§ 2.1 矩 阵
? 一,矩阵的定义
? 二、几种特殊矩阵
? 三、同型矩阵与矩阵相等的概念
? 四,小结
一,矩阵的定义
由 个数
排成的 行 列的数表
nm?m n ? ?njmia ij,,2,1;,,2,1 ?? ??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
?
???
?
?
21
22221
11211
称为 矩阵,简称 矩阵,nm? nm? 记作
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
简记为 ? ? ? ?.ijnmijnm aaAA ??? ??
? ?元
的矩阵
nm
A
,
.,简称为元的元素个数称为这 Anm ?
元素是实数的矩阵称为 实矩阵,
元素是复数的矩阵称为 复矩阵,
例如 ?
?
??
?
?
? 3469
5301
是一个 实矩阵,42?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 复矩阵,33?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4
2
1
是一个 矩阵,13?
? ?9532
是一个 矩阵,41?
?4
是一个 矩阵,11?
例如 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
222
222
2613 i
是一个 3 阶方阵,
二、几种特殊矩阵
(2)只有一行的矩阵
? ?,,,,21 naaaA ??
称为 行矩阵 (或 行向量 ).
(1)行数与列数都等于 的矩阵,称为 阶n nA
.nA方阵,也可记作
,
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
B
?
只有一列的矩阵
称为 列矩阵 (或 列向量 ).
称为 对角
矩阵 (或 对角阵 ）, ?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
????
?
?
00
00
00
2
1
（ 3） 形如 的方阵,
O
O
不全为 0
（ 4） 元素全为零的矩阵称为 零矩阵, 零
矩阵记作 或,
nm?
nmo ? o
注意
? ?,0000
0000
0000
0000
0000
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
不同阶数的零矩阵是不相等的,
例如
记作 ? ?.,,,21 nd ia gA ??? ??
(5)方阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
100
010
001
?
????
?
?
n
EE
称为 单位矩阵 （或 单位阵 ）,
三,同型矩阵与矩阵相等的概念
O
O
1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为 同
型矩阵,
全为 1
2.两个矩阵 为 同型矩阵,并且
对应元素相等,即
? ? ? ?ijij bBaA 与?
? ?,,,2,1;,,2,1 njmiba ijij ?? ???
则称 矩阵 相等,记作BA与,BA ?
例如 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
93
48
314
73
65
21
与
为 同型矩阵,
例 1 设
,1 31,213 321 ?
?
??
?
???
?
??
?
??
zy
xBA
.,,,zyxBA 求已知 ?
解,BA ??
.2,3,2 ???? zyx
四,小结
(1)矩阵的概念
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
列的一个数表行 nm
(2) 特殊矩阵
?
?
?
?
?
?
?
方阵 ? ?;nm ?
行矩阵与列矩阵 ;
单位矩阵 ;
对角矩阵 ;
零矩阵,
.
100
010
001
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
????
?
?
,
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
n
a
a
a
B
?
? ?,,,,21 naaaA ??
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
n
?
?
?
?
????
?
?
0
00
00
2
1
思考题
矩阵与行列式的有何区别?
思考题解答
矩阵与行列式有本质的区别，行列式是一个
算式,一个数字行列式经过计算可求得其值，而
矩阵仅仅是一个 数表,它的行数和列数可以不同,
§ 2.2 矩阵的运算
? 一、矩阵的加法、减法
? 二、数与矩阵相乘
? 三、矩阵与矩阵相乘
? 四、矩阵的转置
? 五、方阵的行列式
? 六、共轭矩阵
１、定义
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmnmmmm
nn
nn
bababa
bababa
bababa
BA
?
????
?
?
2211
2222222121
1112121111一、矩阵的加法、减法
设有两个 矩阵 那末矩阵
与 的和记作,规定为
nm? ? ? ? ?,bB,aA ijij ??
A B BA?
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进
行加法运算,
例如 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
123
456
981
863
091
5312
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
????
????
?
182633
405961
9583112
.
986
447
41113
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2,矩阵加法的运算规律
? ? ;1 ABBA ???
? ? ? ? ? ?,2 CBACBA ?????? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
???
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
A
?
????
?
?
11
22221
11211
3
? ? ? ?
? ?,
,04
BABA
AA
????
???
矩阵的减法
? ?,ija??
.负矩阵的称为矩阵 A
1、定义
.
11
22221
11211
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
AA
???
???
???
??
?
????
?
?二、数与矩阵相乘
规定为或的乘积记作与矩阵数,??? AAA
? ? ? ? ? ?;1 AA ???? ?
? ? ? ? ;2 AAA ???? ???
? ? ? ?,3 BABA ??? ???
2、数乘矩阵的运算规律
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的 线
性运算,
（设 为 矩阵,为数）??,nm?BA、
三、矩阵与矩阵相乘
1、引例 设有两个线性变换
)3(
3232221212
3132121111
??
?
???
???
xaxaxay
xaxaxay
)4(
3232321313
3232221212
3132121111
?
?
?
?
?
???
???
???
tbtbtbx
tbtbtbx
tbtbtbx
1t若想求出从, 到, 的线性变换，可将 (4)
代入（ 3），便得 2t
1y 2y
)5()()( )()(
232232222122113123212211212
232132212121113113211211111
?
?
?
??????
??????
tbababatbababay
tbababatbababay
线性变换（ 5）可以看成是先作线性变
换（ 4）再作线性变换（ 3）的结果。我们把
线性变换（ 5）叫做线性变换（ 3）与（ 4）
的乘积，相应地把（ 5）所对应的矩阵定义
为（ 3)与 (4)所对应的矩阵的乘积，即
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
??
?
?
2423
2221
1211
232221
131211
bb
bb
bb
aaa
aaa
???
?
???
?
????
?????
322322221221312321221121
321322121211311321121111
babababababa
babababababa
2、定义
??????
?
s
k kjiksjisjijiij
babababac
12211
?
? ?,,,2,1;,2,1 njmi ?? ??
并把此乘积记作,ABC ?
设 是一个 矩阵,是一个
矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积
是一个 矩阵,其中
? ?ijaA ? sm? ? ?ijbB ?
ns?
nm? ? ?ijcC ?
A B
例１
2222 63
42
21
42
??
?
?
??
?
?
????
??
?
?
?
??C
22 ?
?
?
??
?
?? 16? 32?
8 16
设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
4150
0311
2101
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
121
113
121
430
B例 2
故
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
121
113
121
430
4150
0311
2101
ABC
.
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解 ? ?,43 ?? ijaA? ? ?,34?? ijbB
? ?,33 ??? ijcC
5? 6 7
10 2 6?
2? 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵
的行数时，两个矩阵才能相乘,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
106
861
985
123
321
例如
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
2
3
321
? ?132231 ?????? ? ?.10?
不存在,
3、矩阵乘法的运算规律
? ? ? ? ? ?;1 BCACAB ?
? ? ? ?,2 ACABCBA ???? ? ;CABAACB ???
? ? ? ? ? ? ? ?BABAAB ??? ??3 （其中 为数） ;?
? ? ;4 AEAAE ??
若 A是 阶矩阵，则 为 A的 次幂，即
并且
??5 n kA k
??? ?? ?
个k
k AAAA ?
,AAA kmkm ??? ?,mkkm AA ?
? ?为正整数k,m
注意 矩阵不满足交换律，即：
,BAAB ? ? ?,BAAB kkk ?
例 设 ??
??
?
?
??? 11
11A ?
?
??
?
?
?
??
11
11B
则,00 00 ?
?
??
?
??AB,
22
22 ?
?
??
?
?
???BA
.BAAB ?故
但也有例外，比如设
,20 02 ?
?
??
?
??A,
11
11 ?
?
??
?
?
?
??B
则有
,?
?
??
?
??AB 2 2?
2? 2
?
?
??
?
??BA 2 2?
2? 2
.BAAB ??
例 3 计算下列乘积：
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
解
? ? ? ?21
3
2
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? 12? 22?
12? 22?
13? 23?
.
63
42
42
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ? ? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
3212
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
解
332222112 bababa ?? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
b
b
b
.222 322331132112233322222111 bbabbabbabababa ??????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3
2
1
333231
232221
131211
321
b
b
b
aaa
aaa
aaa
bbb
331221111 bababa ??=( 333223113 babab ??）
定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的
新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作,?A
A
A
例,854
221 ?
?
??
?
??A ;
82
52
41
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?TA
? ?,618?B,618 ???????TB
１、转置矩阵
四、矩阵的转置
2、转置矩阵的运算性质
? ? ? ? ;1 AA TT ?
? ? ? ? ;2 TTT BABA ???
? ? ? ? ;3 TT AA ?? ?
? ? ? ?,4 TTT ABAB ?
例 4 已知
,
102
324
171
,
231
102
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
? ?
? BA ? ?
.TAB求
解法 1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
? ?
?
102
324
171
231
102
AB?
,101317 3140 ?
?
??
?
? ??
? ?,
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? TAB
解法 2
? ? TTT ABAB ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
21
30
12
131
027
241
.
103
1314
170
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
3、对称阵
定义 设 为 阶方阵，如果满足,即
那末 称为 对称阵,
A n TAA ?
? ?n,,,j,iaa jiij ?21??
A
.A 为对称阵例如
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
601
086
1612
.称为反对称的则矩阵如果 AAA T ??
对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相
等,
说明
例 5 设列矩阵 满足? ?TnxxxX,,,21 ??,1?XX T
.,
,2,
EHH
HXXEHnE
T
T
?
??
且阵
是对称矩证明阶单位矩阵为
证明 ? ?TTT XXEH 2??? ? ?TTT XXE 2??
,2 HXXE T ???
.是对称矩阵H?
2HHH T ? ? ?22 TXXE ??
? ?? ?TTT XXXXXXE 44 ??? ? ? TTT XXXXXXE 44 ???
TT XXXXE 44 ???,E?
五、方阵的行列式
1、定义 由 阶方阵 的元素所构成的行列式，
叫做方阵 的行列式，记作 或
n A
A A,det A
?
?
??
?
??
86
32A例
86
32?A则
.2??
2、运算性质 ? ? ;1 AA T ?? ? ;2 AA n?? ?
? ? ;3 BAAB ?,BAAB ??
3、定义 行列式 的各个元素的代数余子式 所
构成的如下矩阵
A ijA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
A
?
????
?
?
21
22212
12111
性质,EAAAAA ?? ??
证明 ? ?,ijaA ?设 ? ?,ijbAA ??记 则
jninjijiij AaAaAab ???? ?2211,ijA??
称为矩阵
的 伴随矩阵,
A
六、共轭矩阵
定义
当 为复矩阵时，用 表示 的共轭
复数，记, 称为 的共轭矩阵,
? ?ijaA ? ija ija
? ?ijaA ? A A
故 ? ?ijAAA ??? ? ?ij??,EA?
同理可得
?
?
??
?
?? ?
?
?
n
k
kjki aAAA
1
? ?ijA?? ? ?ijA ??,EA?
? ? ;2 AA ?? ?
? ?,3 BAAB ?
运算性质
? ? ;1 BABA ???
（设 为复矩阵,为复数,且运算都是可行的）,BA,?
五、小结
矩
阵
运
算
?
?
?
?
?
?
?
?
?
加法
数与矩阵相乘
矩阵与矩阵相乘
转置矩阵
对称阵与伴随矩阵
方阵的行列式
共轭矩阵
（ 2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个
矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘
不满足交换律,
（ 1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能
进行加法运算,
注意
（ 3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算
不同,
思考题
问等式阶方阵为与设,nBA
? ?? ?BABABA ???? 22
成立的充要条件是什么?
思考题解答
答 ? ?? ?,22 BABBAABABA ???????
故 成立的充要条件为 ? ?? ?BABABA ???? 22
.BAAB ?