.,
)1(
),2,1;,2,1(
21
22221
11211
矩阵简称列矩阵行叫做
列的数表行
排成个数由
nmnm
aaa
aaa
aaa
A
n
mnjmianm
mnmm
n
n
ij
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
????
?
?
??
１ 矩阵的定义
.
.
.
,
复矩阵元素是复数的矩阵叫做
实矩阵元素是实数的矩阵叫做
列元素行第的第阵
叫做矩的元素个数叫做矩阵其中
jiA
aAnm ij?
.
),()(
)1(
AAnm
aAaA
nm
ijij nm
?
?
?
??
也记作矩阵
或
式可简记为
.
)(;
21
2
1
行矩阵
叫做只有一行的矩阵
叫做列矩阵只有一列的矩阵
aaaA
a
a
a
A
n
m
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
２ 方阵 列矩阵 行矩阵
.,,)1( 阶方阵称为时当式对 nAnm ?
两个矩阵的行数相等、列数也相等时，就称
它们是同型矩阵．
.,
).,,2,1;,,2,1(
,
,)()(
BABA
njmiba
bBaA
ijij
ijij
?
???
??
记作相等与矩阵那么就称矩阵
即们的对应元素相等
并且它是同型矩阵与如果
??
３ 同型矩阵和相等矩阵
４ 零矩阵 单位矩阵
.,O记作零矩阵元素都是零的矩阵称为
.,,
,1
Enn 简记作阶单位阵叫做阶方阵
其余元素都是零的主对角线上的元素都是
.
,)(
,)(,)(
的和与
称为矩阵加法定义为
为两个同型矩阵设
BA
BAbaBA
bBaA
ijij nm
ij nmij nm
????
??
?
??
交换律
结合律
５ 矩阵相加
).(
,)(,
),(),(
BABA
OAA
AAaAaA ijij
????
???
?????
并规定从而有负矩阵
的称为矩阵记设 ABBA ???
)()( CBACBA ?????
).(
,
aAA
AAA
ij???
???
??
规定为或的乘积记作与矩阵数
运算规律
);()( AA ???? ?;)( AAA ???? ???
.)( BABA ??? ???
６ 数乘矩阵
.
),,2,1;,,2,1(
,)(
,)(,)(
1
2211
ABC
njmi
babababac
cCnm
BAbBaA
s
k
kjiksjisjijiij
ij
nm
ij
ns
ij
sm
?
??
??????
??
??
?
?
??
记作
其中矩阵是一个
的乘积与规定设
??
?
７ 矩阵相乘
运算规律
);()( BCACAB ?
);(),()()( 为数其中 ???? BABAAB ??;)(
,)(
CABAACB
ACABCBA
???
???
.EAAAE nnmnmnmm ??? ??
n阶方阵的幂
.
,,,,
,
111121
是正整数其中
定义阶方阵是设
k
AAAAAAAA
nA
kk ??? ??
.,
,)(,
为正整数其中 lk
AAAAA klk llklk ?? ?
.)( BAAB kkk ?一般地
８ 方阵的运算
方阵的行列式
.d e t,
,
AAA
An
或记作的行列式阵
叫做方的元素所构成的行列式阶方阵由
运算规律
.;
,,,
BAAB
AA
nBA
n
?
? ??
? 则阶方阵为为数设
转置矩阵
.,,AA
A
T记作的转置矩阵叫做阵
到一个新矩的行换成同序数的列得把矩阵
.)(;)(;)(;)(
ABAB
AA
BABA
AA
TTT
TT
TTT
T
T
?
?
???
?
??
９ 一些特殊的矩阵
对称矩阵
.,,为对称矩阵则称如果阶方阵为设 AAAnA T ?
反对称矩阵
.
,,
矩阵
为反对称则称如果阶方阵为设 AAAnA T ??
幂等矩阵
.,,2 为幂等矩阵则称如果阶方阵为设 AAAnA ?
正交矩阵
.
,,
正交矩阵
为则称如果阶方阵为设 AEAAAAnA TT ??
对角矩阵
.,
,,
为对角矩阵则称素全为零
其余元如果除了主对角线以外阶方阵为设
A
nA
对合矩阵
.,,2 为对合矩阵则称如果阶方阵为设 AEAnA ?
上三角矩阵
主对角线以下的元素全为零的方阵称为上三
角矩阵．
下三角矩阵
主对角线以上的元素全为零的方阵称为下三
角矩阵．
伴随矩阵
.
21
22212
12111
的伴随矩阵叫做方阵
方阵
所构成的的各元素的代数余子式行列式
A
AAA
AAA
AAA
A
AA
nnnn
n
n
ij
?
????
?
?
?
?
.,EAAAAA ?? ??伴随矩阵具有重要性质
定义
.
,,
1A
AAA
?矩阵记作
的逆的逆矩阵是唯一的则有逆矩阵若
１０ 逆矩阵
.),
(
,,
的逆矩阵称为且矩阵秩的
、满或非奇异的、非退化的是可逆的则称矩阵
使如果存在矩阵阶方阵为设
AB
A
EBAAB
BnA
??
相关定理及性质
.0?AA 可逆的充分必要条件是方阵
.,1 AAAA
?
? ?则可逆若矩阵
.)()(
);0(
1
)(;)(
11
11 11
AA
AAAA
TT ??
??
?
???? ?
?
?
?
?
.)(
,,
111 ABAB
ABBA
??? ?
且也可逆那么都可逆与若同阶方阵
矩阵的分块，主要目的在于简化运算及便于
论证．
分块矩阵的运算规则与普通矩阵的运算规则
相类似．
１１ 分块矩阵
一、矩阵的运算
二、逆矩阵的运算及证明
三、矩阵的分块运算
典 型 例 题
例１ 计算
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???
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??
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?n
n
nnn
nn
n
n
nnn
n
nn
1111
111
111
2
????
?
?
一、矩阵的运算
解
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??
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???
???
???
?
111
111
111
1
2
n
n
n
n
?
????
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???
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?n
n
nnn
nn
n
n
nnn
n
nn
1111
111
111
2
????
?
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??
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???
???
???
?
111
111
111
1
2
2
n
n
n
n
?
????
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???
???
???
?
)1(
)1(
)1(
1
2
nnnn
nnnn
nnnn
n
?
????
?
?
.,,2 是幂等矩阵所以在此例中 AAA ?
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??
?
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??
?
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n
n
nn
nn
n
n
nnn
n
111
111
111
?
????
?
?
.0)(,
)(,
?
???
?
?
?
?
?
?
Af
AEf
dc
ba
A
并验证多项式
的写成试将设 ???
解
,)(
)(
2 bcadda
dc
ba
AEf
?????
??
??
???
??
?
?
??
由此得
EbcadAdaAAf )()()( 2 ?????
例２
?
?
?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
??
?
?
??
??
?
10
01
)(
)(
2
2
bcad
dc
ba
da
dbccdac
bdabbca
,00 00 ?
?
??
?
??
.0)( ?Af即
例３,)0( 的逆矩阵求 ???????? bcaddc
ba
解 方法一 用定义求逆阵
,
43
211 ?
?
??
?
???
xx
xxA设
得由,1 EAA ??
二、逆矩阵的运算及证明
,10 01
43
21 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
?
??
?
?
xx
xx
dc
ba
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
.1
,0
,0
,1
42
42
31
31
xdxc
xbxa
xdxc
xbxa
则有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
,
,
,
4
3
2
1
bcad
a
x
bcad
c
x
bcad
b
x
bcad
d
x
解得
.11 ?
?
??
?
?
?
?
???
?
ac
bd
bcadA
注
.
,
元方程组矩阵的各列的同而常数项分别为单位
个系数相实质上是求解的逆依定义求
n
nA
.,
,,
:
,""
的逆矩阵即可得的每一个元素
去除最后用符号再将次对角元素调换其置
位中的主对角元素调换其先将矩阵其做法是
的方法两调一除求二阶矩阵逆矩阵可用
A
AA
A
.,bcadAdc baA ???
?
??
?
??
方法二
A ???? ?? 调换主对角元 ???? ?? 次对角元调符号 ?????? ?
?
ac
bd
??? ?? 去除用 A,1 ?????? ?
?
ac
bd
A
.11 ?
?
??
?
?
?
?
???
?
ac
bd
bcadA
注 此法仅适用于二阶矩阵，对二阶以上的
矩阵不适用．
?
?
??
?
?
ac
bd
分析
.,
,,
,,
),
(,.
,
1
11
1
1
交换律因为矩阵的乘法不满足而不能右乘
即
得乘这时将方程两边同时左程
方可逆时才可解这个矩阵只有程可以不写出
这个过是否可逆要先考察例如解关系
的位置应注意已知矩阵与解矩阵方程时
A
BAXBAAXA
A
A
ABAX
X
?
??
?
?
??
?
.
,,,
均为可逆矩阵、
其中解矩阵方程
BA
CA X BBXABAX ???例4
矩阵方程 解
BAX 1??
BAX 1??
BCAX 11 ???
BAX ?
BXA ?
CAXB ?
.,
0
,,
的逆矩阵并求必为可逆矩阵
证明阶可逆矩阵都是设
D
BC
A
DnBA ?
?
?
?
?
?
?
证
.),0d e t,0d e t
,,(0d e td e td e t
为可逆矩阵所以
均可逆因为
DBA
BABAD
??
??? ?
),2,1,(
,
2221
12111
?
?
?
?
?
?
?
??
jin
X
XX
XX
D ij
阶矩阵
均为其中设
例５
三、矩阵的分块运算
)(
0
0
0
22122111
1211
2221
12111
阶单位阵是 nE
E
E
XBXCXBXC
XAXA
XX
XX
BC
A
DD
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
??
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
??
,
,
,,
2212
2111
1211
EXBXC
OXBXC
OXAEXA
依矩阵相等的定义有
,,
,,
1
22
11
21
12
1
11
BXACBX
OXAX
???
?
???
??从而得
.111
1
1 ??
?
?
???
?
?? ???
?
?
BACB
OAD故
同理可得：;,)1( 1
111
1 ??
?
?
???
? ???
?
??
?
??
?
???
?
BO
BCAAD
BO
CAD 则设
.,)2( 111
1
1 ??
?
?
???
?
????
??
?
??
???
?
?
BCAA
BOD
OB
ACD 则设
:,DBA 对分块矩阵均可逆、设
.:)2(;)1(
.
,,
,
,,,,,
1
1
1
BACDA
DC
BA
XY Z
EO
BAE
Z
DC
BA
Y
EAC
OE
X
nE
AnDCBA
?
?
?
???
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? ?
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?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
证明
求乘积
并且阶单位阵是
是非奇异的阶方阵都是设
例 6
解 （１）根据分块矩阵的乘法，得
???
?
???
? ??
?
??
?
??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
DC
BA
EAC
OEX Y Z 1
1
???
?
???
? ??
?
??
?
?
??
?
? EO
BAE
BACDO
BA 1
1
.1 ?
?
??
?
?
?? ? BACDO
OA
（２）由（１）可得
,11 BACDAB
ACDO
OAX Y Z ?
? ??????
,ZYXXY Z ?
,1?? ZX而
.1 BACDADC BA ?????
第二章 测试题
一、填空题 (每小题 4分，共 32分 )．
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??
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?
AA
AAnA
15
4
1
d e t
,
3
1
d e t,,.1
1
则为其伴随矩阵阶方阵为设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
t
OABtBOA 则且阶方阵设,,
353
42
531
,3.2
?? ? 13,.3 AEA 则已知
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 1
008
050
200
.4 AA 的逆矩阵矩阵
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 1
3112
5221
0011
0012
4.5
AA
A
的逆矩阵则
阶矩阵设
?
???
? 1
2,032.6
A
EAAAn 则满足方程阶矩阵若
??? ?? AAAA 32,1,.7 1且为三阶矩阵设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? nAA 则设,
400
010
003
.8
.,,
,,A )6( 2
并求其逆可逆证明
且阶方阵均为、设分二、
AB
EABBnB
?
??
四,(8分 )解下列矩阵方程．
.
021
102
341
010
100
001
100
001
010
?
?
?
?
?
?
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?
?
X
五,(每小题 5分，共 20分 )求下列矩阵．
? ?,
23
121 n?
?
??
?
?
?
?? ? ? ?;2,1
3
1
2
2 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
,,)6(
可逆
证明且阶实方阵设分三,AAAOAn T?? ?
? ? ;
5100
1310
1121
l i m3
n
n ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
六,(6分 )设 求,
,2,
321
011
324
BAABA ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
七,(每小题 3分,共 6分 )设 阶矩阵 的伴随矩阵
为,证明：?A
? ? ;0,01 ?? ?AA 则若 ? ?,2 1?? ? nAA
? ?,
100
010
01
4
n
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
B
n A
八,(每小题 5分，共 10分 )求下列矩阵的逆矩阵,;
10000
21000
00200
00031
00011
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
11332
23210
10101
00082
00031
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
其中求设,,111 ABAPP ??九,(6分 )
.20 01,11 41 ?
?
??
?
? ???
?
??
?
? ??? BP
? ? ;
0081
0510
2100
.4 ;.3 ;4.2 ;31.1 2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? Atn一、;
31613431
0212521
0010
002121
.5
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
A
? ?;231.6 EA ??
测试题答案
.
400
010
003
.8 ;125.7
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
n
n
? ? ? ?,321211 AEBEEBA ?????? ??二、
.
201
431
012
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?X四、
? ?
? ? ;,
23
12
,
23
12
.1
??
?
?
?
?
?
?
?
?
? ???
?
?
?
?
?
?
?
为奇数
为偶数
五,n
nEn;
63
21
42
.2
?
?
?
?
?
?
?
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?
?;
000
000
000
.3
?
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.
100
010
01
.4
?
?
?
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?
?
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?
? n
.
9122
692
683
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?B六、;
10000
21000
002100
0004141
0004143
.1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
八、
.
21616712112
03132673
2161611272
000211
000234
.2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
???
?
?
.684683 273 2273 1 ?
?
??
?
?
??九、