§ 5.1 向量的内积、长度及
正交性
? 一、内积的定义及性质
? 二、向量的长度及性质
? 三、正交向量组的概念及其求法
? 四、正交矩阵与正交变换
? 五、小结
定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
??
?
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?
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??
?
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??
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??
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nn
y
y
y
y
x
x
x
x
??
? ? nn yxyxyxyx ???? ?2211,令
? ?,,的与为向量称 yxyx 内积
一、内积的定义及性质
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积
的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
? ?4?nn
? ?,,
:,
,,2
yxyx
yx
T?
为内积可用矩阵记号表示向量
都是列如果内积是向量的一种运算
内积的运算性质
? ?,,,,为实数维向量为其中 ?nzyx
? ? ? ?;,,)1( xyyx ?
? ? ? ?;,,)2( yxyx ?? ?
? ? ? ? ? ?;,,,)3( zyzxzyx ???
.0],[0,0],)[4( ??? xxxxx 时有且当
定义 2
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
? ?,,22221 nxxxxxx ????? ?
令
? ?, 或的维向量为称 xnx长度 范数
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 ???? xxxx 时当时当;xx ?? ?
.yxyx ???
二、向量的长度及性质
维向量间的夹角单位向量及 n
? ? ? ?,1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量 ?? ??例
解 ?? ??? ??co s? 22623 18 ???
.4?? ??
? ?,,11 为称时当 xx ?单位向量
? ? ? ?yx yxyx,a r cc o s,0,02 ??? ?时当
,的与维向量称为 yxn夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0],[ yxyx 与称向量时当 ?正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx ?
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为 正交向量组,
三、正交向量组的概念及求法
,00 21111 ???? ???? T由,01 ??从而有
.02 ??? r?? ?同理可得,,,,21 线性无关故 r??? ?
使设有 r???,,,21 ?证明
02211 ???? r?????? ?
得左乘上式两端以,1a T 0111 ???? T
３ 正交向量组的性质
线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若定理
r
rn
???
???
?
?
21
21 1
例 1 已知三维向量空间中两个向量
?
?
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??
?
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?
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?
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?
1
2
1
,
1
1
1
21 ??
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交
基,
3? 321 ???,,
４ 向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间
是则称组是两两正交的非零向量
且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
????
?????
??
?
即 ??
?
????
????
02],[
0],[
32132
32131
xxx
xxx
??
??
解之得,0,231 ??? xxx
则有若令,13 ?x ?
?
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1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321 ???,,
则有 0],[],[ 3231 ?? ????
解 ? ?,,,0,,213213 正交且分别与设 ??? ?? Txxx
５ 规范正交基
.,,,,
,,,,)
(,,,3
21
21
21
的一个规范正交基是则称向量
两两正交且都是单位如果的一个基
是向量空间维向量设定义
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
?
?
? ?
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
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? eeee
例如
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
??
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? eeee
?
?
?
???
???
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且
且
由于
.,,,44321 的一个规范正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
?
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?
?
?
?
?
? ????同理可知
.4 的一个规范正交基也为 R
（ 1） 正交化,取,11 ab ?
? ?
? ?,,
,
1
11
21
22 bbb
abab ??
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vaaa r?
６ 求规范正交基的方法
称为这样一个问题价
等与使位向量
的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基
要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
???
???
???
?
.
,,,21
范正交化
这个基规把 r??? ?
????
1
11
1
2
22
2
1
11
1
],[
],[
],[
],[
],[
],[
?
??
??????
r
rr
rrrr
rr bbb
abb
bb
abb
bb
abab ?
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr aabbbb ???
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r b
be
b
be
b
be ??? ??
.,,,21 的一个规范正交基为那么 Veee r?
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 ????? aaa
正交规范化,
解 先 正交化,
? ?1,1,1,111 ?? ab ? ?
? ? 111 2122,
,b
bb
abab ??
? ? ? ?1,1,1,11111 4114,0,1,1 ??? ????? ? ?3,1,2,0 ???
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组
构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
bb
aa
?
?
施密特正交化过程
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
? ? ? ? ? ?3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,3 ??????? ? ?0,2,1,1 ??
再 单位化,
? ? ?????? ??????? 143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
? ? ?????? ????? 0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得规范正交向量组如下
? ? ?
?
??
?
????
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1 b
be
例３
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量规范正交化特正交化过程把这组向
试用施密设
?
?
?
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?
?
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?
?
??
?
?
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?
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?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? aaa
解 ;11 ab ?取
b
b
baab
12
12
22
1
],[??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
21
],[],[ ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1 ?
,
1
2
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
be
2
2
2 ?
,
1
1
1
3
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
be
3
3
3 ?
.
1
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,,321 即合所求eee
例４
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交
使求一组非零向量已知
a
aaaaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解
.0
,0,
321
132
???
?
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ??
它的基础解系为
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12 ??a,],[
],[
1
11
21
23 ???
??? ??a
于是得其中,2],[,1],[ 1121 ?? ????
,
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a
证明 EAA T ?
E?
定义 4 ? ?
,
,1
正交矩阵为称
则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT ?? ?
定理
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
四、正交矩阵与正交变换
为正交矩阵的充要条件是 的列向量都
是单位向量且两两正交．
A A
? ? ETnTT
n
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
,,,21
2
1
?
?
E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??????
??????
??????
?
????
?
?
21
22212
12111
? ?njiji jiijT ji,,2,1,,0 ;,1 ??
??
?
?
????
当
当???
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明,为正交变换设 Pxy ?
.xxxPxPxyyy TTTT ????则有
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
? ?,
12131
21121
31211
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,Pxy ?P
解
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12131
21121
31211
1
,02131121211 ?????????? ???????? ??
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001由于
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例６
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵
验证矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?P
解
.
,,
是正交矩阵所以
且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
1．将一组基规范正交化的方法：
先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
? ? ;1 1 TAA ??
? ? ;2 EAA T ?
? ? ;3 单位向量的列向量是两两正交的A
? ?,4 单位向量的行向量是两两正交的A
五、小结
2,为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A
§ 5.2 方阵的特征值与特征向量
? 一、特征值与特征向量的概念
? 二、特征值与特征向量的性质
? 三、特征值与特征向量求法
? 四、小结
说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量 ?x
? ?
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的
即满足方程值有非零解的
就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
?
???
?
???
一、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,1
的特征向量的对应于特征值称为量
非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立
使关系式
维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
?
?
?
?
Ax
A
xAx
xnnA
?
0.3 ?? EA ?
?
0
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
次方程为未知数的一元称以 n ? 0?? EA ?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 ? ? EAf ?? ?? 称其
,的为方阵 A特征多项式
? ?
则有
的特征值为阶方阵设
,
,,,.4 21
n
ijaAn
?
?? ??;)1( 221121 nnn aaa ??????? ?? ???
.)2( 21 An ???? ?
解
例 1,31
13 的特征值和特征向量求 ?
?
??
?
?
?
??A
的特征多项式为A
?
?
??
??
31
13
1)3( 2 ??? ?
)2)(4(68 2 ???? ??????
.4,2 21 ?? ??的特征值为所以 A
,
0
0
231
123
,2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
对应的特征向量应满足时当 ?
??
?
???
??
.0
,0
21
21
xx
xx 即
,21 xx ?解得,11 1 ?
?
??
?
??p取为所以对应的特征向量可
,
0
0
11
11
,
0
0
431
143
,4
2
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
x
即
由时当 ?
.
1
1
,
2
21
?
?
?
?
?
? ?
?
??
p
xx 取为所以对应的特征向量可解得
例２
.
201
034
011
的特征值和特征向量求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
解,)1()2(
201
034
011
2
??
?
?
?
? ???
?
??
??
?? EA
A 的特征多项式为
.1,2 321 ??? ???的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 ??? xEA?
,
000
010
001
001
014
013
2 ~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
0
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.2)0( 11 的全部特征值是对应于所以 ?? ?kpk
由解方程时当,0)(,132 ???? xEA??
,
000
210
101
101
024
012
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以 ??? ??kpk
例３ 设
,
314
020
112
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 A的特征值与特征向量．
解
?
?
?
?
??
?
??
??
314
020
112
EA
? ?,2)1( 2???? ??
? ? 02)1( 2 ???? ??令
.2,1 321 ???? ???的特征值为得 A
? ? 由解方程时当,0,11 ???? xEA?
,
000
010
101
414
030
111
~
?
?
?
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?
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? ?
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?? EA
,
1
0
1
1
?
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?
?
?
?
?p得基础解系
的全体特征向量为故对应于 11 ???
).0( 1 ?kpk
? ? 由解方程时当,02,232 ???? xEA??
,
000
000
114
114
000
114
2 ~
?
?
?
?
?
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?? EA
得基础解系为：
,
4
0
1
,
1
1
0
32
?
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?
?
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?
?
? pp
:232 的全部特征向量为所以对应于 ?? ??
).0,( 323322 不同时为kk pkpk ?
例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于
的特征向量，则
?
?
x
? ?,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 ?? AA ?
证明 ? ? xAx ???1
? ? ? ? ? ? ? ?xAxxAAxA ???? ???? xxA 22 ??
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm ??
.
,
征向量
的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA ??
可得由 xAx ??
? ? ? ? xAxAAxA 111 ??? ?? ??
xxA 11 ?? ?? ?
? ?,0,2 ??可逆时当 A
.
,1111
的特征向量
对应于是且的特征值是矩阵故 ???? ?? AxA
.,,,,
,,,.,
,,,,,,1
21
21
2121
线性无关则各不相等
如果向量依次是与之对应的特征
个特征值的是方阵设定理
m
mm
m
ppp
p
ppmA
?
??
?
???
???
证明 使设有常数 mxxx,,,21 ?
.02211 ???? mm pxpxpx ?
则 ? ?,02211 ???? mm pxpxpxA ?即
,0222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?
类推之，有,0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?
? ?1,,2,1 ?? mk ?
二、特征值和特征向量的性质
把上列各式合写成矩阵形式，得? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
pxpxpx
??
??
??
?
???
?
?
?
? ?0,,0,0 ??
于是有可逆
从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式
列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩
.
,0,,i?
? ? ? ?,0,,0,0,,,2211 ?? ?mm pxpxpx
? ?.,,2,10 mjpx jj ???即,0?jp但 ? ?.,,2,10 mjx j ??故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp ?
注意
１, 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的．
２, 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３, 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征
值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
? ? 即有的特征向量
的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
??
??
?
Ax
xAxxAx 21,?? ??
xx 21 ?? ??
? ?,021 ??? x??
,021 ?? ??由于,0?x则,与定义矛盾
例 5 设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
? ? 0111 aaaAEf nnnA ??????? ?? ????? ?
.的特征多项式求 A T
解 ? ? AEf TA T ?? ??
0111 aaa nnn ????? ?? ??? ?
? ?TAE ?? ?
AE ?? ?
三、特征值与特征向量的求法
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
? ?;d et,1 EAA ??的特征多项式计算
? ?;,,
,,0d e t,2 21
的全部特征值就是
的全部根求特征方程
A
EA
n?
???
?
??
? ?
.,
0
,.3
的特征向量就是对应于的非零解
求齐次方程组对于特征值
i
i
i
xEA
?
?
?
??
四、小结
课后习题
正交性
? 一、内积的定义及性质
? 二、向量的长度及性质
? 三、正交向量组的概念及其求法
? 四、正交矩阵与正交变换
? 五、小结
定义 1 维向量设有 n,,
2
1
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
?
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?
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nn
y
y
y
y
x
x
x
x
??
? ? nn yxyxyxyx ???? ?2211,令
? ?,,的与为向量称 yxyx 内积
一、内积的定义及性质
说明
1 维向量的内积是 3维向量数量积
的推广，但是没有 3维向量直观的几何意义．
? ?4?nn
? ?,,
:,
,,2
yxyx
yx
T?
为内积可用矩阵记号表示向量
都是列如果内积是向量的一种运算
内积的运算性质
? ?,,,,为实数维向量为其中 ?nzyx
? ? ? ?;,,)1( xyyx ?
? ? ? ?;,,)2( yxyx ?? ?
? ? ? ? ? ?;,,,)3( zyzxzyx ???
.0],[0,0],)[4( ??? xxxxx 时有且当
定义 2
非负性.1
齐次性.2
三角不等式.3
? ?,,22221 nxxxxxx ????? ?
令
? ?, 或的维向量为称 xnx长度 范数
向量的长度具有下述性质：;0,0;0,0 ???? xxxx 时当时当;xx ?? ?
.yxyx ???
二、向量的长度及性质
维向量间的夹角单位向量及 n
? ? ? ?,1,5,1,33,2,2,1 的夹角与求向量 ?? ??例
解 ?? ??? ??co s? 22623 18 ???
.4?? ??
? ?,,11 为称时当 xx ?单位向量
? ? ? ?yx yxyx,a r cc o s,0,02 ??? ?时当
,的与维向量称为 yxn夹角
１ 正交的概念
２ 正交向量组的概念
.,0],[ yxyx 与称向量时当 ?正交
.,0,与任何向量都正交则若由定义知 xx ?
若一非零向量组中的向量两两正交，则称该向
量组为 正交向量组,
三、正交向量组的概念及求法
,00 21111 ???? ???? T由,01 ??从而有
.02 ??? r?? ?同理可得,,,,21 线性无关故 r??? ?
使设有 r???,,,21 ?证明
02211 ???? r?????? ?
得左乘上式两端以,1a T 0111 ???? T
３ 正交向量组的性质
线性无关.,,,则非零向量,
是一组两两正交的,,,维向量若定理
r
rn
???
???
?
?
21
21 1
例 1 已知三维向量空间中两个向量
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
1
,
1
1
1
21 ??
正交，试求 使 构成三维空间的一个正交
基,
3? 321 ???,,
４ 向量空间的正交基
.
,,,,,
,,,,,,
21
2121
的正交基向量空间
是则称组是两两正交的非零向量
且的一个基是向量空间若
V
V
rr
r
????
?????
??
?
即 ??
?
????
????
02],[
0],[
32132
32131
xxx
xxx
??
??
解之得,0,231 ??? xxx
则有若令,13 ?x ?
?
?
?
?
?
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? ?
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?
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?
?
?
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?
1
0
1
3
2
1
3
x
x
x
?
由上可知 构成三维空间的一个正交基,321 ???,,
则有 0],[],[ 3231 ?? ????
解 ? ?,,,0,,213213 正交且分别与设 ??? ?? Txxx
５ 规范正交基
.,,,,
,,,,)
(,,,3
21
21
21
的一个规范正交基是则称向量
两两正交且都是单位如果的一个基
是向量空间维向量设定义
Veee
eeeR
VVeeen
r
r
n
r
?
?
? ?
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
?
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?
? eeee
例如
.
21
21
0
0
,
21
21
0
0
,
0
0
21
21
,
0
0
21
21
4321
??
?
?
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?
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??
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?
? eeee
?
?
?
???
???
.4,3,2,1,,1],[
.4,3,2,1,,0],[
jijiee
jijiee
ji
ji
且
且
由于
.,,,44321 的一个规范正交基为所以 Reeee
.
1
0
0
0
,
0
1
0
0
,
0
0
1
0
,
0
0
0
1
4321
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? ????同理可知
.4 的一个规范正交基也为 R
（ 1） 正交化,取,11 ab ?
? ?
? ?,,
,
1
11
21
22 bbb
abab ??
,,,,21 的一个基为向量空间若 Vaaa r?
６ 求规范正交基的方法
称为这样一个问题价
等与使位向量
的单就是要找一组两两正交的一个规范正交基
要求的一个基是向量空间设
,,
,,,,,,,,,,
,
,,,,
212121
21
rrr
r
eeeeee
VV
???
???
???
?
.
,,,21
范正交化
这个基规把 r??? ?
????
1
11
1
2
22
2
1
11
1
],[
],[
],[
],[
],[
],[
?
??
??????
r
rr
rrrr
rr bbb
abb
bb
abb
bb
abab ?
.,,,,,,111 等价与且两两正交那么 rrr aabbbb ???
（ 2） 单位化,取
,,,,
2
2
2
1
1
1
r
r
r b
be
b
be
b
be ??? ??
.,,,21 的一个规范正交基为那么 Veee r?
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
例２ 用施密特正交化方法，将向量组
)1,1,5,3(),4,0,1,1(),1,1,1,1( 321 ????? aaa
正交规范化,
解 先 正交化,
? ?1,1,1,111 ?? ab ? ?
? ? 111 2122,
,b
bb
abab ??
? ? ? ?1,1,1,11111 4114,0,1,1 ??? ????? ? ?3,1,2,0 ???
取
.,,,
,,
1
1
称为的过程向量组
构造出正交上述由线性无关向量组
r
r
bb
aa
?
?
施密特正交化过程
2
22
32
1
11
31
33 ],[
],[
],[
],[ b
bb
abb
bb
abab ???
? ? ? ? ? ?3,1,2,014 141,1,1,1481,1,5,3 ??????? ? ?0,2,1,1 ??
再 单位化,
? ? ?????? ??????? 143,14 1,14 2,03,1,2,0141
2
2
2 b
be
? ? ?????? ????? 0,62,61,610,2,1,161
3
3
3 b
be
得规范正交向量组如下
? ? ?
?
??
?
????
2
1,
2
1,
2
1,
2
11,1,1,1
2
1
1
1
1 b
be
例３
.
,
0
1
4
,
1
3
1
,
1
2
1
321
量规范正交化特正交化过程把这组向
试用施密设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? aaa
解 ;11 ab ?取
b
b
baab
12
12
22
1
],[??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
1
2
1
6
4
1
3
1;
1
1
1
3
5
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
b
bab
b
baab
22
23
12
13
33
21
],[],[ ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
??
1
1
1
3
5
1
2
1
3
1
0
1
4
.
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
再把它们单位化，取
b
be
1
1
1 ?
,
1
2
1
6
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
b
be
2
2
2 ?
,
1
1
1
3
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
b
be
3
3
3 ?
.
1
0
1
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.,,321 即合所求eee
例４
.
,,,,,
1
1
1
3
21321
两两正交
使求一组非零向量已知
a
aaaaa
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解
.0
,0,
321
132
???
?
xxx
xaaa T
即应满足方程
.
1
1
0
,
1
0
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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? ??
它的基础解系为
把基础解系正交化，即合所求．亦即取
,12 ??a,],[
],[
1
11
21
23 ???
??? ??a
于是得其中,2],[,1],[ 1121 ?? ????
,
1
0
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a,
1
2
1
2
1
1
0
1
2
1
1
1
0
3
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?a
证明 EAA T ?
E?
定义 4 ? ?
,
,1
正交矩阵为称
则即满足阶方阵若
A
AAEAAAn TT ?? ?
定理
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
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?
?
?
??
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nnnn
n
n
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
四、正交矩阵与正交变换
为正交矩阵的充要条件是 的列向量都
是单位向量且两两正交．
A A
? ? ETnTT
n
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
,,,21
2
1
?
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E
T
nn
T
n
T
n
T
n
TT
T
n
TT
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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??????
??????
??????
?
????
?
?
21
22212
12111
? ?njiji jiijT ji,,2,1,,0 ;,1 ??
??
?
?
????
当
当???
性质 正交变换保持向量的长度不变．
证明,为正交变换设 Pxy ?
.xxxPxPxyyy TTTT ????则有
例５ 判别下列矩阵是否为正交阵．
? ?,
12131
21121
31211
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?,
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??定义 5 若 为正交阵，则线性变换 称为正交变换,Pxy ?P
解
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
12131
21121
31211
1
,02131121211 ?????????? ???????? ??
所以它不是正交矩阵．
考察矩阵的第一列和第二列，
由于
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
T
所以它是正交矩阵．
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100
010
001由于
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
9
7
9
4
9
4
9
4
9
1
9
8
9
4
9
8
9
1
2
例６
.
2
1
2
1
00
00
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
是正交矩阵
验证矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?P
解
.
,,
是正交矩阵所以
且两两正交向量的每个列向量都是单位
P
P
1．将一组基规范正交化的方法：
先用施密特正交化方法将基正交化，然后再将
其单位化．
? ? ;1 1 TAA ??
? ? ;2 EAA T ?
? ? ;3 单位向量的列向量是两两正交的A
? ?,4 单位向量的行向量是两两正交的A
五、小结
2,为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立：A
§ 5.2 方阵的特征值与特征向量
? 一、特征值与特征向量的概念
? 二、特征值与特征向量的性质
? 三、特征值与特征向量求法
? 四、小结
说明,,0.1 言的特征值问题是对方阵而特征向量 ?x
? ?
.0
,0
,.2
的特征值都是矩阵的
即满足方程值有非零解的
就是使齐次线性方程组的特征值阶方阵
A
EAxEA
An
?
???
?
???
一、特征值与特征向量的概念
.
,,,
,1
的特征向量的对应于特征值称为量
非零向的特征值称为方阵这样的数那末成立
使关系式
维非零列向量和如果数阶矩阵是设定义
?
?
?
?
Ax
A
xAx
xnnA
?
0.3 ?? EA ?
?
0
21
22221
11211
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
?
????
?
?
次方程为未知数的一元称以 n ? 0?? EA ?
,的为 A特征方程
,,次多项式的它是 n?记 ? ? EAf ?? ?? 称其
,的为方阵 A特征多项式
? ?
则有
的特征值为阶方阵设
,
,,,.4 21
n
ijaAn
?
?? ??;)1( 221121 nnn aaa ??????? ?? ???
.)2( 21 An ???? ?
解
例 1,31
13 的特征值和特征向量求 ?
?
??
?
?
?
??A
的特征多项式为A
?
?
??
??
31
13
1)3( 2 ??? ?
)2)(4(68 2 ???? ??????
.4,2 21 ?? ??的特征值为所以 A
,
0
0
231
123
,2
2
1
1
?
?
?
?
?
?
??
?
?
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?
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?
?
?
?
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??
??
?
x
x
对应的特征向量应满足时当 ?
??
?
???
??
.0
,0
21
21
xx
xx 即
,21 xx ?解得,11 1 ?
?
??
?
??p取为所以对应的特征向量可
,
0
0
11
11
,
0
0
431
143
,4
2
1
2
1
2
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
??
??
?
x
x
x
x
即
由时当 ?
.
1
1
,
2
21
?
?
?
?
?
? ?
?
??
p
xx 取为所以对应的特征向量可解得
例２
.
201
034
011
的特征值和特征向量求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
解,)1()2(
201
034
011
2
??
?
?
?
? ???
?
??
??
?? EA
A 的特征多项式为
.1,2 321 ??? ???的特征值为所以 A
由解方程时当,0)2(,21 ??? xEA?
,
000
010
001
001
014
013
2 ~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
0
0
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.2)0( 11 的全部特征值是对应于所以 ?? ?kpk
由解方程时当,0)(,132 ???? xEA??
,
000
210
101
101
024
012
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?? EA
,
1
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p 得基础解系
.1)0( 322 的全部特征值是对应于所以 ??? ??kpk
例３ 设
,
314
020
112
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A
求 A的特征值与特征向量．
解
?
?
?
?
??
?
??
??
314
020
112
EA
? ?,2)1( 2???? ??
? ? 02)1( 2 ???? ??令
.2,1 321 ???? ???的特征值为得 A
? ? 由解方程时当,0,11 ???? xEA?
,
000
010
101
414
030
111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
,
1
0
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?p得基础解系
的全体特征向量为故对应于 11 ???
).0( 1 ?kpk
? ? 由解方程时当,02,232 ???? xEA??
,
000
000
114
114
000
114
2 ~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? EA
得基础解系为：
,
4
0
1
,
1
1
0
32
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? pp
:232 的全部特征向量为所以对应于 ?? ??
).0,( 323322 不同时为kk pkpk ?
例４ 证明：若 是矩阵 A的特征值,是 A的属于
的特征向量，则
?
?
x
? ?,)1( 是任意常数的特征值是 mA mm?
.,)2( 11 的特征值是可逆时当 ?? AA ?
证明 ? ? xAx ???1
? ? ? ? ? ? ? ?xAxxAAxA ???? ???? xxA 22 ??
再继续施行上述步骤 次，就得2?m xxA mm ??
.
,
征向量
的特对应于是且的特征值是矩阵故 mmmm AxA ??
可得由 xAx ??
? ? ? ? xAxAAxA 111 ??? ?? ??
xxA 11 ?? ?? ?
? ?,0,2 ??可逆时当 A
.
,1111
的特征向量
对应于是且的特征值是矩阵故 ???? ?? AxA
.,,,,
,,,.,
,,,,,,1
21
21
2121
线性无关则各不相等
如果向量依次是与之对应的特征
个特征值的是方阵设定理
m
mm
m
ppp
p
ppmA
?
??
?
???
???
证明 使设有常数 mxxx,,,21 ?
.02211 ???? mm pxpxpx ?
则 ? ?,02211 ???? mm pxpxpxA ?即
,0222111 ???? mmm pxpxpx ??? ?
类推之，有,0222111 ???? mmkmkk pxpxpx ??? ?
? ?1,,2,1 ?? mk ?
二、特征值和特征向量的性质
把上列各式合写成矩阵形式，得? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
22
1
11
2211
1
1
1
,,,
m
mm
m
m
mm
pxpxpx
??
??
??
?
???
?
?
?
? ?0,,0,0 ??
于是有可逆
从而该矩阵该行列式不等于不相等时当各式
列阵的行列式为范德蒙行上式等号左端第二个矩
.
,0,,i?
? ? ? ?,0,,0,0,,,2211 ?? ?mm pxpxpx
? ?.,,2,10 mjpx jj ???即,0?jp但 ? ?.,,2,10 mjx j ??故
.,,,21 线性无关所以向量组 mppp ?
注意
１, 属于不同特征值的特征向量是线性无关
的．
２, 属于同一特征值的特征向量的非零线性
组合仍是属于这个特征值的特征向量．
３, 矩阵的特征向量总是相对于矩阵的特征
值而言的，一个特征值具有的特征向量不唯一；
一个特征向量不能属于不同的特征值．
? ? 即有的特征向量
的的属于特征值同时是如果设因为
,
,,
21
21
??
??
?
Ax
xAxxAx 21,?? ??
xx 21 ?? ??
? ?,021 ??? x??
,021 ?? ??由于,0?x则,与定义矛盾
例 5 设 A是 阶方阵，其特征多项式为n
? ? 0111 aaaAEf nnnA ??????? ?? ????? ?
.的特征多项式求 A T
解 ? ? AEf TA T ?? ??
0111 aaa nnn ????? ?? ??? ?
? ?TAE ?? ?
AE ?? ?
三、特征值与特征向量的求法
求矩阵特征值与特征向量的步骤：
? ?;d et,1 EAA ??的特征多项式计算
? ?;,,
,,0d e t,2 21
的全部特征值就是
的全部根求特征方程
A
EA
n?
???
?
??
? ?
.,
0
,.3
的特征向量就是对应于的非零解
求齐次方程组对于特征值
i
i
i
xEA
?
?
?
??
四、小结
课后习题
