第五章 相似矩阵及二次型 1．试用施密特法把下列向量组正交化： (1)　； (2)　 解　(1)　根据施密特正交化方法: 令， ， ， 故正交化后得: ． (2)　根据施密特正交化方法令   故正交化后得  2．下列矩阵是不是正交阵: (1)　; (2)　． 解　　(1)　第一个行向量非单位向量,故不是正交阵． (2)　该方阵每一个行向量均是单位向量，且两两正交，故为正交阵． 3．设与都是阶正交阵，证明也是正交阵． 证明 因为是阶正交阵，故，  故也是正交阵． 4．求下列矩阵的特征值和特征向量: (1); (2); (3). 并问它们的特征向量是否两两正交? 解 (1)　①　 故的特征值为． ②　当时,解方程,由  得基础解系 所以是对应于的全部特征值向量． 当时,解方程,由  得基础解系 所以是对应于的全部特征向量． ③　 故不正交． (2)　①　 故的特征值为． ②　当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量. 当时,解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量 当时，解方程，由 得基础解系 故是对应于的全部特征值向量． ③　， ， ， 所以两两正交． (3)　 =  ,  当时，    取为自由未知量，并令，设. 故基础解系为 当时，   可得基础解系  综上所述可知原矩阵的特征向量为