§ 4.1 向量组及其线性组合
? 一、向量的定义
? 二、向量、向量组与矩阵
? 三、线性组合，线性表示
? 四、等价向量组
? 五、向量组的秩与矩阵的秩
? 六、总结
定义 1
,
,,,21
个分量称为第个数第
个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为
所组成的数个有次序的数
iai
nnn
aaan
i
n?
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
一、向量的定义
1,维向量的概念n
),,,( 21 nT aaaa ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
a
?
2
1
2,维向量的表示方法
维向量写成一行，称为 行向量,也就是行
矩阵，通常用 等表示，如,?? TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,也就是列
矩阵，通常用 等表示，如,??,,,ba
n
n
注意
１．行向量和列向量总被看作是 两个不同的
向量 ；
２．行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则
进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，
都当作 列向量,
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)( ??
?
?
?
?
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?
?
?
aaaa
aaaa
aaaa
A
mnmjmm
nj
nj
??
??????
??
??
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
二、向量、向量组与矩阵
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,??
?
?
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aaa
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
inii
n
n
?
????
?
????
?
?
21
21
22221
11211
?T1
?T2
?Ti
?Tm
向量组,,…, 称为矩阵 A的行向量组．?T1 ?T2 ?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵,
矩阵构成一个
组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
?
,,,,21 ??? ?
矩阵构成一个
的向量组
维行向量所组成个
nm
nm
T
m
TT
?
,,,
21 ??? ?
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T
m
T
T
B
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2
1
),,,( 21 mA ??? ??
mmb ?????? ???? 2211
，使，，一组数
如果存在和向量给定向量组
m
m bA
???
???
,
,,,,,
21
21
?
?
.
2211
有解
即线性方程组
bxxx mm ???? ??? ?
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能
由向量组 线性表示,
b
A
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
?
? ???定义１
.
,21
个线性组合的系数
称为这，,mkkk ?，称为向量组的一个
向量
2211 mmkkk ??? ??? ?
线性组合
三、线性组合，线性表示
.),,(
),(
21
21
的秩，，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵
线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
???
???
?
?
?
?定理 1
定义２
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组
与向若向量组称
线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若
及
设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
?????? ??
向量组 能由向量组 线性表示
向量组等价,
B A
四、等价向量组
使在数
存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
sm
kkk
sjbA
BbbbBA
?
?
??
?
?? ???
mmjjjj kkkb ??? ???? ?2211,),,,
2
1
21
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mj
j
j
m
k
k
k
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?),,,21 sbbb ?（
从而
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msmm
s
s
m
kkk
kkk
kkk
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21
22221
11211
21
),,,???（
, )( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK ??
矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵
的列向量组能由，则矩阵若
BA
CBAC nssmnm ??? ?
??
?
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snss
n
n
sn
kkb
bbb
bbb
ccc
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21
22221
11211
2121
),,,),,,???（（
?
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T
s
T
T
msmm
s
s
T
m
T
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aaa
aaa
aaa
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???
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2
1
21
22221
11211
2
1
：为这一表示的系数矩阵
的行向量组线性表示的行向量组能由同时,ABC,
.
,
的行向量组等价的行向量组与于是
的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，
由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由
的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是
的每个行，则经初等行变换变成设矩阵
BA
BA
A
BA
BBA
.的列向量组等价列向量组与
的，则经初等列变换变成类似，若矩阵
B
ABA
.
价的方程组一定同解
这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称
与方程组的解；若方程组的解一定是方程组
线性表示，这时方程组能由方程组称方程组
的线性组合，就的每个方程都是方程组程组
的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组
所得到的的各个方程做线性运算对方程组
B
ABA
AB
AB
A
A
五、向量组的秩与矩阵的秩
。的秩，即
秩等于矩阵阵示的充分必要条件是矩
线性表：能由向量组、向量组
B)R ( A,R ( A )),,b,,,,(B)( A,
),,,(A
,,,,,b:B1
2121
21
2121
??
?
lm
m
ml
bbaaa
aaa
aaaAbb
??
?
??
所构成的矩阵。和是向量组和其中
等价的充要条件是
与向量组向量组推论
BB
),()()(
,,,:B,,:A 2
2121
AA
BARBRAR
bbbaaa
lm
??
??、
.
,,,
1
3
0
1
,
0
4
2
1
,
3
1
2
1
,
2
2
1
1
1
321
321
表示式
并求出线性表示能由向量组证明向量
设、例
????
????
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
1210
2301
~
1210
1210
1210
1111
~
1032
3412
01-21
1111
B
r
2rr
rr
2rr
13
12
14
线性表示。
，，能由向量组因此，向量 321),B(R)A(R ??????
的通解为方程（由上式的最简形，可得 bxaaa ?),,321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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?
?
?
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??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
c
c
c
cx 12
23
0
1
2
1
2
3
可任意取值．其中
从而得表示式
c
)12()23(),,( 321321 ?????? cccxb ???????
),,,(),,,(
,,,:
,,,,33
2121
21
21
ml
m
l
RR
A
B
??????
???
???
??
?
?
?
线性表示，则
能由向量组设向量组、定理
§ 4.2向量组的线性相关性
? 一、线性相关的概念
? 二、线性相关的判定
? 三、小结
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
???? mm
m
m
kkk
kkk
A
???
???
?
?
?
使全为零的数
如果存在不给定向量组
注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立
才有时
则只有当线性无关若
????
???
nn
n
n
??????
??
???
?
?
?
.
,2,
线性相关
性无关就是不是线对于任一向量组
定义３
一、线性相关性的概念
则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关
则说若时向量组只包含一个向量
??
???
?
?
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
量共面
向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向
义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分
它线性相关的量组对于含有两个向量的向
定理 向量组 （当 时）线性相关
的充分必要条件是 中至少有一个向
量可由其余 个向量线性表示．
m???,,,21 ? 2?m
m???,,,21 ?
1?m
证明 充分性
设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21 ? ma
即有
112211 ?????? mmma ?????? ?
三、线性相关性的判定
故 ? ? 01112211 ?????? ?? mmm a?????? ?
因 这 个数不全为 0,? ?1,,,,121 ??m??? ?m
故 线性相关, m???,,,21 ?
必要性 设 线性相关,m???,,,21 ?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk ?
.02211 ???? mmkkk ??? ?
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21 ?
不妨设 则有,01 ?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k ???? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
?
??
?
? ?? ?
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各
方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的
各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多
是其余方程的线性组若方程组中有某个方程
线性相关性在线性方程组中的应用
).,,(,
0 A,0
21
2211
m
mm
A
xxxx
A
???
???
?
?
?
?????
其中有非零解
即
方程组线性相关就是齐次线性向量组
结论
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
A
m
m
?
?
必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数
的秩小矩阵条件是它所构成的
线性相关的充分必要向量组
???
???
?
?
定理 2
下面举例说明定理的应用,
维向量组n
? ? ? ? ? ? TnTT eee 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21 ???? ???,
.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n
解
.
),,,(
21
阶单位矩阵是
的矩阵维单位坐标向量组构成
n
eeeE
n
n??
.)(01 nERE ???,知由
.
2)(
向量组是线性无关的
知此，故由定理等于向量组中向量个数即 ER
例１
，，，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7
4
2
5
2
0
1
1
1
321 ???
.21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组 ?????
解
.2
,
21
321
321
即可得出结论）的秩，利用定理，及（
），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵
），施行初等行变换变，，对矩阵（
??
???
???
已知例２
分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
751
421
201
),,( 321 ???
~
23 2
5 rr ?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
220
201
.,,2),(
,,2),,(
2121
321321
线性无关向量组
线性相关；，向量组可见
????
??????
?
?
R
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
751
220
201
~ 12
rr ?
13
12
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
550
220
201
.,,,,
,,,,
321133322
211321
线性无关试证
线性无关已知向量组
bbbbb
b
????
?????
????
?? 例3
0
,,
332211
321
??? bxbxbx
xxx 使设有
,0)()( 133322211 ?????? ?????? xxx ）（即
,0)()() 332221131 ?????? ??? xxxxxx（亦即
线性无关，故有，，因 321 ???
?
?
?
?
?
??
??
??
.0
,0
,0
32
21
31
xx
xx
xx
证
02
110
011
101
??
列式由于此方程组的系数行
.,,
0
321
321
线性无关
向量组，所以故方程组只有零解
bbb
xxx ???
.,
,.,,,,
,,,,( 1)
11
21
也线性无关向量组则线性无关量组
若向反言之也线性相关向量组
则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
????
???
?
?
定理 3
.
2
时一定线性相关于向量个数
小当维数维向量组成的向量组，个）（
m
nnm
.,
,,,,:
,,,,,( 3)
1
21
且表示式是唯一的线性表示
必能由向量组向量则线性相关组
而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
??
???
?
?
.2
,,11)()()(2
,.1)()(
),,,(),,,( 1
111
线性相关知向量组根据定理
因此，从而，有
则根据定理线性相关若向量组
，有记）（
B
mARBRmAR
AARBR
aaaBaaA
mmm
?????
??
??
?
??
证明
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它
反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必
特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向
一个向量组若有线性）可推广为结论（
说明
.,,,
,)(,.)(),,,(
,,,2
21
21
21
线性相关个向量故
则若，有
构成矩阵维向量个）（
m
m
mnm
m
mARmnnAR
Anm
???
???
???
?
?
?
???
??
.)(1
)(.1)(;)().()(
),,,,,(),,,,()3(
2121
mBRm
BRmmBRB
mARABRAR
bBA
mm
??
????
??
??
，即有
所以组线性相关，有因
组线性无关，有因有
记 ?????? ??
.
),,,(
,)()(
21
一线性表示，且表示式唯组
能由向量有唯一解，即向量
知方程组由
A
bbx
mBRAR
m ?
??
??? ?
1,线性相关与线性无关的概念；线性相关性
在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
2,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
四、小结
课后习题
? 一、向量的定义
? 二、向量、向量组与矩阵
? 三、线性组合，线性表示
? 四、等价向量组
? 五、向量组的秩与矩阵的秩
? 六、总结
定义 1
,
,,,21
个分量称为第个数第
个分量，个数称为该向量的维向量，这组称为
所组成的数个有次序的数
iai
nnn
aaan
i
n?
分量全为复数的向量称为 复向量,
分量全为实数的向量称为 实向量,
一、向量的定义
1,维向量的概念n
),,,( 21 nT aaaa ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
a
?
2
1
2,维向量的表示方法
维向量写成一行，称为 行向量,也就是行
矩阵，通常用 等表示，如,?? TTTT ba,,,
n
维向量写成一列，称为 列向量,也就是列
矩阵，通常用 等表示，如,??,,,ba
n
n
注意
１．行向量和列向量总被看作是 两个不同的
向量 ；
２．行向量和列向量都按照 矩阵的运算法则
进行运算；
３．当没有明确说明是行向量还是列向量时，
都当作 列向量,
若干个同维数的列向量（或同维数的行向量）
所组成的集合叫做向量组．
例如 维列向量个有矩阵 mna ijA nm)( ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
aaaa
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A
mnmjmm
nj
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??????
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??
21
222221
111211
a1
.,,,的列向量组称为矩阵向量组 A?a1 a2 an
二、向量、向量组与矩阵
a2 aj an
维行向量个又有矩阵类似地 nmijaA nm)(,??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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21
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22221
11211
?T1
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向量组,,…, 称为矩阵 A的行向量组．?T1 ?T2 ?Tm
反之，由有限个向量所组成的向量组可以构
成一个矩阵,
矩阵构成一个
组维列向量所组成的向量个
nm
nm m
?
,,,,21 ??? ?
矩阵构成一个
的向量组
维行向量所组成个
nm
nm
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?
,,,
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?
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mmb ?????? ???? 2211
，使，，一组数
如果存在和向量给定向量组
m
m bA
???
???
,
,,,,,
21
21
?
?
.
2211
有解
即线性方程组
bxxx mm ???? ??? ?
的线性组合，这时称是向量组则向量 Ab向量 能
由向量组 线性表示,
b
A
，，，组实数
，对于任何一给定向量组
m
m
kkk
A
,
,,,,
21
21
?
? ???定义１
.
,21
个线性组合的系数
称为这，,mkkk ?，称为向量组的一个
向量
2211 mmkkk ??? ??? ?
线性组合
三、线性组合，线性表示
.),,(
),(
21
21
的秩，，
的秩等于矩阵，，条件是矩阵
线性表示的充分必要能由向量组向量
bB
A
Ab
m
m
???
???
?
?
?
?定理 1
定义２
,
.,,,:,,,,
2121
这两个能相互线性表示，则称量组
与向若向量组称
线性表示，则向量组组中的每个向量都能由若
及
设有两个向量组
B
A
AB
BA
sm
?????? ??
向量组 能由向量组 线性表示
向量组等价,
B A
四、等价向量组
使在数
存量线性表示，即对每个向能由
（和（若记
,,,
),,2,1(
).,,,),,,
21
2121
mjjj
j
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kkk
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21
),,,???（
, )( 数矩阵称为这一线性表示的系矩阵 ijsm kK ??
矩阵：
为这一表示的系数的列向量组线性表示，矩阵
的列向量组能由，则矩阵若
BA
CBAC nssmnm ??? ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
snss
n
n
sn
kkb
bbb
bbb
ccc
?
???
?
?
??
21
22221
11211
2121
),,,),,,???（（
?
?
?
?
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??
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T
s
T
T
msmm
s
s
T
m
T
T
aaa
aaa
aaa
?
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?
?
?
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?
???
?
?
?
2
1
21
22221
11211
2
1
：为这一表示的系数矩阵
的行向量组线性表示的行向量组能由同时,ABC,
.
,
的行向量组等价的行向量组与于是
的行向量组线性表示，的行向量组能由可知，
由初等变换可逆性的行向量组线性表示组能由
的行向量，即的行向量组的线性组合向量都是
的每个行，则经初等行变换变成设矩阵
BA
BA
A
BA
BBA
.的列向量组等价列向量组与
的，则经初等列变换变成类似，若矩阵
B
ABA
.
价的方程组一定同解
这两个方程组等价，等能相互线性表示，就称
与方程组的解；若方程组的解一定是方程组
线性表示，这时方程组能由方程组称方程组
的线性组合，就的每个方程都是方程组程组
的一个线性组合；若方一个方程就称为方程组
所得到的的各个方程做线性运算对方程组
B
ABA
AB
AB
A
A
五、向量组的秩与矩阵的秩
。的秩，即
秩等于矩阵阵示的充分必要条件是矩
线性表：能由向量组、向量组
B)R ( A,R ( A )),,b,,,,(B)( A,
),,,(A
,,,,,b:B1
2121
21
2121
??
?
lm
m
ml
bbaaa
aaa
aaaAbb
??
?
??
所构成的矩阵。和是向量组和其中
等价的充要条件是
与向量组向量组推论
BB
),()()(
,,,:B,,:A 2
2121
AA
BARBRAR
bbbaaa
lm
??
??、
.
,,,
1
3
0
1
,
0
4
2
1
,
3
1
2
1
,
2
2
1
1
1
321
321
表示式
并求出线性表示能由向量组证明向量
设、例
????
????
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
0000
1210
2301
~
1210
1210
1210
1111
~
1032
3412
01-21
1111
B
r
2rr
rr
2rr
13
12
14
线性表示。
，，能由向量组因此，向量 321),B(R)A(R ??????
的通解为方程（由上式的最简形，可得 bxaaa ?),,321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
c
c
c
cx 12
23
0
1
2
1
2
3
可任意取值．其中
从而得表示式
c
)12()23(),,( 321321 ?????? cccxb ???????
),,,(),,,(
,,,:
,,,,33
2121
21
21
ml
m
l
RR
A
B
??????
???
???
??
?
?
?
线性表示，则
能由向量组设向量组、定理
§ 4.2向量组的线性相关性
? 一、线性相关的概念
? 二、线性相关的判定
? 三、小结
0
,,,
,,,,,
2211
21
21
???? mm
m
m
kkk
kkk
A
???
???
?
?
?
使全为零的数
如果存在不给定向量组
注意
.0
,0
,,,,1,
2211
1
21
成立
才有时
则只有当线性无关若
????
???
nn
n
n
??????
??
???
?
?
?
.
,2,
线性相关
性无关就是不是线对于任一向量组
定义３
一、线性相关性的概念
则称向量组 是线性相关的，否则称它线性无关．A
.,0,
0,3,
线性无关则说若线性相关
则说若时向量组只包含一个向量
??
???
?
?
.4,组是线性相关的包含零向量的任何向量
.
,.5
量共面
向量相关的几何意义是三是两向量共线；三个向
义量对应成比例，几何意充要条件是两向量的分
它线性相关的量组对于含有两个向量的向
定理 向量组 （当 时）线性相关
的充分必要条件是 中至少有一个向
量可由其余 个向量线性表示．
m???,,,21 ? 2?m
m???,,,21 ?
1?m
证明 充分性
设 中有一个向量（比如 ）
能由其余向量线性表示,
maaa,,,21 ? ma
即有
112211 ?????? mmma ?????? ?
三、线性相关性的判定
故 ? ? 01112211 ?????? ?? mmm a?????? ?
因 这 个数不全为 0,? ?1,,,,121 ??m??? ?m
故 线性相关, m???,,,21 ?
必要性 设 线性相关,m???,,,21 ?
则有不全为 0的数 使,,,,21 mkkk ?
.02211 ???? mmkkk ??? ?
因 中至少有一个不为 0，mkkk,,,21 ?
不妨设 则有,01 ?k
.
1
3
1
3
2
1
2
1 m
m
k
k
k
k
k
k ???? ?
?
??
?
? ????
?
??
?
? ???
?
??
?
? ?? ?
即 能由其余向量线性表示,1?
证毕,
.
性独立）
线个方程）线性无关（或程，就称该方程组（各
方；当方程组中没有多余个方程）是线性相关的
各余的，这时称方程组（合时，这个方程就是多
是其余方程的线性组若方程组中有某个方程
线性相关性在线性方程组中的应用
).,,(,
0 A,0
21
2211
m
mm
A
xxxx
A
???
???
?
?
?
?????
其中有非零解
即
方程组线性相关就是齐次线性向量组
结论
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
A
m
m
?
?
必要条件是向量组线性无关的充分于向量个数
的秩小矩阵条件是它所构成的
线性相关的充分必要向量组
???
???
?
?
定理 2
下面举例说明定理的应用,
维向量组n
? ? ? ? ? ? TnTT eee 1,,0,0,0,,1,0,0,,0,1 21 ???? ???,
.,讨论其线性相关性维单位坐标向量组称为 n
解
.
),,,(
21
阶单位矩阵是
的矩阵维单位坐标向量组构成
n
eeeE
n
n??
.)(01 nERE ???,知由
.
2)(
向量组是线性无关的
知此，故由定理等于向量组中向量个数即 ER
例１
，，，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
7
4
2
5
2
0
1
1
1
321 ???
.21321 的线性相关性，及，，试讨论向量组 ?????
解
.2
,
21
321
321
即可得出结论）的秩，利用定理，及（
），，可同时看出矩阵（成行阶梯形矩阵
），施行初等行变换变，，对矩阵（
??
???
???
已知例２
分析
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
751
421
201
),,( 321 ???
~
23 2
5 rr ?,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
220
201
.,,2),(
,,2),,(
2121
321321
线性无关向量组
线性相关；，向量组可见
????
??????
?
?
R
R
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
751
220
201
~ 12
rr ?
13
12
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
550
220
201
.,,,,
,,,,
321133322
211321
线性无关试证
线性无关已知向量组
bbbbb
b
????
?????
????
?? 例3
0
,,
332211
321
??? bxbxbx
xxx 使设有
,0)()( 133322211 ?????? ?????? xxx ）（即
,0)()() 332221131 ?????? ??? xxxxxx（亦即
线性无关，故有，，因 321 ???
?
?
?
?
?
??
??
??
.0
,0
,0
32
21
31
xx
xx
xx
证
02
110
011
101
??
列式由于此方程组的系数行
.,,
0
321
321
线性无关
向量组，所以故方程组只有零解
bbb
xxx ???
.,
,.,,,,
,,,,( 1)
11
21
也线性无关向量组则线性无关量组
若向反言之也线性相关向量组
则线性相关：向量组若
AB
B
A
mm
m
????
???
?
?
定理 3
.
2
时一定线性相关于向量个数
小当维数维向量组成的向量组，个）（
m
nnm
.,
,,,,:
,,,,,( 3)
1
21
且表示式是唯一的线性表示
必能由向量组向量则线性相关组
而向量线性无关设向量组
A
bbB
A
m
m
??
???
?
?
.2
,,11)()()(2
,.1)()(
),,,(),,,( 1
111
线性相关知向量组根据定理
因此，从而，有
则根据定理线性相关若向量组
，有记）（
B
mARBRmAR
AARBR
aaaBaaA
mmm
?????
??
??
?
??
证明
.
.
.
:1
关的任何部分组都线性无向量组线性无关，则它
反之，若一个线性相关含有零向量的向量组必
特别地，量组线性相关相关的部分组，则该向
一个向量组若有线性）可推广为结论（
说明
.,,,
,)(,.)(),,,(
,,,2
21
21
21
线性相关个向量故
则若，有
构成矩阵维向量个）（
m
m
mnm
m
mARmnnAR
Anm
???
???
???
?
?
?
???
??
.)(1
)(.1)(;)().()(
),,,,,(),,,,()3(
2121
mBRm
BRmmBRB
mARABRAR
bBA
mm
??
????
??
??
，即有
所以组线性相关，有因
组线性无关，有因有
记 ?????? ??
.
),,,(
,)()(
21
一线性表示，且表示式唯组
能由向量有唯一解，即向量
知方程组由
A
bbx
mBRAR
m ?
??
??? ?
1,线性相关与线性无关的概念；线性相关性
在线性方程组中的应用； （ 重点 ）
2,线性相关与线性无关的判定方法：定义，
两个定理,（ 难点 ）
四、小结
课后习题
