成都信息工程学院：数学物理方法：9

?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit 1/81 cjkCAFD cjkD1A7 cjkCEEF cjkC0ED cjkB7BD cjkB7A8 cjkBDCCcjkCAA6: cjkCFF2cjkB0B2cjkC6BD cjkD6B0cjkB3C6: cjkBDCC cjkCADA cjkB5E7cjkBBB0: 85966381(O) 85533790(H) cjkD3CAcjkD6B7: xiangap@126.com gdjsxzrs@cuit.edu.cn cjkB5A5cjkCEBB: cjkB9E2cjkB5E7cjkBCBCcjkCAF5cjkCFB5 cjkC9CFcjkD6C7cjkB2BBcjkBDCCcjkB6F8cjkB3C9cjkA3ACcjkCFC2cjkD3DEcjkCBE4cjkBDCCcjkCEDEcjkD2E6cjkA3AC cjkD6D0cjkD3B9cjkD6AEcjkC8CBcjkA3ACcjkB2BBcjkBDCCcjkB2BBcjkD6AAcjkD2B2 —cjkD1D5cjkD6AEcjkCDC6cjkA3ACcjkA1B6cjkD1D5cjkCACFcjkBCD2cjkD1B5cjkA1B7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit 2/81 cjkB5DAcjkBEC5cjkD5C2 cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CCcjkBCB6cjkCAFD cjkBDE2 cjkB7A8 cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 cjkC9CFcjkD2BBcjkD5C2cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkD0A7cjkB7A8cjkCAC7cjkB6D4cjkD6B1cjkBDC7cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB5C4cjkB8F7cjkD6D6cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkBACDcjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8 cjkB1EAcjkCFB5cjkCEC8cjkB6A8cjkB3A1cjkCECAcjkCCE2cjkBDF8cjkD0D0cjkB5C4cjkA3ACcjkB3F6cjkCFD6cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB6BCcjkCAC7cjkC8FDcjkBDC7cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkB5ABcjkCAB5cjkBCCAcjkCECAcjkCCE2 cjkD6D0cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCAC7cjkB6E0cjkD6D6cjkB6E0cjkD1F9cjkB5C4cjkA3ACcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB1D8cjkD0EBcjkB2CEcjkD5D5cjkCECAcjkCCE2cjkD6D0cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkD0CEcjkD7B4cjkC0B4cjkD1A1cjkD4F1cjkA3AC cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkD7DCcjkCAC7cjkD6B1cjkBDC7cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkBBF2cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkA3AE cjkD4B2cjkC7F2cjkD0CEcjkBACDcjkD4B2cjkD6F9cjkD0CEcjkBECDcjkCAC7cjkC1BDcjkD6D6cjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkA3ACcjkCFE0cjkD3A6cjkB5D8cjkD3C3cjkC7F2cjkA3A8cjkBCABcjkA3A9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 cjkBACDcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB1C8cjkBDCFcjkB7BDcjkB1E3cjkA3AEcjkB1BEcjkD5C2cjkD2AAcjkBFBCcjkB2ECcjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkBACDcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFD cjkB7A8cjkCBF9cjkB5BCcjkD6C2cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkD2D4cjkBCB0cjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 3/81 §9.1 cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC 9.1.1 LaplacecjkB7BDcjkB3CC?u = 0 1. cjkC7F2cjkA3A8cjkBCABcjkA3A9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkCFB5cjkCFC2cjkCFC2LaplacecjkCBE3cjkB7FB?cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkBFC9cjkD4DAcjkCEA2cjkBBFDcjkB7D6cjkD1A7cjkBDCCcjkB1BEcjkD6D0cjkD5D2cjkB5BDcjkA3AC cjkB4D3cjkB6F8cjkB5C3LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DAcjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABD 1 r2 ? ?r parenleftbigg r2?u?r parenrightbigg + 1r2 sinθ ??θ parenleftbigg sinθ?u?θ parenrightbigg + 1r2 sin2 θ? 2u ??2 = 0. (9.1-1) cjkCAD7cjkCFC8cjkA3ACcjkB3A2cjkCAD4cjkB0D1cjkB1EDcjkCABEcjkBEE0cjkC0EBcjkB5C4cjkB1E4cjkCAFD rcjkB8FAcjkB1EDcjkCABEcjkB7BDcjkCFF2cjkB5C4cjkB1E4cjkCAFDθcjkBACD?cjkB7D6cjkC0EBcjkA3AC cjkD2D4 u(r,θ,?) = R(r)Y(θ,?) cjkB4FAcjkC8EB(9.1-1)cjkA3ACcjkB5C3 Y r2 d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg + Rr2 sinθ ??θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg + Rr2 sin2 θ? 2Y ??2 = 0. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 4/81 cjkD3C3 r2/RYcjkB1E9cjkB3CBcjkB8F7cjkCFEEcjkB2A2cjkCACAcjkB5B1cjkD2C6cjkCFEEcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3 1 R d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg = ?1sinθY ??θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg ? 1Y sin2 θ? 2Y ??2. cjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7 rcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FAθcjkBACD?cjkCEDEcjkB9D8cjkA3BBcjkD3D2cjkB1DFcjkCAC7θcjkBACD?cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FA rcjkCEDEcjkB9D8cjkA3AE cjkC1BDcjkB1DFcjkCFE0cjkB5C8cjkCFD4cjkC8BBcjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkB5C4cjkA3ACcjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkCAC7cjkCDACcjkD2BBcjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AEcjkCDA8cjkB3A3cjkB0D1cjkD5E2 cjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkBCC7cjkD7F7 l(l + 1)cjkA3AC 1 R d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg = ? 1sinθY ??θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg ? 1Y sin2 θ? 2Y ??2 = l(l + 1). cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkC1BDcjkB8F6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg ? l(l + 1)R = 0, (9.1-2) 1 sinθY ? ?θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg + 1Y sin2 θ? 2Y ??2 + l(l + 1)Y = 0, (9.1-3) cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-2)cjkBFC9cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA r2d 2R dr2 + 2r dR dr ? l(l + 1)R = 0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 5/81 cjkD5FDcjkCAC7EulercjkD0CDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkCBFCcjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7 R(r) = Crl + Dr?(l+1). (9.1-4) cjkC6ABcjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-3)cjkBDD0cjkD7F7cjkC7F2cjkBAAFcjkCAFDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkD2D4 Y(θ,?) = Θ(θ)Φ(?) cjkB4FAcjkC8EBcjkC7F2cjkBAAFcjkCAFDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-3)cjkA3ACcjkB5C3 Φ sinθ d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg + Θsin2 θd 2Ψ d?2 + l(l + 1)ΘΦ = 0. cjkD3C3sin2 θ/ΘΦcjkB1E9cjkB3CBcjkB8F7cjkCFEEcjkB2A2cjkCACAcjkB5B1cjkD2C6cjkCFEEcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3 sinθ Θ d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg + l(l + 1) sin2 θ = ? 1Φd 2Φ d?2 . cjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7θcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FA?cjkCEDEcjkB9D8cjkA3BBcjkD3D2cjkB1DFcjkCAC7?cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FAθcjkCEDEcjkB9D8cjkA3AEcjkC1BDcjkB1DFcjkCFE0cjkB5C8 cjkCFD4cjkC8BBcjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkB5C4cjkA3ACcjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkCAC7cjkCDACcjkD2BBcjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AEcjkB0D1cjkD5E2cjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkBCC7cjkD7F7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 6/81 λcjkA3AC sinθ Θ d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg + l(l + 1) sin2 θ = ? 1Φd 2Φ d?2 = λ. cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkC1BDcjkB8F6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Φprimeprime + λΦ = 0, (9.1-5) sinθ ddθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg +bracketleftbigl(l + 1) sin2 θ ? λbracketrightbigΘ = 0. (9.1-6) cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-5)cjkCDF9cjkCDF9cjkCDF9cjkCDF9cjkBBB9cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkC3BBcjkD3D0cjkD0B4cjkB3F6cjkC0B4cjkB5C4“cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkD6DC. cjkC6DA. cjkCCF5. cjkBCFE. ” Φ(?+ 2pi) = Φ(?) (cjkB2CEcjkBFB4§ 8.1cjkC0FDcjkA3B4)cjkA3AEcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC(9.1-5)cjkBACDcjkD7D4cjkC8BBcjkB5C4cjkD6DCcjkC6DA cjkCCF5cjkBCFEcjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCAC7 λ = m2, m = 0,1,2,3,··· , (9.1-7) cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7 Φ(?) = Acos m?+ Bsin m?, m = 0,1,2,3,··· . (9.1-8) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 7/81 cjkD4D9cjkBFB4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-6)cjkA3AEcjkB8F9cjkBEDD(9.1-7)cjkA3ACcjkD3A6cjkB0D1(9.1-6)cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA 1 sinθ d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg + bracketleftbigg l(l + 1) ? m 2 sin2 θ bracketrightbigg Θ = 0. (9.1-9) cjkCDA8cjkB3A3cjkD3C3 θ = arccos x, cjkBCB4 x = cosθ, cjkB0D1cjkD7D4cjkB1E4cjkCAFDcjkB4D3θcjkBBBBcjkCEAAx ( xcjkD6BBcjkCAC7cjkB4FAcjkB1EDcosθcjkA3ACcjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkCAC7cjkD6B1cjkBDC7cjkD7F8cjkB1EA)cjkA3ACcjkD4F2 dΘ dθ = dΘ dx dx dθ = ?sinθ dΘ dx, 1 sinθ d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg = 1sinθdxdθ ddx parenleftbigg ?sin2 θdΘdx parenrightbigg = ddx bracketleftbigg (1 ? x2)dΘdθ bracketrightbigg . cjkB7BDcjkB3CC(9.1-9)cjkBBAFcjkCEAA d dx bracketleftbigg (1 ? x2)dΘdx bracketrightbigg + bracketleftbigg l(l + 1) ? m 2 1 ? x2 bracketrightbigg Θ = 0, (9.1-10) cjkBCB4 (1 ? x2)d 2Θ dθ2 ? 2x dΘ dθ + bracketleftbigg l(l + 1) ? m 2 1 ? x2 bracketrightbigg Θ = 0. (9.1-11) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 8/81 cjkD5E2cjkBDD0cjkD7F7 lcjkBDD7cjkA3A8mcjkBCB6cjkA3A9cjkC1ACcjkB4F8LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkC6E4 m = 0cjkB5C4cjkCCD8cjkC0FDcjkA3ACcjkBCB4 (1 ? x2)d 2Θ dθ2 ? 2x dΘ dθ + l(l + 1)Θ = 0, (9.1-12) cjkD4F2cjkBDD0cjkD7F7 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE cjkB9D8cjkD3DALegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkC1ACcjkB4F8LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkBCFB§ 9.2cjkBACD§ 10.2cjkA3AEcjkD4DAcjkC4C7cjkC0EFcjkBDABcjkD2AAcjkBFB4cjkB5BDcjkA3ACLegendrecjkB7BD. cjkB3CC. cjkBACD. cjkC1AC. cjkB4F8. LegendrecjkB7BD. cjkB3CC. cjkCDF9. cjkCDF9. cjkD2FE. cjkBAAC. cjkD7C5. cjkD4DA. x = ±1 (cjkBCB4. θ = 0,pi )cjkB5C4. “cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. ”cjkB2A2. cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkBEF6. cjkB6A8. cjkC1CB. lcjkD6BB. cjkC4DC. cjkC8A1. cjkD5FB. cjkCAFD. cjkD6B5. cjkA3AE 2. cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5LaplacecjkCBE3cjkB7FB?cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkCDACcjkD1F9cjkBFC9cjkD4DAcjkCEA2cjkBBFDcjkB7D6cjkD1A7cjkBDCCcjkB1BEcjkD6D0cjkD5D2 cjkB5BDcjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkB5C3LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DAcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABD 1 ρ ? ?ρ parenleftbigg ρ?u?ρ parenrightbigg + 1ρ2 ? 2u ??2 + ?2u ?z2 = 0. (9.1-13) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 9/81 cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkD0CEcjkCABDcjkBDE2 u(ρ,?, z) = R(ρ)Φ(?)Z(z) cjkB4FAcjkC8EB(9.1-13)cjkA3ACcjkB5C3 ΦZd 2R dρ2 + ZΦ ρ2 ddR dρ + RZ ρ2 Φ primeprime + RΦZprimeprime = 0. cjkD3C3ρ2/RΦZcjkB1E9cjkB3CBcjkB8F7cjkCFEEcjkB2A2cjkCACAcjkB5B1cjkD2C6cjkCFEEcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3 ρ2 R d2R dρ2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z primeprime Z = ? Φprime Φ. cjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7ρcjkBACD zcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FA?cjkCEDEcjkB9D8cjkA3BBcjkD3D2cjkB1DFcjkCAC7?cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB8FAρcjkBACD zcjkCEDEcjkB9D8cjkA3AE cjkC1BDcjkB1DFcjkCFE0cjkB5C8cjkCFD4cjkC8BBcjkCAC7cjkB2BBcjkBFC9cjkC4DCcjkB5C4cjkA3ACcjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCAB5cjkBCCAcjkC9CFcjkCAC7cjkCDACcjkD2BBcjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AEcjkB0D1cjkD5E2cjkB8F6cjkB3A3 cjkCAFDcjkBCC7cjkD7F7λcjkA3AC ρ2 R d2R dρ2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z primeprime Z = ? Φprime Φ = λ. cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Φprimeprime + λΦ = 0, (9.1-14) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 10/81 ρ2 R d2R dρ2 + ρ R dR dρ + ρ 2Z primeprime Z = λ. (9.1-15) cjkB3A3. cjkCEA2. cjkB7D6. cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-14)cjkBACD. cjkC3BB. cjkD3D0. cjkD0B4. cjkB3F6. cjkC0B4. cjkB5C4. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkD6DC. cjkC6DA. cjkCCF5. cjkBCFE. Φ(?) = Φ(?+ 2pi) cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AEcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7 λ = m2, m = 0,1,2,3,··· , (9.1-16) Φ(?) = Acos m?+ Bsin m?, m = 0,1,2,3,··· . (9.1-17) cjkD6C1cjkD3DAcjkB7BDcjkB3CC(9.1-15)cjkA3ACcjkD2D4(9.1-16)cjkB4FAcjkC8EBcjkA3ACcjkD3C31/ρ2 cjkB1E9cjkB3CBcjkB8F7cjkCFEEcjkA3ACcjkB2A2cjkCACAcjkB5B1cjkD2C6cjkCFEEcjkB5C3 1 R d2R dρ2 + 1 ρ dR dρ ? m2 ρ2 = ? Zprimeprime z = ?μ. cjkD5E2cjkBECDcjkB7D6cjkBDE2cjkCEAAcjkC1BDcjkB8F6cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3BA Zprimeprime ? μZ = 0, (9.1-18) d2R dρ2 + 1 ρ dR dρ + parenleftbigg μ ? m 2 ρ2 parenrightbigg R = 0. (9.1-19) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 11/81 KcjkCFC2cjkC3E6cjkB7D6cjkC8FDcjkD6D6cjkC7E9cjkBFF6cjkCCD6cjkC2DBcjkA3A8μ = 0,μ > 0, mu < 0cjkA3A9cjkA3A9cjkA3AEcjkA3AE a119μ = 0 cjkB7BDcjkB3CCcjkCABD(9.1-19)cjkCAC7EulercjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC(9.1-18)cjkBACD(9.1-19)cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7 Z = C + Dzm; (9.1-20) R = braceleftBigg E + Flnρ, m = 0, Eρm + Fρ?m, m nequal 0. (9.1-21) a119μ > 0 cjkB6D4cjkD3DAcjkB7BDcjkB3CC(9.1-19)cjkA3ACcjkB4CBcjkCAB1cjkB3A3cjkD7F7cjkB4FAcjkBBBB x = √μρ, cjkB0D1cjkD7D4cjkB1E4cjkCAFDcjkB4D3ρcjkB1E4cjkBBBBcjkCEAAxcjkA3A8cjkD7A2cjkD2E2 xcjkD6BBcjkB4FAcjkB1ED √μρcjkA3ACcjkB2A2cjkB7C7cjkD6B1cjkBDC7cjkD7F8cjkB1EAcjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkD4F2 dR dρ = dR dx dx dρ = √μdR dx, d2R dρ2 = d dρ parenleftbigg√ μdrdx parenrightbigg = ddx parenleftbigg√ μdRdx parenrightbigg dx dρ = μ d2R dx2 , ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 12/81 cjkB7BDcjkB3CCcjkBBAFcjkCEAA d2R dx2 + 1 x dR dx + parenleftbigg 1 ? m 2 x2 parenrightbigg R = 0, (9.1-22) cjkBCB4 x2d 2R dx2 + x dR dx + (x 2 + m2)R = 0. cjkB3C6cjkCEAAmcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE cjkD2D4cjkBAF3(§ 11.2)cjkBDABcjkD2AAcjkBFB4cjkB5BDcjkA3ACBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB8BDcjkBCD3cjkD2D4ρ = ρ0 cjkB4A6(cjkBCB4cjkB0EBcjkBEB6cjkCEAA ρ0cjkB5C4cjkD4B2cjkD6F9cjkB5C4cjkB2E0cjkC3E6)cjkB5C4cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBEF6cjkB6A8μcjkB5C4cjkBFC9cjkC4DCcjkCAFD cjkD6B5(cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5)cjkA3AE cjkD5E2cjkCAB1cjkB7BDcjkB3CC(9.1-18)cjkB5C4cjkBDE2cjkCAC7 Z(z) = Ce√μz + De?√μz. (9.1-23) a119μ < 0 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 13/81 cjkBCC7?μ = ν2 > 0cjkA3ACcjkD4F2cjkB7BDcjkB3CC(9.1-18)cjkB3C9cjkCEAA Zprimeprime + ν2Z = 0, cjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA Z(z) = C cosνz + Dsinνz. (9.1-24) cjkCED2cjkC3C7cjkD6AAcjkB5C0cjkA3ACcjkC8F4cjkB6D4cjkB4CBcjkB8BDcjkBCD3cjkD2D4 z = z1 cjkBACD z = z2 cjkB4A6(cjkBCB4cjkD6F9cjkCCE5cjkB5C4cjkC9CFcjkCFC2cjkB5D7cjkC3E6)cjkB5C4cjkC6EB cjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkB1E3cjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkBEF6cjkB6A8νcjkB5C4cjkBFC9cjkC4DCcjkCAFDcjkD6B5cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkBEF6cjkB6A8ν2 cjkB5C4 cjkBFC9cjkC4DCcjkCAFDcjkD6B5(cjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5)cjkA3ACcjkD6C1cjkD3DAcjkB7BDcjkB3CC(9.1-19)cjkA3ACcjkD2D4μ = ?ν2 cjkB4FAcjkC8EBcjkA3ACcjkB2A2cjkD7F7cjkB4FAcjkBBBB x = νρ, cjkD4F2cjkB7BDcjkB3CCcjkBBAFcjkCEAA d2R dx2 + 1 x dR dx ? parenleftbigg 1 + m 2 x2 parenrightbigg R = 0, (9.1-25) cjkBCB4 x2d 2R dx2 + x dR dx ? (x 2 + m2)R = 0. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 14/81 cjkB3C6cjkCEAAmcjkBDD7cjkD0E9cjkD7DAcjkC1BFBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkCAC2cjkCAC2cjkCAB5cjkCAB5cjkC9CFcjkA3ACcjkC8E7cjkB0D1BesselcjkB7BDcjkB3CC(9.1-22)cjkB5C4cjkD7DA cjkC1BF xcjkB8C4cjkB3C9cjkD0E9cjkCAFDixcjkA3ACcjkBECDcjkB3C9cjkC1CB(9.1-25)cjkA3AEcjkD0E9cjkD7DAcjkC1BFBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC7F3cjkBDE2cjkBCFB§ 9.4cjkA3AE 9.1.2 cjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CC cjkBFBCcjkB2ECcjkC8FDcjkCEACcjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CC Utt ? a2?u = 0. (9.1-26) cjkB7D6cjkC0EBcjkCAB1cjkBCE4cjkB1E4cjkCAFDcjkBACDcjkBFD5cjkBCE4cjkB1E4cjkCAFDvectorrcjkA3ACcjkD2D4 u(vectorr, t) = T(t)v(vectorr) (9.1-27) cjkB4FAcjkC8EBcjkCABD(9.1-26)cjkA3ACcjkB5C3 Tprimeprime a2T = ?v v = ?k 2. cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkC1BDcjkB8F6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCBC6cjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Tprimeprime + k2a2T = 0, (9.1-28) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 15/81 ?v + k2v = 0. (9.1-29) cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-28)cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAAbraceleftBigg T(t) = C cos kat + Dsin kat or Ceikat + De?ikat, k nequal 0, T(t) = C + Dt, k = 0.(9.1-30) cjkC6AB. cjkCEA2. cjkB7D6. cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-29)cjkBDD0. cjkD7F7. HelmholtzcjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3ACcjkBBF2cjkC8D4cjkBDD0cjkD7F7“cjkB2A8cjkB6AFcjkB7BD cjkB3CC”cjkA3AEHelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkCFC2cjkC3E6cjkBBB9cjkD2AAcjkBCCCcjkD0F8cjkCCD6cjkC2DBcjkA3AE 9.1.3 cjkCAE4cjkD4B6cjkB7BDcjkB3CC cjkBFBCcjkB2ECcjkC8FDcjkCEACcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CC ut ? a2?u = 0, (9.1-31) cjkB0D1cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2 y(vectorr, t) = T(t)v(vectorr) (9.1-32) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 16/81 cjkB4FAcjkC8EB(9.1-31)cjkA3ACcjkB5C3 Tprime a2T = ?v v = ?k 2. cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkC1BDcjkB8F6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC Tprime + k2a2T = 0, (9.1-33) ?v + k2v = 0. (9.1-34) cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-33)cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA T(t) = Ce?k2a2t. (9.1-35) cjkC6ABcjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-34)cjkD2B2cjkCAC7HelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkCFC2cjkC3E6cjkBECDcjkBCCCcjkD0F8cjkCCD6cjkC2DBHelmholtz cjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE 9.1.4 HelmholtzcjkB7BDcjkB3CC 1. cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 cjkC0FBcjkD3C3cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5LaplacecjkCBE3cjkB7FB?cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkA3ACcjkBFC9cjkB5C3cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 17/81 HelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABD 1 r2 ? ?r parenleftbigg r2?v?r parenrightbigg + 1r2 sinθ ??? parenleftbigg sinθ?v?θ parenrightbigg + 1r2 sin2 θ + ? 2v ??2 + k 2v = 0. (9.1-36) cjkCAD7cjkCFC8cjkB0D1cjkB1E4cjkCAFDvectorrcjkB8FAcjkB1E4cjkCAFDθ,?cjkB7D6cjkC0EBcjkBFAAcjkA3ACcjkD2D4 v(θ,?) = R(r)Y(θ,?) cjkB4FAcjkC8EB(9.1-36)cjkA3ACcjkD3C3 r2/TYcjkB1E9cjkB3CBcjkB8F7cjkCFEEcjkA3ACcjkD5FBcjkC0EDcjkB5C3 1 R d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg + k2r2 = ? 1sinθY ??θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg ? 1Y sin2 θ? 2Y ??2 = l(l + 1). cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkC1BDcjkB8F6cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC 1 sinθY ? ?θ parenleftbigg sinθ?Y?θ parenrightbigg ? 1sin2 θ? 2Y ??2 + l(l + 1)Y = 0, (9.1-37) d dr parenleftbigg r2dRdr parenrightbigg +bracketleftbigk2r2 ? l(l + 1)bracketrightbigR = 0. (9.1-38) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 18/81 cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-37)cjkBECD. cjkCAC7. cjkC7F2. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-3)cjkA3ACcjkB0D1. cjkCBFC. cjkBDF8. cjkD2BB. cjkB2BD. cjkB7D6. cjkC0EB. cjkB1E4. cjkCAFD. cjkBDAB. cjkB5C3. cjkB5BD. (9.1-8)cjkBACD. cjkC1AC. cjkB4F8. LegendrecjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-11)cjkA3AEcjkC7B0cjkC3E6cjkD2D1cjkCCE1cjkB5BDcjkA3ACcjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-11)cjkBACD. cjkD4DA. x = ±1cjkB5C4. “cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. ”cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkBEF6. cjkB6A8. lcjkD6BB. cjkC4DC. cjkC8A1. cjkD5FB. cjkCAFD. cjkD6B5. cjkA3AE cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-38)cjkD2E0cjkBCB4 r2d 2R dr2 = 2r dR dr + bracketleftbigk2a2 ? l(l + 1)bracketrightbigR = 0. cjkBDD0. cjkD7F7. lcjkBDD7. cjkC7F2. BesselcjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7cjkD2F2cjkCEAAcjkB6D4cjkD3DA k > 0cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkB0D1cjkD7D4cjkB1E4cjkCAFD rcjkBACDcjkBACDcjkBAAFcjkBAAFcjkCAFD cjkD6BB R(r)cjkB7D6cjkB1F0cjkBBBBcjkD7F7 xcjkBACD y(x)cjkA3AC x = kr, R(r) = radicalbigg pi 2piy(x), cjkD4F2cjkB7BDcjkB3CC(9.1-38)cjkB3C9cjkCEAA x2d 2y dx2 + x dy dx bracketleftBigg x2 ? parenleftbigg l + 12 parenrightbigg2bracketrightBigg y = 0, (9.1-39) cjkB6F8(9.1-39)cjkCAC7. l + 1/2cjkBDD7. cjkB5C4. BesselcjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2cjkBCFB§ 9.3cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 19/81 cjkB6D4cjkD3DA k = 0cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC(9.1-38)cjkCDCBcjkBBAFcjkB3C9EulercjkD0CDcjkB7BDcjkB3CC(9.1-2)cjkA3ACcjkCFE0cjkD3A6cjkB5C4cjkBDE2 cjkCEAA(9.1-4)cjkA3ACcjkBCB4 R(r) = Crl + Dr?(l+1)cjkA3AE HelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkC0B4cjkD7D4cjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkC9CFcjkD2BBcjkD5C2cjkD2D1cjkD7C5cjkD6D8cjkD6D8cjkD6B8cjkD6B8cjkB3F6cjkD3C3 cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC7B0cjkCCE1cjkCAC7cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCEAAcjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3ACcjkC8E7 cjkD3D0cjkB7C7cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB1D8cjkD0EBcjkCFC8“cjkC6EBcjkB4CEcjkBBAF”cjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkBDABcjkC8CFcjkB6A8HelmholtacjkB7BD cjkB3CCcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkD2D1cjkC6EBcjkB4CEcjkBBAFcjkB5C4cjkA3AEcjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-38)cjkB8BD. cjkBCD3. cjkC7F2. cjkC3E6. ( r = r0 )cjkB4A6. cjkB5C4. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkBEF6. cjkB6A8. kcjkB5C4. cjkBFC9. cjkC4DC. cjkCAFD. cjkD6B5. cjkA3AEcjkD4DA§ 9.4cjkBDABcjkBBE1cjkBFB4 cjkB5BDcjkA3ACcjkB6D4cjkD5E2cjkD1F9cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB1D8cjkC8BBcjkD3D0cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5 k2 ≥ 0cjkA3AEcjkB4CBcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkC7F3 cjkBDE2cjkBCFB§ 11.5cjkA3AE 2. cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5 cjkC0FBcjkD3C3cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5LaplacecjkCBE3cjkB7FB?cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkA3ACcjkBFC9cjkB5C3HelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 20/81 cjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkCEAA 1 ρ ? ?ρ parenleftbigg ρ?v?ρ parenrightbigg + 1ρ2 ? 2v ??2 + ?2v ?z2 + k 2v = 0. (9.1-40) cjkD2D4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2 v(ρ,?, z) = R(ρ)Φ(?)Z(z) cjkB4FAcjkC8EB(9.1-40)cjkA3ACcjkD2BBcjkB2BDcjkD2BBcjkB2BDcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkD2FDcjkBDF8cjkC1BDcjkB8F6cjkB3A3cjkCAFDλcjkBACDν2cjkA3ACcjkB2BBcjkC4D1cjkB7D6cjkBDE2cjkB3F6 cjkC8FDcjkB8F6cjkB7BDcjkB3CC Φprimeprime + λΦ = 0, (9.1-41) Zprimeprime + ν2Z = 0, (9.1-42) d2R dρ2 + 1 ρ dR dρ + parenleftbigg k2 ? ν2 ? λρ2 parenrightbigg R = 0. (9.1-43) cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-41)cjkBACD. cjkC3BB. cjkD3D0. cjkD0B4. cjkB3F6. cjkB5C4. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkD6DC. cjkC6DA. cjkCCF5. cjkBCFE. Φ(?) = Φ(?+ 2pi) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 21/81 cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkD5E2cjkCAC7cjkB6C1cjkD5DFcjkD2D1cjkCDF9cjkCAECcjkD6AAcjkB5C4cjkA3AEcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7 λ = m2, m = 0,1,2,··· , (9.1-44) Φ(?) = Acos m?+ Dsin m?, m = 0,1,2,··· , (9.1-45) cjkBCC7cjkB3A3cjkCAFDμ = k2 ? ν2cjkA3ACcjkBCB4 k2 = μ + ν2, (9.1-46) cjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC(9.1-43)cjkBFC9cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA d2R dρ2 + 1 ρ dR dρ parenleftbigg μ ? m 2 ρ2 parenrightbigg R = 0. (9.1-47) cjkC8E7cjkC8E7cjkC9CFcjkC9CFcjkCBF9cjkCAF6cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkD7DCcjkC8CFcjkCEAAHelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkC6EBcjkB4CEcjkB5C4cjkA3AEcjkD3DA cjkCAC7cjkA3ACcjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-42)cjkB8BD. cjkBCD3. cjkD3D0. z = z1 cjkBACD. z = z2 cjkB4A6. cjkB5C4. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkBEF6. cjkB6A8. νcjkB5C4. cjkBFC9. cjkC4DC. cjkCAFD. cjkD6B5. cjkA3AEcjkB6F8. cjkB7BD. cjkB3CC. (9.1-47)cjkB8BD. cjkBCD3. cjkD3D0. cjkD4B2. cjkD6F9. cjkB2E0. cjkC3E6. cjkC9CF. cjkB5C4. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkD2B2. cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkBEF6. cjkB6A8. μcjkB5C4. cjkBFC9. cjkC4DC. cjkCAFD. cjkD6B5. (cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. )cjkA3AEcjkD4DA§ 9.4 cjkD6D0cjkBDABcjkBBE1cjkBFB4cjkB5BDcjkB5BDcjkB6D4cjkB6D4cjkD5E2cjkC0EFcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB1D8cjkC8BBcjkD3D0cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5μ2 ≥ 0cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 22/81 μ ≥ 0cjkA3AEcjkB8F9cjkBEDD(9.1-46)cjkA3ACk2cjkCEAAcjkC1BDcjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5μcjkD3EBν2 cjkD6AEcjkBACDcjkA3ACcjkB9CA k2 ≥ 0cjkA3AE cjkB7BDcjkB3CC(9.1-47)cjkD4DAcjkD7D4cjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkB4FAcjkBBBB x = √μρ cjkCFC2cjkBBAFcjkCEAA d2R dx2 + 1 x dR dx + parenleftbigg 1 ? m 2 x2 parenrightbigg R = 0, (9.1-48) cjkD5E2cjkCAC7 mcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE cjkB4D3cjkC9CFcjkBFC9cjkD6AAcjkA3ACcjkB2BBcjkB9DCcjkCAC7cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkA3ACcjkBBB9cjkCAC7cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkA3ACHelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkD4DA cjkC6EBcjkB4CEcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCFC2cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkBAF3cjkA3ACcjkB6BCcjkD3D0cjkB3A3cjkCAFD k2 ≥ 0cjkA3ACcjkBCB4 k2cjkCEAAcjkB7C7cjkB8BAcjkCAB5cjkCAB5cjkCAFDcjkCAFDcjkA3AC cjkB4D3cjkB6F8 kcjkCEAAcjkCAB5cjkCAB5cjkCAFDcjkCAFDcjkA3AEcjkD3DAcjkCAC7cjkA3ACcjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkBACDcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkBAF3cjkBDE2cjkB5C3cjkB5C3cjkB5C4cjkB5C4cjkCAB1cjkBCE4cjkBAAF cjkCAFD(9.1-30)cjkBACD(9.1-35)cjkD6D0cjkA3ACkcjkD2B2cjkCEAAcjkCAB5cjkCAB5cjkCAFDcjkCAFDcjkA3AEcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DA(9.1-30)cjkD6D0C, DcjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3 cjkCAFDcjkA3AC(9.1-35)cjkD6D0 kcjkD2D4 k2 cjkD0CEcjkCABDcjkB3F6cjkCFD6cjkA3ACcjkD6BBcjkD0E8cjkC8A1 k ≥ 0cjkBFC9cjkA3AE cjkD2BBcjkB0E3cjkA3ACk = radicalbigμ + μ2 > 0cjkA3AEcjkD6BBcjkD3D0μ = 0cjkC7D2ν = 0cjkCAB1cjkA3ACcjkB2C5cjkD3D0 k = 0cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 23/81 cjkB5B1μ = 0, R(ρ)cjkCBF9cjkD7F1cjkB4D3cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(9.1-47)cjkCDCBcjkBBAFcjkCEAAEulercjkD0CDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2 cjkCEAA(9.1-21)cjkA3BBcjkB5B1ν2 = 0, Z(z)cjkB5C4cjkB7BDcjkB3CC(9.1-42)cjkCDCBcjkBBAFcjkCEAAzprimeprime = 0cjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2 cjkCEAA(9.1-20)cjkA3AE cjkCFD6cjkBDABcjkD2D4cjkC9CFcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkBDE1cjkB9FBcjkC1D0cjkB1EDcjkC8E7cjkCFC2cjkA3A8cjkC2D4cjkA3A9cjkA3A9cjkA3A8cjkA3A8P.236cjkA3A9 a58cjkC0FDcjkCCE2 a58cjkC0FDcjkA3B1cjkCAD4cjkD3C3cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB0D1cjkB6FEcjkCEACcjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3AE a58cjkBDE2cjkA3BAcjkB6FEcjkCEACcjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA utt ? a2?2u = 0 (9.1-49) cjkCFC8cjkB0D1cjkCAB1cjkBCE4cjkB1E4cjkCAFDcjkB7D6cjkC0EBcjkB3F6cjkC0B4cjkA3ACcjkC9E8cjkB7D6cjkC0EBcjkD0CEcjkCABDcjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA u(ρ,?; t) = U(ρ,?) · T(t) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 24/81 cjkB4FAcjkC8EBcjkCABD(9.1-49)cjkA3ACcjkD3D0 U(ρ,?) · Tprimeprime(t) ? a2U(ρ,?) · T(t) = 0, Tprimeprime a2T = ?2U U . cjkC9CFcjkCABDcjkD7F3cjkB1DFcjkBDF6cjkCAC7 tcjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD3D2cjkB1DFcjkCAC7ρcjkBACD?cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkC8F4cjkD2AAcjkB5C8cjkCABDcjkB3C9cjkC1A2cjkA3AC cjkB3FDcjkB7C7cjkC1BDcjkB1DFcjkCEAAcjkCDACcjkD2BBcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkBCC7cjkCEAA?k2 cjkA3ACcjkD3D0 Tprimeprime + a2k2T = 0 (9.1-50) ?2U + k2U = 0 (9.1-51) cjkCABDcjkA3A89.1-51cjkA3A9cjkCEAAcjkB6FEcjkCEACHelmholtzcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD4DAcjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F3cjkB1DFcjkCFB5cjkCFB5cjkCFC2cjkCFC2cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABD cjkCEAA Uρρ + 1ρUρ + 1ρ2U?? + k2U = 0 . ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 25/81 cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkC1EE U(ρ,?) = R(ρ)Φ(?) cjkB2A2cjkB4FAcjkC8EBcjkC8EBcjkC9CFcjkC9CFcjkCABDcjkB5C3 Rprimeprime(ρ)Φ(?) + 1ρRprime(ρ)Φ(?) + 1ρ2R(ρ)Φprimeprime(?) + k2R(ρ)Φ(?) = 0 cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3 ρ2Rprimeprime R + ρRprime R + k 2ρ2 = ?Φ primeprime Φ . cjkCDACcjkC0EDcjkA3ACcjkB5C8cjkCABDcjkC1BDcjkB1DFcjkD3A6cjkCEAAcjkCDACcjkD2BBcjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkBCC7cjkCEAAm2cjkA3ACcjkB5C3 Φprimeprime + m2Φ = 0 , (9.1-52) ρ2Rprimeprime + ρRprime + (k2ρ2 ? m2)R = 0 . (9.1-53) cjkB6D4cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-53cjkA3A9cjkD7F7cjkB1E4cjkCAFDcjkB4FAcjkBBBB x = kρcjkBAF3cjkB1E4cjkCEAABesselcjkB7BDcjkB3CC x2Rprimeprime + xRprime + (x2 ? m2)R = 0 . (9.1-54) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 26/81 cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-52cjkA3A9cjkBACDcjkD7D4cjkC8BBcjkD6DCcjkC6DAcjkCCF5cjkBCFEΦ(?) = Φ(?+ 2pi)cjkD2BBcjkC6F0cjkB9B9cjkB3C9cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECA cjkCCE2cjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2cjkCEAA m = 0,1,2,3,······ . Φm = Am cos m?+ Bm sin m? , cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-50cjkA3A9cjkB5C4cjkBDE2cjkCEAA Tk = Ck cos kat + Dk sin kat . a58cjkC0FDcjkA3B2cjkCAD4cjkD3C3cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB0D1cjkB6FEcjkCEACcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3AE a58cjkBDE2cjkA3BAcjkB6FEcjkCEACcjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA ut ? a2?2u = 0 (9.1-55) cjkD4DAcjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkCFB5cjkCFC2cjkCFC2cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-55cjkA3A9cjkCEAA ut ? a2 parenleftbigg uρρ + 1ρuρ + 1ρ2uρρ parenrightbigg = 0 , (9.1-56) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 27/81 cjkC1EEu(ρ,?; t) = R(ρ)Φ(?)T(t)cjkA3ACcjkB4FAcjkC8EBcjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-56cjkA3A9cjkD6D0cjkA3ACcjkD5FBcjkC0EDcjkB5C3 Tprime a2T = Rprimeprime R + 1 ρ Rprime R + 1 ρ2 Φprimeprime Φ = ?k 2 . Tprime + a2k2T = 0 , (9.1-57) Rprimeprime R + 1 ρ Rprime R + 1 ρ2 Φprimeprime Φ = ?k 2 . (9.1-58) cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-58cjkA3A9cjkBFC9cjkBDF8cjkD2BBcjkB2BDcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFD ρ2R primeprime R + ρ Rprime R + k 2ρ2 = ?Φ primeprime Φ = m 2 , cjkBCB4 ? ? ? Φprimeprime + m2Φ = 0 , Φ(?) = Φ(?+ 2pi) . (9.1-59) ρ2Rprimeprime + ρRprime + (k2ρ2 ? m2)R = 0 . (9.1-60) cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-60cjkA3A9cjkD7F7cjkB1E4cjkCAFDcjkB4FAcjkBBBB x = kρcjkB1E4cjkB3C9BesselcjkB7BDcjkB3CC x2Rprimeprime + xRprime + (x2 ? m2)R = 0 . (9.1-61) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 28/81 cjkB7BDcjkB3CCcjkA3A89.1-57cjkA3A9cjkBACDcjkA3A89.1-59cjkA3A9cjkB5C4cjkBDE2cjkB7D6cjkB1F0cjkCEAA Tk = Ake?a2k2t , Φm = Bm cos m?+ Cm sin m? . ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.1. cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7BDcjkB3CC 29/81 cjkD7F7cjkD2B5(No.18) P. 237cjkA3BA1cjkA3AC2 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 30/81 §9.2 cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 cjkD3C3cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkBACDcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB6D4LaplacecjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkB2A8cjkB6AFcjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2cjkCAE4cjkD4CBcjkB7BDcjkB3CCcjkBDF8 cjkD0D0cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkBECDcjkB3F6cjkCFD6cjkC1ACcjkB4F8LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkA1A2BesselcjkB7BD cjkB3CCcjkA1A2cjkC7F2BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C8cjkB4FDcjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkD3C3cjkC6E4cjkCBFBcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB6D4cjkC6E4cjkCBFBcjkCAFDcjkD1A7cjkCEEFcjkC0EDcjkC6AB cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkBDF8cjkD0D0cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACcjkBBB9cjkBBB9cjkBBE1cjkBBE1cjkB3F6cjkCFD6cjkB8F7cjkD6D6cjkB8F7cjkD1F9cjkB5C4cjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkCBFCcjkC3C7cjkB4F3 cjkB6E0cjkCAC7cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AEcjkD5E2cjkCFF2cjkCED2cjkC3C7cjkCCE1cjkB3F6cjkC7F3cjkBDE2cjkB4F8cjkB3F5cjkCABCcjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7 cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC yprimeprime + p(x)yprime + q(x)y = 0, y(x0) = C0, yprime(x0) = C1 (9.2-1) cjkB5C4cjkC8CEcjkCEF1cjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0 x0cjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkD6B8cjkB6A8cjkB6A8cjkB5E3cjkB5E3cjkA3ACC0,C1cjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE cjkD5E2cjkD0A9cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkB3CCcjkB3A3cjkB3A3cjkB3A3cjkB3A3cjkB3A3cjkB2BBcjkC4DCcjkD3C3cjkCDA8cjkB3A3cjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkBDE2cjkB3F6cjkA3ACcjkB5ABcjkBFC9cjkD3C3cjkBCB6 cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkBDE2cjkB3F6cjkA3AEcjkCBF9cjkCEBDcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkD4DAcjkC4B3cjkB8F6cjkC8CEcjkD1A1cjkB5E3 x0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkA3ACcjkB0D1cjkB4FD cjkC7F3cjkB5C4cjkBDE2cjkB1EDcjkCEAAcjkCFB5cjkCAFDcjkB4FDcjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkB4FAcjkC8EBcjkB7BDcjkB3CCcjkD2D4cjkD6F0cjkB8F6cjkC8B7cjkB6A8cjkCFB5cjkCAFDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 31/81 cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkCAC7cjkD2BBcjkB8F6cjkB1C8cjkBDCFcjkC6D5cjkB1E9cjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkA3ACcjkCACAcjkD3C3cjkB7B6cjkCEA7cjkBDCFcjkB9E3cjkA3ACcjkBFC9cjkBDE8cjkD6FAcjkD3DAcjkBDE2cjkCEF6 cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkC0EDcjkC2DBcjkBDF8cjkD0D0cjkCCD6cjkC2DBcjkA3AEcjkD5E2cjkC0EFcjkBDF6cjkBDF6cjkBDE9cjkBDE9cjkC9DCcjkD3D0cjkB9D8cjkB5C4cjkBDE1cjkC2DBcjkA3ACcjkB2BBcjkD7F7cjkD6A4cjkC3F7cjkA3AEcjkB6C1cjkD5DFcjkC8E7cjkD0E8 cjkD2AAcjkC1CBcjkBDE2cjkD3D0cjkB9D8cjkD6A4cjkC3F7cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkB2CEcjkBFB4cjkC0FDcjkC8E7cjkCBB9cjkC3D7cjkB6FBcjkC5B5cjkB7F2cjkD6F8cjkA1B6cjkB8DFcjkB5C8cjkD0A7cjkD0A7cjkD1A7cjkD1A7cjkBDCCcjkB3CCcjkA1B7cjkB5DAcjkC8FD cjkBEEDcjkB5DAcjkC8FDcjkB7D6cjkB2E1cjkB5C8cjkCAE9cjkA3AE cjkC7F3cjkB5C3cjkB5C3cjkB5C4cjkB5C4cjkBDE2cjkBCC8cjkC8BBcjkCAC7cjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkBECDcjkD3D0cjkCAC7cjkB7F1cjkCAD5cjkC1B2cjkD2D4cjkBCB0cjkCAD5cjkC1B2cjkB7B6cjkCEA7cjkB5C4cjkCECAcjkCCE2cjkA3AEcjkBCB6cjkCAFD cjkBDE2cjkB7A8cjkB5C4cjkBCC6cjkCBE3cjkBDCFcjkCEAAcjkB7B1cjkB3A4cjkA3ACcjkD2AAcjkC7F3cjkC4CDcjkD0C4cjkBACDcjkCFB8cjkD0C4cjkA3AE cjkB2BBcjkCAA7cjkD2BBcjkB0E3cjkD0D4cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkCCD6cjkC2DBcjkB8B4cjkB1E4cjkBAAFcjkCAFDw(z)cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC d2w dx2 + p(z) dw dx + q(z)w = 0, w(z0) = C0, wprime(z0) = C1. (9.2-2) cjkC6E4cjkD6D0 zcjkCEAAcjkB8B4cjkB1E4cjkCAFDcjkA3ACz0cjkCEAAcjkD1A1cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E3cjkB5E3cjkA3ACC0,C1cjkCEAAcjkB8B4cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE 9.2.1 cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB3A3cjkB5E3cjkBACDcjkC6E6cjkB5E3 cjkC8E7cjkB9FBcjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFDcjkBAAFcjkCAFD p(z)cjkBACD q(z)cjkD4DAcjkD1A1cjkB6A8cjkB5C4cjkB5E3 z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 32/81 cjkD6D0cjkCAC7cjkBDE2. cjkCEF6. cjkB5C4. cjkA3ACcjkD4F2cjkB5E3 z0 cjkBDD0cjkD7F7cjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB5C4cjkB3A3. cjkB5E3. cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkD1A1cjkB6A8cjkB5C4cjkB5E3 z0 cjkCAC7 p(z) cjkBACD q(z)cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkD4F2cjkB5E3 z0 cjkBDD0cjkD7F7cjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB5C4cjkC6E6. cjkB5E3. cjkA3AE cjkB1BEcjkBDDAcjkBDDAcjkBDE9cjkBDE9cjkC9DCcjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkA3AE 9.2.2 cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 cjkB9D8cjkD3DAcjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkD4DAcjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkA3ACcjkD3D0cjkCFC2cjkC3E6 cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkC0ED(cjkB1BEcjkCAE9cjkB2BBcjkD6A4cjkC3F7)cjkA3AE cjkC8F4cjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD p(z)cjkBACD q(z)cjkCEAAcjkB5E3 z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2|z ? z0| < RcjkD6D0cjkB5C4 cjkBDE2cjkCEF6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkD4F2cjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkD5E2cjkD4B2cjkD4B2cjkD6D0cjkB4E6cjkD4DAcjkCEA8cjkD2BBcjkB5C4cjkBDE2cjkCEF6cjkB5C4cjkBDE2w(z)cjkC2FAcjkD7E3cjkB3F5cjkD6B5 cjkCCF5cjkBCFEw(z0) = C0cjkA3ACwprime(z0) = C1cjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0C0,C1 cjkCAC7cjkC8CEcjkD2E2cjkB8F8cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB8B4cjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE cjkBCC8cjkC8BBcjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkD4DAcjkB3A3cjkB5E3 z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2|z ? z0| < RcjkC9CFcjkB4E6 cjkD4DAcjkCEA8cjkD2BBcjkB5C4cjkBDE2cjkCEF6cjkBDE2cjkA3AEcjkBECDcjkB0D1cjkCBFCcjkB1EDcjkB3C9cjkB4CBcjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFTaylorcjkBCB6cjkCAFDcjkB5C4cjkD0CEcjkCABD w(z) = ∞summationdisplay k=0 ak(z ? z0)k (9.2-3) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 33/81 cjkC6E4cjkD6D0cjkCFB5cjkCAFD a1, a2,··· , ak,··· cjkD3D0cjkB4FDcjkC8B7cjkB6A8cjkA3AE cjkCEAA. cjkC1CB. cjkC8B7. cjkB6A8. cjkBCB6. cjkCAFD. cjkBDE2. (9.2-3)cjkD6D0. cjkB5C4. cjkCFB5. cjkCAFD. cjkA3ACcjkBEDF. cjkCCE5. cjkD7F6. cjkB7A8. cjkCAC7. cjkD2D4. (9.2-3)cjkB4FA. cjkC8EB. cjkB7BD. cjkB3CC. (9.2-2)cjkA3ACcjkBACF. cjkB2A2. cjkCDAC. cjkC3DD. cjkCFEE. cjkA3ACcjkC1EE. cjkBACF. cjkB2A2. cjkBAF3. cjkB5C4. cjkB8F7. cjkCFB5. cjkCAFD. cjkB7D6. cjkB1F0. cjkCEAA. cjkC1E3. cjkA3ACcjkD5D2. cjkB3F6. cjkCFB5. cjkCAFD. a1, a2,··· , ak,··· cjkD6AE. cjkBCE4. cjkB5C4. cjkB5DD. cjkCDC6. cjkB9D8. cjkCFB5. cjkA3ACcjkD7EE. cjkBAF3. cjkD3C3. cjkD2D1. cjkB8F8. cjkB5C4. cjkB3F5. cjkD6B5. C0,C1 cjkC0B4. cjkC8B7. cjkB6A8. cjkB8F7. cjkB8F6. cjkCFB5. cjkCAFD. cjkB5C4. ak (k = 0,1,2,···)cjkA3ACcjkB4D3. cjkB6F8. cjkC7F3. cjkB5C3. cjkC8B7. cjkB6A8. cjkB5C4. cjkBCB6. cjkCAFD. cjkBDE2. cjkA3AEcjkCFC2cjkC3E6cjkD2D4 lcjkBDD7 LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkBEDFcjkCCE5cjkCBB5cjkC3F7cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkB5C4cjkB2BDcjkD6E8cjkA3AE 9.2.3 LegendrecjkB7BDcjkB3CC cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE 1. LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 cjkD4DA. x0 = 0cjkB5C4. cjkC1DA. cjkD3F2. cjkC9CF. cjkC7F3. cjkBDE2. lcjkBDD7. LegendrecjkB7BD. cjkB3CC. (1 ? x2)yprimeprime ? 2xyprime + l(l + 1)y = 0, (9.2-4) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 34/81 cjkBCB4 yprimeprime ? bracketleftbigg 2x 1 ? x2 bracketrightbigg yprime + bracketleftbiggl(l + 1) 1 ? x2 bracketrightbigg y = 0. cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD p(x) = ?2x/(1 ? x2).q(x) = l(l + 1)/(1 ? x2)cjkA3AEcjkD4DA x0 = 0cjkA3ACcjkB5A5 cjkD6B5cjkBAAFcjkCAFD p(x0) = 0, q(x0) = l(l + 1)cjkA3ACcjkBEF9cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDEcjkD6B5cjkA3ACcjkCBFCcjkC3C7cjkB1D8cjkC8BBcjkD4DA x0 = 0cjkCEAA cjkBDE2cjkCEF6cjkB5C4cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACx0 = 0cjkCAC7cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB3A3cjkB5E3cjkA3AEcjkB8F9cjkBEDDcjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkBDE2cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkC0EDcjkA3ACcjkBDE2 cjkBEDFcjkD3D0(9.2-3)cjkB5C4TaylorcjkBCB6cjkCAFDcjkD0CEcjkCABDcjkA3ACcjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkC0EFcjkBECDcjkCAC7 y(x) = a0 + a1x + a2x2 + a3x3 +···+ akxk +··· = ∞summationdisplay k=0 akxk. cjkCBF9cjkD2D4 yprime(x)= a1 + 2a2x + 3a3x2 + 4a4x3 +···+ (k + 1)ak+1xk +··· = ∞summationdisplay k=0 (k + 1)ak+1xk, yprimeprime(x)=2a2 + 3 · 2a3x + 4 · 3a4x2 +···+ (k + 2)(x + 1)ak+2xk +··· ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 35/81 = ∞summationdisplay k=0 (k + 2)(k + 1)ak+2xk. cjkBDABcjkCBFCcjkC3C7cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BDcjkB3CC(9.2-4)cjkA3ACcjkBACFcjkB2A2cjkB8F7cjkCDACcjkC3DDcjkB4CEcjkCFEEcjkBAF3cjkD7F3cjkB1DFcjkCAC7cjkB8F6TaylorcjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkD3D2 cjkB1DFcjkCAC7cjkCBF9cjkD3D0cjkCFB5cjkCAFDcjkBEF9cjkCEAAcjkC1E3cjkB5C4TaylorcjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkBCB4 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CC(9.2-4)cjkBFC9cjkB1ED cjkCABEcjkCEAA ∞summationdisplay k=0 bracketleftbig(k + 2)(k + 1)a k+2 + (l2 ? l ? k2 ? k)ak bracketrightbigxk = 0. cjkCBF9cjkD2D4cjkA3ACcjkD7F3cjkB1DFTaylorcjkBCB6cjkCAFDcjkCDACcjkC3DDcjkB4CEcjkCFEEcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkB1D8cjkD0EBcjkC8ABcjkB2BFcjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACcjkBCB4 2 · 1a2 + l(l + 1)a0 = 0, 3 · 2a2 + l(l + 1)a1 = 0, 4 · 3a4 + (l2 + l ? 6)a2 = 0, 5 · 4a5 + (l2 + l ? 12)a3 = 0, ..., .... cjkC6E4cjkD2BBcjkB0E3cjkCABDcjkCEAA (k + 2)(k + 1)ak+2 + (l2 ? l ? k2 ? k)ak = 0 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 36/81 cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkCFB5cjkCAFDcjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABD ak+2 = (k 2 + k ? l)(l + 1) (k + 2)(k + 1) ak = (k ? l)(k + l + 1)(k + 2)(k + 1) ak, k = 0,1,2,··· . (9.2-5) cjkC8E7. cjkB9FB. cjkBCD9. cjkC9E8. cjkD2D1. cjkD6AA. a0, a1cjkA3ACcjkB0B4cjkD5D5cjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABDcjkBEDFcjkCCE5cjkBDF8cjkD0D0cjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkB5C4cjkB5DDcjkB5DDcjkCDC6cjkA3ACcjkC8DDcjkD2D7 cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BD lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CC(9.2-4)cjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2(9.2-3)cjkB5C4cjkB8F6cjkCFB5cjkCAFDcjkCEAAcjkA3AC cjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkCFEE, cjkC6E6cjkB4CEcjkC3DDcjkCFEE a2 = (?l)(l + 1)2! a0, a3 = (1 ? 1)(l + 2)3! a1, a4 = (2 ? l)(l + 3)4! a0, a5 = (3 ? l)(l + 4)5! a1, ..., ..., cjkBFC9cjkBCFBcjkA3ACcjkC1EEcjkCAFDcjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABD(9.2-5)cjkD6D0 k = 0,2,4,··· ,2kcjkA3ACcjkBCB4cjkB5C3cjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkCFEEcjkB5C4cjkCFB5 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 37/81 cjkCAFD a2kcjkA3ACcjkC1EE k = 1,3,5,··· ,2k + 1cjkBCB4cjkB5C3cjkC6E6cjkB4CEcjkC3DDcjkCFEEcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD a2k+1cjkA3ACcjkBCB4 a2k = (2k ? 2 ? l)(2k ? 4 ? l)···(2 ? l)(?l) · (l + 1)(l + 3)(2k)! ····(l + 2k ? 1)a0 = k?1productdisplay m=0 (?l + 2m) k?1productdisplay m=0 (l + 2m+ 1) (2k)! a0, k = 1,2,··· , a2k+1 = (2k ? 1 ? l)(2k ? 3 ? l)···(1 ? l) · (l + 2)(l + 4) · (l + 2k)(2k + 1)! a1. = kproductdisplay m=1 (?l + 2m? 1) kproductdisplay m=1 (l + 2m) (2k + 1)! a1, k = 1,2,··· . cjkBFC9cjkBCFBcjkA3ACcjkD3C9cjkCFB5cjkCAFD a0, a1 cjkBFC9cjkCDEAcjkC8ABcjkC8ABcjkC8B7cjkC8B7cjkB6A8cjkCBF9cjkD3D0cjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkCFB5cjkCAFD a0, a1 cjkBFC9cjkBFC9cjkBFB4cjkBFB4cjkD7F7cjkCAC7 lcjkBDD7 LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkBBFDcjkB7D6cjkCFB5cjkCAFDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 38/81 cjkD3DAcjkCAC7cjkCED2cjkC3C7cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BD lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2 y(x) = a0y0(x) + a1y1(x), (9.2-6) cjkC6E4cjkD6D0cjkC1BDcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkB7D6cjkB1F0cjkCEAA y0(x)= ∞summationdisplay k=0 a2k a0 x 2k, (9.2-7) y1(x)= ∞summationdisplay k=0 a2k+1 a1 x 2k+1. (9.2-8) y0(x)cjkBACD y1(x)cjkB7D6cjkB1F0cjkCAC7 xcjkB5C4cjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkBACDcjkC6E6cjkB4CEcjkC3DDcjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA3AE cjkD0E8cjkD2AAcjkC8B7cjkB6A8cjkBCB6cjkCAFD y0(x)cjkBACD y1(x)cjkB5C4cjkCAD5cjkC1B2cjkB0EBcjkBEB6cjkA3AEcjkB0D1cjkC3DDcjkBCB6cjkCAFDcjkCAFDcjkCAD5cjkCAD5cjkC1B2cjkB0EBcjkBEB6cjkB5C4cjkB9AB cjkCABD(3.2.3)cjkD3A6cjkD3A6cjkD3C3cjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DA y0(x)cjkBACD y1(x)cjkA3AEcjkD4DAcjkD4DAcjkD5E2cjkD5E2cjkC0EFcjkBECDcjkCAC7 R = limn→∞ |an/an+2|cjkA3AEcjkC0FB cjkD3C3cjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABD(9.2-5)cjkA3AC R = limn→∞ vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle (n+ 2)(n+ 1) (n? l)(n+ l + 1) vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle = 1. cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkCAD5cjkC1B2cjkD3DA|x| < 1cjkB6F8cjkB6F8cjkB7A2cjkB7A2cjkC9A2cjkD3DA|x| > 1cjkA3AEy0(x)cjkBDF6 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 39/81 cjkBAAC xcjkB5C4cjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkA3ACcjkCEAAcjkC5BCcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEy1(x)cjkBDF6cjkBAAC xcjkB5C4cjkC6E6cjkB4CEcjkC3DDcjkA3ACcjkCEAAcjkC6E6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE 2. cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkD4DA x = ±1cjkB5C4cjkCAD5cjkC1B2cjkD0D4 cjkB4D3§ 9.1cjkBFC9cjkD2D4cjkD6AAcjkB5C0cjkA3AClcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkD6D0cjkB5C4 x = cosθcjkA3ACcjkC6E4cjkBEF8cjkB6D4cjkD6B5 |x| = |cosθ| ≤ 1cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkBEA1cjkB9DCcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkB7A2cjkC9A2cjkD3DA|x| > 1cjkA3ACcjkD5E2 cjkB8F9cjkB1BEcjkB1BEcjkB2BBcjkB2BBcjkB3C9cjkCEAAcjkCEAAcjkCECAcjkCECAcjkCCE2cjkA3AE cjkB2BBcjkB9FDcjkA3ACx = ±1cjkB6D4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3DAcjkD3DAθ = 0,pi (cjkBCB4cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkB5C4cjkBCABcjkD6E1cjkB7BDcjkCFF2cjkBCB0cjkC6E4cjkB7B4cjkB7B4cjkB7BDcjkB7BD cjkCFF2)cjkA3AEcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkD4DA x = ±1cjkCAC7cjkB7F1cjkCAD5cjkC1B2cjkA3ACcjkB5B9cjkCAC7cjkD2AAcjkC8CFcjkD5E6cjkBFBCcjkC2C7cjkB5C4cjkA3AE cjkB1BEcjkCAE9cjkB8BDcjkC2BCcjkCBC4cjkC0FBcjkD3C3GausscjkC5D0cjkB1F0cjkB7A8cjkD6A4cjkC3F7cjkA3ACcjkBCB6. cjkCAFD. cjkBDE2. y0(x)cjkBACD. y1(x)cjkB7D6. cjkB1F0. cjkD4DA. x = ±1cjkB7A2. cjkC9A2. cjkA3AEcjkC4C7cjkC3B4cjkA3ACcjkCAC7cjkB7F1cjkBFC9cjkC4DCcjkB4E6cjkD4DAcjkC4B3cjkB8F6cjkD4DA x = ±1cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDEcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 cjkC4D8cjkA3BFcjkCAC2cjkCAC2cjkCAB5cjkCAB5cjkC9CFcjkA3AC§ 9.3cjkCFB0cjkCCE25cjkBECDcjkCAC7cjkC7F3 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DA x = +1cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDE cjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkA3ACcjkB2BBcjkB9FDcjkA3ACcjkD5E2cjkB8F6cjkBDE2cjkD4DA x = ?1cjkCAC7cjkB7A2cjkC9A2cjkB5C4cjkA3AE cjkD3C3cjkB7B4cjkD6A4cjkB7A8cjkBFC9cjkD2D4cjkD6A4cjkC3F7 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DA x = ±1cjkBEF9cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDEcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFD cjkBDE2cjkB2BBcjkB4E6cjkD4DAcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 40/81 cjkBCD9cjkB6A8cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y(x)cjkD4DA x = +1cjkBACD x = ?1cjkCAC7cjkD3D0cjkCFDEcjkB5C4cjkA3AEy(x)cjkD7DCcjkBFC9 cjkB1EDcjkCEAAy0(x)cjkBACD y1(x)cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkD7E9cjkBACFcjkA3AE y(x) = D0y0(x) + D1y1(x), (9.2-9) cjkD7A2cjkD2E2cjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkB0D1 xcjkD2BBcjkC2C9cjkBBBBcjkCEAA?xcjkA3AClcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkB8C4cjkB1E4cjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7 cjkCBB5(9.2-9)cjkD3D2cjkB1DFcjkB5C4 xcjkC8E7cjkBBBBcjkCEAA?x y(?x) = D0y0(?x) + D1y1(?x), (9.2-10) cjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkCAC7 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkA3ACcjkB2A2cjkC7D2cjkD2B2cjkD4DA x = +1cjkBACD x = ?1cjkD3D0cjkCFDEcjkA3AEcjkD3C9 cjkD3DA y0(x)cjkCAC7cjkC5BCcjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACy1(x)cjkCAC7cjkC6E6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AC(9.2-10)cjkBFC9cjkD2D4cjkB8C4cjkD0B4cjkCEAA y(?x) = D0y0(x) ? D1y1(?x). (9.2-11) cjkBCC8cjkC8BB(9.2-9)cjkBACD(9.2-11)cjkB6BCcjkCAC7 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DA x = +1cjkBACD x = ?1cjkCEAAcjkD3D0 cjkCFDEcjkB5C4cjkBDE2cjkA3ACcjkCBFCcjkC3C7cjkB5C4cjkBACDcjkBCB42D0y0(x)cjkA3ACcjkD2D4cjkBCB0cjkCBFCcjkC3C7cjkB5C4cjkB2EEcjkBCB42D1y1(x)cjkD3A6cjkB5B1cjkD2B2cjkCAC7 l cjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkD4DA x = +1cjkBACD x = ?1cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDEcjkC7FAcjkBDE2cjkA3AEcjkB5ABcjkCAC7cjkA3ACcjkC9CFcjkC3E6cjkD2D1cjkD6A4cjkC3F7 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkD4DA x = ±1cjkB7A2cjkC9A2cjkA3ACcjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkBCFBcjkA3AC“cjkD3D0cjkD2BBcjkB8F6cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y(x)cjkD4DA ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 41/81 x = +1cjkBACD x = ?1cjkCEAAcjkD3D0cjkCFDE”cjkB5C4cjkBCD9cjkB6A8cjkB2BBcjkC4DCcjkB3C9cjkC1A2cjkA3AEcjkBDE1cjkC2DBcjkCAC7 lcjkBDD7LegendrecjkB7BDcjkB3CC cjkC3BBcjkD3D0cjkD0CEcjkC8E7 y(x) = D0y0(x) + D1y1(x)cjkB6F8cjkD4DA x = ±1cjkBEF9cjkD3D0cjkCFDEcjkB5C4cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkA3AE cjkD3D0cjkB2BBcjkC9D9cjkB6A8cjkBDE2cjkCECAcjkCCE2cjkD2AAcjkC7F3“cjkD4DAcjkD2BBcjkC7D0cjkB7BDcjkCFF2cjkB1A3cjkB3D6cjkD3D0cjkCFDEcjkA3ACcjkCFE0cjkD3A6cjkB5D8cjkBECDcjkD2AAcjkC7F3 LegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkBDE2cjkD4DAcjkD2BBcjkC7D0cjkB7BDcjkCFF20 ≤ θ ≤ picjkBCB4cjkD4DA xcjkB5C4cjkB1D5cjkC7F8cjkBCE4[?1,+1]cjkC9CF cjkB1A3cjkB3D6cjkD3D0cjkCFDEcjkA3AEcjkB6F8cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB0FCcjkC0A8 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkBEF9cjkB2BBcjkC2FAcjkD7E3cjkD5E2cjkB8F6cjkD2AAcjkC7F3cjkA3AE cjkB3F6cjkC2B7cjkBACEcjkD4DAcjkA3BFcjkCEDE. cjkC7EE. cjkBCB6. cjkCAFD. cjkBDE2. cjkD4DA. x ± 1cjkB4E6. cjkD4DA. cjkB7A2. cjkC9A2. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3ACcjkC8E7. cjkC8F4. cjkC4DC. cjkCDCB. cjkBBAF. cjkCEAA. cjkB6E0. cjkCFEE. cjkCABD. cjkA3ACcjkBEDF. cjkD3D0. cjkD3D0. cjkCFDE. cjkB6E0. cjkCFEE. cjkA3ACcjkD4DA. x = ±1cjkB1D8. cjkC8BB. cjkC8A1. cjkD3D0. cjkCFDE. cjkCAFD. cjkD6B5. cjkA3ACcjkC4C7. cjkC3B4. cjkA3ACcjkB7A2. cjkC9A2. cjkCECA. cjkCCE2. cjkBECD. cjkB8F9. cjkB1BE. cjkB2BB. cjkB4E6. cjkD4DA. cjkC1CB. cjkA3AE 3. cjkCDCBcjkBBAFcjkCEAAcjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkB5C4cjkBFC9cjkC4DCcjkD0D4 cjkD7D0cjkCFB8cjkB9DBcjkB2ECcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 y0(x)cjkBACD y1(x)cjkA3ACcjkCBFCcjkC3C7cjkC8B7cjkCAB5cjkD3D0cjkCDCBcjkBBAFcjkCEAAcjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkB5C4cjkBFC9 cjkC4DCcjkA3AE cjkC8E7cjkB2CEcjkCAFD lcjkCAC7cjkC4B3cjkB8F6cjkC5BCcjkCAFDcjkA3ACl = 2n( ncjkCAC7cjkD5FDcjkD5FBcjkCAFD)cjkA3ACcjkD4F2 y0(x)cjkD6BBcjkB5BD x2ncjkCFEE cjkCEAAcjkD6B9cjkA3ACcjkD2F2cjkCEAAcjkB4D3 x2n+2 cjkCFEEcjkC6F0cjkA3ACcjkCFB5cjkCAFDcjkB6BCcjkBAACcjkD3D0cjkD2F2cjkD7D3(2n? l)cjkB4D3cjkB6F8cjkB6BCcjkCAC7cjkC1E3cjkA3AEy0(x) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 42/81 cjkB2BBcjkD4D9cjkCAC7cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkB6F8cjkCAC72ncjkB4CEcjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA3ACcjkB2A2cjkC7D2cjkD6BBcjkBAACcjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkCFEEcjkA3AEcjkD6C1cjkD3DA y1(x)cjkA3AC cjkD2F2cjkC6E4cjkCFB5cjkCAFDcjkB2BBcjkBAACcjkD2F2cjkD7D3(2n? l)cjkA3ACcjkC8D4cjkCAC7cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkC7D2cjkD4DA x ± 1cjkB7A2cjkC9A2cjkA3AEcjkD4DAcjkD2BBcjkB0E3 cjkBDE2(9.2-6)cjkD6D0cjkD6D0cjkD6BBcjkD6BBcjkD2AAcjkC8A1cjkC8A1cjkC8CEcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFD a1 = 0cjkBCB4cjkB5C3cjkD2BBcjkB8F6cjkD6BB. cjkBAAC. cjkC5BC. cjkB4CE. cjkC3DD. cjkB5C4 lcjkB4CEcjkB6E0cjkCFEEcjkCABD a0y0(x)cjkA3AEcjkD2D4cjkBAF3cjkBDABcjkD1A1cjkC8A1cjkCACAcjkB5B1cjkB5B1cjkB5C4cjkB5C4 a0 cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkB3C6cjkD7F7 lcjkBDD7LegendrecjkB6E0 cjkCFEEcjkCABDcjkA3AE cjkC8E7cjkB2CEcjkCAFD lcjkCAC7cjkC4B3cjkB8F6cjkC6E6cjkCAFDcjkA3ACl = 2n+ 1 ( ncjkCAC7cjkC1E3cjkBBF2cjkD5FDcjkD5FBcjkCAFD)cjkA3ACcjkD4F2 y1(x)cjkD6BB cjkB5BD x2n+1cjkCEAAcjkD6B9cjkA3ACcjkD2F2cjkCEAAcjkB4D3 x2n+3 cjkCFEEcjkC6F0cjkA3ACcjkCFB5cjkCAFDcjkB6BCcjkBAACcjkD3D0cjkD2F2cjkD7D3(2n+1 ? l)cjkB4D3cjkB6F8cjkB6BC cjkCAC7cjkC1E3cjkA3AEy1(x)cjkB2BBcjkD4D9cjkCAC7cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkB6F8cjkCAC72n+ 1cjkB4CEcjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA3ACcjkB2A2cjkC7D2cjkD6BBcjkBAACcjkC6E6cjkB4CEcjkC3DD cjkCFEEcjkA3AEcjkD6C1cjkD3DA y0(x)cjkD2F2cjkC6E4cjkCFB5cjkCAFDcjkB2BBcjkBAACcjkD2F2cjkD7D3(2n+ 1 ? l)cjkA3ACcjkC8D4cjkCAC7cjkCEDEcjkC7EEcjkBCB6cjkCAFDcjkC7D2cjkD4DA x = ±1cjkB7A2cjkC9A2cjkA3AEcjkD4DAcjkD2BBcjkB0E3cjkBDE2(9.2-6)cjkD6D0cjkD6D0cjkD6BBcjkD6BBcjkD2AAcjkC8A1cjkC8A1cjkC8CEcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFD a0 = 0cjkBCB4cjkB5C3cjkD2BBcjkB8F6cjkD6BB. cjkBAAC. cjkC6E6. cjkB4CE. cjkC3DD. cjkB5C4 lcjkB4CEcjkB6E0cjkCFEEcjkCABD a1y1(x)cjkA3AEcjkD2D4cjkBAF3cjkBDABcjkD1A1cjkC8A1cjkCACAcjkB5B1cjkB5B1cjkB5C4cjkB5C4 a1 cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkA3AC cjkB3C6cjkD7F7 lcjkBDD7LegendrecjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 43/81 4. cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE cjkD3C9cjkB4CBcjkBFB4cjkC0B4cjkA3ACcjkB6D4cjkD3DAlegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkA3AC“cjkBDE2cjkD4DAcjkC7F8cjkBCE4[?1,+1]cjkB5C4cjkC1BDcjkB6CB x = ±1cjkB1A3cjkB3D6cjkD3D0cjkCFDE”cjkBEBAcjkC8BBcjkCAC7cjkD2BBcjkB8F6cjkD1CFcjkD6D8cjkB5C4cjkCFDEcjkD6C6cjkA3ACcjkD4DAcjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB9FDcjkB3CCcjkD6D0cjkCBF9cjkD2FDcjkC8EB cjkB5C4cjkB3A3cjkCAFD l(l + 1)cjkD6D0cjkB5C4 lcjkB1BBcjkCFDEcjkD6C6cjkD3DAcjkC1E3cjkBACDcjkD5FDcjkD5FDcjkD5FBcjkD5FBcjkCAFDcjkA3ACcjkCDA8. cjkB3A3. cjkB0D1. “cjkBDE2. cjkD4DA. x = ±1cjkB1A3. cjkB3D6. cjkD3D0. cjkCFDE. ”cjkCBB5. cjkB3C9. cjkCAC7. LegendrecjkB7BD. cjkB3CC. cjkB5C4. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3AE LegendrecjkB7BD. cjkB3CC. cjkD3EB. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkB9B9. cjkB3C9. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AEcjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCAC7. l(l + 1), lcjkCEAA. cjkC1E3. cjkBBF2. cjkD5FD. cjkD5FB. cjkCAFD. , (9.2-12) cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkD4F2. cjkCAC7. lcjkBDD7. LegendrecjkB6E0. cjkCFEE. cjkCABD. cjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B1cjkD4DA x0 = 0cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC yprimeprime + ω2y = 0 (ωcjkCAC7cjkB3A3cjkCAFD)cjkA3AE cjkA3A8P.243cjkA3AC1cjkA3A9 a58cjkBDE2cjkA3BAcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD p(x) = 0, q(x) = ω2 cjkCAC7cjkBDE2cjkCEF6cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACx0 = 0cjkCAC7cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 44/81 cjkB3A3cjkB5E3cjkA3ACcjkB9CAcjkB1D8cjkD3D0cjkCEA8cjkD2BBcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkA3BA y(x) = ∞summationdisplay k=0 akxk, ω2y(x) = ∞summationdisplay k=0 ω2akxk, yprime(x) = ∞summationdisplay k=1 kakxk?1 = ∞summationdisplay k=0 (k + 1)ak+1xk, yprimeprime(x) = ∞summationdisplay k=2 k(k ? 1)akxk?2 = ∞summationdisplay k=0 (k + 2)(k + 1)ak+1xk. cjkB4FAcjkC8EBcjkD4ADcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD5FBcjkC0EDcjkB5C3 ∞summationdisplay k=0 bracketleftbigω2a k + (k + 2)(k + 1)ak+2 bracketrightbigxk = 0. ω2ak + (k + 2)(k + 1)ak+2 = 0 cjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkB5BCcjkB3F6cjkB8F7cjkC6E6cjkA1A2cjkC5BCcjkCFEEcjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkB5DDcjkCDC6cjkB9D8cjkCFB5 a2 = ?ω 2 2! a0, a3 = ? ω2 3 × 2 = ? ω2 3! a1, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 45/81 a4 = ? ω 2 4 × 3a2 = ω4 4! , a5 = ? ω2 5 × 4a3 = ω4 5!. .., .... a2k = (?1)k ω 2k (2k)!a0, a2k+1 = (?1) k ω 2k (2k + 1)!a1. cjkCBF9cjkD2D4 y(x)==cjkC6E6cjkB4CEcjkC3DDcjkCFEE+cjkC5BCcjkB4CEcjkC3DDcjkCFEE = a0 ∞summationdisplay k=0 (?1)k ω 2k (2k)!x 2k + a1 ∞summationdisplay k=0 (?1)k ω 2k (2k + 1)!x 2k+1 = a0 ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1(2k)!(ωx)2k + a1ω ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1(2k + 1)!(ωx)2k+1, = a0 cosωx + a1ω sinωx. cjkCABDcjkD6D0 a0 cjkBACD a1cjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD3C9 y(0) = C1 cjkBACD yprime(0) = C2 cjkC8B7cjkB6A8cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkBFC9cjkD2D4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.2. cjkB3A3cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 46/81 cjkB1EDcjkCABEcjkCEAA y(x) = a0 cosωx + a1 sinωx. cjkD5E2cjkD5FDcjkCAC7cjkD2D4cjkC7B0cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkB5BDcjkB5C4cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 47/81 §9.3 cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 9.3.1 cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 cjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC wprimeprime + p(z)wprime + q(z)w = 0 (9.3-1) cjkC8E7cjkB9FBcjkD1A1cjkB6A8cjkB6A8cjkB5C4cjkB5C4cjkB5C4cjkB5E3cjkB5E3 z0 cjkCAC7cjkB7BDcjkB3CC(9.3-1)cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkD4F2cjkD2BBcjkB0E3cjkCBB5cjkC0B4cjkA3ACcjkBDE2cjkD2B2cjkD2B2cjkD2D4cjkD2D4 z0cjkCEAAcjkC6E6 cjkB5E3cjkA3ACcjkD4DAcjkB5E3 z0 cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkD5B9cjkBFAAcjkCABDcjkB2BBcjkCAC7cjkCCA9cjkC0D5cjkBCB6cjkCAFDcjkB6F8cjkCAC7cjkD3D0cjkB8BAcjkC3DDcjkCFEEcjkB5C4LaurantcjkBCB6 cjkCAFDcjkA3AE cjkB9D8cjkD3DAcjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkA3ACcjkD3D0cjkCFC2cjkC3E6cjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkC0ED(cjkB1BEcjkCAE9cjkB2BBcjkD6A4)cjkA3AE cjkC8F4cjkD3A2 z0cjkCEAAcjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3cjkA3ACcjkD4F2cjkD4F2cjkD4DAcjkD4DAcjkB5E3 z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F20 < |z ? z0| < RcjkA3AC cjkB7BDcjkB3CC(9.2-2)cjkB4E6cjkD4DAcjkC1BDcjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkBDE2cjkA3ACcjkC6E4cjkD0CEcjkCABDcjkCEAA w1(z) = ∞summationdisplay k=?∞ ak(z ? z0)s1+k, (9.3-2) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 48/81 w2(z) = ∞summationdisplay k=?∞ bk(z ? z0)s2+k, (9.3-3) cjkBBF2 w2(z) = Aw1(z) ln(z ? z0) + ∞summationdisplay k=?∞ bk(z ? z0)s2+k. (9.3-4) cjkC6E4cjkD6D0 s1, s2, A, ak, bk (k = 0,±1,±2,···)cjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkA3AE cjkD2D4cjkC9CFcjkBDF6cjkBDF6cjkBDF6cjkBDF6cjkCAC7cjkD2BBcjkB0E3cjkD0D4cjkB5C4cjkC2DBcjkB6CFcjkA3ACcjkB2A2cjkC4A9cjkCCE1cjkB9A9cjkBEDFcjkCCE5cjkC7F3cjkB3F6cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB5C4cjkB7BDcjkB7BDcjkB7A8cjkB7A8cjkA3AEcjkBCB4 cjkC8E7cjkBACEcjkC8B7cjkB6A8cjkB3A3cjkCAFD s1, s2, A, ak, bkcjkA3AEcjkCAC2cjkCAC2cjkCAB5cjkCAB5cjkC9CFcjkA3ACcjkD5E2cjkD0A9cjkB3A3cjkCAFDcjkB5C4cjkC8B7cjkB6A8cjkD4DAcjkD2BBcjkB0E3cjkC7E9cjkBFF6cjkCFC2 cjkBADCcjkC0A7cjkC4D1cjkA3ACcjkB1BEcjkCAE9cjkB4D3cjkC2D4cjkA3AE 9.3.2 cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2 cjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB7BDcjkB3CC(9.3-1)cjkB5C4cjkC6E6cjkB5E3 z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F20 < |z ? z0| < RcjkA3ACcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6 cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkBDE2cjkC8ABcjkB6BCcjkBEDFcjkD3D0cjkD3D0cjkD3D0cjkD3D0cjkCFDEcjkB8F6cjkB8F6cjkB8BAcjkB8BAcjkC3DDcjkCFEEcjkA3ACcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3 z0 cjkB3C6cjkCEAAcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6 cjkB5E3cjkA3AEcjkD5E2cjkC0EFcjkD6BBcjkCCD6cjkC2DBcjkD5E2cjkD6D6cjkCFE0cjkB6D4cjkC8DDcjkD2D7cjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3AEcjkD5E2cjkD2B2cjkCAC7cjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 49/81 cjkC8E7cjkCFB5cjkCAFDcjkCAFDcjkC9D9cjkC9D9 p(z)cjkD2D4 z0cjkCEAAcjkB2BBcjkB8DFcjkD3DAcjkD2BBcjkBDD7cjkB5C4cjkBCABcjkB5E3cjkA3ACcjkC7D2cjkCFB5cjkCAFD q(z)cjkD2D4 z0cjkCEAAcjkB2BB cjkB8DFcjkD3DAcjkB6FEcjkBDD7cjkB5C4cjkBCABcjkB5E3cjkA3ACcjkBCB4 p(z) = ∞summationdisplay k=?1 pk(z ? z0)k, q(z) = ∞summationdisplay k=?2 qk(z ? z0)k, (9.3-5) cjkBFC9cjkD2D4cjkD6A4cjkC3F7cjkC6E6cjkB5E3 z0 cjkBECDcjkCAC7cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkA3AEcjkD5E2cjkBECDcjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACcjkD4DA z0 cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2 0 < |z ? z0| < RcjkA3ACcjkB7BDcjkB3CC(9.3-1)cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkBDE2cjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkB1EDcjkB4EFcjkCABDcjkD6BBcjkD3D0cjkD3D0cjkD3D0cjkD3D0cjkCFDE cjkB8F6cjkB8F6cjkB8BAcjkB8BAcjkC3DDcjkCFEEcjkA3BA w1(z) = ∞summationdisplay k=0 ak(z ? z0)s1+k, (9.3-6) w2(z) = ∞summationdisplay k=0 bk(z ? z0)s2+k, (9.3-7) cjkBBF2 w2(z) = Aw1(z) ln(z ? z0) + ∞summationdisplay k=0 bk(z ? z0)s2+k. (9.3-8) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 50/81 cjkC6E4cjkD6D0 s1 cjkBACD s2 cjkCAC7cjkCBF9cjkCEBDcjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC s(s ? 1) + sp?1q?2 = 0 (9.3-9) cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkA3ACcjkB6F8 s2cjkCEAAcjkBDCFcjkD0A1cjkB5C4cjkC4C7cjkD2BBcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkA3ACcjkD6C1cjkD3DA A, akcjkBACD bkcjkBEF9cjkCEAAcjkB3A3cjkCAFDcjkCFB5cjkCAFDcjkA3AE (9.3-7)cjkCACAcjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DA s1 ? s2 nequalcjkD5FBcjkCAFDcjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3AC(9.3-8)cjkD4F2cjkCACAcjkD3C3cjkD3C3cjkD3DAcjkD3DA s1 ? s2 =cjkD5FB cjkCAFDcjkB5C4cjkC7E9cjkBFF6cjkA3AEcjkB2BBcjkB9FDcjkA3AC(9.3-8)cjkD6D0cjkB5C4 AcjkD2B2cjkD3D0cjkBFC9cjkC4DCcjkB5C8cjkD3DAcjkC1E3cjkA3ACcjkB6F8(9.3-8)cjkD3D6cjkB9E9cjkBDE1 cjkCEAA(9.3-7)cjkA3AEcjkC9CFcjkCAF6cjkBDE1cjkC2DBcjkB5C4cjkD1E9cjkD6A4cjkB4D3cjkC2D4cjkA3A8P.245cjkA1AB247cjkA3A9cjkA3A9cjkA3AEcjkA3AE a58cjkC0FDcjkA3B1cjkD4DA x0 = 0cjkB5C4cjkC1DAcjkB3C7cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2 x2yprimeprime + xyprime ? m2y = 0 ( mcjkCAC7cjkB3A3cjkCAFD)cjkA3ACcjkD5E2 cjkB8F6cjkB7BDcjkB3CCcjkBCB4(8.1.67)cjkA3AEcjkA3AEcjkA3A8cjkA3A8P.260cjkA3AC1cjkA3A9 cjkCFC2cjkC3E6cjkD2D4BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkCEAAcjkC0FDcjkA3ACcjkCBB5cjkC3F7cjkD4DAcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkC9CFcjkC8E7cjkC8E7cjkBACEcjkD3C3cjkBCB6 cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8cjkC7F3cjkBDE2cjkCFDFcjkD0D4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 51/81 9.3.3 BesselcjkB7BDcjkB3CC 1. νcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC cjkD4DAcjkB5E3 x0 = 0cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2νcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC x2yprimeprime + xyprime + (x2 ? ν2)y = 0, ν nequalcjkD5FBcjkCAFDcjkBBF2cjkB0EBcjkC6E6cjkCAFD (9.3-18) cjkBCB4 yprimeprime + 1xyprime + parenleftbigg 1 ? ν 2 x2 parenrightbigg y = 0. cjkB5E3 x0 = 0cjkCAC7 p(x) = 1/xcjkB5C4cjkD2BBcjkBDD7cjkBCABcjkB5E3cjkA3ACcjkD3D6cjkCAC7 q(x) = 1 ? ν2/x2 cjkB5C4cjkB6FEcjkBDD7cjkBCAB cjkB5E3cjkA3AEcjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkB5E3 x0 = 0cjkCAC7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkA3AEcjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkCEAA s(s ? 1) + s ? ν2 = 0, cjkBCB4 s2 ? ν2 = 0. cjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkCEAAs1 = ν, s2 = ?νcjkA3ACcjkC1BDcjkB8F9cjkD6AEcjkB2EE s1 ? s2 = 2ν nequal 0cjkBBF2cjkD5FDcjkD5FDcjkD5FBcjkD5FBcjkCAFDcjkA3AEcjkD2F2cjkB4CB cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkBDE2cjkC8A1(9.3-6)cjkBACD(9.3-7)cjkB5C4cjkD0CEcjkCABDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 52/81 cjkCFC8cjkB2BBcjkB7D6 s1 cjkBACD s2cjkA3ACcjkD2D4cjkCAB5cjkB1E4cjkCAFD xcjkB5C4cjkBDE2 y(x) = a0xs + a1xs+1 + a2xs + 2 +···+ akxs+k +··· , a0 nequal 0 cjkCFC8cjkB2BBcjkB7D6 s1 cjkBACD s2cjkA3ACcjkD2D4cjkCAB5cjkB1E4cjkCAFD xcjkB5C4cjkBDE2 y(x) = a0xs + a1xs+1 + a2xs+2 +··· akxk+s +··· , a0 nequal 0, cjkB4FAcjkC8EBcjkB7BDcjkB3CC(9.3-18)cjkA3AEcjkBACFcjkB2A2cjkCDACcjkC3DDcjkB4CEcjkB5C4cjkCFEEcjkA3ACcjkBACFcjkB2A2cjkCDACcjkC3DDcjkB4CEcjkCFEEcjkBAF3cjkB5C4cjkB8F7cjkCFEEcjkCFEEcjkCFB5cjkCFB5cjkCAFDcjkD3A6cjkCEAA cjkC1E3cjkA3ACcjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3 ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??? ? bracketleftbigs2 ? ν2bracketrightbiga 0 = 0,bracketleftbig (s + 1)2 ? ν2bracketrightbiga1 = 0,bracketleftbig (s + 2)2 ? ν2bracketrightbiga2 + a0 = 0, ..., bracketleftbig(s + k)2 ? ν2bracketrightbiga k + ak?2 = 0, .... (9.3-19) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 53/81 cjkB8F9cjkBEDDcjkD4BCcjkB6A8 a0 nequal 0cjkA3AC(9.3-19)cjkD6D0cjkB5DAcjkD2BBcjkB8F6cjkB7BDcjkB3CCcjkBCB4cjkCAC7cjkC5D0cjkB6A8cjkB7BD cjkB3CCcjkA3BAs2 ? ν2 = 0cjkA3ACcjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkC7B0cjkC3E6cjkD2D1cjkBEADcjkBEADcjkBDE2cjkBDE2cjkB3F6cjkA3AEcjkBDABcjkD5E2cjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkB4FAcjkC8EB(9.3-19)cjkD6D0cjkB5DA cjkB6FEcjkB8F6cjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkD3D0bracketleftbig(±ν + 1)2 ? ν2bracketrightbiga1 = 0cjkA3ACcjkB5C3 a1 = 0. cjkC0FBcjkD3C3cjkD2D4cjkBAF3cjkB8F7cjkCABDcjkBDF8cjkD0D0cjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkB5C4cjkB5DDcjkB5DDcjkCDC6cjkA3ACcjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABDcjkCABDcjkCAC7cjkCAC7 bracketleftbig(s + k)2 ? ν2bracketrightbiga k + ak?1 = 0, ak = ?1(s + k)2 ? ν2ak?1 = ?1(s + k ν)(s + k ? ν) ak?2. cjkC8F4cjkC8F4cjkC8A1cjkC8A1 s = +νcjkA3ACcjkB5DDcjkCDC6cjkB9ABcjkCABDcjkCEAA ak = ?1k(2ν + k)ak?2, cjkD3C9cjkB4CBcjkB5C3cjkCFB5cjkCAFDcjkCDA8cjkCABD a2k = (?1)k 1k!(ν + 1)(ν + 2)···(ν + k) · 122ka0, ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 54/81 a2k+1 = 0. cjkD5E2cjkD1F9cjkA3ACcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDνcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2 y1(x)= a0xν bracketleftbigg 1 ? 11!(ν + 1) parenleftBigx 2 parenrightBig2 =+ 12!(ν + 1)(ν + 2) parenleftBigx 2 parenrightBig4 ? ··· =+ (?1)k 1k!(ν + 1)(ν + 2)···(ν + k) parenleftBigx 2 parenrightBig2k +··· bracketrightbigg (9.3-20) cjkD5E2cjkB8F6cjkBCB6cjkCAFDcjkB5C4cjkCAD5cjkC1B2cjkB0EBcjkBEB6cjkA3ACcjkB0B4(3.2-3)cjkCEAA R = lim k→∞ vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingleak?1 ak vextendsinglevextendsingle vextendsinglevextendsingle = lim k→∞ 22k(2ν + k) = ∞. cjkD5E2cjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACcjkD6BBcjkD2AA xcjkD3D0cjkCFDEcjkA3ACcjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2(9.3-20)cjkBECDcjkCAD5cjkC1B2cjkA3AEcjkCDA8cjkB3A3cjkC8A1 a0 = 12νΓ(ν + 1) cjkB9D8cjkD3DAcjkCAB5cjkB1E4cjkCAFD x fcjkB5C4Γ(x)cjkCDA8cjkB3A3cjkD4DAcjkCEA2cjkBBFDcjkB7D6cjkBDCCcjkB1BEcjkD6D0cjkB2BFcjkD3D0cjkB6BCcjkA3ACcjkB9D8cjkD3DAcjkB8B4cjkB1E4cjkCAFD zcjkB5C4 ΓcjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkB6C1cjkD5DFcjkBFC9cjkB2CEcjkD4C4cjkB8BDcjkC2BCcjkCAAEcjkC8FDcjkA3ACcjkB2A2cjkB0D1cjkD5E2cjkB8F6cjkBDE2cjkBDE2cjkBDD0cjkBDD0cjkD7F7νcjkBDD7BesselcjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkBCC7 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 55/81 cjkD7F7 Jν(x)cjkA3AC Jν(x) = ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1k!Γ(ν + k + 1) parenleftBigx 2 parenrightBigν+2k . (9.3-21) cjkD4D9cjkC8A1 s = ?νcjkA3ACcjkCDACcjkC0EDcjkBFC9cjkB5C3cjkC1EDcjkD2BBcjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkC6E4cjkCAD5cjkC1B2cjkB0EBcjkBEB6cjkD2B2cjkCAC7∞cjkA3AEcjkB8C3cjkCCD8cjkBDE2cjkB7C2 cjkD5D5cjkC9CFcjkCAF6cjkB0ECcjkB7A8cjkD7EEcjkD6D5cjkBFC9cjkB1EDcjkCABEcjkCEAA J?ν(x) = ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1k!Γ(?ν + k + 1) parenleftBigx 2 parenrightBig?ν+2k . (9.3-22) cjkB3C6cjkCEAA?νcjkBDD7BesselcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE νcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCDA8cjkBDE2cjkCAC7 y(x) = C1Jν(x) + C2J?ν(x), (9.3-23) C1,C2cjkCEAAcjkC8CEcjkD2E2cjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkD3EB xcjkCEDEcjkB9D8cjkA3AE cjkD3D0cjkCAB1cjkC8A1C1 = ctgνpi,C2 = ?cscνpicjkB4FAcjkC8EB(9.3-23)cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkD2BBcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkA3ACcjkD2D4cjkB4CB cjkD7F7cjkCEAAνcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB5C4cjkB5DAcjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkB5C4cjkBDE2cjkA3AEcjkBDD0cjkD7F7νcjkBDD7NeumanncjkBAAF ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 56/81 cjkCAFDcjkA3A8cjkD2B2cjkB3C6cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0BesselcjkBAAFcjkCAFDcjkA3A9cjkA3A9cjkA3ACcjkA3ACcjkBCB4 Nν(x) = Jν(x) cosνpi ? T?ν(x)sinνpi . (9.3-24) cjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACνcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCDA8cjkBDE2cjkD2B2cjkBFC9cjkC8A1cjkCEAA y(x) = C1Jν(x) + C2Nν(x). (9.3-25) 2. cjkB0EBcjkC6E6cjkCAFDcjkA3A8l + 1/2cjkA3A9cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC cjkD4DA x0 = 0cjkB5C4cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2(+1/2)cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC x2yprimeprime + xyprime + bracketleftBigg x2 ? parenleftbigg l + 12 parenrightbigg2bracketrightBigg y = 0, l = 0,1,2,··· . (9.3-26) cjkB5E3 x0 = 0cjkCAC7cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkA3AE cjkCAD7cjkCFC8cjkBFBCcjkC2C7 l = 0cjkB5C41/2cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC x2yprimeprime + xyprime + bracketleftBigg x2 ? parenleftbigg1 2 parenrightbigg2bracketrightBigg y = 0. (9.3-27) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 57/81 cjkC7B0cjkC3E6cjkD2D1cjkBEADcjkBEADcjkBDE2cjkBDE2cjkB3F6cjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkCEAAs1 = ν, s2 = ?νcjkA3ACcjkD4DAcjkB4CBcjkBECDcjkCAC7 s1 = 1/2, s2 = ?1/2cjkA3AEcjkB6D4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3DAcjkD3DAcjkB4F3cjkB8F9 s1 = 1/2cjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkCAC7BesselcjkBAAF cjkCAFD(9.3-21)cjkA3ACcjkC6E4cjkD6D0ν = 1/2cjkA3AEcjkD3DAcjkCAC71/2cjkBDD7BesselcjkBAAFcjkCAFDcjkBFC9cjkD0B4cjkCEAA J1 2 (x)= ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1k!Γparenleftbigk + 3 2 parenrightbig parenleftBigx 2 parenrightBig12+2k =······ = radicalbigg 2 pix ∞summationdisplay k=0 (?1)k 1(2k + 1)!x2k+1 = radicalbigg 2 pix sin x.(9.3-28) cjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkC1BDcjkB8F7cjkD6AEcjkB2EE s1 ? s2 = 1cjkCAC7cjkD5FBcjkCAFDcjkA3ACcjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkB5C4cjkD0CEcjkCABD cjkCAC7(9.3-8)cjkA3ACcjkBCB4 y2(x) = AJ1 2 (x) ln x + ∞summationdisplay k=?1/2 bkxk. cjkB0D1cjkC9CFcjkCABDcjkB4FAcjkC8EB1/2cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkD6D0cjkA3ACcjkBFC9cjkC8B7cjkB6A8cjkC6E4cjkCFB5cjkCAFD A = 0cjkBACD bk cjkB5C4cjkD6B5cjkA3AC ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 58/81 cjkD7EEcjkBAF3cjkB5C3cjkB5C3cjkB5DAcjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkCEAA J?1 2 (x) = radicalbigg 2 pix cos x. (9.3-29) cjkBEA1cjkB9DCcjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CCcjkC1BDcjkB8F9cjkD6AEcjkB2EEcjkCAC7cjkD5FBcjkCAFD1cjkA3ACcjkB5ABcjkB3A3cjkCAFD A = 0cjkA3ACcjkB5DAcjkB6FEcjkCCD8cjkBDE2cjkB5C4cjkB1EDcjkB4EFcjkCABD cjkD6D0cjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkB3F6cjkCFD6cjkB6D4cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE cjkCBF9cjkD2D41/2cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCDA8cjkBDE2cjkCAC7 y(x) = C1J1 2 (x) + C2J?1 2 (x), (9.3-30) cjkCFD6cjkD4DAcjkBFBCcjkC2C7cjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkB0EBcjkC6E6cjkCAFD(l + 1/2)cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC(9.3-26)cjkA3ACcjkC5D0cjkB6A8cjkB7BDcjkB3CC cjkB5C4cjkC1BDcjkB8F6cjkB8F6cjkB8F9cjkB8F9cjkCEAAs1 = l + 1/2, s2 = ?(l + 1/2)cjkA3ACcjkC1BDcjkB8F7cjkD6AEcjkB2EEcjkCEAA s1 ? s2 = 2l + 1cjkA3ACcjkCEAAcjkD5FDcjkD5FDcjkD5FBcjkD5FBcjkCAFDcjkA3AEcjkB6D4cjkD3A6cjkD3A6cjkD3DAcjkD3DAcjkB4F3cjkB8F9 s1 = l + 1/2cjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkD3A6cjkCEAA ν = l + 1/2cjkBDD7cjkB5C4BesselcjkBAAFcjkCAFD(9.3-21)cjkA3ACcjkBCB4 Jl+1 2 (x) = ∞summationdisplay k=0 (?1)k k!Γ(l + 1/2 + k + 1) parenleftBigx 2 parenrightBigl+12+2k . (9.3-31) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 59/81 cjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkB5C4cjkD0CEcjkCABDcjkCABDcjkCAC7cjkCAC7(9.3-8)cjkA3ACcjkBCB4 y2(x) = AJl+1 2 (x) + ∞summationdisplay k=?(l+1/2) bkxk. cjkB4FAcjkC6E4cjkC8EBcjkB7BDcjkB3CC(9.3-26)cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkCDACcjkD1F9cjkD3D0 A = 0cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkB5DAcjkB6FEcjkB8F6cjkCCD8cjkBDE2cjkC8D4cjkC8D4cjkC8BBcjkC8BBcjkBFC9 cjkD3C3(9.3-22)cjkB1EDcjkCABEcjkA3ACcjkB2BBcjkB9FDcjkD3A6cjkC8A5?ν = ?(l + 1/2)cjkA3ACcjkBCB4 J?(l+1 2) (x) = ∞summationdisplay k=0 (?1)k k!Γ(?l ? 1/2 + k + 1) parenleftBigx 2 parenrightBig?l?12+2k . (9.3-32) cjkD2F2cjkB4CB(l + 1/2)cjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkCDA8cjkBDE2cjkCAC7 y(x) = C1Jl+1 2 (x) + C2J?(l+1 2) (x). (9.3-33) 3. cjkD5FBcjkCAFD mcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC cjkD4DAcjkB5E3 x0 = 0cjkB5C4cjkC1DAcjkBED3cjkD3F2cjkC9CFcjkC7F3cjkBDE2cjkD5FBcjkCAFD mcjkBDD7BesselcjkB7BDcjkB3CC x2yprimeprime + xyprime + (x2 ? m2)y = 0, (mcjkCEAAcjkD7D4cjkC8BBcjkCAFD) (9.3-34) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 60/81 cjkB5C4cjkBDE2cjkB7A8cjkD3EBcjkC7B0cjkC0E0cjkCBC6cjkA3AEcjkBFC9cjkD2D4cjkD6A4cjkC3F7cjkA3ACcjkC6E4cjkC1BDcjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkB6C0cjkC1A2cjkB5C4cjkCCD8cjkBDE2cjkCEAA Jm(x) = summationdisplay k=0 (?1)k 1k!(m+ k!) parenleftBigx 2 parenrightBigm+2k , (9.3-35) Nm(x) = 2pi parenleftBig ln x2 + C parenrightBig Jm(x). (9.3-36) cjkD5E2cjkC0EFcjkA3ACΓ(m+ k + 1) = (m+ k)!cjkA3ACCcjkB3C6cjkCEAAEulercjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkB6A8cjkD2E5cjkCEAA C = lim k→∞ parenleftbigg 1 + 12 + 13 +···+ 1k ? ln k parenrightbigg = 0.577216··· . cjkC6E4cjkCDA8cjkBDE2cjkCEAA y(x) = C1Jm(x) + C2Nm(x). (9.3-37) char7e cjkB1C8 . cjkBDCF. cjkD2D4. cjkC9CF. cjkBCB8. cjkD6D6. cjkC7E9. cjkBFF6. cjkBFC9. cjkD6AA. cjkA3ACcjkB3FD. ν = 0cjkD2D4. cjkCDE2. cjkA3ACcjkB0FC. cjkBAAC. ν =cjkD5FB. cjkCAFD. cjkA1A2cjkB0EB. cjkC6E6. cjkCAFD. cjkBDD7. cjkB5C4. BesselcjkB7BD. cjkB3CC. cjkB5C4. cjkBDE2. cjkBFC9. cjkD6B1. cjkBDD3. cjkD3C9. cjkB5DA. cjkD2BB. cjkD6D6. cjkC7E9. cjkBFF6. ——vcjkBDD7. BesselcjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3A8ν nequal 0cjkA1A2 cjkD5FB. cjkCAFD. cjkA1A2cjkB0EB. cjkC6E6. cjkCAFD. cjkA3A9cjkB5C4. cjkC1BD. cjkB8F6. cjkCFDF. cjkD0D4. cjkB6C0. cjkC1A2. cjkB5C4. cjkCCD8. cjkBDE2. cjkB4FA. cjkCFE0. cjkD3A6. νcjkD6B5. cjkB5C3. cjkB5BD. cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 61/81 4. x = 0cjkB4A6cjkB5C4cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE cjkD5FBcjkCAFDcjkBDD7BesselcjkBAAFcjkCAFD J0(x)cjkA1ABJ3(x)cjkBACDcjkD5FBcjkCAFDcjkBDD7NeumanncjkBAAFcjkCAFD N0(x), N1(x)cjkB5C4cjkC7FAcjkCFDFcjkCDBCcjkCFF3cjkB7D6cjkB1F0cjkBBADcjkD4DAcjkCDBC11-1cjkBACDcjkCDBC11-3cjkD6D0cjkA3AEcjkD3C9cjkB1EDcjkB4EF cjkCABD(9.3-21)cjkA3AC(9.3-22)cjkA3AC(9.3-24)cjkA3AC(9.3-38)cjkBFC9cjkD2D4cjkBFB4cjkB3F6cjkA3ACcjkB5B1 x → 0cjkA3ACbraceleftBigg J0(x) → 1, Jν(x) → 1, J?ν(x) → ∞, Nν(x) → ±∞, Mm(x) → ?∞, ν > 0. (9.3-42) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.3. cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkC1DAcjkD3F2cjkC9CFcjkB5C4cjkBCB6cjkCAFDcjkBDE2cjkB7A8 62/81 cjkD2F2cjkB4CBcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkCBF9cjkD1D0cjkBEBFcjkB5C4cjkC7F8cjkD3F2cjkB0FCcjkBAAC x = 0cjkD4DAcjkC4DAcjkA3ACcjkCDF9cjkCDF9cjkCDF9cjkCDF9cjkBECDcjkD2AAcjkC5C5cjkB3FD N0(x), Nm(x), J?ν(x)(x), Nν(x)cjkA1A2cjkB6F8cjkD6BBcjkCAA3cjkCFC2 J0(x), Jm(x)cjkBACD Jν(x)cjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkA3AC cjkCED2cjkC3C7cjkCBB5cjkA3ACBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkA3ACcjkB2BBcjkB9DCcjkC6E4cjkBDD7cjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7cjkD5FBcjkCAFDcjkD3EBcjkB7F1cjkA3ACcjkD4DA x = 0cjkBEDFcjkD3D0cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DF cjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AE 9.3.4 cjkD0E9cjkD7DAcjkC1BFBesselcjkB7BDcjkB3CC cjkB2BBcjkD2AAcjkC7F3cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. 63/81 §9.4 Sturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 cjkB4D3cjkB5DAcjkB0CBcjkD5C2cjkBACDcjkB1BEcjkD5C2cjkC7B0cjkC8FDcjkBDDAcjkBFB4cjkB5BDcjkA3ACcjkD3C9. cjkCAFD. cjkD1A7. cjkCEEF. cjkC0ED. cjkC6AB. cjkCEA2. cjkB7D6. cjkB7BD. cjkB3CC. cjkB5C4. cjkB7D6. cjkC0EB. cjkB1E4. cjkD0A7. cjkB7A8. cjkD2FD. cjkB3F6. cjkB5C4. cjkB3A3. cjkCEA2. cjkB7D6. cjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3ACcjkCDF9. cjkCDF9. cjkB8BD. cjkD3D0. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkD5E2. cjkD0A9. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkD3D0. cjkB5C4. cjkCAC7. cjkC3F7. cjkB0D7. cjkCCE1. cjkB3F6. cjkC0B4. cjkB5C4. cjkA3ACcjkD3D0. cjkB5C4. cjkC8B4. cjkCAC7. cjkC3BB. cjkD3D0. cjkC3F7. cjkB0D7. cjkCCE1. cjkB3F6. cjkC0B4. cjkB5C4. cjkCBF9. cjkCEBD. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3AEcjkC2FA. cjkD7E3. cjkD5E2. cjkD0A9. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkB5C4. cjkD3D0. cjkD2E2. cjkD2E5. cjkB5C4. cjkBDE2. cjkCDF9. cjkCDF9. cjkB2BB. cjkB4E6. cjkD4DA. cjkA3ACcjkB3FD. cjkB7C7. cjkB7BD. cjkB3CC. cjkB5C4. cjkB2CE. cjkCAFD. cjkC8A1. cjkC4B3. cjkD0A9. cjkCCD8. cjkB6A8. cjkD6B5. cjkA3AEcjkD5E2. cjkD0A9. cjkCCD8. cjkB6A8. cjkD6B5. cjkBDD0. cjkD7F7. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkA3ACcjkCFE0. cjkD3A6. cjkB5C4. cjkB7C7. cjkC1E3. cjkD3D0. cjkCFDE. cjkBDE2. cjkBDD0. cjkD7F7. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkA3AEcjkC7F3. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkBACD. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkCECA. cjkCCE2. cjkBDD0. cjkD7F7. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AE cjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkB6BCcjkB9E9cjkBDE1cjkCEAASturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkB1BEcjkBDDA cjkBECDcjkCCD6cjkC2DBSturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE 9.4.1 Sturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 cjkB6A8. cjkD2E5. cjkB6FE. cjkBDD7. cjkB3A3. cjkCEA2. cjkB7D6. cjkB7BD. cjkB3CC. d dx bracketleftbigg k(x)dydx bracketrightbigg ? q(x)y + λρ(x)y = 0, a ≤ x ≤ b. (9.4-1) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 64/81 cjkCEAA. Sturm-LivouvillecjkD0CD. cjkB7BD. cjkB3CC. cjkA3AE cjkD2BBcjkB0E3cjkB5C4cjkB6FEcjkBDD7cjkB3A3cjkCEA2cjkB7D6cjkB7D6cjkB7BDcjkB7BDcjkB3CC yprimeprime + a(x)yprime + b(x)y + λc(x)y = 0 cjkB3CBcjkD2D4cjkCACAcjkB5B1cjkB5B1cjkB5C4cjkB5C4cjkBAAFcjkCAFDe integraltext a(x)dx cjkA3ACcjkBECDcjkBBAFSturm-LivouvillecjkD0CDcjkB7BDcjkB3CC d dx bracketleftbigg e integraltext a(x)dxdy dx bracketrightbigg + bracketleftBig b(x)e integraltext a(x)dxbracketrightBig yprime + λ bracketleftBig c(x)e integraltext a(x)dxbracketrightBig y = 0. char7e Sturm-LivouvillecjkD0CD . cjkB7BD. cjkB3CC. (9.4-1)cjkB8BD. cjkD2D4. cjkC6EB. cjkB4CE. cjkB5C4. cjkB5DA. cjkD2BB. cjkC0E0. cjkA1A2cjkB5DA. cjkB6FE. cjkC0E0. cjkBBF2. cjkB5DA. cjkC8FD. cjkC0E0. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkBBF2. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkBECD. cjkB9B9. cjkB3C9. Sturm-LivouvillecjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AEcjkC0FDcjkC8E7cjkA3ACcjkCACAcjkB5B1cjkD1A1cjkD4F1 a, b, k(x), q(x),ρ(x)cjkA3ACcjkBECDcjkBFC9cjkD2D4cjkD3C9Sturm-Livouville cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkCEEFcjkC0EDcjkBACDcjkB9A4cjkB3CCcjkBCBCcjkCAF5cjkC9CFcjkB3A3cjkBCFBcjkB5C4cjkBCB8cjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkA3AE a130a = 0, b = l; k(x) =cjkB3A3cjkCAFD, q(x) = 0,ρ(x) =cjkB3A3cjkCAFDcjkA3ACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkCEAAbraceleftBigg yprimeprime + λy = 0, y(0) = 0, y(l) = 0. (9.4-2) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 65/81 cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7cjkA3BAλ = n2pi2l2 , y = C sin npixl cjkA3AE a131 a = ?1, b = +1; k(x) = 1 ? x2, q(x) = 0,ρ(x) = 1cjkA3AEcjkBBF2 a = 0, b = pi; k(θ) = sinθ, q(θ) = 0,ρ(θ) = sinθcjkA3AEcjkBECDcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDLegendrecjkB7BDcjkB3CC cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2? ?? ?? d dx bracketleftbigg (1 ? x2)dydx bracketrightbigg + λy = 0, y(?1) =cjkD3D0cjkCFDE, y(+1) =cjkD3D0cjkCFDE. cjkBBF2 ? ?? ?? d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg + λsinθΘ = 0, Θ(0) =cjkD3D0cjkCFDE, Θ(pi) =cjkD3D0cjkCFDE. (9.4-3) cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7 l(l + 1)cjkBACDLegendrecjkBAAFcjkCAFDcjkA3AE a132a = ?1, b = +1; k(x) = 1 ? x2, q(x) = m21?x2,ρ(x) = 1cjkBBF2 a = 0, b = pi; k(θ) sinθ, q(θ) = m2sinθ,ρ(θ) = sinθcjkA3ACcjkBECDcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDcjkC1ACcjkB4F8Legendre ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 66/81 cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2? ?? ?? d dx bracketleftbigg (1 ? x2)dydx bracketrightbigg ? m 2 1 ? x2y + λy = 0, y(?1) =cjkD3D0cjkCFDE, y(+1) =cjkD3D0cjkCFDE. cjkBBF2 (9.4-4)? ?? ?? d dθ parenleftbigg sinθdΘdθ parenrightbigg ? m 2 sinθΘ+ λsinθΘ = 0, Θ(0) =cjkD3D0cjkCFDE, Θ(pi) =cjkD3D0cjkCFDE. a133a = 0, b = ξ0; k(ξ) = ξ, q(ξ) = m2ξ ,ρ(ξ) = ξcjkA3ACcjkBECDcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB1BE cjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2? ?? ?? d dξ bracketleftbigg ξdydξ bracketrightbigg ? m 2 ξ y + λξy = 0, y(0) =cjkD3D0cjkCFDE, y(ξ0) = 0. (9.4-5) cjkD5E2cjkC0EFcjkB5C4ξcjkC6E4cjkCAB5cjkCAB5cjkCAC7cjkCAC7cjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkBBF2cjkC6BDcjkC3E6cjkBCABcjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkB5C4ρcjkA3ACcjkCEAAcjkC1CBcjkB1DCcjkC3E2cjkD3EB ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 67/81 Sturm-LivouvillecjkD0CDcjkB7BDcjkB3CCcjkD6D0cjkB5C4ρcjkCFE0cjkBBECcjkCFFDcjkB8C4cjkD3C3cjkBCC7cjkBAC5ξcjkA3AEcjkC9CFcjkC3E6cjkD0B4cjkB3F6cjkB5C4cjkD5E2cjkB8F6cjkB7BD cjkB3CCcjkBECDcjkCAC7(9.1-19)cjkBACD(9.1-47)cjkA3ACcjkB6F8λ = μcjkA3ACcjkBBB9cjkD2AAcjkD7F7cjkB4FAcjkBBBB x = √λξcjkB2C5cjkB3C9cjkCEAAcjkB1EAcjkD7BC cjkD0CEcjkCABDcjkB5C4BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkA3AE a134a = 0, b = +∞; k(x) = e?x2, q(x) = 0,ρ(x) = e?x2cjkA3ACcjkBECDcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDHermitecjkB7BD cjkB3CC yprimeprime ? 2xyprime + λy = 0 cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2? ?? ?? d dx bracketleftbigg e?x2 dydx bracketrightbigg + λe?x2y = 0, x → ±∞cjkCAB1cjkA3ACycjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkB2BBcjkBFECcjkD3DAe12x2. (9.4-6) cjkD5E2cjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkC0B4cjkD7D4cjkC1BFcjkD7D3cjkC1A6cjkD1A7cjkD6D0cjkB5C4cjkD0B3cjkD5F1cjkD7D3cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2cjkBCFBcjkB8BDcjkC2BCcjkCAAEcjkA3AE a134a = 0, b = +∞; k(x) = xe?x, q(x) = 0,ρ(x) = e?xcjkA3ACcjkBECDcjkB5C3cjkB5C3cjkB5BDcjkB5BDLaguerrecjkB7BD ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 68/81 cjkB3CC xyprimeprime + (1 ? x)yprime + λy = 0 cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2? ?? ?? d dx bracketleftbigg xe?xdydx bracketrightbigg + λe?xy = 0, y(0) =cjkD3D0cjkCFDE, x → ∞cjkCAB1cjkA3ACycjkB5C4cjkD4F6cjkB3A4cjkB2BBcjkBFECcjkD3DAex2. (9.4-7) cjkD5E2cjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkC0B4cjkD7D4cjkC1BFcjkD7D3cjkC1A6cjkD1A7cjkD6D0cjkB5C4cjkC7E2cjkD4ADcjkD7D3cjkD7D3cjkD7D3cjkD7D3cjkCECAcjkCCE2cjkA3ACcjkC6E4cjkBDE2cjkBCFBcjkB8BDcjkC2BCcjkCAAEcjkD2BBcjkA3AE cjkD4DAcjkD2D4cjkC9CFcjkB8F7cjkC0FDcjkD6D0cjkA3ACk(x), q(x)cjkBACDρ(x)cjkD4DAcjkBFAAcjkC7F8cjkBCE4(a, b)cjkC9CFcjkB6BCcjkC8A1cjkD5FDcjkD5FDcjkD6B5cjkD6B5cjkA3AE cjkB4D3cjkD2D4cjkC9CFcjkB8F7cjkC0FDcjkA3ACcjkBBB9cjkBFC9cjkBFC9cjkBFB4cjkBFB4cjkB3F6cjkA3BAcjkC8E7. cjkB6CB. cjkB5E3. acjkBBF2. bcjkCAC7. k(x)cjkB5C4. cjkD2BB. cjkBCB6. cjkC1E3. cjkB5E3. cjkA3ACcjkD4DA. cjkC4C7. cjkB8F6. cjkC8F0. cjkB5E3. cjkBECD. cjkB4E6. cjkD4DA. cjkD7C5. cjkD7D4. cjkC8BB. cjkB5C4. cjkB1DF. cjkBDE7. cjkCCF5. cjkBCFE. cjkA3ACcjkCAB9. cjkB5C3. cjkCEDE. cjkCFDE. cjkBDE2. cjkC5C5. cjkB3FD. cjkB6F8. cjkB5C3. cjkB5BD. cjkD3D0. cjkCFDE. cjkBDE2. cjkA3AEcjkC0FD cjkC8E7cjkA3BA a130 Legendre cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 k(x) = 1 ? x2, k(±1) = 1 ? (±1)2 = 0cjkA3ACcjkD4DAcjkB6CBcjkB5E3 x = ±1cjkC8B7cjkCAB5cjkB4E6cjkD4DAcjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(cjkBCFB§ 9.2)cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 69/81 a131 BesselcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 k(x) = x, k(0) = 0cjkA3ACcjkD4DAcjkB6CBcjkB5E3 x = 0cjkC8B7cjkCAB5cjkB4E6cjkD4DAcjkD7C5cjkD7D4cjkC8BB cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(cjkBCFB§ 9.3)cjkA3AE a132 LaguerrecjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4 k(x) = xe?x, k(0) = 0cjkA3ACcjkD4DAcjkB6CBcjkB5E3 x = 0cjkC8B7cjkCAB5cjkD3D0cjkD7D4cjkC8BB cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE(cjkBCFB§ 9.3cjkCFB0cjkCCE23cjkBACDcjkCCF0cjkC2BCcjkCAAEcjkD2BB)cjkA3AE cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkCAC7cjkB2BBcjkC4D1cjkD6A4cjkC3F7cjkB5C4cjkA3AESturm-LivouvillecjkD0CDcjkB7BDcjkB3CC k(x)yprimeprime + kprime(x)yprime ? q(x)y + λρ(x)y = 0, cjkBCB4 yprimeprime + k prime(x) k(x) y prime + ?q(x) + λρ(x) k(x) y = 0. cjkC8E7cjkC8E7cjkC8F0cjkC8F0cjkB5E3 x = acjkCAC7 k(x)cjkB5C4cjkD2BBcjkBCB6cjkC1E3cjkB5E3cjkA3ACcjkD4F2cjkCBFCcjkD2B2cjkBECDcjkCAC7 yprimecjkB5C4cjkCFB5cjkCAFD kprime(x)/k(x)cjkB5C4 cjkD2BBcjkBDD7cjkBCABcjkB5E3cjkA3AEcjkD6BBcjkD2AA x = acjkCAC7[?q(x) + λρ(x)]cjkB2BBcjkB8DFcjkD3DAcjkD2BBcjkBDD7cjkB5C4cjkBCABcjkB5E3(cjkD2D4cjkC9CFcjkB8F7cjkC0FD cjkBEF9cjkC2FAcjkD7E3cjkB4CBcjkCCF5cjkBCFE)cjkA3ACcjkD4F2cjkCBFCcjkBECDcjkCAC7 ycjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkBAAFcjkCAFD[?q(x)+λρ(x)]/k(x)cjkB5C4cjkB2BBcjkB8DFcjkD3DA cjkC1BDcjkBDD7cjkB5C4cjkBCABcjkB5E3cjkA3ACcjkB4D3cjkB6F8cjkCAC7cjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkD5FDcjkD4F2cjkC6E6cjkB5E3cjkA3AEcjkB4D3cjkB6F8cjkD3C9cjkB4CBcjkBFC9cjkD2D4cjkD6A4cjkC3F7cjkC6E4cjkD3D0cjkCFDEcjkBDE2cjkB5C4 cjkB4E6cjkD4DAcjkB1D8cjkC8BBcjkD2AAcjkC7F3cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkB5C4cjkB4E6cjkD4DAcjkA3A8P.264cjkA3A9cjkA3A9cjkA3AEcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 70/81 9.4.2 Sturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkB5C4cjkB9B2cjkCDACcjkD0D4cjkD6CA cjkB5B1k(x), q(x)cjkBACDρ(x)cjkD4DAcjkBFAAcjkC7F8cjkBCE4(a, b)cjkC9CFcjkB6BCcjkC8A1cjkD5FDcjkD5FDcjkD6B5cjkD6B5 cjkCAB1cjkA3ACSturm-LivouvillecjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2cjkBEDFcjkD3D0cjkC8E7cjkCFC2cjkB5C4cjkB9B2cjkCDACcjkD0D4cjkD6CAcjkA3AEcjkCED2cjkC3C7cjkBDABcjkD6BBcjkB8F8 cjkB3F6cjkD0D4cjkD6CA(2)cjkBACDcjkD0D4cjkD6CA(3)cjkB5C4cjkD6A4cjkC3F7cjkA3AE a58a130cjkC8E7k(x), q(x)cjkBACDρ(x)cjkC1ACcjkD0F8cjkBBF2cjkD5DFcjkD7EEcjkB6E0cjkD2D4 x = acjkBACD x = bcjkCEAAcjkD2BBcjkBDD7cjkBCABcjkB5E3cjkA3AC cjkD4F2cjkB4E6cjkD4DAcjkCEDEcjkCFDEcjkB6E0cjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5 λ1 ≤ λ2 ≤ λ3 ≤ λ4 ≤ ··· , (9.4-8) cjkCFE0cjkD3A6cjkB5D8cjkD3D0cjkCEDEcjkCFDEcjkB6E0cjkB8F6cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD y1(x), y2(x), y3(x), y4(x),··· . (9.4-9) cjkD5E2cjkD0A9cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB5C4cjkC5C5cjkC1D0cjkB4CEcjkD0F2cjkD5FDcjkBAC3cjkCAB9cjkBDDAcjkB5E3cjkB8F6cjkCAFDcjkD2C0cjkB4CEcjkD4F6cjkB6E0(cjkBDDAcjkB5E3cjkB8F6cjkCAFDcjkB5C4cjkD0D4cjkD6CA cjkD4DAcjkC1BFcjkD7D3cjkC1A6cjkD1A7cjkD6D0cjkBFC9cjkD3C3cjkD2D4cjkBADCcjkB7BDcjkB1E3cjkB5D8cjkC5D0cjkB6CFcjkC4C4cjkB8F6cjkB2A8cjkBAAFcjkCAFDcjkB4FAcjkB1EDcjkBBF9cjkCCAC)cjkA3AE a58a131cjkCBF9cjkD3D0cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5λ ≥ 0cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 71/81 cjkD6A4cjkA3BAcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD yn(x)cjkBACDcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5λncjkC2FAcjkD7E3 ? ddx bracketleftbigg k(x)dyndx bracketrightbigg + q(x)yn = λnρ(x)yn. cjkD3C3 yncjkB1E9cjkB3CBcjkC9CFcjkCABDcjkB8F7cjkCFEEcjkA3ACcjkB2A2cjkD6F0cjkCFEEcjkD3C9 acjkB5BD bcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkD3D0 λn integraldisplay b a ρy2ndx=? integraldisplay b a yn ddx bracketleftbigg kdyndx bracketrightbigg dx + integraldisplay b a qy2ndx =? bracketleftbigg kyndyndx bracketrightbiggb a + integraldisplay b a k parenleftbiggdy n dx parenrightbigg2 dx + integraldisplay b a qy2ndx =(kynyprimen)x=a ? (kynyprimen)x=b + integraldisplay b a kyprime2ndx ? integraldisplay b a qy2ndx. (9.4-10) cjkD3D2cjkB1DFcjkC1BDcjkB8F6cjkBBFDcjkB7D6cjkB5C4cjkB1BBcjkBBFDcjkBAAFcjkCAFDcjkD6BBcjkC8A1≥ 0cjkB5C4cjkD6B5cjkA3ACcjkCBF9cjkD2D4cjkD5E2cjkC1BDcjkB8F6cjkBBFDcjkB7D6≥ 0cjkA3AEcjkD4D9 cjkBFB4(9.4-10)cjkD3D2cjkB1DFcjkB5DAcjkD2BBcjkCFEE(kynyprimen)x=acjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = acjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DA cjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE y(a) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE yprimen(a) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 cjkBCFE k(a) = 0cjkA3ACcjkD5E2cjkD2BBcjkCFEE(kynyprimen)x=a cjkCFD4cjkC8BBcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = acjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 72/81 cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkC8FDcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE(yn ? hyprimen)x=a = 0cjkA3ACcjkD4F2 (kynyprimen)x=a = bracketleftBig k(yn ? hyprimen)yprimen + hkyprime2n bracketrightBig x=a = h(kyprime2n)x=a ≥ 0. cjkD4D9cjkBFB4(9.4-10)cjkD3D2cjkB1DFcjkB5DAcjkB6FEcjkCFEEcjkD2BB(kynyprimen)x=bcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = bcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7 cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE yn(b) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE yprimen(b) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkD7D4 cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE k(b) = 0cjkA3ACcjkD5E2cjkD2BBcjkCFEE(kynyprimen)x=b cjkCFD4cjkC8BBcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = b cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkC8FDcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE(yn + hyprimen)x=b = 0cjkA3ACcjkD4F2 ?(kynyprimen)x=b = ? bracketleftBig k(yn ? hyprimen)yprimen + hkyprime2n bracketrightBig x=b = h(kyprime2n)x=b ≥ 0. cjkBCC8cjkC8BB(9.4-10)cjkD3D2cjkB1DFcjkB8F7cjkCFEEcjkB6BC≥ 0cjkA3ACcjkD7F3cjkB1DFcjkB1DFcjkB1D8cjkB1D8cjkC8BBcjkD2B2≥ 0cjkA3ACcjkBCB4 λn integraldisplay b a ρy2ndx ≥ 0. cjkC9CFcjkCABDcjkC0EFcjkB5C4cjkB5C4cjkB6A8cjkB6A8cjkBBFDcjkB7D6cjkC3F7cjkCFD4cjkCAC7cjkD5FDcjkB5C4cjkA3ACcjkD2F2cjkB6F8 λ ≥ 0. (9.4-11) a58a132cjkCFE0cjkD3A6cjkD3A6cjkD3DAcjkD3DAcjkB2BBcjkCDACcjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5λmcjkBACDλncjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD ym(x)cjkBACD yn(x)cjkD4DAcjkC7F8cjkBCE4 ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 73/81 [a, b]cjkC9CFcjkB4F8cjkC8A8cjkD6D8ρ(x)cjkD5FDcjkBDBBcjkA3ACcjkBCB4integraldisplay b a ym(x)yn(x)ρ(x)dx = 0, m nequal n. (9.4-12) cjkD6A4cjkA3BAcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFD ym(x)cjkBACD yn(x)cjkB7D6cjkB1F0cjkC2FAcjkD7E3 d dx bracketleftbigkyprime m bracketrightbig? qy m + λmρym = 0, d dx bracketleftbigkyprime n bracketrightbig? qy n + λnρyn = 0. cjkC7B0cjkD2BBcjkCABDcjkB1E9cjkB3CBcjkD2D4 yncjkA3ACcjkBAF3cjkD2BBcjkCABDcjkB1E9cjkB3CBcjkD2D4 ymcjkA3ACcjkC8BBcjkBAF3cjkCFE0cjkBCF5cjkA3AC yn ddx bracketleftbigkyprimembracketrightbig? ddx bracketleftbigkyprimenbracketrightbig+ (λm ? λn)ρymyn = 0. cjkD6F0cjkCFEEcjkB4D3 acjkB5BD bcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkB5C3 0= integraldisplay b a yn ddx bracketleftbigkyprimembracketrightbig? ddx bracketleftbigkyprimenbracketrightbigdx + (λm ? λn) integraldisplay b a ρymyndx = integraldisplay b a d dx bracketleftbigky nyprimem ? kymyprimen bracketrightbigdx + (λ m ? λn) integraldisplay b a ρymyndx ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 74/81 =bracketleftbigkynyprimem ? kymyprimenbracketrightbigx=b ?bracketleftbigkynyprimem ? kymyprimenbracketrightbigx=a +(λm ? λn) integraldisplay b a ρymyndx. (9.4-13) cjkCFD6cjkD4DAcjkBFB4cjkD3D2cjkB1DFcjkB5DAcjkD2BBcjkCFEEbracketleftbigkynyprimem ? kymyprimenbracketrightbigx=bcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = bcjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE cjkCAC7cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFEcjkB6F9 ym(0) = 0cjkBACD yn(0) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE yprimem(0) = 0cjkBACD yprimen(0) = 0cjkA3ACcjkBBF2cjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFE k(b) = 0cjkA3ACcjkD5E2cjkD2BBcjkCFEEbracketleftbig kynyprimem ? kymyprimenbracketrightbigx=b cjkCFD4cjkC8BBcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB6CBcjkB6CBcjkB5E3cjkB5E3 x = bcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkC8FDcjkC0E0cjkC6EB cjkB4CEcjkCCF5cjkBCFE(ym + hyprimem)x=b = 0cjkBACD(yn + hyprimen)x=b = 0cjkA3ACcjkD4F2 bracketleftbigky nyprimem ? kymyprimen bracketrightbig x=b = 1 h bracketleftbigky n(ym + hyprimem) ? kym(yn + hyprimen) bracketrightbig x=b = 0. cjkD7DCcjkD6AEcjkA3AC(9.4-13)cjkD3D2cjkB1DFcjkB5DAcjkD2BBcjkCFEEcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkCDACcjkC0EDcjkA3ACcjkC8E7cjkB9FBcjkD4DAcjkB1E0cjkB5E3 x = acjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7 cjkCCF5cjkBCFEcjkCAC7cjkB5DAcjkD2BBcjkC0E0cjkA1A2cjkB5DAcjkB6FEcjkC0E0cjkBBF2cjkB5DAcjkC8FDcjkC0E0cjkC6EBcjkB4CEcjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBBF2cjkD5DFcjkD7D4cjkC8BBcjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3AC cjkD4F2(9.4-13)cjkD3D2cjkB1DFcjkB5DAcjkB6FEcjkCFEEcjkCEAAcjkC1E3cjkA3AEcjkD5E2cjkD1F9cjkA3AC(9.4-13)cjkB3C9cjkCEAA (λm ? λn) integraldisplay b a ρymyndx. ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 75/81 cjkD2F2cjkCEAAλm ? λn nequal 0cjkA3ACcjkC9CFcjkCABDcjkBCB4(9.4-12)cjkA3AE cjkC8E7. cjkC8A8. cjkD6D8. ρ(x) ≡ 1cjkA3AC(9.4-12)cjkBCF2. cjkB5A5. cjkB5D8. cjkB3C6. cjkCEAA. cjkD5FD. cjkBDBB. cjkA3AE a58a133cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 y1(x), y2(x), y3(x),···cjkA3ACcjkCAC7cjkCDEAcjkB1B8cjkB5C4cjkA3AEcjkD5E2cjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACcjkBAAFcjkCAFD f(x) cjkC8E7cjkBEDFcjkD3D0cjkC1ACcjkD0F8cjkD2BBcjkBDD7cjkB5BCcjkCAFDcjkBACDcjkB7D6cjkB6CEcjkC1ACcjkD0F8cjkB6FEcjkBDD7cjkB5BCcjkCAFDcjkA3ACcjkC7D2cjkC2FAcjkD7E3cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cjkCBF9cjkC2FAcjkD7E3 cjkB5C4cjkB1DFcjkBDE7cjkCCF5cjkBCFEcjkA3ACcjkBECDcjkBFC9cjkD2D4cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAcjkBEF8cjkB6D4cjkC7D2cjkD2BBcjkD6C2cjkCAD5cjkC1B2cjkB5C4cjkBCB6cjkCAFD f(x) = ∞summationdisplay n=1 fnyn(x). (9.4-14) cjkD5E2cjkB8F6cjkD0D4cjkD6CAcjkB5C4cjkD6A4cjkC3F7cjkB3ACcjkB3ACcjkB3F6cjkB3F6cjkB1BEcjkCAE9cjkB7B6cjkCEA7cjkA3ACcjkCED2cjkC3C7cjkBDF1cjkBAF3cjkD6B1cjkBDD3cjkCAB9cjkD3C3cjkB6F8cjkD6A4cjkC3F7cjkA3AE 9.4.3 cjkB9E3cjkD2E5FouriercjkBCB6cjkCAFD (9.4-14)cjkD3D2. cjkB1DF. cjkB5C4. cjkBCB6. cjkCAFD. cjkBDD0. cjkD7F7. cjkB9E3. cjkD2E5. FouriercjkBCB6. cjkCAFD. cjkA3ACcjkCFB5. cjkCAFD. fn (n = 1,2,3,···)cjkBDD0. cjkD7F7. f(x)cjkB5C4. cjkB9E3. cjkD2E5. FouriercjkCFB5. cjkCAFD. cjkA3AEcjkBAAF. cjkCAFD. cjkD7E5. yn(x) (n = 1,2,3,···)cjkBDD0. cjkD7F7. cjkD5E2. cjkBCB6. cjkCAFD. cjkD5B9. cjkBFAA. cjkB5C4. cjkBBF9. cjkA3AE cjkCFD6cjkD4DAcjkCDC6cjkB5BCcjkB9E3cjkD2E5FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABDcjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 76/81 cjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkB9E3cjkD2E5FouriercjkBCB6cjkCAFD(9.4-14)cjkCAC7cjkBEF8cjkB6D4cjkC7D2cjkD2BBcjkD6C2cjkCAD5cjkC1B2cjkB5C4cjkA3ACcjkBFC9cjkD2D4cjkD6F0cjkCFEEcjkBBFD cjkB7D6cjkA3AEcjkD3C3 ym(x)ρ(x)cjkB1E9cjkB3CB(9.4-14)cjkB5D8cjkCFEEcjkA3ACcjkB2A2cjkD6F0cjkCFEEcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACcjkBBFDcjkB7D6cjkA3ACintegraldisplay b a f(ξ)ym(ξ)ρ(ξ)dξ = ∞summationdisplay n=1 yn integraldisplay b a yn(ξ)ym(ξ)ρ(ξ)dξ. cjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkD5FDcjkBDBBcjkB9D8cjkCFB5(9.4-12)cjkA3ACcjkC9CFcjkCABDcjkD3D2cjkB1DFcjkB3FD n = mcjkB5C4cjkD2BBcjkCFEEcjkD6AEcjkCDE2cjkC8ABcjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACintegraldisplay b a f(ξ)ym(ξ)ρ(ξ)dξ = ym integraldisplay b a bracketleftbigy m(ξ) bracketrightbig2 ρ(ξ)dξ. cjkC1EE N2m = integraldisplay b a bracketleftbigy m(ξ) bracketrightbig2 ρ(ξ)dξ (9.4-15) cjkBBFD. cjkB7D6. (9.4-15)cjkB5C4. cjkC6BD. cjkB7BD. cjkB8F9. NmcjkBDD0. cjkD7F7. ym(x)cjkB5C4. cjkC4A3. cjkA3AEcjkD3DAcjkCAC7 fm = 1N2 m integraldisplay b a f(ξ)ym(ξ)ρ(ξ)dξ. (9.4-16) cjkD5E2. cjkBECD. cjkCAC7. cjkB9E3. cjkD2E5. FouriercjkCFB5. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkBCC6. cjkCBE3. cjkB9AB. cjkCABD. cjkA3AEcjkCBFCcjkD4DAcjkCAFDcjkD1A7cjkCEEFcjkC0EDcjkB7BDcjkB3CCcjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFD cjkB7A8cjkD6D0cjkCAC7cjkBADCcjkD6D8cjkD2AAcjkB5C4cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 77/81 cjkC8E7. cjkB9FB. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkC4A3. Nm = 1 (m = 1,2,···)cjkA3ACcjkBECD. cjkBDD0. cjkD7F7. cjkB9E9. cjkD2BB. cjkBBAF. cjkB5C4. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkA3AEcjkB6D4cjkD3DAcjkD5FDcjkBDBBcjkB9E9cjkD2BBcjkBBAFcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cjkA3AC(9.4-16)cjkBCF2cjkBBAFcjkCEAA fm = integraldisplay b a f(ξ)ym(ξ)ρ(ξ)dξ. (9.4-17) cjkC6E4cjkCAB5cjkA3ACcjkB6D4cjkD3DAcjkB7C7cjkB9E9cjkD2BBcjkBBAFcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkB6F9 yn(x)cjkA3ACcjkD6BBcjkD2AAcjkB8C4cjkD3C3cjkB4D3 yn(x)/NmcjkD7F7cjkCEAA cjkD0C2cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkB9E9cjkD2BBcjkBBAFcjkB5C4cjkC1CBcjkA3AE cjkB3A3cjkB0D1(9.4-12)cjkBACD(9.4-15)cjkBACFcjkB2A2cjkB3C9cjkD2BBcjkB8F6cjkCABDcjkD7D3integraldisplay b a ym(x)yn(x)ρ(x)dx = N2mδmn (9.4-18) cjkC6E4cjkD6D0δmn δmn = braceleftBigg 1, n = m, 0, n nequal m. (9.4-19) cjkB3C6. cjkCEAA. KroneckercjkB7FB. cjkBAC5. cjkA3AEcjkB6D4cjkD3DAcjkD5FDcjkBDBBcjkB9E9cjkD2BBcjkBBAFcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cjkA3AC(9.4-18)cjkBCF2cjkBBAFcjkCEAAintegraldisplay b a ym(x)yn(x)ρ(x)dx = δmn (9.4-20) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BE. cjkD5F7. cjkD6B5. cjkCECA. cjkCCE2. 78/81 cjkCEAA. cjkC1CB. cjkD3A6. cjkD3C3. cjkB9AB. cjkCABD. (9.4-16)cjkBBF2. (9.4-17)cjkA3ACcjkB1D8. cjkD0EB. cjkCFC8. cjkC5D0. cjkB6A8. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkD7E5. cjkCAC7. (cjkB4F8. cjkC8A8. cjkD6D8. )cjkD5FD. cjkBDBB. cjkB5C4. cjkA3ACcjkBBB9. cjkB1D8. cjkD0EB. cjkC4DC. cjkBCC6. cjkCBE3. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkC4A3. cjkA3AEcjkD4DA. cjkB5DA. cjkCAAE. cjkA1A2cjkB5DA. cjkCAAE. cjkD2BB. cjkC1BD. cjkD5C2. cjkD6D0. cjkD1D0. cjkBEBF. cjkC7F2. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkBACD. cjkD6F9. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkCAB1. cjkA3ACcjkBDAB. cjkBADC. cjkD6D8. cjkCAD3. cjkD5FD. cjkBDBB. cjkB9D8. cjkCFB5. cjkBACD. cjkC4A3. cjkB5C4. cjkBCC6. cjkCBE3. cjkD5E2. cjkC1BD. cjkB8F6. cjkCECA. cjkCCE2. cjkA3AE 9.4.4 cjkB8B4cjkCAFDcjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 cjkD2D4cjkC9CFcjkB5C4cjkCCD6cjkC2DBcjkBCD9cjkB6A8cjkC1CBcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkCAFDcjkCAC7cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB5cjkCAB5cjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkCAB5cjkD6B5cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkB5ABcjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD2B2 cjkBFC9cjkD2D4cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB5cjkCAB5cjkB1E4cjkCAFDcjkB5C4cjkB8B4cjkD6B5cjkBAAFcjkCAFDcjkA3ACcjkC0FDcjkC8E7cjkB1BEcjkD5F7cjkD5F7cjkD6B5cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2braceleftBigg Φprimeprime + λΦ = 0, cjkD7D4cjkC8BBcjkD6DCcjkC6DAcjkCCF5cjkBCFE. cjkB5C4cjkB1BEcjkD5F7cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5cjkCDA8cjkB3A3cjkCBB5cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB5cjkCAB5cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 1,cos?,cos 2?,cos 3?,··· ,sin?,sin 2?,sin 3?,··· (9.4-24) cjkB5ABcjkD5E2cjkCDEAcjkC8ABcjkBFC9cjkD2D4cjkB4FAcjkD6AEcjkD2D4cjkB8B4cjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 ··· ,e?i3?,e?i2?,e?i?,1,ei?,ei2?,ei3?,··· . (9.4-25) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 79/81 cjkB6D4. cjkD3DA. cjkB8B4. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkB1BE. cjkD5F7. cjkBAAF. cjkCAFD. cjkD7E5. cjkA3ACcjkCEAA. cjkC1CB. cjkB1A3. cjkD6A4. cjkC4A3. cjkCAC7. cjkCAB5. cjkCAFD. cjkA3ACcjkCDA8. cjkB3A3. cjkB0D1. cjkC4A3. cjkB5C4. cjkB6A8. cjkD2E5. cjkD0DE. cjkB6A9. cjkCEAA. N2m = integraldisplay b a ym(x) [ym(x)]? ρ(x)dx, (9.4-26) cjkC6E4. cjkD6D0. [ym(x)]?cjkCEAA. ym(x)cjkB5C4. cjkB8B4. cjkCAFD. cjkB9B2. cjkB6F3. cjkA3AEcjkD5FD. cjkBDBB. cjkB9D8. cjkCFB5. cjkD2B2. cjkCFE0. cjkD3A6. cjkB5D8. cjkD0DE. cjkB6A9. cjkCEAA.integraldisplay b a ym(x) [yn(x)]? ρ(x)dx = 0. (9.4-27) (9.4-26)cjkBACD. (9.4-27)cjkBFC9. cjkBACF. cjkD0B4. cjkCEAA.integraldisplay b a ym(x) [yn(x)]? ρ(x)dx = N2mδmn. (9.4-28) cjkB9E3. cjkD2E5. FouriercjkCFB5. cjkCAFD. cjkB5C4. cjkB9AB. cjkCABD. (9.2-3)cjkD4F2. cjkD0DE. cjkB6A9. cjkCEAA. fm = 1N2 m integraldisplay b a f(ξ)bracketleftbigym(ξ)bracketrightbig? ρ(ξ)dξ. (9.4-29) ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 80/81 9.4.5 HilbertcjkBFD5cjkBCE4 cjkCEAAcjkC1CBcjkB0EFcjkD6FAcjkC0EDcjkBDE2cjkA3ACcjkD5E2cjkC0EFcjkC4C3cjkCAB8cjkC1BFcjkC1BFcjkC0B4cjkC0B4cjkD7F7cjkC0E0cjkB1C8cjkA3AEcjkC9E8cjkCFEBcjkD3D0cjkC4B3cjkD6D6cjkCEDEcjkCFDEcjkCEACcjkB5C4cjkCBF9cjkCEBD HilbertcjkBFD5cjkBCE4cjkA3ACcjkBAAFcjkCAFD f(x)cjkBAC3cjkB1C8HilbertcjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkB5C4“cjkCAB8cjkC1BF” vectorfcjkA3AEcjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFD cjkD7E5(9.4-9)cjkBAC3cjkB1C8cjkD1D8cjkD7C5cjkB8F7cjkB8F7cjkB8F6cjkB8F6cjkD7F8cjkB1EAcjkD6E1cjkB5C4“cjkCAB8cjkC1BF”vectori1,vectori2,vectori3,···cjkA3ACcjkCBFCcjkC3C7cjkB9B9cjkB3C9Hilbert cjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkB5C4“cjkBBF9cjkB5D7cjkCAB8cjkC1BF”cjkA3ACcjkBBF2cjkBCF2cjkB3C6“cjkBBF9”cjkA3AEcjkC1BDcjkB8F6cjkBAAFcjkCAFD f1(x)cjkBACD f2(x)cjkB5C4cjkB3CBcjkBBFDcjkD4DA cjkB6A8cjkD2E5cjkD3F2[a, b]cjkC9CFcjkB4F8cjkC8A8cjkD6D8cjkB5C4cjkBBFDcjkB7D6integraldisplay b a f1(x)f2(x)ρ(x)dx cjkBAC3cjkB1C8cjkC1BDcjkB8F6cjkCAB8cjkC1BFcjkB5C4“cjkB1EAcjkBBFD” vectorf1 · vectorf2cjkA3AEcjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkB4F8cjkC8A8cjkD6D8cjkB5C4cjkD5FDcjkBDBBcjkB9D8cjkCFB5(9.4-12)cjkBAC3 cjkB1C8cjkCAC7cjkCBB5HilbertcjkBFD5cjkBCE4cjkD6D0cjkB5C4cjkC8CEcjkD2E2cjkC1BDcjkB8F6“cjkBBF9cjkB5D7cjkCAB8cjkC1BF”cjkB5C4“cjkB1EAcjkBBFD”cjkCEAAcjkC1E3cjkA3ACcjkBECDcjkCAC7 cjkCBB5“cjkBBA5cjkCFE0cjkB4B9cjkD6B1”cjkA3AEcjkB0D1cjkBAAFcjkCAFD f(x)cjkD5B9cjkBFAAcjkCEAAcjkB9E3cjkD2E5FouriercjkBCB6cjkCAFDcjkA3ACcjkBAC3cjkB1C8cjkCAC7cjkB0D1“cjkCAB8 cjkC1BF”cjkB1EDcjkCEAA“cjkBBF9cjkB5D7cjkCAB8cjkC1BF”cjkB5C4cjkCFDFcjkD0D4cjkD7E9cjkBACFcjkA3AC vectorf = c1vectori1 + c2vectori2 + c3vectori3 +··· , ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 81/81 cjkB9E3cjkD2E5FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkBAC3cjkB1C8cjkCAC7cjkD5E2cjkB8F6cjkCFDFcjkD0D4cjkD7E9cjkBACFcjkD6D0cjkB5C4cjkCFB5cjkCAFDcjkA3ACcjkBCB4“cjkCAB8cjkC1BF” f(x) cjkB5C4“cjkB7D6cjkC1BF”cjkA3ACcjkBBF2“cjkCAB8cjkC1BF” f(x)cjkD4DAHilbertcjkBFD5cjkBCE4“cjkBBF9cjkB5D7cjkCAB8cjkC1BF” yn(x)cjkC9CFcjkB5C4“cjkCDB6 cjkD3B0”cjkA3AEcjkB9E3cjkD2E5FouriercjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABD(9.4-15)cjkBACD(9.4-16)cjkBAC3cjkB1C8cjkCAC7cjkCAC7cjkCAB8cjkCAB8cjkC1BFcjkB5C4“cjkB7D6 cjkC1BF”cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABD cn = vectorf ·vectorin vectorin ·vectorin, n = 1,2,3,··· . “cjkBBF9cjkB5D7cjkCAB8cjkC1BF”(9.4-9)cjkBCB4vectorin (n = 1,2,3,···)cjkB2A2cjkB2A2cjkB2BBcjkB2BBcjkD2BBcjkB6A8cjkCAC7“cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB8cjkC1BF”(cjkCBFC cjkC3C7cjkB5C4“cjkB3A4cjkB6C8”cjkBCB4cjkC4A3cjkB2BBcjkD2BBcjkB6A8cjkB6A8cjkB5C8cjkB5C8cjkD3DAcjkD2BB)cjkA3ACcjkD2F2cjkB6F8“cjkB7D6cjkC1BF”cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABDcjkD6D0cjkB3F6cjkCFD6cjkB7D6cjkC4B8 vectorin ·vectorincjkA3AEcjkD2AAcjkCAC7cjkD3C3cjkD5FDcjkBDBBcjkB9E9cjkD2BBcjkBBAFcjkB5C4cjkBBF9cjkB1BEcjkBAAFcjkCAFDcjkD7E5 yn(x)/NncjkA3ACcjkD3C9cjkD3C9cjkD3DAcjkD3DAcjkCBFCcjkC3C7cjkB5C4cjkC4A3cjkCEAA cjkD2BBcjkA3ACcjkBECDcjkCAC7cjkCBB5cjkA3ACcjkB2C9cjkD3C3“cjkB5A5cjkCEBBcjkCAB8cjkC1BF”cjkD7F7cjkCEAA“cjkBBF9”cjkA3ACcjkC4C7cjkC3B4cjkA3AC“cjkB7D6cjkC1BF”cjkB5C4cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABDcjkBECD cjkCEDEcjkD0E8cjkB7D6cjkC4B8vectorin ·vectorincjkA3AEcjkD5E2cjkCAB1cjkB9E3cjkD2E5cjkB2A9cjkC0EFcjkD2B6cjkCFB5cjkCAFDcjkB5C4cjkBCC6cjkCBE3cjkB9ABcjkCABDcjkCEAA(9.4-17)cjkA3AE § 9.1cjkB2A2cjkC3BBcjkD3D0cjkB0D1cjkC7F2cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkBACDcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkBDF8cjkD0D0cjkB5BDcjkB5BDcjkB5D7cjkB5D7cjkA3AEcjkCFD6 cjkD4DALegendrecjkB7BDcjkB3CCcjkBACDBesselcjkB7BDcjkB3CCcjkD2D1cjkBEADcjkBEADcjkBDE2cjkBDE2cjkB3F6cjkA3ACcjkCFC2cjkC3E6cjkC1BDcjkD5C2cjkBDABcjkBDABcjkBCCCcjkBCCCcjkD0F8cjkD0F8cjkD1D0cjkD1D0cjkBEBFcjkC7F2cjkD7F8 cjkB1EAcjkCFB5cjkBACDcjkD6F9cjkD7F8cjkB1EAcjkCFB5cjkD6D0cjkB5C4cjkB7D6cjkC0EBcjkB1E4cjkCAFDcjkB7A8cjkA3AE ?First ?Prev ?Next ?Last ?Go Back ?Full Screen ?Close ?Quit §9.4. STURM-LIVOUVILLEcjkB1BEcjkD5F7cjkD6B5cjkCECAcjkCCE2 82/81 cjkCFDEcjkD3DAcjkC6AAcjkB7F9cjkA3ACcjkD4DAcjkCCD8cjkCAE2cjkBAAFcjkCAFDcjkD6AEcjkD6AEcjkD6D0cjkD6D0cjkA3ACcjkB1BEcjkCAE9cjkD6BBcjkCCD6cjkC2DBcjkC7F2cjkBAAFcjkCAFDcjkBACDcjkD6F9cjkBAAFcjkCAFDcjkA3AEcjkB8BDcjkC2BC cjkCAAEcjkBACDcjkCAAEcjkD2BBcjkBCF2cjkC2D4cjkBDE9cjkC9DCHermitecjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkBACDLaguerrecjkB6E0cjkCFEEcjkCABDcjkA3AE