成都信息工程学院：数学物理方法：8

?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit 1/70 cjkCAFD cjkD1A7 cjkCEEF cjkC0ED cjkB7BD cjkB7A8 cjkBDCCcjkCAA6: cjkCFF2cjkB0B2cjkC6BD cjkD6B0cjkB3C6: cjkBDCC cjkCADA cjkB5E7cjkBBB0: 85966381(O) 85533790(H) cjkD3CAcjkD6B7: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn cjkB5A5cjkCEBB: cjkB9E2cjkB5E7cjkBCBCcjkCAF5cjkCFB5 cjkC9CFcjkD6C7cjkB2BBcjkBDCCcjkB6F8cjkB3C9cjkA3ACcjkCFC2cjkD3DEcjkCBE4cjkBDCCcjkCEDEcjkD2E6cjkA3AC cjkD6D0cjkD3B9cjkD6AEcjkC8CBcjkA3ACcjkB2BBcjkBDCCcjkB2BBcjkD6AAcjkD2B2 —cjkD1D5cjkD6AEcjkCDC6cjkA3ACcjkA1B6cjkD1D5cjkCACFcjkBCD2cjkD1B5cjkA1B7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit 2/70 cjkB5DAcjkB0CBcjkD5C2 cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFD(FouriercjkBCB6cjkCAFD)cjkB7A8 cjkD0D0cjkB2A8cjkB7A8cjkD2BBcjkB0E3cjkD3C3cjkC0B4cjkC7F3cjkBDE2cjkCEDEcjkBDE7cjkC7F8cjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3A8cjkC8E7cjkB3F5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkB6D4 cjkD3DAcjkD3DAcjkD3D0cjkD3D0cjkCFDEcjkC7F8cjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2—cjkBBECcjkBACFcjkCECAcjkCCE2cjkBBF2cjkB1DFcjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB1BEcjkD5C2cjkBDE9cjkC9DCcjkC1EDcjkD2BBcjkD6D6cjkC7F3 cjkBDE2cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8—cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkC1BFcjkB7A8cjkA3AEcjkCBFCcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkCBBCcjkCFEBcjkCAC7cjkBDABcjkC6ABcjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkB3A3 cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkCFC8cjkB4D3cjkD6D0cjkC7F3cjkB3F6cjkD2BBcjkD0A9cjkC2FAcjkD7E3cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkC8BBcjkBAF3cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FE cjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkA3ACcjkD7F7cjkB3F6cjkD5E2cjkD0A9cjkBDE2cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkD7E9cjkBACFcjkA3ACcjkC1EEcjkC6E4cjkC2FAcjkD7E3cjkD3E0cjkCFC2cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB5C3 cjkB5BDcjkB5BDcjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 3/70 §8.1 cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 8.1.1 cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 cjkD2D4cjkC1BDcjkB6CBcjkB9CCcjkB6A8cjkCFD2cjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB6AFcjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkBEDFcjkCCE5cjkCBB5cjkC3F7cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkCBBCcjkCFEB cjkBACDcjkB2BDcjkD6E8cjkA3AEcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCEAA utt ? a2uxx = 0, (8.1-1) u|x=0 = 0, u|x=l = 0, (8.1-2) u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = ψ(x), (0 < x < l). (8.1-3) cjkC1BDcjkB6CBcjkB9CCcjkB6A8cjkB5C4cjkCFD2cjkC9CFcjkB5C4cjkD5F1cjkB6AFcjkD2FDcjkC6F0cjkB5C4cjkB2A8cjkD4DAcjkB6CBcjkB5E3cjkBDABcjkB7B4cjkC9E4cjkA3AC cjkB4D3cjkB6F8cjkD0CEcjkB3C9cjkD7A4cjkB2A8cjkA3ACcjkB8F9cjkBEDDcjkD7A4cjkB2A8cjkB5C4cjkCCD8cjkB5E3cjkA3ACcjkBFC9cjkBDABcjkD5F1cjkB6AFcjkCFE0cjkCEBB cjkB1E4cjkBBAFcjkBACDcjkD5F1cjkB7F9cjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkB7D6cjkB1F0cjkD3C3 T(t)cjkBACD X(x)cjkB1EDcjkCABEcjkA3AEcjkBCB4 cjkC6E4cjkBDE2cjkBDE2cjkBEDFcjkBEDFcjkD3D0cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkD0CEcjkCABD ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 4/70 u(x,t) = X(x)T(t). (8.1-4) cjkB4FAcjkCABD(8.1-4)cjkC8EBcjkCABD(8.1-1)cjkBACD(8.1-2)cjkA3ACcjkB5C3 XTprimeprime ? a2XprimeprimeT = 0, (8.1-5)braceleftBigg X(0)T(t) = 0, X(l)T(t) = 0. (8.1-6) cjkCEAAcjkC1CBcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB7C7cjkC1E3cjkBDE2cjkA3ACT(t) nequal 0cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD3EBcjkC6E4. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkBDE1cjkC2DB X(0) = X(l) = 0. (8.1-7) cjkD3C9cjkCABD(8.1-5)cjkB5C3 Tprimeprime a2T = Xprimeprime X = ?λ, cjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkB0D1cjkD4ADcjkCECAcjkCCE2cjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkB9D8cjkD3DA XcjkBACDTcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACbraceleftBigg Xprimeprime +λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; (8.1-8) Tprimeprime +λa2Y = 0. (8.1-9) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 5/70 1. cjkCFC8cjkC7F3cjkBDE2 X a119cjkB5B1λ< 0cjkCAB1 cjkCABD(8.1-12)cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA X = C1e √?λx + C2e? √?λx . cjkBBFDcjkB7D6cjkB3A3cjkCAFDC1 cjkBACDC2 cjkD3C9cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkC8B7cjkB6A8cjkA3AEbraceleftBigg C1 + C2 = 0, C1e √?λl + C2e? √?λl = 0, ?→ C1 = ?C2 = 0. cjkD2F2cjkB4CB X(x) = 0 ?→ u(x,t) = 0cjkCEDEcjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkA3ACcjkB9CAλ ≮ 0cjkA3AE a119cjkB5B1λ = 0cjkCAB1 X(x) = C1x + C2, cjkD3C9cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB5C3braceleftBigg C2 = 0, C1l + C2 = 0, ?→ C1 = C2 = 0. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 6/70 cjkCDACcjkC0EDcjkCEDEcjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkA3ACλ = 0cjkD2B2cjkD3A6cjkC5C5cjkB3FDcjkA3AE a119cjkB5B1λ> 0cjkCAB1 X(x) = C1 cos √λx + C2 sin √λx, cjkCDACcjkC0EDcjkA3ACbraceleftBigg C1 = 0, C2 sin √λl = 0. √λl = npi, λ = n 2pi2 l2 , n = 1,2,3,··· . (8.1-10) cjkB4CBcjkCAB1 X(x) = C2 sin npixl , C2cjkCAC7cjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFD. (8.1-11) cjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkBCFBcjkA3ACcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkC1BFcjkCAC7cjkD2FDcjkC8EBcjkB5C4cjkB3A3cjkCAFDλcjkB2BBcjkC4DCcjkCEAAcjkB8BAcjkBBF2cjkC1E3cjkA3ACcjkD2B2cjkB2BBcjkC4DCcjkC8A1cjkC8A1cjkC8CEcjkC8CE cjkD2E2cjkD5FDcjkCAFDcjkA3ACcjkB6F8cjkB1D8cjkD0EBcjkC8A1(8.1-10)cjkB8F8cjkB3F6cjkB5C4cjkCCD8cjkB6A8cjkD6B5—cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkA3ACcjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkBDE2cjkB3C6cjkCEAAcjkB1BE. cjkD5F7. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 7/70 cjkBDE2. cjkA3AEcjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(8.1-12)cjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-7)cjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkCABD(8.1-12)cjkBCB4braceleftBigg Xprimeprime +λX = 0, X(0) = 0, X(l) = 0; 2. cjkC7F3T cjkB7BDcjkB3CC(8.1-9)cjkCFD6cjkD4DAcjkD0B4cjkCEAA Tprimeprime + a2n 2pi2 l2 T = 0. cjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA T(t) = Acos npiatl + Bsin npiatl . (8.1-12) cjkCABDcjkD6D0 A,BcjkCAC7cjkBBFDcjkB7D6cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE cjkBDABcjkCABD(8.1-11)cjkBACD(8.1-12)cjkB4FAcjkC8EBcjkCABD(8.1-4)cjkA3ACcjkB5C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkBDE2 un(x,t) = parenleftbigg An cos npiatl + Bn sin npiatl parenrightbigg sin npil x. (8.1-13) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 8/70 ncjkCEAAcjkD5FDcjkD5FDcjkD5FBcjkD5FBcjkCAFDcjkA3AEcjkC3BFcjkD2BBcjkB8F6 ncjkB6D4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3DAcjkD3DAcjkD2BBcjkD6D6cjkD7A4cjkB2A8—cjkB3C6cjkCEAAcjkC1BDcjkB6CBcjkB9CCcjkB6A8cjkCFD2cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7 cjkD5F1cjkB6AFcjkA3AEcjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkA3ACx = kl/n (k = 0,1,2,··· ,n)cjkA3ACcjkB9B2 n+1cjkB8F6cjkBDDAcjkB5E3cjkA3ACcjkCDACcjkD1F9cjkD3D0 ncjkB8F6cjkB2A8cjkB8B9cjkB5E3cjkA3AEcjkCFE0cjkC1DAcjkBDDAcjkB5E3cjkBEE0cjkC0EB ln =cjkB0EBcjkB2A8cjkB3A4:cjkB2A8cjkB3A4 = 2lncjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD5F1cjkD5F1cjkB6AFcjkD4B2cjkC6B5cjkC2CA ω = npial cjkA3ACf = ω2pi = na2lcjkA3AE cjkCABD(8.1-13)cjkBFC9cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA un(x,t) = Dn sin npil xcos(ωnt ?θn), Dn = radicalBig A2n + B2n, ωn = npial , θn = arctgBnA n . cjkBFC9cjkBCFBcjkA3ACcjkD4DAcjkC8CEcjkD2E2cjkCAB1cjkBFCC t = t0cjkA3ACcjkB2A8cjkB5C4cjkD0CEcjkD7B4cjkCAC7cjkD2BBcjkD5FDcjkCFD2cjkC7FAcjkCFDFcjkA3BBcjkC8CEcjkD2BBcjkB5E3 x = x0cjkA3AC cjkB6BCcjkD2D4cjkCFE0cjkCDACcjkB5C4cjkD4B2cjkC6B5cjkC2CAωncjkA1A2cjkB3F5cjkCFE0cjkCEBBθncjkD7F7cjkD0B3cjkD5F1cjkB6AFcjkA3ACcjkB2BBcjkCDACcjkB5C4cjkB5C4cjkB5E3cjkB5E3cjkD5F1cjkB7F9cjkB2BBcjkCDACcjkA3AEcjkD3D0 cjkCFDEcjkB3A4cjkCFD2cjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB6AFcjkCAC7cjkD3C9cjkD2BBcjkCFB5cjkC1D0cjkD7A4cjkB2A8cjkB5FEcjkBCD3cjkB6F8cjkB3C9cjkB5C4cjkA3ACcjkC3BFcjkD2BBcjkD7A4cjkB2A8cjkB5C4cjkB2A8cjkD0CEcjkD3C9cjkCCD8 cjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkC8B7cjkB6A8cjkA3ACcjkC6B5cjkC2CAcjkD3C9cjkCCD8cjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkC8B7cjkB6A8cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkB7D6. cjkC0EB. cjkB1E4. cjkCAFD. cjkB7A8. cjkD3D6. cjkB3C6. cjkD7A4. cjkB2A8. cjkB7A8. cjkA3AE cjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkBDE2cjkCACDcjkCFD2cjkC0D6cjkC6F7cjkB5C4cjkD1DDcjkD7E0cjkA3AEn = 1cjkCAC7cjkA3ACω1 = pial = pil radicalBig T ρcjkA3ACcjkB3C6cjkCEAAcjkBBF9cjkD2F4 cjkA3A8cjkC6B5cjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACωn (n ≥ 2)cjkB3C6cjkCEAAcjkB7BAcjkD2F4cjkA3A8cjkC6B5cjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkD5F1cjkB6AFcjkB3C6cjkCEAAcjkBBF9cjkD5F1cjkB6AFcjkBACDcjkB4CEcjkD0B3 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 9/70 cjkD5F1cjkB6AFcjkA3AEcjkBBF9cjkD2F4cjkBEF6cjkB6A8cjkC1CBcjkD2F4cjkB5F7cjkA3ACcjkB6F8cjkB6F8cjkB7BAcjkB7BAcjkD2F4cjkBEF6cjkB6A8cjkC1CBcjkD2F4cjkC9ABcjkA3AEcjkB2BBcjkCDACcjkB5C4cjkC1CBcjkC6F7cjkD3D0cjkB2BBcjkCDACcjkB5C4cjkB7BA cjkD2F4cjkA3ACcjkBCB4cjkD2F4cjkC9ABcjkA3AEcjkCDA8cjkB9FDcjkB8C4cjkB1E4cjkCFD2cjkB3A4 lcjkA1A2cjkB5F7cjkD5FBcjkCFD2cjkD6D0cjkD5C5cjkC1A6TcjkA1A2cjkCAB9cjkD3C3cjkB2BBcjkCDACcjkB4D6cjkCFB8cjkB5C4cjkCFD2 cjkA3A8ρcjkA3A9cjkB5C8cjkC0B4cjkB8C4cjkB1E4cjkC6B5cjkC2CAcjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkD1DDcjkD7E0cjkB3F6cjkC3C0cjkC3C0cjkC3EEcjkC3EEcjkB6AFcjkCCFDcjkB5C4cjkD2F4cjkC0D6cjkA3AE cjkC9CFcjkCABDcjkCABDcjkCAC7cjkCAC7cjkC2FAcjkD7E3cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BD cjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD5F1cjkD5F1cjkB6AFcjkB6AFcjkB5C4cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkD7E9cjkBACFcjkBECDcjkCAC7cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFEcjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkA3ACcjkBCB4 u(x,t) = ∞summationdisplay n=1 parenleftbigg An cos npiatl + Bn sin npiatl parenrightbigg sin npil x. (8.1-14) cjkCABDcjkD6D0cjkB5C4cjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFD An,BncjkD3C9cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkC8B7cjkB6A8cjkA3BA? ??? ?? ??? ?? ∞summationdisplay n=1 An sin npixl = ?(x), ∞summationdisplay n=1 npia l Bn sin npix l = ψ(x). (0 < x < l) (8.1-15) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 10/70 cjkBDABcjkCABDcjkD6D0cjkB5C4?(x)cjkBACDψ(x)cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkD5FDcjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkB5C3? ??? ??? An = 2l integraldisplay l 0 ?(ξ) sin npiξl dξ, Bn = 2npia integraldisplay l 0 ψ(ξ) sin npiξl dξ. (8.1-16) (8.1-14)cjkBECDcjkCAC7cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2(8.1-1)—(8.1-3)cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AEcjkC6E4cjkCFB5cjkCAFD AncjkBACD BncjkD3D0cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5 cjkBCFEcjkC8B7cjkB6A8cjkA3AE(8.1-14)cjkB8D5cjkBAC3cjkBECDcjkCAC7FouriercjkD5FDcjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkD5E2cjkCAC7cjkD3C9cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7 cjkCCF5cjkBCFE(8.1-2)cjkCBF9cjkBEF6cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkA3AE cjkBFC9cjkBDABcjkC9CFcjkCAF6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkCDBCcjkCABEcjkCEAA ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 11/70 cjkB7D6cjkCEF6cjkC9CFcjkCAF6cjkB9FDcjkB3CCcjkBFC9cjkD6AAcjkA3ACcjkB6D4cjkD3DAcjkCFDFcjkD0D4cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCFDFcjkD0D4cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8 cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBFC9cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE cjkCBE4cjkC8BBcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkB5ABcjkCAC7cjkBEDFcjkCCE5cjkCECAcjkCCE2cjkD6D0cjkA3ACcjkBCB6cjkCAFDcjkD6BB cjkD3D0cjkC7B0cjkC8F4cjkB8C9cjkCFEEcjkCAC7cjkD6D8cjkD2AAcjkB5C4cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 12/70 8.1.2 cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkB5C4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD cjkB6D4cjkB6D4cjkB5DAcjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkC9CFcjkC3E6cjkD2D1cjkBEADcjkBDA8cjkC1A2cjkC1CBcjkC6E4cjkBDE2cjkA3ACcjkCFD6cjkD4DAcjkCCD6cjkC2DBcjkB5DA. cjkB6FE. cjkC0E0. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkB5C4. cjkB6A8. cjkBDE2. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B1cjkC7F3cjkBDE2cjkC1BDcjkB6CBcjkD7D4cjkD3C9cjkB5C4cjkB8CBcjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD7DDcjkD5F1cjkB6AFcjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkC6E4cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCEAA utt ? a2uxx = 0, (8.1-17) ux|x=0 = 0, ux|x=l = 0, (8.1-18) u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = ψ(x), (0 < x < l). (8.1-19) cjkBDE2cjkA3BAcjkC9E8cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkCAD4cjkCCBDcjkBDE2cjkCEAA u(x,t) = X(x)T(t), (8.1-20) cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC(8.1-17)cjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-18)cjkA3ACcjkB5C3 XTprimeprime ? a2XprimeprimeT = 0, (8.1-21) Xprime(0)T(t) = 0, Xprime(l)T(t) = 0. (8.1-22) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 13/70 cjkCEAAcjkC1CBcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB7C7cjkC1E3cjkD3D0cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkBDE2cjkA3ACcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-22)cjkD6BBcjkC4DCcjkCEAA Xprime(0) = Xprime(l) = 0. (8.1-23) cjkB6D4cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC(8.1-21)cjkA3ACcjkC1BDcjkB1DFcjkB3FDcjkD2D4 a2XTcjkB5C3 Tprimeprime a2T = Xprimeprime X , cjkC9CFcjkCABDcjkC1BDcjkB1DFcjkCFE0cjkB5C8cjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkB5C4cjkA3ACcjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCFE0cjkB5C8cjkC7D2cjkB5C8cjkD3DAcjkCDACcjkD2BBcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkBCC7cjkCEAA ?λcjkA3ACcjkD3D0 Tprimeprime a2T = Xprimeprime X = ?λ. cjkD5E2cjkBFC9cjkB7D6cjkC0EBcjkCEAAcjkB9D8cjkD3DA XcjkBACDTcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC7B0cjkD5DFcjkB8BDcjkB4F8cjkD3D0cjkCCF5cjkBCFE(8.1-23)cjkA3ACcjkBCB4 Xprimeprime +λX = 0, (8.1-24) Xprime(0) = Xprime(l) = 0; cjkBACD Tprimeprime +λa2T = 0. (8.1-25) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 14/70 cjkCFD6cjkD4DAcjkCCD6cjkC2DBcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2(8.1-24)cjkBACD(8.1-23)cjkB5C4cjkBDE2. a119cjkB5B1λ< 0cjkCAB1 cjkB4CBcjkCAB1cjkD6BBcjkC4DCcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkCEDEcjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkC1E3cjkBDE2 X(x) ≡ 0cjkA3AE a119cjkB5B1λ = 0cjkCAB1 X(x) = C0 + D0x, cjkB4FAcjkC8EBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-23)cjkA3ACcjkB5C3 D0 = 0cjkA3AC X(x) = C0, C0cjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFD. a119cjkB5B1λ> 0cjkCAB1 X(x) = C1 cos √λx + C2 sin √λx, cjkB4FAcjkC8EBcjkCCF5cjkBCFE(8.1-23)cjkA3ACcjkB5C3? ? ? √λC 2 = 0,√ λ parenleftBig ?C1 sin √λl + C2 cos √λl parenrightBig = 0. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 15/70 cjkC6E4cjkD3D0cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkBDE2cjkD6BBcjkC4DCcjkD4DAcjkC8E7cjkCFC2cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkC8A5cjkB5C3braceleftBigg C2 = 0, C1 nequal 0, sin √λl = 0. cjkCBF9cjkD2D4cjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkB1BEcjkB1A8cjkB1A8cjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB7D6cjkB1F0cjkCEAA λ = n 2pi2 l2 , n = 1,2,··· , X(x) = C1 cos npil x, n = 1,2,··· . a119cjkBACFcjkB2A2λ = 0cjkBACDλ> 0cjkC1BDcjkD6D6cjkC7E9cjkBFF6cjkBAF3cjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkB1BEcjkB1A8cjkB1A8cjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB7D6cjkB1F0cjkCEAA λ = n 2pi2 l2 , n = 0,1,2,··· , (8.1-26) X(x) = C1 cos npil x, n = 0,1,2,··· . (8.1-27) cjkBFC9cjkBCFBcjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2(8.1-24)cjkBACD(8.1-23)cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD(8.1-27)cjkD5FDcjkBAC3cjkCAC7Fourier cjkD3E0cjkCFD2cjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkCFB5cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 16/70 cjkB0D1cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5(8.1-26)cjkB4FAcjkC8EBcjkB9D8cjkD3DAcjkCAB1cjkBCE4cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(8.1-25)cjkA3ACcjkB5C3 Tprimeprime = 0, λ = 0; Tprimeprime + n 2pi2a2 l2 T = 0, λ> 0. cjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA T0(t) = A0 + B0t, (8.1-28) Tn(t) = An cos npial t + Bn sin npial t, n = 1,2,··· . (8.1-29) cjkCABDcjkD6D0 A0,B0, An,BncjkBEF9cjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE cjkBDABcjkCABD(8.1-27)cjkA1A2(8.1-28)cjkBACD(8.1-29)cjkB4FAcjkC8EB(8.1-20)cjkA3ACcjkB5C3cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2—cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD5F1cjkD5F1 cjkB6AF braceleftBigg u0(x,t) = A0 + B0t, un(x,t) = parenleftbigAn cos npial t + Bn sin npial tparenrightbigcos npil x, (n = 1,2,···).(8.1-30) cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkCAC7cjkC9CFcjkCAF6cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2cjkB5C4cjkB5C4cjkB5FEcjkB5FEcjkBCD3cjkA3ACcjkBCB4 u(x,t) = A0 + B0t + ∞summationdisplay n=1 parenleftBig An cos npial t + Bn sin npial t parenrightBig cos npil x.(8.1-31) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 17/70 cjkC6E4cjkD6D0cjkCFB5cjkCAFDcjkD3C9cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE(8.1-19)cjkC8B7cjkB6A8cjkA3BA? ??? ?? ??? ?? A0 + ∞summationdisplay n=1 An cos npil x = ?(x), B0 + ∞summationdisplay n=1 npia l Bn cos npi l x = ψ(x). (0 ≤ x ≤ l) cjkD3C9FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkD5B9cjkBFAAcjkA3ACcjkB5C3? ??? ??? A0 = 1l integraldisplay l 0 ?(ξ)dξ, B0 = 1l integraldisplay l 0 ψ(ξ)dξ; ? ??? ??? An = 2l integraldisplay l 0 ?(ξ) cos npil ξdξ, Bn = 2npia integraldisplay l 0 ψ(ξ) cos npil ξdξ. (8.1-32) cjkBDE2(8.1-31)cjkD6D0cjkB5C4 A0 + B0tcjkC3E8cjkD0B4cjkB8CBcjkB5C4cjkD5FBcjkCCE5cjkD2C6cjkB6AFcjkA3ACcjkC6E4cjkD3E0cjkB2BFcjkB7D6cjkB2C5cjkD5E6cjkD5FDcjkC3E8cjkD0B4cjkB8CBcjkB5C4 cjkD7DDcjkD5F1cjkB6AFcjkA3AEcjkB4D3(8.1-32)cjkD6AA A0 cjkD3EB B0 cjkB7D6cjkB1F0cjkB5C8cjkD3DAcjkC6BDcjkBEF9cjkB3F5cjkCABCcjkCEBBcjkD2C6cjkBACDcjkC6BDcjkBEF9cjkC8CDcjkCABCcjkCBD9 cjkB6C8cjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB2BBcjkCADCcjkCDE2cjkC1A6cjkD7F7cjkD3C3cjkA3ACcjkB8CBcjkD2D4cjkB2BBcjkB2BBcjkB1E4cjkB1E4cjkB5C4cjkCBD9cjkB6C8 B0 cjkD2C6cjkB6AFcjkA3AEcjkBDE2(8.1-31)cjkD5FDcjkCAC7cjkB8B5 cjkC0EFcjkD2B6cjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7cjkD4DA x = 0cjkBACD x = lcjkB4A6cjkB5C4cjkB5C4cjkB5DAcjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFE(8.1-18)cjkBEF6cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 18/70 cjkCFC2cjkD2BBcjkB8F6cjkC0FDcjkD7D3cjkCAC7cjkD2BBcjkB6CBcjkCEAAcjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkC1EDcjkD2BBcjkB6CBcjkCEAAcjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CE cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBCB4cjkBBECcjkBACFcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkC0FDcjkD7D3cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B2cjkD1D0cjkBEBFcjkCFB8cjkB8CBcjkB5BCcjkC8C8cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCCcjkB8CBcjkB5C4cjkD2BBcjkB6CBcjkCEC2cjkB6C8cjkCEAAcjkC1E3cjkB6C8cjkA3ACcjkC1EDcjkD2BBcjkB6CBcjkCEC2 cjkB6C8cjkCEAAu0cjkA3ACcjkB8CBcjkC9CFcjkCEC2cjkB6C8cjkCCDDcjkB6C8cjkBEF9cjkD4C8cjkA3ACcjkC1E3cjkB6C8cjkB6C8cjkB5C4cjkB5C4cjkD2BBcjkB6CBcjkB1A3cjkB3D6cjkCEC2cjkB6C8cjkB2BBcjkB2BBcjkB1E4cjkB1E4cjkA3ACcjkC1EDcjkD2BBcjkB6CBcjkB8FAcjkCDE2 cjkBDE7cjkBDE7cjkBEF8cjkBEF8cjkC8C8cjkA3AEcjkCAD4cjkC7F3cjkCFB8cjkB8CBcjkC9CFcjkCEC2cjkB6C8cjkB6C8cjkB5C4cjkB5C4cjkB1E4cjkBBAFcjkA3AE cjkBDE2cjkA3BAcjkB8CBcjkC9CFcjkCEC2cjkB6C8u(x,t)cjkC2FAcjkD7E3cjkCFC2cjkC1D0cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkB6A8cjkBDE2cjkCCF5cjkBCFE ut ? a2uxx = 0, a2 = k/cρ, (8.1-33)braceleftBigg u|x=0 = 0, ux|x=l = 0, (8.1-34) u|t=0 = u0x/l, 0 < x < l. (8.1-35) cjkC9E8cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkCAD4cjkCCBDcjkBDE2cjkCEAA u(x,t) = X(x)T(t), (8.1-36) cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC(8.1-33)cjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-34)cjkA3ACcjkB5C3cjkB9D8cjkD3DA X(x)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 19/70 cjkBACDcjkCCF5cjkBCFEcjkBCFEcjkBCB0cjkBCB0cjkB9D8cjkD3DAT(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3BA Xprimeprime +λX = 0, (8.1-37) X(0) = Xprime(l) = 0, (8.1-38) Tprime +λa2T = 0. (8.1-39) cjkB7BDcjkB3CCcjkCABD(8.1-37)cjkBACDcjkCCF5cjkBCFE(8.1-38)cjkB9B9cjkB3C9cjkB9D8cjkD3DA X(x)cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkC8DDcjkD2D7 cjkD1E9cjkD6A4cjkA3ACcjkB5B1λ = 0cjkBBF2λ< 0cjkCAB1cjkA3ACcjkD6BBcjkC4DCcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkCEDEcjkD2E2cjkB5C4cjkBDE2 X(x) ≡ 0cjkA3ACcjkB5B1λ> 0 cjkCAC7cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC(8.1-37)cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA X(x) = C1 cos √λx + C2 sin √λx. cjkB4FAcjkC8EBcjkCCF5cjkBCFE(8.1-38)cjkA3ACcjkC8B7cjkB6A8cjkCFB5cjkCAFDC1 cjkBACDC2cjkA3ACcjkBCB4braceleftBigg C1 = 0, C2 √λcos √λl = 0. cjkBDF6cjkD4DAcjkC8E7cjkCFC2cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkB2C5cjkC4DCcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD3D0cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkB7C7cjkC1E3cjkBDE2cjkA3BA C1 = 0, C2 nequal 0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 20/70 cos √λl = 0, cjkCBF9cjkD2D4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD λ = (k + 1 2) 2pi2 l2 = (2k + 1)2pi2 4l2 , k = 0,1,2,··· . (8.1-40) X(x) = C2 sin (2k + 1)pi2l x, k = 0,1,2,··· . (8.1-41) cjkBDABcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkB4FAcjkC8E7cjkB9D8cjkD3DAT(t)cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(8.1-39)cjkA3ACcjkD3D0 Tprime + a2(k + 1 2) 2pi2 l2 T = 0. cjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA T(t) = Ce? (k+12)2pi2a2t l2 . (8.1-42) cjkB1BEcjkC0FDcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD(8.1-41)cjkBCB4sin (2k+1)pi2l xcjkBCC8cjkB2BBcjkCDACcjkD3DAcjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFEcjkB5C4sin npil xcjkA3ACcjkD3D6cjkB2BBcjkCDACcjkD3DAcjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cos npil xcjkA3AE cjkC6E4cjkCAB5cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEux|x=l = 0cjkB1EDcjkC3F7cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkB0D1cjkB5BCcjkC8C8cjkB8CBcjkB4D3cjkC7F8cjkBCE4(0,l)cjkC5BCcjkD1D3cjkCDD8 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 21/70 cjkB5BD(0,2l)cjkC9CFcjkA3AEcjkC5BCcjkD1D3cjkCDD8cjkBAF3cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7u|x=0 = 0,ux|x=l = 0,u|x=2l = 0cjkA3AE cjkB5DAcjkD2BBcjkBACDcjkC8FDcjkB8F6cjkCCF5cjkBCFEcjkBEF6cjkB6A8cjkC1CBcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7sin npi2l x, n = 1,2,···cjkA3ACcjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCCF5cjkBCFE cjkCFDEcjkD6C6cjkC1CB ncjkD6BBcjkC4DCcjkC8A1cjkC6E6cjkCAFDcjkD6B5cjkA3ACcjkD2F2cjkCEAAparenleftBig sin npi2l x parenrightBigprimevextendsinglevextendsingle vextendsingle x=l = npi2l cos npi2l = 0, cjkC8E7cjkB9FB ncjkC8A1cjkC5BCcjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2cjkC9CFcjkCABDcjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkB1BEcjkD5F9cjkBAAFcjkCAFDcjkC8A1(8.1-41)cjkB5C4cjkD0CEcjkCABDcjkA3AE cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkD1F9cjkD2BBcjkD2BBcjkC0B4cjkB4CBcjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkD3A6cjkCEAA u(x,t) = ∞summationdisplay k=0 Cke parenleftBig k+12 parenrightBig2 pi2a2t l2 sin parenleftbigk + 1 2 parenrightbigpix l . (8.1-43) cjkD3C9cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE(8.1-35)cjkBCB4cjkBFC9cjkC8B7cjkB6A8cjkCABDcjkD6D0cjkB5C4cjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFDCkcjkA3AE Ck = (?1)k 2u0parenleftbig k + 12parenrightbig2pi2 . (8.1-44) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 22/70 cjkCBF9cjkD2D4 u(x,t) = 2u0pi2 ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1parenleftbig k + 12parenrightbig2 e? parenleftBig k+12 parenrightBig2 pi2a2t l2 sin parenleftbigk + 1 2 parenrightbigpix l . (8.1-45) KcjkCCD6cjkC2DB a119cjkB4CBcjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkD2BBcjkBACDcjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkB5C4cjkBBECcjkBACFcjkA3ACcjkD6AEcjkCBF9cjkD2D4cjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkD5B9cjkBFAAcjkCEAA FouriercjkD5FDcjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkCAC7cjkD2F2cjkCEAAcjkBFC9cjkB0D1cjkB5BCcjkC8C8cjkCECAcjkCCE2cjkC5BCcjkD1D3cjkCDD8cjkB5BD(0,2l)cjkC7F8cjkBCE4cjkA3ACcjkB4CBcjkCAB1cjkB1DF cjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCEAAu|x=0 = 0,ux|x=l = 0,u|x=2l = 0cjkA3ACcjkD5E2cjkD5FDcjkCAC7cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB9CA cjkD3A6cjkD7F7FouriercjkD5FDcjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkD5B9cjkBFAAcjkA3AEux|x=l = 0cjkBEF6cjkB6A8cjkC1CB kcjkD6BBcjkC4DCcjkC8A1cjkC6E6cjkCAFDcjkA3AE a119cjkB5B1 t < 0cjkCAB1cjkA3ACcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkCAC7cjkB7A2cjkC9A2cjkB5C4cjkA3ACcjkCEDEcjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7cjkD2F2cjkCEAAcjkCEAAcjkCED2cjkCED2cjkC3C7cjkBFC9cjkD2D4cjkD3C9cjkC4B3cjkCAB1 cjkBFCCcjkB5C4u(x,t)cjkB7D6cjkB2BCcjkCDC6cjkCBE3cjkC8CEcjkD2E2cjkB4CBcjkCAB1cjkBFCCcjkD2D4cjkBAF3cjkC8CEcjkD2E2cjkCAB1cjkBFCCcjkB5C4cjkCEC2cjkB6C8cjkB7D6cjkB2BCcjkA3ACcjkB5ABcjkB2BBcjkC4DCcjkCFE0 cjkB7B4cjkA3AE a119cjkB5B1 t > 0cjkCAB1cjkA3ACcjkBCB6cjkCAFDcjkCAFDcjkCAD5cjkCAD5cjkC1B2cjkBADCcjkBFECcjkA3AEcjkB5B1 t > 0.18l2/a2 (k = 1)cjkCAB1cjkA3ACcjkBDF6cjkB1A3cjkC1F4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 23/70 k = 0cjkB5C4cjkCFEEcjkA3ACcjkC6E4cjkCEF3cjkB2EEcjkB2BBcjkB3ACcjkB9FD1%cjkA3AE u(x,t) = 8u0pi2 e?pi 2a2 4l2 t sin pi 2lx. a58cjkC0FDcjkA3B3cjkC9A2cjkC8C8cjkC6ACcjkB5C4cjkBAE1cjkBDD8cjkC3E6cjkCEAAcjkBED8cjkD0CE(cjkCDBC8cjkA1AA2)cjkA3AEcjkCBFCcjkB5C4cjkD2BBcjkB1DF y = b cjkB4A6cjkD3DAcjkBDCFcjkB8DFcjkCEC2cjkB6C8 UcjkA3ACcjkC6E4cjkCBFBcjkC8FDcjkB1DF y = 0,x = 0 cjkBACD x = acjkD4F2cjkB4A6cjkD3DAcjkC0E4cjkC8B4cjkBDE9cjkD6CAcjkD6CAcjkD6D0cjkD6D0cjkD2F2cjkB6F8cjkB1A3cjkB3D6cjkBDCFcjkB5CDcjkB5CDcjkB5C4cjkB5C4cjkCEC2cjkB6C8u0cjkA1A3cjkC7F3 cjkBDE2cjkD5E2cjkBAE1cjkBDD8cjkC3E6cjkC9CFcjkB5C4cjkCEC8cjkB6A8cjkCEC2cjkB6C8cjkB7D6cjkB2BCu(x,y)cjkA3ACcjkBCB4cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 uxx + uyy = 0, (8.1-46) u|x=0 = u|x=a = u0, 0 < y < b, (8.1-47) u|y=0 = u0, u|y=b = U, 0 < x < a. (8.1-48) cjkBDE2cjkA3BAcjkD5E2cjkCAC7cjkB6FE. cjkCEAC. LaplacecjkB7BD. cjkB3CC. cjkB5C4. cjkB5DA. cjkD2BB. cjkC0E0. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB2BBcjkBAACcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5 cjkBCFEcjkA3ACLaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkC8ABcjkCAC7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkD2F2cjkCEAAcjkD5E2cjkD6D6cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkB5C4 cjkBDE2cjkD6BBcjkC4DCcjkCAC7cjkC1E3cjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkBEA1cjkBFC9cjkC4DCcjkB0D1cjkD2BBcjkD0A9cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkBBAFcjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkA3ACcjkB1CFcjkBEBAcjkBBE1cjkB4F8cjkC0B4cjkD2BB ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 24/70 cjkD0A9cjkB7BDcjkB1E3cjkA3AEcjkB3A3cjkD3C3cjkB5C4cjkB0ECcjkB7A8cjkCAC7cjkB0D1u(x,y)cjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAv(x,y)cjkBACDw(x,y)cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB5FEcjkBCD3cjkA3AC u(x,y) = v(x,y) + w(x,y) cjkB4FAcjkC8E7cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB2A2cjkD1A1cjkC8A1cjkB8F7cjkD3D0cjkD2BBcjkD7E9cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB5C3 vxx + vyy = 0, wxx + wyy = 0, v|x=0 = v|x=a = u0, w|x=0 = w|x=a = 0, v|y=0 = v|y=b = 0; w|y=0 = u0, w|y=b = u0. cjkBADCcjkC8DDcjkD2D7cjkD2D7cjkD1E9cjkD1E9cjkD6A4cjkA3ACcjkB0D1vcjkBACDwcjkB5C4cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkB5FEcjkBCD3cjkC6F0cjkC0B4cjkC8B7cjkCAC7ucjkB5C4cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB0D1v cjkBACDwcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5FEcjkBCD3cjkC6F0cjkC0B4cjkC8B7cjkCAC7ucjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACcjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkC7F3cjkBDE2 vcjkBACDwcjkA3ACcjkB6F8vcjkBACDwcjkB8F7cjkD3D0cjkC1BDcjkB8F6cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkD7E3cjkD2D4cjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB2BB cjkC4D1cjkB7D6cjkB1F0cjkBDE2cjkB3F6cjkA3AEcjkC6E4cjkCAB5cjkA3ACcjkB1BEcjkC0FDcjkBBB9cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkCAE2cjkB5C4cjkBCF2cjkB1E3cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkC1EE u(x,y) = u0 + v(x,y), (8.1-49) cjkD5E2cjkD6BBcjkB2BBcjkB9FDcjkCAC7cjkB0D1cjkCEC2cjkB1EAcjkD2C6cjkB6AFcjkD2BBcjkCFC2cjkA3ACcjkB0D1cjkD4ADcjkC0B4cjkB5C4u0 cjkD7F7cjkCEAAcjkD0C2cjkCEC2cjkB1EAv(x,y)cjkB5C4cjkC1E3 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 25/70 cjkB5E3cjkA3AEcjkD2D4(8.1-49)cjkB4FAcjkC8EB(8.1-46)—(8.1-48)cjkA3ACcjkB5C3 vxx + vyy = 0, (8.1-50) v|x=0 = 0, v|x=a = 0, (8.1-51) v|y=0 = 0, v|y=b = U ? u0. (8.1-52) cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkCAD4cjkCCBDcjkBDE2 v(x,y) = X(x)Y(y) cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC(8.1-50)cjkBACDcjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-51)cjkA3ACcjkBFC9cjkB5C3 XcjkBACDYcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6 cjkB7BDcjkB3CCcjkD2D4cjkBCB0 XcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3BAbraceleftBigg Xprimeprime +λX = 0, X(0) = X(a) = 0; (8.1-53) Yprimeprime ?λY = 0. (8.1-54) (8.1-53)cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AEcjkB2BBcjkC4D1cjkBDE2cjkB5C3cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkA3A8cjkD3EBcjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 26/70 cjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB6AFcjkCFE0cjkCDACcjkA3A9 λ = n 2pi2 a2 , n = 1,2,··· , (8.1-55) cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD X(x) = C sin npixa , n = 1,2,··· . (8.1-56) cjkBDABcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5(8.1-55)cjkB4FAcjkC8EBcjkB9D8cjkD3DAYcjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(8.1-54)cjkA3ACcjkBDE2cjkB5C3 Y(y) = Aenpia y + Be?npia y. cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2—cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2cjkCEAA vn(x,y) = parenleftBig Anenpia y + Bne?npia y parenrightBig sin npia x. cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2v(x,y)cjkD3A6cjkCAC7cjkD5E2cjkD0A9cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2cjkB5C4cjkB5C4cjkB5FEcjkB5FEcjkBCD3cjkA3AC v(x,y) = ∞summationdisplay n=1 parenleftBig Anenpia y + Bne?npia y parenrightBig sin npia x. (8.1-57) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 27/70 cjkCEAAcjkC8B7cjkB6A8cjkCFB5cjkCAFD AncjkBACD BncjkA3ACcjkD2D4(8.1-57)cjkB4FAcjkC8EBcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-52)cjkA3AC? ??? ?? ??? ?? ∞summationdisplay n=1 (An + Bn) sin npia x = 0, ∞summationdisplay n=1 parenleftBig Anenpiba + Bne?npiba parenrightBig sin npia x = U ? u0. cjkB0D1cjkD3D2cjkB1DFcjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkD5FDcjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3AEcjkC8BBcjkBAF3cjkB1C8cjkBDCFcjkC1BDcjkB1DFcjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3? ??? ? ??? ? An + Bn = 0, Anenpiba + Bne?npiba = ? ? ? 0, n =cjkC5BCcjkCAFD, a npi(U ? u0), n =cjkC6E6cjkCAFD. cjkD3C9cjkB4CBcjkBDE2cjkB3F6 An = ?Bn = ? ??? ??? 0, n =cjkC5BCcjkCAFD, a(U ? u0) npi parenleftBig enpiba ? e?npiba parenrightBig, n =cjkC6E6cjkCAFD. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 28/70 cjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB4F0cjkB0B8 u(x,y)=u0 + a(U ? u0)pi ∞summationdisplay n=0 1 (2n+ 1) × sh(2n+1)piya sh(2k+1)piba sin (2n+ 1)pix a . cjkCFC2cjkD2BBcjkB8F6cjkC0FDcjkCCE2cjkCAC7cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B4cjkB4F8cjkB5E7cjkB5C4cjkD4C6cjkB8FAcjkB4F3cjkB5D8cjkD6AEcjkBCE4cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkBDFCcjkCBC6cjkCAC7cjkD4C8cjkC7BF cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkA3ACcjkC6E4cjkB5E7cjkB3A1cjkC7BFcjkB6C8 vectorE0 cjkCAC7cjkCAFAcjkD6B1cjkB5C4cjkA3AEcjkCBAEcjkC6BDcjkBCDCcjkC9E8cjkB5C4 cjkCAE4cjkB5E7cjkCFDFcjkB4A6cjkD4DAcjkD5E2cjkB8F6cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkD6AEcjkD6D0(cjkCDBC8cjkA1AA3a)cjkA3AEcjkCAE4cjkB5E7cjkCFDFcjkCAC7 cjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F4cjkA3AEcjkD6F9cjkC3E6cjkD3C9cjkD3DAcjkBEB2cjkB5E7cjkB8D0cjkD3A6cjkB3F6cjkCFD6cjkB8D0cjkD3A6cjkB5E7cjkBAC9cjkA3ACcjkD4B2 cjkD6F9cjkC1DAcjkBDFCcjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkD2B2cjkBECDcjkB2BBcjkD4D9cjkCAC7cjkD4C8cjkC7BFcjkB5C4cjkC1CBcjkA3AEcjkB2BBcjkB9FDcjkA3ACcjkC0EB cjkD4B2cjkD6F9“cjkCEDEcjkCFDEcjkD4B6”cjkB4A6cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkC8D4cjkB1A3cjkB3D6cjkCEAAcjkD4C8cjkC7BFcjkB5C4cjkA3AEcjkCFD6cjkD4DA cjkD1D0cjkBEBFcjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F9cjkD4F5cjkD1F9cjkB8C4cjkB1E4cjkD4C8cjkC7BFcjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkA3AE cjkCAD7cjkCFC8cjkD0E8cjkD2AAcjkB0D1cjkD5E2cjkB8F6cjkCEEFcjkC0EDcjkCECAcjkCCE2cjkB1EDcjkCEAAcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkC8A1cjkD4B2cjkD6F9cjkB5C4cjkD6E1cjkCEAA zcjkD6E1cjkA3AEcjkC8E7 cjkB9FBcjkD4B2cjkD6F9“cjkCEDEcjkCFDEcjkB3A4”cjkA3ACcjkC4C7cjkC3B4cjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkB3A1cjkC7BFcjkB6C8cjkA1A2cjkB5E7cjkCAC6cjkCFD4cjkC8BBcjkB8FA zcjkCEDE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 29/70 cjkB9D8cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkD6BBcjkD0E8cjkD4DAcjkD0C4cjkC6BDcjkC3E6cjkC9CFcjkBCD3cjkD2D4cjkD1D0cjkBEBFcjkBEBFcjkBECDcjkBECDcjkB9BBcjkC1CBcjkA3AEcjkCDBC8cjkA1AA3acjkBBADcjkB5C4cjkD5FDcjkCAC7 xycjkC6BDcjkC3E6 cjkC9CFcjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkA3ACcjkD4B2cjkD6F9cjkC3E6cjkD4DA xycjkC6BDcjkC3E6cjkB5C4cjkC6CAcjkBFDAcjkCAC7cjkD4B2 x2 + y2 = a2cjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0 acjkCAC7cjkD4B2 cjkD6F9cjkB5C4cjkB0EBcjkBEB6cjkA3AE cjkD6F9cjkCDE2cjkB5C4cjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkC3BBcjkD3D0cjkB5E7cjkBAC9cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkB5E7cjkCAC6“cjkC2FAcjkD7E3cjkB6FEcjkCEACcjkB5C4LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkB5BC cjkCCE5cjkD6D0cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkBAC9cjkBCC8cjkC8BBcjkB2BBcjkD4D9cjkD2C6cjkB6AFcjkA3ACcjkD5E2cjkCBB5cjkC3F7cjkB5BCcjkCCE5cjkD6D0cjkB8F7cjkB4A6cjkB5E7cjkCAC6cjkCFE0cjkCDACcjkA3AEcjkD3D6cjkD2F2cjkCEAAcjkB5E7. cjkCAC6. cjkD6BB. cjkBEDF. cjkD3D0. cjkCFE0. cjkB6D4. cjkB5C4. cjkD2E2. cjkD2E5. cjkA3ACcjkCDEAcjkC8ABcjkBFC9cjkD2D4cjkB0D1cjkB5BCcjkCCE5cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkB5B1cjkD7F7cjkC1E3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkC1CBcjkD0B4cjkB3F6cjkB6A8cjkBDE2 cjkCECAcjkCCE2 uxx + uyy = 0, cjkD4DAcjkD4DAcjkD4B2cjkD4B2cjkD6F9cjkCDE2, u|x2+y2=a2 = 0. cjkB0B4cjkD5D5cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7cjkB7A8cjkA3ACcjkD2D4u(x,y) = X(x)Y(y)cjkB4FAcjkC8EBLaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkB9CCcjkC8BBcjkB2BB cjkC4D1cjkB0D1cjkCBFCcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkC1BDcjkB8F6cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB5ABcjkB4FAcjkC8EBcjkC8EBcjkC9CFcjkC9CFcjkCAF6cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkC8B4cjkD6BBcjkC4DCcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BD X(x)Y( √ a2 ? x2) = 0. cjkB2BBcjkC4DCcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAA X(x)cjkBBF2Y(y)cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkCAC2cjkCAC2cjkCAB5cjkCAB5cjkC9CFcjkA3ACcjkBCC8cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCAC7cjkD4B0cjkA3ACcjkD6B1cjkBDC7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 30/70 cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkCFB5cjkCFD4cjkCFD4cjkC8BBcjkCAC7cjkB2BBcjkCACAcjkB5B1cjkB5B1cjkB5C4cjkB5C4cjkA3ACcjkB1D8cjkD0EBcjkB2C9cjkD3C3cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkA3AE cjkD4DAcjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkCFB5cjkCFC2cjkCFC2cjkA3ACcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA ?2u ?ρ2 + 1 ρ ?u ?ρ + 1 ρ2 ?2u ??2 = 0, ρ> a, (8.1-58) u|ρ=a = 0. (8.1-59) cjkD4DA“cjkCEDEcjkCFDEcjkD4B6”cjkB4A6cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkB1A3cjkB3D6cjkCEAAcjkD4C8cjkC7BFcjkB5C4 vectorE0cjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkD1A1cjkC8A1cjkC1CB xcjkD6E1cjkC6BDcjkD0D0 cjkD3DA vectorE0cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkD4DAcjkCEDEcjkCFDEcjkD4B6cjkB4A6cjkA3AC Ey = 0,Ex = E0cjkA3ACcjkBCB4??u/?x = E0cjkA3ACcjkD2E0cjkBCB4 u = ?E0x = ?E0ρcos?cjkA3AEcjkD2F2cjkB6F8cjkBBB9cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE u|ρ→∞ ～ ?E0ρcos?. (8.1-60) cjkCBF9cjkD2D4cjkCDEAcjkD5FBcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkD3C9(8.1-58)—(8.1-60)cjkB9B9cjkB3C9cjkA3AE cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkCAD4cjkCCBDcjkBDE2 u(ρ,?) = R(ρ)Φ(?) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 31/70 cjkB4FAcjkC8EBLaplacecjkB7BDcjkB3CC(8.1-58)cjkA3ACcjkB5C3 1 Rρ d dρ parenleftbigg ρdRdρ parenrightbigg = ? 1ΦΦprimeprime. cjkC9CFcjkCABDcjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7ρcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD3EB?cjkCEDEcjkB9D8cjkA3BBcjkD3D2cjkB1DFcjkCAC7?cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD3EBρcjkCEDEcjkB9D8cjkA3AEcjkC1BDcjkB1DF cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkCFE0cjkB5C8cjkA3ACcjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkCAC7cjkCDACcjkD2BBcjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AEcjkB0D1cjkD5E2cjkB3A3cjkCAFDcjkBCC7cjkD7F7λcjkA3AC ? 1ΦΦprimeprime = 1Rρ ddρ parenleftbigg ρdRdρ parenrightbigg = λ. cjkD5E2cjkBECDcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkC1BDcjkB8F6cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Φprimeprime +λΦ = 0, (8.1-61) ρ2Rprimeprime +ρRprime ?λR = 0. (8.1-62) cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(8.1-61)cjkD2FEcjkBAACcjkD7C5cjkD2BBcjkB8F6cjkB8F6cjkB8BDcjkB8BDcjkBCD3cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkCAC2cjkCAC2cjkCAB5cjkCAB5cjkC9CFcjkA3ACcjkD2BBcjkB8F6cjkC8B7cjkB6A8cjkB6A8cjkB5D8cjkB5D8cjkB5D8cjkB5E3cjkB5E3 cjkB5C4cjkBCABcjkBDC7cjkBFC9cjkD2D4cjkBCD3cjkBCD3cjkBCF5cjkBCF52picjkB5C4cjkD5FBcjkB1B6cjkCAFDcjkA3ACcjkB6F8cjkB5E7cjkCAC6ucjkD4DAcjkC8B7cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB5C4cjkB5D8cjkB5D8cjkB5D8cjkB5E3cjkB5E3cjkD3A6cjkBEDFcjkC8B7cjkB6A8cjkCAFD cjkD6B5cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4u(ρ,?+ 2pi) = u(ρ,?)cjkA3ACcjkBCB4 R(ρ)Φ(?+ 2pi) = R(ρ)Φ(?)cjkA3ACcjkBCB4 Φ(?+ 2pi) = Φ(?), cjkD7D4cjkC8BBcjkD6DCcjkC6DAcjkCCF5cjkBCFE (8.1-63) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 32/70 cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(8.1-61)cjkD3EBcjkCCF5cjkBCFE(8.1-63)cjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkB2BBcjkC4D1cjkC7F3cjkB5C3cjkB7BD cjkB3CC(8.1-61)cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA Φ(?) = ? ??? ??? Acos √λ?+ Bsin √λ?, λ> 0, A + B?, λ = 0, Ae √λ? + Be? √λ? , λ< 0. (8.1-64) cjkBDF6cjkB5B1λ ≥ 0cjkCAB1cjkA3ACcjkC4DCcjkB5C3cjkD3D0cjkD2E2cjkD2E2cjkD2E5cjkD2E5cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AEcjkB4D3cjkB6F8cjkA3ACcjkC7F3cjkB5C3cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD λ = m2, m = 0,1,2,··· , (8.1-65) Φ(?) = braceleftBigg Acos m?+ Bsin m?, m nequal 0, A, m = 0 (8.1-66) cjkD2D4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5(8.1-65)cjkB4FAcjkC8EBcjkB9D8cjkD3DA RcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(8.1-62)cjkA3AC ρ2Rprimeprime +ρRprime ? m2R = 0. (8.1-67) cjkD5E2cjkCAC7EulercjkD0CDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD7F7cjkB4FAcjkBBBBρ = etcjkA3ACcjkBCB4 t = lnρcjkB7BDcjkB3CCcjkBBAFcjkCEAA d2R dt2 ? m 2R = 0. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 33/70 cjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA R(t) = braceleftBigg Cemt + De?mt = Cρm + Dρ?m, m nequal 0, C + Dt = C + Dlnρ, m = 0. cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2—cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2cjkCAC7 u0(ρ,?) = C0 + D0 lnρ, um(ρ,?) = ρm (Am cos m?+ Bm sin m?) +ρ?m (Cm cos m?+ Dm sin m?). LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkCAC7cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkA3ACcjkCBFCcjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkD3A6cjkCAC7cjkCBF9cjkD3D0cjkB1BEcjkD5F7cjkBDE2cjkB5C4cjkB5C4cjkB5FEcjkB5FEcjkBCD3cjkA3ACcjkBCB4 u(ρ,?)=C0 + D0 lnρ+ ∞summationdisplay m=1 ρm (Am cos m?+ Bm sin m?) + ∞summationdisplay m=1 ρ?m (Cm cos m?+ Dm sin m?) (8.1-68) cjkCEAAcjkC8B7cjkB6A8(8.1-68)cjkD6D0cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB0D1(8.1-68)cjkB4FAcjkC8EBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkCFC8cjkB4FAcjkC8EBcjkC6EBcjkB4CE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 34/70 cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-59)cjkA3AC C0 + D0 ln a + ∞summationdisplay m=1 am (Am cos m?+ Bm sin m?) + ∞summationdisplay m=1 a?m (Cm cos m?+ Dm sin m?) cjkD2BBcjkB8F6FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB5C8cjkD3DAcjkC1E3cjkA3ACcjkD2E2cjkCEB6cjkD7C5cjkCBF9cjkD3D0FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACcjkBCB4 C0 + D0 ln a = 0, amAm + a?mCm = 0, amBm + a?mDm = 0. cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3 C0 = ?D0 ln a, Cm = ?Ama2m, Dm = ?Bma2m. (8.1-69) cjkD4D9cjkD1D0cjkBEBFcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-60)cjkA3ACcjkD5E2cjkC0EFcjkD7C5cjkD6D8cjkD1D0cjkBEBFucjkB5C4cjkD6F7cjkD2AAcjkB2BFcjkB7D6cjkA3AE cjkB6D4cjkD3DAcjkBADCcjkB4F3cjkB5C4ρcjkA3AC(8.1-68)cjkD6D0cjkB5C4C0 + D0 lnρcjkBACDρ?mcjkCFEEcjkD4B6cjkD4B6cjkD4B6cjkD4B6cjkD0A1cjkD3DAρmcjkCFEEcjkB6F8cjkBFC9 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 35/70 cjkC2D4cjkC8A5cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkD2D4(8.1-68)cjkB4FAcjkC8EB(8.1-60)cjkB5C4cjkBDE1cjkB9FBcjkCAC7 ∞summationdisplay m=1 ρm (Am cos m?+ Bm sin m?) ～ ?E0ρcos?. (8.1-70) cjkBCC8cjkC8BBcjkD6F7cjkD2AAcjkB2BFcjkB7D6cjkCAC7ρ1 cjkCFEEcjkA3ACcjkBFC9cjkBCFBcjkD4DA(8.1-70)cjkD6D0cjkB2BBcjkD3A6cjkB3F6cjkCFD6ρm(m> 1)cjkB5C4cjkCFEE(cjkB7F1 cjkD4F2ρmcjkCFEEcjkBECDcjkB3C9cjkC1CBcjkD6F7cjkD2AAcjkB2BFcjkB7D6)cjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7cjkCBB5cjkA3AC Am = 0, Bm = 0. m> 1 cjkBECDρ1 cjkCFEEcjkB6F8cjkC2DBcjkA3AEcjkB4D3(8.1-70)cjkD6AA A1 = ?E0, B1 = 0. cjkB4D3cjkB6F8cjkA3ACC1 = ?A1a2 = E0a2, Cm = 0, (m> 1), Dm = 0, (m ≥ 1)cjkA3AE cjkD7EEcjkBAF3cjkB5C3cjkD6F9cjkCDE2cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkCAC6cjkCEAA u(ρ,?) = D0 ln ρa ? E0ρcos?+ E0a 2 ρ cos?. (8.1-71) cjkBCF2cjkB5A5cjkCCB8cjkCCB8cjkCCB8cjkCCB8cjkCBF9cjkB5C3cjkBDE2cjkB4F0(8.1-71)cjkB5C4cjkCEEFcjkC0EDcjkBAACcjkD2E5cjkA3AEcjkB5B1cjkD6D0cjkD2BBcjkCFEEcjkA3ACcjkBCB4?E0ρcos? cjkD5FDcjkCAC7cjkD4ADcjkC0B4cjkB5C4cjkD4C8cjkC7BFcjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkD6D0cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkB7D6cjkB2BCcjkA3AEcjkD7EEcjkBAF3cjkD2BBcjkCFEEcjkA3ACcjkBCB4 E0a2ρ cos?cjkB6D4cjkD3DA ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 36/70 cjkB4F3cjkB5C4ρcjkBFC9cjkD2D4cjkBAF6cjkC2D4cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkCBFCcjkB4FAcjkB1EDcjkD4DAcjkD4DAcjkD4B2cjkD4B2cjkD6F9cjkC1DAcjkBDFCcjkB6D4cjkD4C8cjkC7BFcjkB5E7cjkB3A1cjkB5C4cjkD0DEcjkD5FDcjkA3ACcjkD5E2cjkD7D4cjkC8BB cjkCAC7cjkD6F9cjkC3E6cjkB8D0cjkD3A6cjkB5E7cjkBAC9cjkB5C4cjkD3B0cjkCFECcjkA3AEcjkB4CBcjkCDE2cjkA3ACcjkBBB9cjkD3D0 D0 ln ρa cjkCFEEcjkA3ACcjkCBFCcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD D0 cjkD3D6cjkCAC7cjkC8CE cjkD2E2cjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD5E2cjkB1EDcjkC3F7cjkBDE2cjkB4F0(8.1-71)cjkB0FCcjkBAACcjkD7C5cjkC4B3cjkB8F6cjkB2BBcjkC8B7cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkD2F2cjkCBD8cjkA3AEcjkB4D3cjkCEEFcjkC0EDcjkC9CFcjkBCEC cjkB2E9cjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkB2BBcjkC8B7cjkB6A8cjkD2F2cjkCBD8cjkBECDcjkD4DAcjkD3DAcjkCECAcjkCCE2cjkCCE2cjkCCE1cjkCCE1cjkB3F6cjkCAB1cjkB8F9cjkB1BEcjkC3BBcjkD3D0cjkCBB5cjkC3F7cjkB5BCcjkCCE5cjkD6F9cjkD4ADcjkC0B4cjkCBF9cjkB4F8 cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkC1BFcjkA3ACcjkBFC9cjkBCFB D0 ln ρa cjkD5FDcjkCAC7cjkD4B2cjkD6F9cjkD4ADcjkC0B4cjkCBF9cjkB4F8cjkB5E7cjkC1BFcjkB5C4cjkD3B0cjkCFEC(cjkB4D3cjkBEB2cjkB5E7cjkD1A7cjkD6AA cjkB5C0cjkA3ACD0 ln ρa cjkD5FDcjkCAC7cjkBEF9cjkD4C8cjkB4F8cjkB5E7cjkD4B2cjkD6F9cjkCCE5cjkD6DCcjkCEA7cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkD6D0cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6)cjkA3AE KcjkCCD6cjkC2DBcjkC9E8cjkD4B2cjkD6F9cjkCCE5cjkD4ADcjkC0B4cjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkB4F8cjkB5E7cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8 D0 = 0cjkA3AC(8.1-70)cjkD5E2cjkCAB1cjkD6BBcjkBAACcjkC1BDcjkCFEE u(ρ,?) = ?E0ρcos?+ E0a 2 ρ cos?. (8.1-72) cjkD4DAcjkCDBC8cjkA1AA3acjkB5C4 AcjkB5E3cjkBACD BcjkB5E3cjkB5E3cjkB5C4cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkB3A1cjkC7BFcjkB6C8cjkCAC7 E = ??u?ρ vextendsinglevextendsingle vextendsingle ρ=a?=0,pi = parenleftbigg E0 cos?+ E0a 2 ρ cos? parenrightbiggvextendsinglevextendsingle vextendsingle ρ=a?=0,pi = ±2E0, cjkCAC7cjkD4ADcjkC0B4cjkB5C4cjkD4C8cjkC7BFcjkB5E7cjkB3A1cjkB5C4cjkC1BDcjkB1B6cjkA3A1cjkCBF9cjkD2D4cjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkC1BDcjkB4A6cjkCCD8cjkB1F0cjkC8DDcjkD2D7cjkBBF7cjkB4A9cjkA3AEcjkB6F8cjkC7D2cjkB2BBcjkB9DCcjkD4B2 cjkD6F9cjkB5C4cjkB0EBcjkBEB6cjkB6E0cjkC3B4cjkD0A1cjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkBDE1cjkC2DBcjkD7DCcjkCAC7cjkB6D4cjkB6D4cjkB5C4cjkB5C4cjkA3A1 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 37/70 cjkD4DAcjkCDBC8cjkA1AA3acjkB5C4 ycjkB3E9cjkC9CFcjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkCAC6cjkCAC7cjkCAC7 u vextendsinglevextendsingle vextendsingle ?=±pi/2 = parenleftbigg ?E0ρcos?+ E0a 2 ρ cos? parenrightbiggvextendsinglevextendsingle vextendsingle ?=±pi/2 = 0, cjkB8FAcjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F9cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkCFE0cjkCDACcjkA3AEcjkCDBC8cjkA1AA3acjkB5C4 ycjkD6E1cjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkB4FAcjkB1EDcjkC8FDcjkCEACcjkBFD5cjkBCE4cjkC0EFcjkB5C4 yz cjkC6BDcjkC3E6cjkA3ACcjkD2F2cjkB4CB yzcjkC6BDcjkC3E6cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkB8FAcjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F9cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkCAC6cjkCFE0cjkCDACcjkA3AEcjkBCC8cjkC8BBcjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F9cjkB8FA yzcjkC6BDcjkC3E6cjkB5E7cjkCAC6cjkCFE0cjkCDACcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkC8C3cjkB5BCcjkCCE5cjkD4B2cjkD6F9cjkB5C4cjkC1BDcjkB2E0cjkD1D8 yzcjkC6BDcjkC3E6cjkC9ECcjkB3F6cjkC1BD cjkD2ED(cjkCDBC8cjkA1AA3b)cjkA3ACcjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkB8C4cjkB1E4cjkA3ACcjkB5E7cjkCAC6cjkB7D6cjkB2BCcjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkCAC7(8.1-72)cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 38/70 cjkD2AAcjkCAC7cjkD6BBcjkBFB4cjkB4F8cjkD2EDcjkD4B2cjkD6F9cjkCCE5cjkB5C4cjkCFC2cjkB7BD(cjkCDBC8cjkA1AA3bcjkB5C4cjkCFC2cjkB0EBcjkB7F9cjkA3ACcjkD2E0cjkBCB4cjkCDBC8cjkA1AA3CcjkA3AC cjkC4C7cjkC3B4cjkD5E2cjkBFC9cjkD2D4cjkCBB5cjkCAC7cjkC6BDcjkD0D0cjkB0E5cjkB5E7cjkC8DDcjkC6F7cjkC1BDcjkBCABcjkB0E5cjkD6AEcjkBCE4cjkB5C4cjkBEB2cjkB5E7cjkB3A1cjkA3ACcjkD6BBcjkCAC7cjkC9CFcjkBCABcjkB0E5cjkB4F8cjkD3D0 cjkB0EBcjkD4B2cjkD6F9cjkD0CEcjkCDBBcjkC6F0cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkD4B6cjkC0EBcjkCDBBcjkC6F0cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkB3A1cjkC7BFcjkB6C8cjkCAC7 E0cjkA3ACcjkD4F2cjkCDBBcjkC6F0cjkD7EEcjkB8DFcjkB4A6cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7 cjkB3A1cjkC7BFcjkB6C8cjkD7DCcjkCAC7 E0 cjkB5C4cjkC1BDcjkB1B6cjkA3AEcjkB6D4cjkD3DAcjkB8DFcjkD1B9cjkB5E7cjkC8DDcjkC6F7cjkC0B4cjkCBB5cjkA3ACcjkD5E2cjkC8DDcjkD2D7cjkB5BCcjkD6C2cjkBBF7cjkB4A9cjkA3ACcjkD2F2 cjkB4CBcjkB8DFcjkD1B9cjkB5E7cjkC8DDcjkC6F7cjkB5C4cjkBCABcjkB0E5cjkB1D8cjkD0EBcjkC5D9cjkB5C3cjkB7C7cjkB3A3cjkC6BDcjkBBACcjkA3AE cjkCFC2cjkD2BBcjkB8F6cjkC0FDcjkD7D3cjkCAC7cjkCBF9cjkCEBD“cjkC3BBcjkD3D0cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkCECAcjkCCE2”cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B5cjkB3A4cjkCEAA lcjkB5C4cjkC0EDcjkCFEBcjkB4ABcjkD6E1cjkCFDFcjkA3ACcjkD2BBcjkB6CB x = 0cjkBDD3cjkD3DAcjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkA3ACcjkC6E4cjkB5E7cjkB5E7cjkB6AFcjkB6AFcjkCAC6cjkCEAA v0 sinωtcjkA3ACcjkC1EDcjkD2BBcjkB6CB x = lcjkCAC7cjkBFAAcjkC2B7cjkA3AEcjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkC9CFcjkB5C4cjkCEC8cjkBAE3cjkB5E7cjkD5F1cjkB5B4cjkA3AE “cjkCEC8cjkBAE3cjkB5E7cjkD5F1cjkB5B4”cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB2cjkCAB2cjkC3B4cjkD2E2cjkCBBCcjkA3BFcjkD4ADcjkC0B4cjkA3ACcjkC0EDcjkCFEBcjkB4ABcjkCAE4cjkCFDFcjkCAC7cjkD2BBcjkD6D6cjkC0EDcjkCFEBcjkBBAFcjkB5C4cjkC4A3 cjkD0CDcjkA3ACcjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkD7DCcjkCAC7cjkB4E6cjkD4DAcjkCBF0cjkBAC4cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkCBF9cjkD2FDcjkC6F0cjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB5B4cjkD7DCcjkCAC7cjkD6F0cjkBDA5 cjkCBA5cjkBCF5cjkA3AEcjkBEADcjkB9FDcjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkB5E7cjkB5C4cjkB5C4cjkD0EDcjkB6E0cjkD6DCcjkC6DAcjkD6AEcjkBAF3cjkA3ACcjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB5B4cjkCBA5cjkBCF5cjkB4F9cjkBEA1cjkA3AEcjkD5E2cjkCAB1cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E7cjkB5E7cjkD5F1 cjkB5B4cjkCDEAcjkC8ABcjkCAC7cjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkD2FDcjkC6F0cjkB5C4cjkA3AEcjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkCCE1cjkB9A9cjkB5C4cjkC4DCcjkC1BFcjkD5FDcjkBAC3cjkB2B9cjkB3A5cjkC1CBcjkCBF0cjkBAC4cjkA3ACcjkCBF9 cjkD2D4cjkD5E2cjkD6D6cjkD6D6cjkD5F1cjkD5F1cjkB5B4cjkB5B4cjkB5C3cjkB5C3cjkD2D4cjkCEACcjkB3D6cjkD2BBcjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB7F9cjkB6C8cjkB6F8cjkCEDEcjkCBA5cjkBCF5cjkA3ACcjkD5E2cjkBECDcjkCAC7cjkCBF9cjkCEBDcjkCEBDcjkCEC8cjkCEC8cjkBAE3cjkB5E7cjkD5F1cjkB5B4cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 39/70 a58cjkBDE2cjkBCC8cjkC8BBcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkCBF9cjkD2FDcjkC6F0cjkB5C4cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB5B4cjkD2D1cjkCBA5cjkBCF5cjkB4F9cjkBEA1cjkA3ACcjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkD6D6cjkCECAcjkCCE2cjkD6D0cjkB5B1cjkC8BB cjkB2BBcjkB2BBcjkB1D8cjkB1D8cjkBFBCcjkC2C7cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkD5E2cjkC0EFcjkC7F3cjkBDE2cjkB5C4cjkCAC7cjkC3BBcjkD3D0cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE vtt ? a2vxx = 0, a2 = 1/LC, (8.1-73) v|x=0 = v0eiωt, (8.1-74) j|x=l = 0. (8.1-75) cjkCEAAcjkC1CBcjkBCC6cjkCBE3cjkB5C4cjkBCF2cjkB1E3cjkA3ACcjkD4DAcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.1-74)cjkD6D0cjkA3ACv0 sinωtcjkBCB4Im(v0eiωt)cjkB8C4cjkD0B4 cjkB3C9cjkC1CBv0eiωtcjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkD7F7cjkCAC7cjkBFC9cjkD2D4cjkB5C4cjkA3ACcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB6BCcjkCAC7cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkA3ACcjkCED2 cjkC3C7cjkD6BBcjkD2AAcjkC8A1cjkD7EEcjkBAF3cjkBDE1cjkB9FBcjkB5C4cjkD0E9cjkB2BFcjkBECDcjkD0D0cjkC1CBcjkA3AE cjkCEC8cjkBBB8cjkD5F1cjkB5B4cjkCDEAcjkC8ABcjkD3C9cjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkD2FDcjkC6F0cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkD6DCcjkC6DAcjkB1D8cjkD3EBcjkBDBBcjkC1F7cjkB5E7cjkD4B4cjkCFE0cjkCDACcjkA3ACcjkB9CA cjkB1EDcjkBCB0cjkC0EF v(x,t) = X(x)eiωt. (8.1-76) cjkD2D4cjkCFC2cjkB2BFcjkB7D6cjkBAF6cjkC2D4cjkA3A8P.199—201cjkA3A9cjkA3A9cjkA3AEcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.1. cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8 40/70 cjkD7F7cjkD2B5(No.17) P. 201cjkA3BA2cjkA3AC3cjkA3AC5cjkA3AC11cjkA3AC13cjkA3AC15cjkA3AC17 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 41/70 §8.2 cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC cjkC9CFcjkD2BBcjkBDDAcjkD1D0cjkBEBFcjkC1CBcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkB1BEcjkBDDAcjkD2AAcjkD1D0cjkBEBFcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CC cjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE cjkCED2cjkC3C7cjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkCFDEcjkD3DAcjkC6EB. cjkB4CE. cjkB5C4. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3AEcjkB9D8cjkD3DAcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0EDcjkC7EBcjkBFB4 §8.3cjkA3AE cjkB1BEcjkBDDAcjkCFC8cjkBDE9cjkC9DCFouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkA3ACcjkCBFCcjkD6B1cjkBDD3cjkC7F3cjkBDE2cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECA cjkCCE2cjkA3AEcjkBDD3cjkD7C5cjkCAC7cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8cjkA3ACcjkCBFCcjkB0D1cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CC cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkC8BBcjkBAF3cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE 8.2.1 FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8 cjkB6D4cjkD3DAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC9CFcjkBDDAcjkCCD6cjkC2DBcjkC2DBcjkC1CBcjkC1CBcjkC8FDcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECA cjkCCE2cjkA3BAa130cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3BBa131cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3BBa132cjkB5DAcjkD2BBcjkBACDcjkB5DAcjkB6FE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 42/70 cjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkBBECcjkBACFcjkA3AEcjkC6E4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB7D6cjkB1F0cjkCEAAcjkA3BA cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkA3BA λ = n 2pi2 l2 , Xn(x) = Cn sin npi l x, n = 1,2,··· , cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkA3BA λ = n 2pi2 l2 , Xn(x) = Cn cos npi l x, n = 0,1,2,··· , cjkBBECcjkBACFcjkC0E0cjkA3BA λ = (2k + 1) 2pi2 (2l)2 , Xn(x) = Cn sin (2k + 1)pi 2l x, k = 0,1,2,··· . cjkCBFCcjkC3C7cjkB5C4cjkBDE2cjkB7D6cjkB1F0cjkCAC7cjkD2D4cjkC8FDcjkB8F6cjkCCD8cjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCEAAcjkBAAFcjkCAFDcjkCFB5cjkB5C4FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkD5B9cjkBFAAcjkCABDcjkA3ACcjkC6E4 cjkCFB5cjkCAFDcjkD3C9cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkC8B7cjkB6A8cjkA3AE cjkC9CFcjkCAF6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkB5C3cjkB3F6cjkB5C4cjkD5E2cjkD0A9cjkBDE1cjkB9FBcjkCCE1cjkCABEcjkCED2cjkC3C7cjkA3BAcjkB2BBcjkB7C1cjkB0D1cjkCBF9cjkC7F3cjkB5C4cjkBDE2cjkB1BEcjkC9ED cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkBCB4 u(x,t) = summationdisplay n Tn(t)Xn(x). (8.2-1) FouriercjkBCB6cjkCAFD(8.2-1)cjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 Xn(x)cjkCEAAcjkB8C3cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkD4DAcjkCBF9cjkB8F8 cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 43/70 cjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkBDE2cjkCAC7cjkD7D4cjkB1E4cjkCAFD xcjkBACD tcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD2F2cjkB6F8u(x,t)cjkB5C4FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkB2BBcjkCAC7 cjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkB6F8cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB1cjkCAB1cjkBCE4 tcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB0D1cjkCBFCcjkBCC7cjkD7F7cjkC1CBTn(t)cjkA3AEcjkBDABcjkB4FDcjkB6A8cjkBDE2(8.2-1)cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BA cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB3A2cjkCAD4cjkB7D6cjkC0EBcjkB3F6Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC8BBcjkBAF3cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE 8.2.2 cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkBED9cjkC0FD a58cjkC0FDcjkA3B1cjkC7F3cjkBDE2cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 utt ? a2uxx = Acos pixl sinωt, (8.2-2) ux|x=0 = ux|x=l = 0, (8.2-3) u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = ψ(x), 0 < x < l. (8.2-4) a58cjkBDE2cjkA3BAcjkBCB6cjkCAFDcjkD5B9cjkBFAAcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkD3A6cjkCAC7cjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkD4DAcjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DF cjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcos npil xcjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkCAD4cjkB0D1cjkCBF9cjkC7F3cjkB5C4cjkBDE2cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkD3E0 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 44/70 cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFD u(x,t) = ∞summationdisplay n=0 Tn(t) cos npil x. cjkCEAAcjkC1CBcjkC7F3cjkBDE2Tn(t)cjkA3ACcjkB3A2cjkCAD4cjkB0D1cjkD5E2cjkB8F6cjkBCB6cjkCAFDcjkB4FAcjkC8EBcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC(8.2-2)cjkA3AC ∞summationdisplay n=0 bracketleftbigg Tprimeprimen + n 2pi2a2 l2 Tn bracketrightbigg cos npixl = Acos pixl sinωt. cjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7FouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkD5E2cjkCCE1cjkCABEcjkCED2cjkC3C7cjkB0D1cjkD3D2cjkB1DFcjkD2B2cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6 cjkCAFDcjkA3AEcjkC6E4cjkCAB5cjkA3ACcjkD3D2cjkB1DFcjkD2D1cjkBEADcjkCAC7cjkB8B5cjkC0EFcjkD2B6cjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkCBFCcjkD6BBcjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkB5A5cjkCFEEcjkBCB4 n = 1cjkB5C4 cjkCFEEcjkA3AEcjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACcjkB1C8cjkBDCFcjkC1BDcjkB1DFcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB7D6cjkC0EBcjkB3F6Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Tprimeprime1 + pi 2a2 l2 T1 = Asinωt, T primeprime n + n2pi2a2 l2 Tn = 0, n nequal 1. cjkD3D6cjkB0D1u(x,t)cjkB5C4FouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkB4FAcjkC8EBcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB5C3 ∞summationdisplay n=0 Tn(0) cos npil x = ?(x) = ∞summationdisplay n=0 ?n cos npil x, (8.2-5) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 45/70 ∞summationdisplay n=0 Tprimen(0) cos npil x = ψ(x) = ∞summationdisplay n=0 ψn cos npil x. (8.2-6) cjkC6E4cjkD6D0?ncjkBACDψncjkB5C4FouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFDcjkA3DBcjkD2D4cos(npix/l)cjkCEAAcjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cjkA3DDcjkB5C4 cjkB5DA ncjkB8F6FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkA3AEcjkB5C8cjkCABD(8.2-5)cjkA1A2(8.2-6)cjkC1BDcjkB1DFcjkB6BCcjkCAC7FouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6 cjkCAFDcjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cos(npix/l)cjkB5C4cjkD5FDcjkBDBBcjkD0D4cjkA3ACcjkB5C8cjkCABDcjkC1BDcjkB1DFcjkB6D4cjkD3A6cjkCDACcjkD2BBcjkBBF9cjkB1BEcjkBAAF cjkCAFDcjkB5C4FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkB1D8cjkC8BBcjkCFE0cjkB5C8cjkA3ACcjkD3DAcjkCAC7cjkB5C3Tn(t)cjkB5C4cjkB7C7cjkC1E3cjkD6B5cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE? ??? ??? T0(0) = ?0 = 1l integraldisplay l 0 ?(ξ)dξ, Tprime0(0) = ψ0 = 1l integraldisplay l 0 ψ(ξ)dξ; ? ??? ??? Tn(0) = ?0 = 2l integraldisplay l 0 ?(ξ) cos npiξl dξ, Tprime0(0) = ψn = 2l integraldisplay l 0 ψ(ξ) cos npiξl dξ. n nequal 0. (8.2-7) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 46/70 Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkD4DAcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE(8.2-7)cjkCFC2cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7 T0(t)=?0 +ψ0t, (8.2-8) T1(t)= Alpia · 1ω2 ?pi2a2/l2 parenleftbigg ωsin piatl ? pial sinωt parenrightbigg +?1 cos piatl + lpiaψ1 sin piatl , (8.2-9) Tn(t)=?n cos npiatl + lnpiaψn sin npiatl , n nequal 0,1. (8.2-10) (8.2-9)cjkB5C4cjkB5C4cjkB5DAcjkB5DAcjkD2BBcjkCFEEcjkCEAAcjkC1CBT1(t)cjkB5C4cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkC2FAcjkD7E3cjkC1E3cjkD6B5cjkC8CDcjkCABC cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AE(8.2-9)cjkB5C4cjkBAF3cjkC1BDcjkCFEEcjkD6AEcjkBACDcjkBCB0(8.2-10)cjkB7D6cjkB1F0cjkCEAAT1(t)cjkBACDTn(t) (n nequal 0,1)cjkB5C4 cjkC6EBcjkB4CEcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkA3ACcjkC2FAcjkD7E3cjkB7C7cjkC1E3cjkD6B5cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFE(8.2-7)cjkA3AE cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkCBF9cjkC7F3cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7 u(x,t)= Alpia · 1ω2 ?pi2a2/l2 parenleftbigg ωsin npitl ? pial sinωt parenrightbigg cos pixl +?0 + ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 47/70 ψ0t + ∞summationdisplay n=1 parenleftbigg ?n cos npiatl + lnpiaψn sin npiatl parenrightbigg cos npixl .(8.2-11) cjkB3A2cjkCAD4cjkB3C9cjkB9A6cjkC1CBcjkA3AEcjkD5E2cjkB8F6cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkBDD0cjkD7F6FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkA3AEcjkBADCcjkC3F7cjkCFD4cjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8 cjkB5C4cjkB9D8cjkBCFCcjkD4DAcjkD3DAcjkB7D6cjkC0EBcjkB3F6Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0cjkB2BBcjkBFC9cjkBBECcjkD4D3cjkD7C5cjkC1EDcjkD2BBcjkD7D4cjkB1E4cjkCAFD xcjkA3ACcjkD5E2cjkCAC7cjkD4F5cjkD1F9cjkD7F6cjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4cjkC4D8cjkA3BFcjkD4ADcjkC0B4cjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkBCB6cjkCAFDcjkD5B9cjkBFAAcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcos(npix/l) cjkD5FDcjkCAC7cjkCFE0cjkD3A6cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkC7F3cjkB5C3cjkB5C3cjkB5C4cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AC cjkD5E2cjkB2C5cjkB5C3cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB3F6Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkC6EBcjkB4CEcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkCECAcjkCCE2cjkB5B1cjkC8BBcjkD2B2cjkBFC9cjkD2D4cjkD3C3FouriercjkBCB6cjkCAFD cjkB7A8(cjkBDE1cjkBACFcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8)cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkD5E2cjkCAB1cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4Tn(t)cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BD cjkB3CCcjkA3ACcjkC7F3cjkBDE2cjkB8FCcjkC8DDcjkD2D7cjkA3AEcjkC7EBcjkD3C3cjkD5E2cjkD1F9cjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkD6D8cjkD0C2cjkC7F3cjkBDE2cjkC9CFcjkBDDAcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECA cjkCCE2(8.1-1)——(8.1-3)cjkD2D4cjkBCB0cjkC0FD1cjkBACDcjkC0FD2cjkA3ACcjkD5E2cjkC0EFcjkBECDcjkB2BBcjkD4DEcjkCAF6cjkC1CBcjkA1A3 cjkD7DBcjkC9CFcjkCBF9cjkCAF6cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkBFB4cjkB3F6cjkA3ACcjkB6D4cjkD3DAcjkD5F1cjkB6AFcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB2BBcjkC2DBcjkC6EBcjkB4CEcjkBBB9cjkCAC7cjkB7C7cjkC6EB cjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACFouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkBDE1cjkBACFcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkBEF9cjkBFC9cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkA3AEcjkC8E7. cjkBDF6. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 48/70 cjkD3C3. cjkB7D6. cjkC0EB. cjkB1E4. cjkCAFD. cjkB7A8. cjkA3ACcjkD4F2. cjkD6BB. cjkC4DC. cjkD3C3. cjkD3DA. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB7BD. cjkB3CC. cjkB6A8. cjkBDE2. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AE 8.2.3 cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8? 1. cjkB6A8cjkC0ED cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3A8cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkCAE4cjkD4CBcjkBACDcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkBACDcjkC1E3cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5 cjkBCFEcjkA3A9cjkA3A9cjkA3BAcjkA3BA utt ? a2uxx = f(x,t), ut ? a2uxx = f(x,t), u|x=0 = u|x=l = 0, u|x=0 = u|x=l = 0, u|t=0 = ut|t=0 = 0, ut|t=0 = 0. cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7cjkC2FAcjkD7E3cjkC8E7cjkCFC2cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 vtt ? a2vxx = 0, vt ? a2vxx = 0, v|x=0 = v|x=l = 0, v|x=0 = v|x=l = 0, v|t=τ = 0, vt|t=τ = f(x,τ), vt|t=τ = f(x,τ). ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 49/70 cjkB5C4cjkBDE2v(x,t)cjkB5C4cjkB5C4cjkB5FEcjkB5FEcjkBCD3cjkA3A8cjkBBFDcjkB7D6cjkA3A9cjkA3A9cjkA3BAcjkA3BA u(x,t) = integraldisplay τ 0 v(x,t;τ)dτ. v(x,t)cjkCBF9cjkC2FAcjkD7E3cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkBFC9cjkD3C3cjkC7B0cjkC3E6cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkBBF2FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkC7F3 cjkBDE2cjkA3AEcjkD6BBcjkCAC7cjkD2AAcjkD7A2cjkD2E2cjkA3ACcjkC7B0cjkC3E6cjkC1BDcjkD6D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkD6D0cjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCCcjkCEAAcjkC1E3cjkCAB1cjkBFCCcjkA3ACcjkD5E2cjkC0EFcjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCC cjkCEAAτcjkCAB1cjkBFCCcjkA3ACcjkD2F2cjkB4CBcjkC7B0cjkB6FEcjkB6FEcjkB7BDcjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkBDE2cjkD6D0cjkB5C4 t (cjkB1EDcjkCABEcjkBEE0cjkB3F5cjkCABCcjkCABCcjkCAB1cjkCAB1cjkBFCC0cjkCAB1cjkBFCCcjkB5C4cjkCAB1cjkBCE4cjkBCE4cjkBCE4cjkBCE4 cjkB8F4)cjkA3ACcjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkC0EFcjkD3A6cjkBBBBcjkB3C9 t ?τcjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B2cjkBDABcjkC0FDcjkA3B1cjkD6D0cjkB5C4cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkB8C4cjkCEAAcjkC1E3cjkD6B5cjkA3ACcjkD3C3cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkBCB4 utt ? a2uxx = Acos pixl sinωt, ux|x=0 = ux|x=l = 0, u|t=0 = ut|t=0 = 0, 0 < x < l. a58cjkBDE2cjkA3BAcjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8cjkA3ACcjkCFC8cjkC7F3cjkBDE2cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 vtt ? a2vxx = 0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.2. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC 50/70 vx|x=0 = vx|x=l = 0, v|t=τ+0 = 0, vt|t=τ+0 = Acos pixl sinωτ, 0 < x < l. cjkB2CEcjkD5D5cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkCAD4cjkB0D1cjkBDE2cjkA1A3cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAFouriercjkD3E0cjkCFD2cjkBCB6cjkCAFD ... cjkD2D4cjkCFC2cjkC2D4cjkA3A8P.211cjkA1AB212cjkA3A9cjkA3A9cjkA3AEcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 51/70 §8.3 cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED cjkD4DA§ 8.1cjkBACD§ 8.2cjkC1BDcjkBDDAcjkD6D0cjkA3ACcjkB2BBcjkB9DCcjkCAC7cjkC6EBcjkB4CEcjkBBB9cjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CB cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkCBFCcjkC3C7cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkBDE2cjkB7A8cjkB6BCcjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkC7B0cjkCCE1cjkA3BAcjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkCAC7. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB5C4. cjkA3AE cjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkD4DAcjkCAB5cjkBCCAcjkCECAcjkCCE2cjkD6D0cjkA3ACcjkB3A3cjkD3D0cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB3F6cjkCFD6cjkA3ACcjkC4C7cjkC3B4cjkA3ACcjkD5E2cjkD1F9cjkB5C4 cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkD3D6cjkC8E7cjkBACEcjkC7F3cjkBDE2cjkC4D8cjkA3BFcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCAC7cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkA3ACcjkB4A6cjkC0EDcjkB5C4cjkD4ADcjkD4ADcjkD4F2cjkD4F2cjkCAC7cjkC0FBcjkD3C3 cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkA3ACcjkB0D1cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkC1EDcjkD2BBcjkCEB4cjkD6AAcjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFEcjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkCFC2cjkC3E6cjkBED9cjkC0FDcjkCBB5cjkC3F7cjkA3AE 8.3.1 cjkD2BBcjkB0E3cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8 a58cjkC0FDcjkA3B1cjkD7D4cjkD3C9cjkD5F1cjkB6AFcjkCECAcjkCCE2 utt ? a2uxx = 0, (8.3-1) u|x=0 = μ(t), u|x=l = ν(t), (8.3-2) u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = ψ(x). (8.3-3) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 52/70 cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.3-2)cjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3AEcjkD1A1cjkC8A1cjkD2BBcjkB8F6cjkBAAFcjkCAFDv(x,t)cjkA3ACcjkCAB9cjkC6E4cjkC2FAcjkD7E3cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CE cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.3-2)cjkA3ACcjkCEAAcjkC1CBcjkBCF2cjkB5A5cjkC6F0cjkBCFBcjkA3ACcjkB2BBcjkB7C1cjkC8A1v(x,t)cjkCEAA xcjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkBCB4 v(x,t) = A(t)x + B(t). (8.3-4) cjkBDABcjkCABD(8.3-4)cjkB4FAcjkC8EB(8.3-2)cjkA3ACcjkBDE2cjkB5C3 v(x,t) = bracketleftbigν(t) ?μ(t)bracketrightbig l x +μ(t). (8.3-5) cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkA3ACcjkC1EE u(x,t) = v(x,t) + w(x,t), (8.3-6) cjkBDAB(8.3-5)cjkA1A2(8.3-6)cjkB4FAcjkC8EBcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2(8.3-1)cjkA1AB(8.3-3)cjkA3ACcjkB5C3w(x,t)cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 wtt ? a2wxx = ?vtt + a2vxx = ?bracketleftbigμprimeprime(t) ?νprimeprime(t)bracketrightbig?μprimeprime(t), (8.3-7) w|x=0 = 0, w|x=l = 0, (8.3-8) w|t=0 = ?(x) ? v|t=0 = ?(x) + 1l bracketleftbigμ(0) ?ν(0)bracketrightbig?μ(0), wt|t=0 = ψ(x) ? vt|t=0 = ψ(x) + 1l bracketleftbigμprime(0) ?νprime(0)bracketrightbig?μprime(0). (8.3-9) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 53/70 cjkCBE4cjkC8BBw(x,t)cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(8.3-7)cjkD2BBcjkB4ACcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkB6A8cjkBDE2cjkCECA cjkCCE2(8.3-7)cjkA1AB(8.3-9)cjkBEDFcjkD3D0cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBFC9cjkB0B4§ 8.2cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE cjkD0E8cjkD2AAcjkCCD8cjkB1F0cjkD6B8cjkB3F6cjkA3ACx = 0cjkBACD x = lcjkC1BDcjkB6CBcjkB6CBcjkB6BCcjkB6BCcjkCAC7cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE wx|x=0 = μ(t),wx|x=l = ν(t)cjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkC8D4cjkB0B4(8.3-4)cjkC8A1 xcjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkBAAFcjkCAFDcjkD7F7 cjkCEAAvcjkA3ACcjkD4F2cjkB4FAcjkC8EBcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C3 vx|x=0 = A(t) = μ(t), vx|x=l = A(t) = ν(t). cjkB3FDcjkB7C7μ(t) = ν(t)cjkA3ACcjkB7F1cjkD4F2cjkD4F2cjkD5E2cjkD5E2cjkC1BDcjkCABDcjkBBA5cjkCFE0cjkC3ACcjkB6DCcjkA3AEcjkD5E2cjkCAB1cjkB2BBcjkB7C1cjkB8C4cjkCAD4 v(x,t) = A(t)x2 + B(t)x. (8.3-10) 8.3.2 cjkCCD8cjkCAE2cjkB4A6cjkC0EDcjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8 a58cjkC0FDcjkA3B2cjkCFD2cjkB5C4 x = 0cjkB6CBcjkB9CCcjkB6A8cjkA3ACx = lcjkB6CBcjkCADCcjkC6C8cjkD7F7cjkD0B3cjkD5F1cjkB6AF AsinωxcjkA3ACcjkCFD2cjkB5C4cjkB3F5cjkCABC cjkCEBBcjkD2C6cjkBACDcjkB3F5cjkCABCcjkCBD9cjkB6C8cjkB6C8cjkB6BCcjkB6BCcjkCAC7cjkC1E3cjkA3ACcjkC7F3cjkCFD2cjkB5C4cjkD5F1cjkB6AFcjkA3AEcjkD5E2cjkB8F6cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCAC7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 54/70 utt ? a2uxx = 0, 0 < x < l (8.3-11) u|x=0 = 0, u|x=l = Asinωx, (8.3-12) u|x=0 = 0, ut|t=0 = 0. (8.3-13) x = lcjkB6CBcjkCEAAcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AE cjkC8E7cjkB9FBcjkB0B4cjkC9CFcjkCAF6cjkD2BBcjkB0E3cjkB4A6cjkC0EDcjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkA3ACcjkD3A6cjkC8A1v(x,t) = (Asinωt/l)xcjkA3ACcjkB5ABcjkCAC7cjkA3AC cjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4w(x,t)cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkD6D0cjkB7BAcjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA wtt ? a2wxx = ?(vtt ? a2xx) = (Aω2x/l) sinωtcjkA3ACcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC7F3cjkBDE2cjkC2E9 cjkB7B3cjkA3AEcjkC4DCcjkB7F1cjkD3D0cjkBDCFcjkCEAAcjkBCF2cjkB1E3cjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkC4D8cjkA3BF cjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkC7F3cjkBDE2cjkB5C4cjkCAC7cjkCFD2cjkD4DA x = lcjkB6CBcjkCADCcjkC6C8cjkD7F7cjkD0B3cjkD5F1cjkB6AFsinωtcjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2cjkB5C4cjkD5F1cjkB6AFcjkA3AC cjkCBFCcjkD2BBcjkB6A8cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2v(x,t)cjkA3ACcjkC2FAcjkD7E3cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CC(8.3-11)cjkA1A2cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFE(8.3-12)cjkA3ACcjkC7D2cjkB8FA x = lcjkB6CBcjkCDACcjkB2BDcjkD5F1cjkB6AFcjkA3ACcjkBCB4cjkC6E4cjkCAB1cjkBCE4cjkB2BFcjkB7D6cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkD2E0cjkCEAA sinωtcjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACcjkCCD8cjkBDE2cjkBDE2cjkBEDFcjkBEDFcjkD3D0cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkD0CEcjkCABD ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 55/70 v(x,t) = X(x) sinωt. (8.3-14) cjkBDABcjkCABD(8.3-14)cjkB4FAcjkC8EB(8.3-11)cjkA1A2(8.3-12)cjkA3ACcjkB5C3 Xprimeprime + parenleftbiggω2 a parenrightbigg X = 0, (8.3-15) X(0) = 0, X(l) = A. (8.3-16) cjkBDABcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(8.3-15)cjkB5C4cjkBDE2 X(x) = C cos(ωx/a) + Dsin(ωx/a)cjkB4FA cjkC8EB(8.3-16)cjkA3ACcjkD3C9cjkB4CBcjkC8B7cjkB6A8 X(x) = [A/sin(ωl/a)] sin(ωx/a)cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8 v(x,t) = Asin ωl a sin ωxa sinωt. (8.3-17) cjkD3DAcjkCAC7cjkC1EE u(x,t) = v(x,y) + w(x,t), (8.3-18) cjkBDABcjkCABD(8.3-17)cjkA1A2(8.3-18)cjkB4FAcjkC8EB(8.3-11)cjkA1AB(8.3-13)cjkA3ACcjkB5C3w(x,tcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 wtt ? a2wxx = ?parenleftbigvtt ? a2vxxparenrightbig = 0, (8.3-19) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 56/70 w|x=0, w|x=l = 0, (8.3-20) w|t=0 = 0, wt|t=0 = ?Aωsinωx/asinωl/a. (8.3-21) cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2(8.3-19)cjkA1AB(8.3-21)cjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBFC9cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4 cjkD0A7cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkC6E4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2cjkD3C9(8.1-14)cjkB8F8cjkB3F6cjkA3ACcjkD2F2cjkB4CBcjkA3AC w(x,t) = ∞summationdisplay n=1 parenleftBig An cos npial t + Bn sin npial t parenrightBig sin npil x, cjkC6E4cjkD6D0cjkCFB5cjkCAFD AncjkBACD BncjkBFC9cjkB0B4(8.1-16)cjkBCC6cjkCBE3cjkA3ACcjkB5C3 bn = 2npia integraldisplay l 0 ?Aωsin(ωξ/a)sin(ωl/a) sin npiξl dξ = ?2Aωnpiasin(ωl/a) bracketleftbigg ?sin(ω/a + npi/l)ξ2(ω/a + npi/l) + sin(ω/a ? npi/l)ξ2(ω/a ? npi/l) bracketrightbiggl 0 = Aωnpiasin(ωl/a) bracketleftbiggsin(ωl/a + npi) ω/a + npi/l ? (sinωl/a ? npi) ω/a ? npi/l bracketrightbigg ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.3. cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0ED 57/70 =(?1)n2Aωnpia · bracketleftbigg 1 ω/a + npi/l ? 1 ω/a ? npi/l bracketrightbigg =(?1)n2Aωal · 1ω2/a2 ? n2pi2/l2. cjkD2F2cjkB4CB w(x,t)= 2Aωal ∞summationdisplay n=1 1 ω2/a2 ? n2pi2/l2 sin npiat l sin npix l , u(x,t)= Asin(ωx/a)sin(ωl/a) sinωt +2Aωal ∞summationdisplay n=1 1 ω2/a2 ? n2pi2/l2 sin npiat l sin npix l . ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.4. POISSONcjkB7BDcjkB3CC 58/70 §8.4 PoissoncjkB7BDcjkB3CC PoissoncjkB7BDcjkB3CC ?u = f(x,y,z) cjkBFC9cjkCBB5cjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkCBFCcjkD3EBcjkCAB1cjkBCE4cjkCEDEcjkB9D8cjkA3ACcjkCFD4cjkC8BBcjkB2BBcjkCACAcjkD3C3cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0ED cjkB7A8cjkA3AE cjkCED2cjkC3C7cjkBFC9cjkD2D4cjkB2C9cjkD3C3cjkCCD8cjkBDE2cjkB7A8cjkA3AEcjkCFC8cjkB2BBcjkB9DCcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkC8CEcjkC8CEcjkC8A1cjkC8A1cjkD5E2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2vcjkA3ACcjkC8BBcjkBAF3cjkC1EEu = v + wcjkA3AEcjkD5E2cjkBECDcjkB0D1cjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAcjkC7F3cjkBDE2wcjkA3ACcjkB6F8 ?w = ?u ??v = ?u ? f = 0cjkA3ACcjkD5E2cjkB2BBcjkD4D9cjkCAC7PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB6F8cjkCAC7PoissoncjkB7BD cjkB3CCcjkA3AEcjkD4DAcjkD2BBcjkB6A8cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkC7F3cjkBDE2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkCAC7§ 8.1cjkD1D0cjkBEBFcjkB9FDcjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B1cjkD4DAcjkD4DAcjkD4B2cjkD4B2cjkD3F2ρ<ρ0 cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1DFcjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 ?u = a + b(x2 ? y2). u|ρ=ρ0 = c. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.4. POISSONcjkB7BDcjkB3CC 59/70 a58cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkC9E8cjkB7A8cjkD5D2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkA3AEcjkCFD4cjkC8BBcjkA3AC?parenleftbigay2/2parenrightbig = acjkA3ACcjkCEAA cjkB6D4cjkB3C6cjkC6F0cjkBCFBcjkA3ACcjkC8A1 a(x2 + y2)/4cjkA3AE?(bx4/12) = bx2cjkA3AC?(by4/12) = by2cjkA3AEcjkD5E2 cjkD1F9cjkA3ACcjkD5D2cjkB5BDcjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2 v= a4(x2 + y2) + b12(x4 ? y4) = a4ρ2 + b12(x2 + y2)(x2 ? y2) = a4ρ2 + b12ρ4 cos 2?. cjkC1EE u = v + w = a4ρ2 + b12ρ4 cos 2?+ w. cjkBECDcjkB0D1cjkCECAcjkCCE2cjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAwcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3AC? ? ? ?w = 0, w|ρ=ρ0 = c ? a4ρ2 ? b12ρ4 cos 2?. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.4. POISSONcjkB7BDcjkB3CC 60/70 cjkD4DAcjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD2BBcjkB0E3cjkBDE1cjkB9FBcjkB2CE cjkBCFB(8.1-68)cjkA3ACcjkBCB4 w(ρ,?)=C0 + D0 lnρ+ ∞summationdisplay n=1 ρm (Am cos m?+ Bm sin m?) + ∞summationdisplay n=1 ρ?m (Cm cos m?+ Dm sin m?). wcjkD4DAcjkD4DAcjkD4B2cjkD4B2cjkC4DAcjkD3A6cjkB5B1cjkB4A6cjkB4A6cjkB4A6cjkB4A6cjkD3D0cjkCFDEcjkA3AEcjkB5ABcjkC9CFcjkCABDcjkB5C4lnρcjkBACDρ?mcjkD4DAcjkD4DAcjkD4B2cjkD4B2cjkD0C4cjkCEAAcjkCEAAcjkCEDEcjkCEDEcjkCFDEcjkB4F3cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4 cjkD3A6cjkB5B1cjkC5C5cjkB3FDcjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACD0 = 0,Cm = 0, Dm = 0cjkA3AEcjkD3DAcjkCAC7cjkA3AC w(ρ,?) = ∞summationdisplay n=1 ρm (Am cos m?+ Bm sin m?). cjkB0D1cjkC9CFcjkCABDcjkB4FAcjkC8EBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AC ∞summationdisplay n=1 ρm0 (Am cos m?+ Bm sin m?) = c ? a4ρ20 ? b12ρ40 cos 2?. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.4. POISSONcjkB7BDcjkB3CC 61/70 cjkB1C8cjkBDCFcjkC1BDcjkB1DFcjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkB5C3 A0 = c ? a4ρ20, A2 = ? b12ρ20, Am = 0, m nequal 0,2; bm = 0. cjkD7EEcjkBAF3cjkB5C4cjkCBF9cjkC7F3cjkBDE2 u = v + w = c + a4(ρ2 ?ρ20) + b12ρ2(ρ2 ?ρ20) cos 2?. a58cjkC0FDcjkA3B2cjkD4DAcjkBED8cjkD0CEcjkD3F20 ≤ x ≤ a,0 ≤ y ≤ bcjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1DFcjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 ?3u = ?2, u|x=0 = u|x=a = 0, (8.4-1) u|y=0 = u|y=b = 0. (8.4-2) a58cjkBDE2cjkA3BAcjkCFC8cjkD5D2PoissoncjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkA3AEcjkCFD4cjkC8BBv = ?x2 cjkC2FAcjkD7E3?v = ?2cjkA3AEcjkC6E4 cjkCAB5cjkA3ACv = ?x2 + c1x + c2 (c1 cjkBACD c2 cjkCAC7cjkC1BDcjkB8F6cjkBBFDcjkB7D6cjkB3A3cjkCAFD)cjkD2B2cjkC2FAcjkD7E3?v = ?2cjkA3AEcjkCED2 cjkC3C7cjkB4F2cjkCBE3cjkD1A1cjkD4F1cjkCACAcjkB5B1cjkB5B1cjkB5C4cjkB5C4 c1 cjkBACD c2cjkA3ACcjkCAB9vcjkC2FAcjkD7E3cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.4-1)cjkA3AEcjkC8DDcjkD2D7cjkBFB4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.4. POISSONcjkB7BDcjkB3CC 62/70 cjkB3F6cjkA3ACc1 = a,c2 = 0cjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkA3AC v(x,y) = x(a ? x). cjkC1EE u(x,y) = v + w = x(a ? x) + w(x,y), cjkB0D1cjkC9CFcjkCABDcjkB4FAcjkC8EBucjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBECDcjkB0D1cjkCBFCcjkD7AAcjkBBAFcjkCEAAwcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 ?w = 0, (8.4-3) w|x=0 = w|x=a = 0, (8.4-4) w|y=0 = w|y=a = x(x ? a). (8.4-5) cjkB4CBcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkBFC9cjkB7C2cjkD5D5§ 8.1cjkC0FDcjkA3B3cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8cjkD2D4cjkCFC2cjkC2D4cjkA3ACP.221cjkA1AB222cjkA3A9 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 63/70 §8.5 cjkD0A1cjkBDE1 cjkD4DAcjkD4DAcjkD5C6cjkD5C6cjkCED5cjkC1CBa130cjkB7D6. cjkC0EB. cjkB1E4. cjkCAFD. cjkB7A8. cjkA1A2a131FouriercjkBCB6. cjkCAFD. cjkB7A8. cjkA1A2a132cjkB3E5. cjkC1BF. cjkB6A8. cjkC0ED. cjkB7A8. cjkBACD. a133cjkB7C7. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkB5C4. cjkB4A6. cjkC0ED. cjkB7BD. cjkB7A8. cjkD2D4cjkBAF3cjkA3ACcjkBECDcjkC4DCcjkC7F3cjkBDE2cjkD7EEcjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkD3D0cjkBDE7cjkCECAcjkCCE2cjkA3BAcjkB7BAcjkB6A8cjkB7BD cjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkC8ABcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkCDACcjkCAB1cjkA3ACcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB7C7cjkC1E3cjkD6B5cjkA3AEcjkD7F7cjkCEAAcjkB1BEcjkD5C2cjkB5C4 cjkD0A1cjkBDE1cjkA3ACcjkCFC2cjkC3E6cjkD2D4cjkD2D4cjkD2BBcjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkD2BBcjkCEACcjkD3D0cjkBDE7cjkD5F1cjkB6AFcjkCECAcjkCCE2cjkBACDcjkB6FEcjkCEACcjkD3D0cjkBDE7cjkCEC8cjkB6A8cjkCEC2cjkB6C8cjkB7D6cjkB2BCcjkCECAcjkCCE2 cjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkCBB5cjkC3F7cjkBAACcjkCAB1cjkCECAcjkCCE2(cjkB2A8cjkB6AFcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2)cjkBACDcjkB2BBcjkBACFcjkCAB1cjkCECAcjkCCE2(cjkCEC8cjkB6A8cjkB3A1cjkCECAcjkCCE2)cjkB2BB cjkCDACcjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkB2BDcjkD6E8cjkBACDcjkD7EEcjkD3D0cjkD0A7cjkB5C4cjkBDE2cjkB7A8cjkA3AE 8.5.1 cjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkD3D0cjkBDE7cjkB2A8cjkB6AFcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2 cjkD2D4cjkD3D0cjkBDE7cjkCFD2cjkB5C4cjkD2BBcjkB4ACcjkD5F1cjkB6AFcjkCFF2cjkCCE2cjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkC6E4cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCAC7 utt ? a2uxx = f(x,t), (8.5-1) u|x=0 = ν(t), u|x=l = ν(t), (8.5-2) u|t=0 = ?(x), ut|t=0 = ψ(x). (8.5-3) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 64/70 cjkCFD2cjkBCC8cjkCADCcjkCDE2cjkC1A6cjkD7F7cjkD3C3cjkA3ACcjkD3D6cjkD3D6cjkD3D0cjkD3D0cjkD2BBcjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB3F5cjkCABCcjkCEBBcjkD2C6cjkBACDcjkB3F5cjkCABCcjkCBD9cjkB6C8cjkA3ACcjkB6F8cjkC7D2cjkCFD2cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB6CB cjkB5E3cjkCEBBcjkD6C3cjkBBB9cjkB0B4cjkD2D1cjkD6AAcjkB9E6cjkC2C9cjkCBE6cjkCAB1cjkBCE4cjkB1E4cjkBBAFcjkA3ACcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkD5F1cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB6BCcjkCAC7cjkB7C7 cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB7C7cjkC1E3cjkD6B5cjkA3AEcjkB2BBcjkB9FDcjkA3ACcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkBACDcjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkB6BCcjkCAC7 cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkA3ACcjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkCACAcjkD3C3cjkA3ACcjkC7B0cjkCAF6cjkBDE2cjkB7A8cjkBACDcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4A6cjkC0EDcjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkBEF9cjkBFC9 cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkA3AEcjkCEAAcjkC1CBcjkB7BDcjkB1E3cjkA1A2cjkD3D0cjkD0A7cjkA3ACcjkBFC9cjkB2C9cjkD3C3cjkC8E7cjkCFC2cjkC7F3cjkBDE2cjkB2BDcjkD6E8cjkA3BA 1. cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkC6EBcjkB4CEcjkBBAF cjkC8A1v(x,t)cjkC2FAcjkD7E3cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(8.5-2)cjkA3ACcjkC0FDcjkC8E7 v(x,t) = 1l bracketleftbigν(t) ?μ(t)bracketrightbigx +μ(t). cjkC1EE u(x,t) = v(x,t) + w(x,t) cjkB4FAcjkC8EBcjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2(8.5-1)cjkA1AB(8.5-3)cjkA3ACcjkB5C3w(x,t)cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 wtt ? a2wxx = f(x,t) ? vtt ≡ g(x,t), ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 65/70 w|x=0 = w|x=l = 0, w|t=0 = ?(x) ? v|t=0 ≡ Φ(x), wt|t=0 = ψ(x) ? vt|t=0 ≡ Ψ(x). cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkD2D1cjkCAC7cjkC6EBcjkB4CEcjkA3ACcjkD5E2cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkBFC9cjkD3C3FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkD6B1cjkBDD3cjkC7F3cjkBDE2(cjkBCFB§ 8.2 cjkC0FDcjkA3B1)cjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkD5E2cjkBDABcjkB5BCcjkD6C2cjkC7F3cjkBDE2cjkCAB1cjkBCE4cjkBAAFcjkCAFDTn(t)cjkB5C4cjkB6FEcjkBDD7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB3A3cjkCFB5cjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2 cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC7D2cjkB3F5cjkD6B5cjkCCF5cjkBCFETn(0),Tprimen(0)cjkB2BBcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkB2BBcjkC8E7cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkA3ACcjkBBAFcjkB3C9cjkC1BD cjkB8F6cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB7D6cjkB1F0cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7cjkB7A8cjkBACDcjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8cjkD6B1cjkBDD3cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkBCFBcjkCFC2cjkC3E6(2)cjkA3AE 2. cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkBBAFcjkB3C9cjkC1BDcjkB8F6cjkBCF2cjkB5A5cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 cjkC1EE w(x,t) = wI(x,t) + wII(x,t), wI(x,t)cjkBACDwII(x,t)cjkB7D6cjkB1F0cjkC2FAcjkD7E3cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 wItt ? a2wIxx = 0, wIItt ? a2wIIxx = g(x,t), wI|x=0 = wI|x=a = 0, wII|x=0 = wII|x=l = 0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 66/70 wI|t=0 = Φ(x), wIt|t=0 = Ψ(x), wII|t=0 = wIIt |t=0 = 0. wI cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBFC9cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3BB cjkB6F8wII cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkBDF6cjkB7BDcjkB3CCcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkBFC9cjkD3C3cjkB3E5cjkC1BFcjkB6A8cjkC0EDcjkB7A8cjkA3A8cjkBBF2FouriercjkBCB6 cjkCAFDcjkB7A8cjkA3A9cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE cjkB6D4cjkD3DAcjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkD2BBcjkCEACcjkD3D0cjkBDE7cjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkC0FDcjkC8E7cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 ut ? a2uxx = f(x,t), u|x=0 = ν(t), u|x=l = ν(t), u|t=0 = ?(x). cjkC6E4cjkC7F3cjkBDE2cjkB2BDcjkBEDBcjkB8FAcjkC9CFcjkCAF6cjkD5F1cjkB6AFcjkCECAcjkCCE2cjkCDEAcjkC8ABcjkCFE0cjkCDACcjkA3ACcjkCAD7cjkCFC8cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkBDABcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE cjkC6EBcjkB4CEcjkBBAFcjkA3AE cjkB6D4cjkD3DAcjkB6FEcjkCEACcjkA1A2cjkC8FDcjkCEACcjkB5C4cjkD3D0cjkBDE7cjkB2A8cjkB6AFcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkD2B2cjkBFC9cjkB7C2cjkB4CBcjkBDF8cjkD0D0cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 67/70 8.5.2 cjkD2BBcjkCEACcjkB5C4cjkD3D0cjkBDE7cjkCEC8cjkB6A8cjkB3A1cjkCECAcjkCCE2 cjkBDF1cjkD2D4cjkB6FEcjkCEACcjkBED8cjkD0CEcjkD3F2cjkCEC8cjkB6A8cjkCEC2cjkB6C8cjkB7D6cjkB2BCcjkCECAcjkCCE2cjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkC6E4cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkCAC7 uxx + uyy = f(x,y), (8.5-4) u|x=0 = μ(t), u|x=a = ν(t), u|y=0 = ?(x), u|y=b = ψ(x). cjkCEC8cjkB6A8cjkB7D6cjkB2BCcjkCECAcjkCCE2cjkD3EBcjkCAB1cjkBCE4 tcjkCEDEcjkB9D8cjkA3ACcjkC7F3cjkBDE2cjkB2BDcjkD6E8cjkB8FAcjkBAACcjkCAB1cjkB5C4cjkB2A8cjkB6AFcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkCECAcjkCCE2cjkB2BB cjkCDACcjkA3ACcjkCAD7cjkCFC8cjkB4A6cjkC0EDcjkB5C4cjkB2BBcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB6F8cjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkCBE4cjkC8BBcjkD5E2cjkC0EFcjkC0EFcjkC1BDcjkC1BD cjkD7E9cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB6BCcjkCAC7cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkB5ABcjkC9CFcjkBDDAcjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkB7A8cjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkC0EFcjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkCACAcjkD3C3cjkA3AEcjkC6E4cjkC7F3cjkBDE2 cjkB2BDcjkD6E8cjkCAC7cjkA3BA 1. cjkC0FBcjkD3C3cjkCCD8cjkBDE2cjkB7A8cjkA3ACcjkBDABcjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkBBAFcjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkCECAcjkCCE2 cjkC8A1cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CC(8.5-4)cjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2v(x,y)cjkA3ACcjkD3D0vxx + vyy = f(x,y)cjkA3AEcjkC1EE u(x,y) = v(x,y) + w(x,y), ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 68/70 cjkD3DAcjkCAC7w(x,y)cjkC2FAcjkD7E3cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 wxx + wyy = 0, (8.5-5) w|x=0 = μ(y) ? v(0,y), w|x=a = ν(x) ? v(a,y), w|y=0?(x) ? v(x,0), w|y=b = ψ(x) ? v(x,b). 2. cjkC0FBcjkD3C3cjkB5FEcjkBCD3cjkD4ADcjkC0EDcjkA3ACcjkBBAFcjkB3C9cjkC1BDcjkB8F6cjkBFC9cjkD6B1cjkBDD3cjkC7F3cjkBDE2cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2 cjkC1EE w(x,y) = wI(x,y) + wII(x,y), wI(x,y)cjkBACDwII(x,y)cjkB5C8cjkB5C8cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB7D6cjkB1F0cjkCAC7 wIxx + wIyy = 0, wI|x=0 = wI|x=a = 0, wI|y=0 = ?(x) ? v(x,0), wI|y=b = ψ(x) ? v(x,b), wIIxx + wIIyy = 0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 69/70 wII|x=0 = μ(y) ? v(0,y), wII|x=a = ν(y) ? v(a,y), wII|y=0 = wII|y=b = 0. cjkD5E2cjkC1BDcjkB8F6cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB6BCcjkCAC7cjkC6EBcjkB4CEcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkD2BBcjkD7E9cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AEcjkBFC9cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7 cjkB7A8cjkBBF2FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkB7A8cjkD6B1cjkBDD3cjkC7F3cjkBDE2cjkA3AE cjkB1BEcjkD5C2cjkD1D0cjkBEBFcjkB5C4cjkC8ABcjkCAC7cjkB6A8cjkD2E5cjkD4DAcjkD3D0cjkBDE7cjkC7F8cjkD3F2cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkC7D2cjkBFC9cjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFD( FouriercjkBCB6cjkD6C2)cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkC8DDcjkD2D7cjkCAB9cjkC8CBcjkB2FAcjkC9FAcjkCEF3cjkBDE2cjkA3ACcjkCBC6cjkBAF5cjkC8CEcjkBACEcjkD3D0cjkBDE7cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8 cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkB6BCcjkC4DCcjkD3C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkA3ACcjkC6E4cjkCAB5cjkB2BBcjkCAC7cjkD5E2cjkD1F9cjkA3AEcjkC0FDcjkC8E7cjkA3ACcjkCFC2cjkC1D0cjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkBADCcjkB8B4 cjkD4D3cjkB5C4cjkB1E4cjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkC6ABcjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC utt ? a2xuxx = 0, (8.5-6) utt ? a2tuxx = 0, (8.5-7) utt ? a2(x + t)uxx = 0. (8.5-8) (8.5-6)cjkA1A2(8.5-7)cjkCAC7cjkBFC9cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkA3ACcjkB6F8(8.5-8)cjkBECDcjkB2BBcjkC4DCcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3AEcjkD5E2cjkC6E4cjkCAB5 cjkB2BBcjkC4D1cjkC0EDcjkBDE2cjkA3ACcjkD2F2cjkCEAAcjkB7BDcjkB3CC(8.5-8)cjkB8F9cjkB1BEcjkB1BEcjkB2BBcjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §8.5. cjkD0A1cjkBDE1 70/70 u(x,t) = X(x)T(t)cjkA3AEcjkD7D4cjkC8BBcjkA3ACcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkB6D4cjkCBFCcjkB2BBcjkCACAcjkD3C3cjkA3AE cjkD6C1cjkD3DAcjkCEDEcjkBDE7cjkC7F8cjkD3F2cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBDABcjkD4DAcjkB5DAcjkCAAEcjkB6FEcjkA1A2cjkCAAEcjkC8FDcjkA1A2cjkCAAEcjkCBC4cjkD5C2cjkCCD6cjkC2DBcjkA3AE