§ 2.3 逆矩阵
? 一、概念的引入
? 二、逆矩阵的概念和性质
? 三、逆矩阵的求法
? 四、小结
,111 ?? ?? aaaa
,11 EAAAA ?? ??
则矩阵 称为 的可逆矩阵或逆阵,A1?A
一、概念的引入
在数的运算中,当数 时，0?a 有
aa
11 ?? a其中 为 的倒数,a（或称 的逆）；
在矩阵的运算中,E单位阵 相当于数的乘法运算中
的 1,A那么，对于矩阵, 1?A如果存在一个矩阵,
使得
二、逆矩阵的概念和性质
定义 对于 阶矩阵,如果有一个 阶矩阵
则说矩阵 是 可逆 的，并把矩阵 称为 的 逆矩阵,
n A B
,EBAAB ??
B A
n
A
,使得
.1?AA 的逆矩阵记作
例 设,2121
2121,
11
11 ?
?
??
?
?
????
??
?
? ?? BA
,EBAAB ???,的一个逆矩阵是 AB?
说明 若 是可逆矩阵，则 的逆矩阵是 唯一 的,A A
若设 和 是 的可逆矩阵，B C A 则有
,,ECAACEBAAB ????
可得 EBB ? ? ?BCA? ? ?ABC?,CCE ??
所以 的逆矩阵是唯一的,即A
.1??? ACB
例 设,01
12 ?
?
??
?
?
??A,的逆阵求 A
解
设 是 的逆矩阵,??
??
?
??
dc
baB
A
则 ???????????? ?? dc
baAB
01
12 ?
?
??
?
??
10
01
?
?
??
?
???
?
??
?
?
??
???
10
0122
ba
dbca
利用待定系数法
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
?
,1
,0
,02
,12
b
a
db
ca
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
.2
,1
,1
,0
d
c
b
a
又因为
?
?
??
?
?
? 01
12 ?
?
??
?
? ?
21
10 ?
?
??
?
?
? 01
12
? ??????
?
21
10
,10 01 ?
?
??
?
??
所以,21 101 ?
?
??
?
? ???A
AB AB
定理 1 矩阵 可逆的充要条件是,且
,11 ?? ? AAA
A 0?A
证明 若 可逆，A,EAAA ??? 11 使即有
,11 ??? ? EAA故,0?A所以
.的伴随矩阵为矩阵其中 AA ?
,0时当 ?A
,0时当 ?A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
aaa
aaa
aaa
AA
?
????
?
?
?
????
?
?
21
22212
12111
21
22221
11211
AAaAaAa nn ???? 1112121111 ?
AAaAaAa nnnnnnnn ???? ?2211
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
A
A
A
A
O
O
?
EAAAAA ?? ??,EAA
A
A
AA ??? ??
.1 AAA
?
? ?
按逆矩阵的定义得
证毕
.
,0,,0
非奇异矩阵
称为时当称为奇异矩阵时当 AAAA ??
奇异矩阵与非奇异矩阵的定义
.为非奇异矩阵是可逆阵的充要条件是由此可得 AA
,1??? EBA,0?A故
,1 存在因而 ?A 于是
EBB ? ? ?BAA 1?? ? ?ABA 1??
证毕
? ?,,1???? ABEBAEAB 则或若推论
证明
? ? ? ?,,,1 111 AAAA ???? 且亦可逆则可逆若
逆矩阵的运算性质
11 AEA ?? ??
? ?
且可逆则数可逆若,,0,2 AA ?? ?
? ? 且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3 ABBA
? ?? ? ? ? 1111 ???? ? ABBAABAB
1?? AEA,1 EAA ?? ?
? ?,111 ??? ?? ABAB
证明
? ? ??1AB B1? 1?A
? ?,1 11 ?? ? AA ??
? ? ? ?TTT AAAA 11 ?? ?? TE?,E?
? ? ? ?,11 TT AA ?? ??
? ?,,
,0,
10 kk AAEA
A
?? ??
? 定义时当另外
证明
? ?为正整数k
? ?,1212 ?? ? AA ??推广 1A mA 1?mA 1?1A
? ? ? ? ? ?,,,4 AAAA T ?且亦可逆则可逆若 T T1? 1?
? ?,AA,A 115 ?? ?则有可逆若
证明 EAA ?? 1?
11 ?? ?AA
.AA 11 ?? ?因此
有为整数时当,,,0 ???A
,???? ?? AAA ? ?,???? A?
例 1 求方阵 的逆矩阵, ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
343
122
321
A
解
343
122
321
?A?
,0?,1存在?? A
,234 1211 ??A,333 1212 ????A
三、逆矩阵的求法
同理可得,2,6,6,2 23222113 ????? AAAA
,2,5,4 333231 ????? AAA
,
222
563
462
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A得
故
?? ? A
AA
11
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
222
563
462
2
1,
111
25323
231
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
,
331
212
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?A,
1151
531
132
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?B
解
331
212
321
?A
010
430
321
???
.
,?,
矩阵
求出其逆若可逆是否可逆下列矩阵 BA例 2
010
430
321
???
01
43 ???
4?,0?,A 可逆所以
,333 2111 ???A?,431 2212 ????A
,531 1213 ??A
.A,A
,A,A,A,A
34
1103
3332
31232221
???
?????同理可求得
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
332313
322212
312111
1 1
AAA
AAA
AAA
AA
A
A
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
315
404
133
4
1
1151
531
132
?
?
?
?B由于
,0?,B 不可逆故
,
13
02
31
,
35
12
,
343
122
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? CBA
例 3 设
.CAXBX ?使满足求矩阵
解
,02
343
122
321
???A?
,0135 12 ???B
.,11 都存在??? BA
,
111
25323
231
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??A且
,25 131 ?
?
??
?
?
?
???B
CAX B ?又由 1111 ???? ?? CBAAXBBA
.11 ???? CBAX
于是 11 ??? CBAX
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
25
13
13
02
31
111
25323
231
E
证明,022 ??? EAA由
? ? EEAA 2??得
,0?? A
EEAA ??? 2
12 ??? EAA
.,2,
:,022
并求它们的逆矩阵都可逆
证明满足方程设方阵
EAA
EAAA
?
???例 4
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
25
13
20
20
11
.
410
410
12
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.可逆故 A
1?A
022 ??? EAA又由
? ?? ? 0432 ????? EEAEA
? ? ? ? EEAEA ??????? ???? 3412
.EA 可逆故 2?
? ? ? ?EAEA 3412 1 ???? ?且,43 AE ??
? ?.211 EAA ??? ?
? ? 12 ?? EA
? ?,13412 ????? EAEA
? ? ;
510
402
321
112
011
111
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
? ?,
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
X
? ? ;41 2341 511 ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
? X解矩阵方程例 5
?
?
??
?
??
?
??
?
?
?
???
?
??
?
?
?
??
?
??
?
?
?
? ??
41
23
41
51
41
51
41
51 11 X得
?
?
??
?
??
?
??
?
?
??
???
41
23
11
54,
64
2817 ?
?
??
?
?
??
???
解 ? ? ?
?
??
?
???
?
??
?
?
?
?
41
23
41
511 X
给方程两端左乘矩阵,41
51 1??
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
??
?
? ??? ?
41
23
41
51 1X
E
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
510
402
321
112
011
111
2 X
1
112
011
111
510
402
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?X
给方程两端右乘矩阵
,
112
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
得
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
112
510
324
123
011
111
112
011
111
3 X
.
9144
682
592
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
给方程两端左乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
251
121
131
112
510
324
251
121
131
.
4712021
21529
307513
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
11
123
011
111
112
510
324
123
011
111
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?X
得
给方程两端右乘矩阵
,
123
011
111
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
71
41
21
,61 ABAABAA 且
o
o
.B求
ABABAA 61 ???
? ? ABAEA 61 ??? ? ? ? EBEA 61 ??? ?
? ?,6 11 ?? ??? EAB
解
:,满足关系设三阶矩阵 BA例 6
1
100
010
001
700
040
002
6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
600
030
001
6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
600
030
001
6
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
6100
0310
001
6,
100
020
006
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? 116 ?? ?? EAB
四、小结
逆矩阵的概念及运算性质,
.0?A
逆矩阵的计算方法
? ? ;2 1 AAA
?
? ?利用公式
逆矩阵 存在1?A ?
? ? ;1 待定系数法
? ? ? ?.3 下一章介绍初等变换法
思考题
,
1
1
?
?
?
??
?
BAY
BYABAX
BAXA
是否有唯一解矩阵方程
是否有唯一解那么矩阵方程可逆若
思考题解答
.,1的唯一性决定的这是由于是的 ?A答
课后习题