第三节 矩阵的秩
? 一、矩阵秩的概念
? 二、矩阵秩的求法
? 三、小结 思考题
.
,
数是唯一确定的
梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶
变换总可经过有限次初等行任何矩阵 nmA ?
.阶子式k
的A阶行列式，称为矩阵k中所 处所处置次序而A在
不改 变改变,元素个k的）, 位 这，位这些行列nk
m,k列（k行k中任取A矩 阵nm在 1定 义
2
?
?? 与
一、矩阵秩的概念
矩阵的秩
.
0
1
02
等于零
并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵
的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于
）全等阶子式（如果存在的话，且所有式
阶子的中有一个不等于设在矩阵定义
.)( ARA
rAD
rD
rA
?
.
)(
子式的最高阶数
中不等于零的是的秩矩阵 AARAnm ?
，对于 TA ).()( ARAR T ?显有
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm ??
例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21 ?
，且 0?A
.2)( ?? AR
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
??
?
而
.3)( ?? BR
.
,
梯形等行变换把他变为行阶
总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA ?
问题,经过变换矩阵的秩变吗？
? ? ? ?,,~1 BRARBA ?则若定理
二、矩阵秩的求法
初等变换求矩阵秩的方法
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求
的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023
?
?
?
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阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
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41461
35102
16323
05023
A
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05023
35102
16323
41461
41 rr ?
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41461
35102
16323
05023
A
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??
?
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?
?
?
?
??
??
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
?
?
??
?
?
?
?
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??
?
?
?
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??
??
??
??
12812160
1179120
11340
41461
??
?
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??
?
?
?
?
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??
?
??
?
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
?
?
14
13
3
2
rr
rr
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
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84000
84000
11340
41461
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)( ?AR
23 3rr ?
24 4rr ?
34 rr ?
, 的一个最高阶子式求 A
,3)( ?AR?, 3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A, 403534 个?? CC
阶梯形矩阵为
的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA ??
的行阶梯形矩阵，考察 A
??
?
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??
?
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?
?
?
?
000
400
140
161
,3)( ?BR?
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
? 110
502
523
?
116
522??
.016 ??
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
，阶可逆矩阵设 An
,0?A?,AA 的最高阶非零子式为?
,)( nAR ?,~,EAEA 的标准形为单位阵故
.为满秩矩阵
，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数
.奇异矩阵为降秩矩阵
例 5 ??
?
?
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??
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??
?
4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA ?
解 ),~,~(~ bABB ?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从 ?
??
?
?
?
?
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??
?
?
?
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?
??
??
?
??
?
46063
33242
20842
11221
B
??
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??
?
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?
?
??
??
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
?
?
14 3rr ?
??
?
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?
?
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??
?
?
?
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10000
50000
01200
11221
??
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
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00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
?
?
24 3rr ?
53 ?r
34 rr ?
.3)(,2)( ??? BRAR
例 7 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
?
?
635
213
2111
A
已知 ? ? 的值。与求 ???,2AR
解
?
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?
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??
??
?
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??
???
?
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0
4
2
1
4
1
5
3
1
0
0
1
4
4
2
5
4
1
8
3
1
0
0
1
~A
23
12
13
3rr
5rr
rr
~
因 ? ? 故,2?AR
??
?
???
???
01
05
??
?
??
??
1
5即
矩阵的基本性质：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? nBRAR0BA8
BRARm i nABR7
BRARBAR6
BRARBA,RBRAR5, m ax
ARP A QRQP4
BRARB~A3
ARAR2
nmm i nAR01
lnnm
T
nm
???
?
???
???
?
?
?
??
??
?
，则若
可逆，则若
，则若
.
,.
.
,
,.
.
.
,.
三、小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行
阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
§ 3.4 线性方程组的解
? 一、线性方程组的解的判定定理
? 二、解法、实例
? 三、线性方程组的解的判定条件
? 四、小结
一、线性方程组的解的判定定理
bAx ?
)b,A(R)A(R ?
n)b,A(R)A(R ??
1、定理 4 n元线性方程组
1) 无解的充分必要条件是
2)有唯一解的充分必要条件是
n)b,A(R)A(R ??3)有唯一解的充分必要条件是
设 R（ A） = r,为叙述方便不妨设 )b,A(B ?
?
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000000
000000
d00000
dbb100
dbb010
dbb001
B
1r
rr-r,nr1
2r-2,n21
1rn,111
~
??
??????
??
??
?
???????
??
??
1）若 )B(R)A(R ? ~B
n)b,A(R)A(R ??
则,的第 r+1行对应
矛盾方程 0=1，故方程（ 4）无解
2）若 则 的 对应~B 0d 1r ??
且 ijb 都不出现，于是 对应的方程组~B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
dx
dx
dx
?
22
11
故方程（ 4）有唯一解
3）若 n)b,A(R)A(R ?? ~B 0d 1r ??则 中的
~B 对应的方程组
?
?
?
?
?
?
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?????
?????
?????
??
??
??
rnrnrrrr
nrnr
nrnr
dxbxbx
dxbxbx
dxbxbx
,11
2,21212
1,11111
?
????????????
?
?
个参数的解的含即得方程
令自由未知数
rn
cxcx rnnr
?
?? ??
)4(
,,1 ?
,
1
,11
1,1111
1
1
?
?
?
?
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rnrn
n
r
r
c
c
dcbcb
dcbcb
x
x
x
x
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即
)6(
0
0
1
0
0
1
1
1
,
,1
1
11
1
1
1
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?
?
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d
d
b
b
c
b
b
c
x
x
x
x
rnr
rn
rn
r
n
r
r
.)3()6(,)3(
,)5(
)6(,)()(R
的通解称为线性方程组因此解的任一解
组从而也可表示线性方程的任一解表示线性方程组
可以个参数的解由于时当 rnnrBRA ????
求解线性方程组的步骤
无解。
则方程组若和的行阶梯可以看出从
化成行阶梯形把它的增广矩阵对于非齐次线性方程组
),()(),()(B
,B,)1(
BRARBRAR ?
化成行最简形。方程组，则把系数矩阵
齐次线性化成行最简形。而对于则进一步把若
A
BBRAR ),()()2( ?
.,
A)(B,
,)()()3(
21
个参数的通解即可写出含行最简形
的或由数分别等于未知数，并令自由未知
个未知数取作自由未知数，其余对应的未知数取作自由
个非零行的非零首元所把行最简形中设
rn
、c、cc
rn
rrBRAR
rn、
?
?
??
??
例 1 求解齐次线性方程组
.
034
0222
02
4321
4321
4321
?
?
?
?
?
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
3411
2212
1221
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
4630
4630
1221
二、实例
施行初等行变换：对系数矩阵 A
13
12 2
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
3
4
210
1221
)3(2
23
??
?
r
rr 21 2rr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
3
4
210
3
5
201
即得与原方程组同解的方程组
?
?
?
?
?
???
???
,0
3
4
2
,0
3
5
2
432
431
xxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
,
,
,
3
4
2
,
3
5
2
24
13
222
221
cx
cx
ccx
ccx
).,( 43 可任意取值xx
由此即得 ?
?
?
?
?
???
??
,
3
4
2
,
3
5
2
432
431
xxx
xxx
形式，把它写成通常的参数令 2413,cxcx ??
.
1
0
3
4
3
5
0
1
2
2
21
4
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? cc
x
x
x
x
例２ 求解非齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
32212
23513
11321
B
13
12 2
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
10450
10450
11321
23 rr ? 200
,3)(,2)( ?? BRAR显然,故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321
?
?
?
?
?
?????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
212100
14200
01111
~
.
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?,2?? BRAR由于 故方程组有解，且有
??
?
??
???
212
21
43
421
xx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
???
?
424
423
422
421
0
2120
0
21
xxx
xxx
xxx
xxx
.
0
21
0
21
1
2
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
??
?
?
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?
?
?
?
?
xx
x
x
x
x
.,42 任意其中 xx
所以方程组的通解为
三、线性方程组有解的判定条件
? ? ? ? nBRAR ?? ?
? ? ? ? nBRAR ?? ? 有无穷多解,bAx ?
非齐次线性方程组 bAx ?
齐次线性方程组 0?Ax
? ? nAR ?? ;0 只有零解?Ax
? ? nAR ??,0 有非零解?Ax
三、小结;有唯一解bAx ?
思考题
.,
,,
12105
,3153
,363
,132
4321
4321
4321
4321
求出一般解况下
情在方程组有无穷多解的有无穷多解
有唯一解方程组无解取何值时当
讨论线性方程组
tp
txxxx
xxpxx
xxxx
xxxx
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
思考题解答 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
t
p
B
121051
31513
31631
13211
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
191260
06640
22420
13211
~
t
p
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
53000
42200
11210
13211
~
t
p;,4)()(,2)1( 方程组有唯一解时当 ??? BRARp
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
~~
tt
B 有时当,2)2( ?p;,4)(3)(,1 方程组无解时当 ???? BRARt
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
21000
30210
80001
00000
21000
11210
13211
~~B
且
.,3)()(,1 方程组有无穷多解时当 ??? BRARt
组为与原方程组同解的方程
).(
2
0
3
8
0
1
2
0
4
3
2
1
Rkk
x
x
x
x
?
??
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
,2
,32
,8
4
32
1
x
xx
x
故原方程组的通解为
? 一、矩阵秩的概念
? 二、矩阵秩的求法
? 三、小结 思考题
.
,
数是唯一确定的
梯形矩阵中非零行的行梯形，行阶把它变为行阶
变换总可经过有限次初等行任何矩阵 nmA ?
.阶子式k
的A阶行列式，称为矩阵k中所 处所处置次序而A在
不改 变改变,元素个k的）, 位 这，位这些行列nk
m,k列（k行k中任取A矩 阵nm在 1定 义
2
?
?? 与
一、矩阵秩的概念
矩阵的秩
.
0
1
02
等于零
并规定零矩阵的秩的秩，记作称为矩阵
的最高阶非零子式，数称为矩阵，那末于
）全等阶子式（如果存在的话，且所有式
阶子的中有一个不等于设在矩阵定义
.)( ARA
rAD
rD
rA
?
.
)(
子式的最高阶数
中不等于零的是的秩矩阵 AARAnm ?
，对于 TA ).()( ARAR T ?显有
,个阶子式共有的矩阵 knkm CCkAnm ??
例 1
.
174
532
321
的秩求矩阵
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??A
解 中，在 A
，阶子式只有一个的又 AA 3?
.032 21 ?
，且 0?A
.2)( ?? AR
例 2
.
00000
34000
52130
23012
的秩求矩阵
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?B
解 行，其非零行有是一个行阶梯形矩阵,3B?
.4 阶子式全为零的所有B?
,0
400
230
312
??
?
而
.3)( ?? BR
.
,
梯形等行变换把他变为行阶
总可经过有限次初因为对于任何矩阵 nmA ?
问题,经过变换矩阵的秩变吗？
? ? ? ?,,~1 BRARBA ?则若定理
二、矩阵秩的求法
初等变换求矩阵秩的方法
把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，
行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩,
例 4
．的一个最高阶非零子式秩，并求
的求矩阵设
A
AA,
41461
35102
16323
05023
?
?
?
?
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?
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??
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?
阶梯形矩阵：作初等行变换，变成行对 A解
??
?
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?
41461
35102
16323
05023
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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??
??
05023
35102
16323
41461
41 rr ?
??
?
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??
?
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??
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??
?
41461
35102
16323
05023
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
??
05023
35102
11340
41461
42
41
rr
rr
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
??
??
12812160
1179120
11340
41461
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
??
?
41461
35102
16323
05023
A
42
41
rr
rr
?
?
14
13
3
2
rr
rr
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
??
84000
84000
11340
41461
??
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
00000
84000
1134
41461
由阶梯形矩阵有三个非零行可知,3)( ?AR
23 3rr ?
24 4rr ?
34 rr ?
, 的一个最高阶子式求 A
,3)( ?AR?, 3 阶的最高阶非零子式为知 A
阶子式共有的 3A, 403534 个?? CC
阶梯形矩阵为
的行则矩阵记 ),,(),,,,,( 42154321 aaaBaaaaaA ??
的行阶梯形矩阵，考察 A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
000
400
140
161
,3)( ?BR?
的前三行构成的子式计算 B
,3 阶非零子式中必有故 B,4 个且共有
623
502
523
? 110
502
523
?
116
522??
.016 ??
则这个子式便是 的一个最高阶非零子式,A
，阶可逆矩阵设 An
,0?A?,AA 的最高阶非零子式为?
,)( nAR ?,~,EAEA 的标准形为单位阵故
.为满秩矩阵
，故称可逆矩阵可逆矩阵的秩等于阶数
.奇异矩阵为降秩矩阵
例 5 ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
4
3
2
1
,
6063
3242
0842
1221
bA设
,)( 的秩及矩阵求矩阵 bABA ?
解 ),~,~(~ bABB ?的行阶梯形矩阵为设分析：
的行阶梯形矩阵，就是则 AA~
).()()~,~(~ BRARbAB 及中可同时看出故从 ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
?
??
?
46063
33242
20842
11221
B
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
??
13600
51200
02400
11221
13
12
2
2
rr
rr
?
?
14 3rr ?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
10000
50000
01200
11221
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
00000
10000
01200
11221
23
2 2
rr
r
?
?
24 3rr ?
53 ?r
34 rr ?
.3)(,2)( ??? BRAR
例 7 设
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
635
213
2111
A
已知 ? ? 的值。与求 ???,2AR
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
0
4
2
1
4
1
5
3
1
0
0
1
4
4
2
5
4
1
8
3
1
0
0
1
~A
23
12
13
3rr
5rr
rr
~
因 ? ? 故,2?AR
??
?
???
???
01
05
??
?
??
??
1
5即
矩阵的基本性质：
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?? ?
? ? ? ? nBRAR0BA8
BRARm i nABR7
BRARBAR6
BRARBA,RBRAR5, m ax
ARP A QRQP4
BRARB~A3
ARAR2
nmm i nAR01
lnnm
T
nm
???
?
???
???
?
?
?
??
??
?
，则若
可逆，则若
，则若
.
,.
.
,
,.
.
.
,.
三、小结
(2)初等变换法
1,矩阵秩的概念
2,求矩阵秩的方法
(1)利用定义
(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行
阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩 ).
(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数 );
§ 3.4 线性方程组的解
? 一、线性方程组的解的判定定理
? 二、解法、实例
? 三、线性方程组的解的判定条件
? 四、小结
一、线性方程组的解的判定定理
bAx ?
)b,A(R)A(R ?
n)b,A(R)A(R ??
1、定理 4 n元线性方程组
1) 无解的充分必要条件是
2)有唯一解的充分必要条件是
n)b,A(R)A(R ??3)有唯一解的充分必要条件是
设 R（ A） = r,为叙述方便不妨设 )b,A(B ?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
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?
000000
000000
d00000
dbb100
dbb010
dbb001
B
1r
rr-r,nr1
2r-2,n21
1rn,111
~
??
??????
??
??
?
???????
??
??
1）若 )B(R)A(R ? ~B
n)b,A(R)A(R ??
则,的第 r+1行对应
矛盾方程 0=1，故方程（ 4）无解
2）若 则 的 对应~B 0d 1r ??
且 ijb 都不出现，于是 对应的方程组~B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
nn
dx
dx
dx
?
22
11
故方程（ 4）有唯一解
3）若 n)b,A(R)A(R ?? ~B 0d 1r ??则 中的
~B 对应的方程组
?
?
?
?
?
?
?
?????
?????
?????
??
??
??
rnrnrrrr
nrnr
nrnr
dxbxbx
dxbxbx
dxbxbx
,11
2,21212
1,11111
?
????????????
?
?
个参数的解的含即得方程
令自由未知数
rn
cxcx rnnr
?
?? ??
)4(
,,1 ?
,
1
,11
1,1111
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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????
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rn
rrnrnrr
rnrn
n
r
r
c
c
dcbcb
dcbcb
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
即
)6(
0
0
1
0
0
1
1
1
,
,1
1
11
1
1
1
?
?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
d
d
b
b
c
b
b
c
x
x
x
x
rnr
rn
rn
r
n
r
r
.)3()6(,)3(
,)5(
)6(,)()(R
的通解称为线性方程组因此解的任一解
组从而也可表示线性方程的任一解表示线性方程组
可以个参数的解由于时当 rnnrBRA ????
求解线性方程组的步骤
无解。
则方程组若和的行阶梯可以看出从
化成行阶梯形把它的增广矩阵对于非齐次线性方程组
),()(),()(B
,B,)1(
BRARBRAR ?
化成行最简形。方程组，则把系数矩阵
齐次线性化成行最简形。而对于则进一步把若
A
BBRAR ),()()2( ?
.,
A)(B,
,)()()3(
21
个参数的通解即可写出含行最简形
的或由数分别等于未知数，并令自由未知
个未知数取作自由未知数，其余对应的未知数取作自由
个非零行的非零首元所把行最简形中设
rn
、c、cc
rn
rrBRAR
rn、
?
?
??
??
例 1 求解齐次线性方程组
.
034
0222
02
4321
4321
4321
?
?
?
?
?
????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
3411
2212
1221
A
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
4630
4630
1221
二、实例
施行初等行变换：对系数矩阵 A
13
12 2
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0000
3
4
210
1221
)3(2
23
??
?
r
rr 21 2rr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
0000
3
4
210
3
5
201
即得与原方程组同解的方程组
?
?
?
?
?
???
???
,0
3
4
2
,0
3
5
2
432
431
xxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
,
,
,
3
4
2
,
3
5
2
24
13
222
221
cx
cx
ccx
ccx
).,( 43 可任意取值xx
由此即得 ?
?
?
?
?
???
??
,
3
4
2
,
3
5
2
432
431
xxx
xxx
形式，把它写成通常的参数令 2413,cxcx ??
.
1
0
3
4
3
5
0
1
2
2
21
4
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? cc
x
x
x
x
例２ 求解非齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
.3222
,2353
,132
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换，
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
32212
23513
11321
B
13
12 2
rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
10450
10450
11321
23 rr ? 200
,3)(,2)( ?? BRAR显然,故方程组无解．
例３ 求解非齐次方程组的通解
.
2132
13
0
4321
4321
4321
?
?
?
?
?
?????
????
????
xxxx
xxxx
xxxx
解 对增广矩阵 B进行初等变换
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
212100
14200
01111
~
.
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
? ? ? ?,2?? BRAR由于 故方程组有解，且有
??
?
??
???
212
21
43
421
xx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
??
???
??
???
?
424
423
422
421
0
2120
0
21
xxx
xxx
xxx
xxx
.
0
21
0
21
1
2
0
0
0
0
1
1
42
4
3
2
1
??
?
?
?
?
?
??
?
?
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?
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?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
xx
x
x
x
x
.,42 任意其中 xx
所以方程组的通解为
三、线性方程组有解的判定条件
? ? ? ? nBRAR ?? ?
? ? ? ? nBRAR ?? ? 有无穷多解,bAx ?
非齐次线性方程组 bAx ?
齐次线性方程组 0?Ax
? ? nAR ?? ;0 只有零解?Ax
? ? nAR ??,0 有非零解?Ax
三、小结;有唯一解bAx ?
思考题
.,
,,
12105
,3153
,363
,132
4321
4321
4321
4321
求出一般解况下
情在方程组有无穷多解的有无穷多解
有唯一解方程组无解取何值时当
讨论线性方程组
tp
txxxx
xxpxx
xxxx
xxxx
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
思考题解答 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
t
p
B
121051
31513
31631
13211
解
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
?
191260
06640
22420
13211
~
t
p
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
53000
42200
11210
13211
~
t
p;,4)()(,2)1( 方程组有唯一解时当 ??? BRARp
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
10000
21000
11210
13211
53000
42000
11210
13211
~~
tt
B 有时当,2)2( ?p;,4)(3)(,1 方程组无解时当 ???? BRARt
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
21000
30210
80001
00000
21000
11210
13211
~~B
且
.,3)()(,1 方程组有无穷多解时当 ??? BRARt
组为与原方程组同解的方程
).(
2
0
3
8
0
1
2
0
4
3
2
1
Rkk
x
x
x
x
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ?
?
??
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
,2
,32
,8
4
32
1
x
xx
x
故原方程组的通解为
