6．利用初等行变换求下列矩阵的列向量组的一个最大无关组: (1) ; (2) . 解 (1)    所以第1、2、3列构成一个最大无关组. (2)  ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组． 7．求下列向量组的秩,并求一个最大无关组: (1)　,,; (2)　,,. 解　(1)　线性相关. 由 秩为2,一组最大线性无关组为. (2)   秩为2,最大线性无关组为. 10．设向量组:的秩为,向量组:的秩 向量组: 的秩,证明  证明 设的最大线性无关组分别为,含有的向量个数 (秩)分别为,则分别与等价,易知均可由 线性表示,则秩()秩(),秩()秩()，即 设与中的向量共同构成向量组,则均可由线性表示, 即可由线性表示,从而可由线性表示，所以秩()秩(), 为阶矩阵，所以秩()即. 11.证明. 证明:设  且行向量组的最大无关组分别为  显然,存在矩阵,使得 ,  因此　 12．设向量组能由向量组线性表示为 ， 其中为矩阵，且组线性无关。证明组线性无关的充分必要条 件是矩阵的秩. 证明　若组线性无关 令则有 由定理知 由组:线性无关知，故. 又知为阶矩阵则 由于向量组:能由向量组:线性表示,则 　 综上所述知即． 若 令,其中为实数 则有 又,则 由于线性无关,所以 即  （1） 由于则(1)式等价于下列方程组:  由于 所以方程组只有零解.所以线性无关, 证毕. 18．设,求一个矩阵,使,且 . 解　　由于,所以可设则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ，　故所求矩阵． 19．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解　　显然原方程组的通解为 ,() 即消去得 此即所求的齐次线性方程组. 20．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它 的三个解向量．且 ， 求该方程组的通解． 解 由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由 非齐次线性方程组解的结构性质得  为其基础解系向量，故此方程组的通解：， 21．设都是阶方阵，且，证明． 证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量 都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时, ，，结论成立． (2)　当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而 的列向量组的秩,即,此时,结论成立。 综上,． 22．设阶矩阵满足,为阶单位矩阵,证明  (提示:利用题11及题21的结论) 证明　　 所以由21题所证可知 又　 由11题所证可知  由此． 23．求下列非齐次方程组的一个解及对应的齐次线性方程组的基础解 系： (1)  (2) 解　　(1)  (2)   24．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: (1)线性无关； (2) 线性无关。 证明 (1)反证法,假设线性相关,则存在着不全为0的数 使得下式成立:  (1) 其中,否则,线性相关,而与基础解系不是线性相关的 产生矛盾。 由于为特解，为基础解系，故得  而由(1)式可得 故，而题中,该方程组为非齐次线性方程组,得 产生矛盾,假设不成立, 故线性无关. (2)反证法,假使线性相关. 则存在着不全为零的数使得下式成立:  （2） 即 若,由于是线性无关的一组基础解 系,故,由(2)式得此时 与假设矛盾. 若由题(1)知, 线性无关,故 与假设矛盾, 综上,假设不成立,原命题得证. 25.设是非齐次线性方程组的个解，为实数， 满足.证明 也是它的解. 证明 由于是非齐次线性方程组的个解. 故有  而  即  （） 从而也是方程的解． 26．设非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为，是它 的个线性无关的解(由题24知它确有个线性无关的 解)．试证它的任一解可表示为  （其中）. 证明　设为的任一解． 由题设知：线性无关且均为的解． 取，则它的均为的 解． 用反证法证：线性无关． 反设它们线性相关，则存在不全为零的数： 使得 即 亦即 由线性无关知  矛盾，故假设不对． 线性无关，为的一组基． 由于均为的解，所以为的解可由 线性表出．    令则 ,证毕．