkD4F2
j(t) = ELte? R2Lt .
(2)cjkC8E7cjkB9FB R2 ? 4LC > 0cjkA3ACcjkD4F2
j(t) = E
L
radicalBig
R2
4L2 ?
1
LC
e? R2Lt sinh
radicalbigg
R2
4L2 ?
1
LCt.
(3)cjkC8E7cjkB9FB R2 ? 4LC <cjkC8E7cjkB9FB0cjkA3ACcjkD4F2
j(t) = E
L
radicalBig
1
LC ?
R2
4L2
e? R2Lt sin
radicalbigg
1
LC ?
R2
4L2 t.
?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit
§6.4. LAPLACEcjkB1E4cjkBBBBcjkD3A6cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD 48/48
cjkD7F7cjkD2B5(No.13)
P. 127cjkA3BA1(1)—1(4)cjkA3BB4cjkA3BB12(1)—12(4)
P. 131cjkA3BA1(1)cjkA1A21(2)cjkA3BB2
END
