§ 4.3向量组的秩
? 一、最大无关线性组
? 二、矩阵与向量组秩的关系
? 三、向量组秩的重要结论
? 四、小结
，满足
个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
???,,,
21 ?
定义１
线性无关；）向量组（ rA ???,,,:1 210 ?
关，个向量的话）都线性相
中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
?
?
r
ArA
.
的秩
称为向量组数最大无关组所含向量个 r;
0
）
（简称的一个向量组
是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大
无关组
0.
它的秩为
有最大无关组，规定只含零向量的向量组没
一、最大线性无关向量组
的秩也记作向量组 maaa,,,21 ?
.
最大无关组行即是行向量组的一个所在的
最大无关组，列即是列向量组的一个所在的
，则的一个最高阶非零子式是矩阵若
r
Dr
DAD
r
rr;1 ）最大无关组不唯一（
),,,( 21 maaR ?
结论
说明
.2 关组是等价的）向量组与它的最大无（
二、矩阵与向量组秩的关系
.
它的行向量组的秩
量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向定理１
是线性无关的，
向量组维单位坐标向量构成的因为
neeeE
n
,,,,
21 ?
解,
的秩一个最大无关组及
的，求作维向量构成的向量组记全体
n
nn
R
RRn例1
个向量都线性相关，中的任意
知的结论定理又根据
1
)3( 32.4
?n
R n
.
nRR
E
nn 的秩等于的一个最大无关组，且是
因此向量组
,rrB 个向量，则它的秩为含设向量组 证
.
0
00
0
的一个最大无关组是向量组则向量组
线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组
的部分组，若向量是向量组设向量组推论
AA
AAA
AA
.
1
条件
所规定的最大无关组的满足定义所以向量组 B
，组的秩组线性表示，故组能由因 rABA ?
个向量线性相关，组中任意从而 1?rA
.,
075
032
022
9
321
421
4321
的秩求量组为的全体解向量构成的向
设齐次线性方程组例
SS
xxxx
xxx
xxxx
?
?
?
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?
????
???
????
?
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0000
3210
4301
~
9630
3210
2121
~
7511
1032
2121
::
23
21
2
12
13
3
2
)1(
2 rr
rr
r
rr
rr
A
A 化成行最简形把系数矩阵解
?
?
?
???
??
432
431
32
43
xxx
xxx得
? ?
2)(
,,
,
1
0
3
4
0
1
2
3
212211
2211
213
??
????
??
?
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SR
RccccxS
ccx
ccx
??
?? 知把上式记作
令自由未知数
),,,,(),,,(
,,,2
2
),,,(,,,:
212121
2121
2121
lmm
ml
mm
RR
AA
?????????
??????
??????
，，，
线性表示对充要条件是
能由向量组，，，向量组定理
可叙述为则前面的定理
构成矩阵若向量组
???
??
??
?
?
.
的秩的秩不大于向量组量组
线性表示，则向能由向量组设向量组
AB
AB定理２
三、向量组秩的重要结论
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
??
?
97963
42264
41211
21112
A
设矩阵 例2
.用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量
无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵 A
行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解
，知 3)( ?AR
A
，
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
31000
01110
41211
初等行变换 ~
.3 个向量组含故列向量组的最大无关
三列，、、元在而三个非零行的非零首 421
.,,,421 无关组为列向量组的一个最大故 aaa
线性无关，故知 421421,,3),,( aaaaaaR ?
.
,,,42153
成行最简形矩阵
再变线性表示，必须将用要把 Aaaaaa
?),,421 aaa（
事实上
??
?
?
?
?
?
??
?
?
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??
?
763
264
111
112
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
000
100
110
111
初等行变换 ~
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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?
?
?
?
00000
31000
30110
40101
~
初等行变换A
??
?
???
???
4215
213
334
,
aaaa
aaa
即得
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性, 线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
一个定理, 三个推论,
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩
阵，然后进行初等行变换．
四、小结
§ 4.4线性方程组的解的结构
? 一、齐次线性方程组的解的结构
? 二、基础解系及其求法
? 三、非齐次方程组解的性质
? 四、小结
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
??
?
?
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??
?
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????
?
?
21
22221
11211
??
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??
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?
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?
n
x
x
x
x
?
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x ??? ??? ?若 为方程 的0?Ax
解，则
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
1
21
11
1
n
x
?
?
?
?
?
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 ?? ?? x,x 0?Ax
21 ?? ??x
0?Ax也是 的解,
证明
? ? 02121 ????? ???? AAA
00 21 ?? ?? A,A?
.Axx 的解也是故 021 ??? ??
（ 2）若 为 的解,为实数，则
也是 的解．
1??x 0?Ax k
1?kx ? 0?Ax
证明 ? ? ? ?,kkAkA 0011 ??? ??
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量
所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系
的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21 ?Axt??? ?; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是 ?Axt??? ?
.
,,,0)2( 21
出
线性表的任一解都可由 tAx ??? ??
１．基础解系的定义
二、基础解系及其求法
的通解可表示为那么的一组基础解系
为齐次线性方程组如果
0
?
?
Ax
Axt
,,
0,,,21 ??? ?
ttkkkx ??? ???? ?2211
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
２．线性方程组基础解系的求法
?
?
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00
00
10
01
~
,1
,111
????
??????
????
??
??????
??
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨
设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
?
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rnrr
rn
x
x
x
bb
bb
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????
????
?
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
???????????
?
11
11111
0?Ax ?
现对 取下列 组数：nr x,,x ?1? rn?
??
?
?
?
?
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??
?
?
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?
?
?
?
n
r
r
x
x
x
?
2
1
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?
?
?
?
????
????
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
?
???????????
?
11
11111
分别代入
.,
??
?
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?
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??
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1
0
0
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,
??
?
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1
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0
0
1
?
?
依次得 ?
?
?
?
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?
?
?
?
rx
x
?
1
,
b
b
r
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?
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1
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11
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?,
0
1
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2
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rn,
rn
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?
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?
?
1
0
0
1
?
?
?
从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
,
b
b
r
?
?
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?
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?
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?
?
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?
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2
12
?,
b
b
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
11
?
?
,?
.kkkx rnrn ?????? ??? ?2211
若 是 的基础解系，则
其 通解 为
rn,,,???? ?21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
定理 1
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
??
?
?
?
的维数为解空间时
当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合
的全体解所元齐次线性方程组
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系
故没有基础解方程组只有零解时当 nAR ?
? ?,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
?????
????
???
???
?
??
?
??
?
?
?
??
???
???
解空间可表示为为任意实数其中
方程组的解可表示为此时基础解系
个向量的方程组必有含时当
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩
阵，有
A
?
?
?
?
?
??
??
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及令
x
x,
74
73
75
72
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
并由此得到通解
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程
则的解都是及设
?
?????
Ax
xbAxxx
?
???
证明
? ?,021 ????? bbA ??
.021 ??? Axx 满足方程即 ??
bAbA ?? 21,???
１．非齐次线性方程组解的性质
三、非齐次线性方程组解的性质
证明 ? ? ???? AAA ???,0 bb ???
.的解是方程所以 bAxx ??? ??
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解
是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
????
???
??
??
.11 ??? ???? ??? rnrnkkx ?
其中 为对应齐次线性方程
组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特
解,
rnrnkk ???? ?? ?11
??
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
例 4 求解方程组 ?
?
?
?
?
?????
????
????
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
并有故方程组有解可见,,2)()( ?? BRAR
??
?
??
???
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 ?? xx取,2131 ?? xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
??
?
?
??
xx
xxx
,1001
4
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及
x
x,
2
1
0
1
3
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
? ??
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
??
?
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?????
????
??????
?????
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
例 5 求下述方程组的解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
? ? ? ?,,知方程组有解由 BRAR ? ? ?,3,2 ??? rnAR又
所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
x
x
x
令
依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1 ?
?
??
?
?
???
??
?
?
???
??
?
?
?
???
?
??
?
?
x
x
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
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?
?
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?
?
?
?
?
? ???
求特解
.223,29,0 21543 ?????? xxxxx 得令
所以方程组的通解为
故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
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21
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? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法 ??
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1213438
2362120
231213
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B
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000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
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?????
????
2
23
3
2
1
2
9
2
2
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531
xxxx
xxx
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55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
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? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
１．齐次线性方程组基础解系的求法
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1
111
????
??????
????
??
??????
??
rn,rr
rn,
bb
bb
~A四、小结
（ 1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为
最简形
A
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????
????
??
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
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11
11111
0
由于
令
.,,,
x
x
x
n
r
r
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1
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0
1
2
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???
（ 2）得出,同时也可知方程组的一
个基础解系含有 个线性无关的解向量．
? ? rAR ?
rn?
,
b
b
r
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b
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rn,
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故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
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?????
1
2
12
1
111
得
为齐次线性方程组的一个基础解系,
有解0?Ax ? ? ? nAR ?
? ?? ?个解向量此时基础解系中含有 ARn ?
? ? ? ? nBRAR ??
? ? ? ? nBRAR ??,有无穷多解bAx ?
? ? ? ?BRAR ?,无解bAx ?
.有唯一解bAx ?
２,线性方程组解的情况
?
?
?
? ?
满足的三个解向量方程组
如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
???bAx
ARmA
?
??
,
3
2
1
21
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1
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??
1
0
1
13 ??
.的通解求 bAx ?
思考题
,1)(,3 ?? ARmA 矩阵是解 ?
思考题解答
.
2130
无关的解向量
个线性的基础解系中含有 ???? Ax
则令,,,133221 cba ?????? ??????
,
21
23
1
)(
2
1
1
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,
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,
25
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)(
2
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,
2
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2
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1
31 ??
.0 的基础解系中的解向量为 ?Ax
的通解为故 bAx ?
,
21
23
1
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3
1
2
1
1
21
3
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kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
课后相关习题
? 一、最大无关线性组
? 二、矩阵与向量组秩的关系
? 三、向量组秩的重要结论
? 四、小结
，满足
个向量中能选出，如果在设有向量组
r
rAA
???,,,
21 ?
定义１
线性无关；）向量组（ rA ???,,,:1 210 ?
关，个向量的话）都线性相
中有个向量（如果中任意）向量组（
1
12
?
?
r
ArA
.
的秩
称为向量组数最大无关组所含向量个 r;
0
）
（简称的一个向量组
是那末称向量组
A
A
最大线性无关向量组 最大
无关组
0.
它的秩为
有最大无关组，规定只含零向量的向量组没
一、最大线性无关向量组
的秩也记作向量组 maaa,,,21 ?
.
最大无关组行即是行向量组的一个所在的
最大无关组，列即是列向量组的一个所在的
，则的一个最高阶非零子式是矩阵若
r
Dr
DAD
r
rr;1 ）最大无关组不唯一（
),,,( 21 maaR ?
结论
说明
.2 关组是等价的）向量组与它的最大无（
二、矩阵与向量组秩的关系
.
它的行向量组的秩
量组的秩，也等于矩阵的秩等于它的列向定理１
是线性无关的，
向量组维单位坐标向量构成的因为
neeeE
n
,,,,
21 ?
解,
的秩一个最大无关组及
的，求作维向量构成的向量组记全体
n
nn
R
RRn例1
个向量都线性相关，中的任意
知的结论定理又根据
1
)3( 32.4
?n
R n
.
nRR
E
nn 的秩等于的一个最大无关组，且是
因此向量组
,rrB 个向量，则它的秩为含设向量组 证
.
0
00
0
的一个最大无关组是向量组则向量组
线性表示，能由向量组线性无关，且向量组组
的部分组，若向量是向量组设向量组推论
AA
AAA
AA
.
1
条件
所规定的最大无关组的满足定义所以向量组 B
，组的秩组线性表示，故组能由因 rABA ?
个向量线性相关，组中任意从而 1?rA
.,
075
032
022
9
321
421
4321
的秩求量组为的全体解向量构成的向
设齐次线性方程组例
SS
xxxx
xxx
xxxx
?
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????
???
????
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3210
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1032
2121
::
23
21
2
12
13
3
2
)1(
2 rr
rr
r
rr
rr
A
A 化成行最简形把系数矩阵解
?
?
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???
??
432
431
32
43
xxx
xxx得
? ?
2)(
,,
,
1
0
3
4
0
1
2
3
212211
2211
213
??
????
??
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SR
RccccxS
ccx
ccx
??
?? 知把上式记作
令自由未知数
),,,,(),,,(
,,,2
2
),,,(,,,:
212121
2121
2121
lmm
ml
mm
RR
AA
?????????
??????
??????
，，，
线性表示对充要条件是
能由向量组，，，向量组定理
可叙述为则前面的定理
构成矩阵若向量组
???
??
??
?
?
.
的秩的秩不大于向量组量组
线性表示，则向能由向量组设向量组
AB
AB定理２
三、向量组秩的重要结论
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??
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97963
42264
41211
21112
A
设矩阵 例2
.用最大无关组线性表示属最大无关组的列向量
无关组，并把不的列向量组的一个最大求矩阵 A
行阶梯形矩阵施行初等行变换变为对 A解
，知 3)( ?AR
A
，
??
?
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??
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00000
31000
01110
41211
初等行变换 ~
.3 个向量组含故列向量组的最大无关
三列，、、元在而三个非零行的非零首 421
.,,,421 无关组为列向量组的一个最大故 aaa
线性无关，故知 421421,,3),,( aaaaaaR ?
.
,,,42153
成行最简形矩阵
再变线性表示，必须将用要把 Aaaaaa
?),,421 aaa（
事实上
??
?
?
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?
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??
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763
264
111
112
??
?
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??
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000
100
110
111
初等行变换 ~
??
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00000
31000
30110
40101
~
初等行变换A
??
?
???
???
4215
213
334
,
aaaa
aaa
即得
１．最大线性无关向量组的概念：
最大性, 线性无关性,
２,矩阵的秩与向量组的秩的关系：
矩阵的秩＝矩阵列向量组的秩
＝矩阵行向量组的秩
３,关于向量组秩的一些结论：
一个定理, 三个推论,
４,求向量组的秩以及最大无关组的方法：
将向量组中的向量作为列向量构成一个矩
阵，然后进行初等行变换．
四、小结
§ 4.4线性方程组的解的结构
? 一、齐次线性方程组的解的结构
? 二、基础解系及其求法
? 三、非齐次方程组解的性质
? 四、小结
１．解向量的概念
设有齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
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????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
若记
（ 1）
一、齐次线性方程组解的性质
,
aaa
aaa
aaa
A
mnmm
n
n
??
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??
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????
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21
22221
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??
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n
x
x
x
x
?
2
1
则上述方程组（ 1）可写成向量方程
.Ax 0?
1212111 nnx,,x,x ??? ??? ?若 为方程 的0?Ax
解，则
??
?
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?
?
??
?
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?
??
1
21
11
1
n
x
?
?
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?
?
称为方程组 (1) 的 解向量,它也就是向量方程
(2)的解．
２．齐次线性方程组解的性质
（ 1）若 为 的解，则 21 ?? ?? x,x 0?Ax
21 ?? ??x
0?Ax也是 的解,
证明
? ? 02121 ????? ???? AAA
00 21 ?? ?? A,A?
.Axx 的解也是故 021 ??? ??
（ 2）若 为 的解,为实数，则
也是 的解．
1??x 0?Ax k
1?kx ? 0?Ax
证明 ? ? ? ?,kkAkA 0011 ??? ??
由以上两个性质可知，方程组的全体解向量
所组成的集合，对于加法和数乘运算是封闭的，
因此构成一个向量空间，称此向量空间为齐次线
性方程组 的 解空间,0?Ax
证毕,
如果解系
的基础称为齐次线性方程组
,
0,,,21 ?Axt??? ?; 0,,,)1( 21 的解的一组线性无关是 ?Axt??? ?
.
,,,0)2( 21
出
线性表的任一解都可由 tAx ??? ??
１．基础解系的定义
二、基础解系及其求法
的通解可表示为那么的一组基础解系
为齐次线性方程组如果
0
?
?
Ax
Axt
,,
0,,,21 ??? ?
ttkkkx ??? ???? ?2211
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
２．线性方程组基础解系的求法
?
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00
10
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,1
,111
????
??????
????
??
??????
??
rnrr
rn
bb
bb
A
设齐次线性方程组的系数矩阵为,并不妨
设 的前 个列向量线性无关．r 于是 可化为
A
A A
0
00
00
10
01
2
1
,1
,111
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????
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nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
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11111
0?Ax ?
现对 取下列 组数：nr x,,x ?1? rn?
??
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n
r
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x
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????
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nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
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分别代入
.,
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从而求得原方程组的 个解：rn?
.
b
b
,
rn,r
rn,
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.kkkx rnrn ?????? ??? ?2211
若 是 的基础解系，则
其 通解 为
rn,,,???? ?21 0?Ax
.,,,21 是任意常数其中 rnkkk ??
定理 1
.,)(
,
0
rnSrAR
S
xAn
nm
nm
??
?
?
?
的维数为解空间时
当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合
的全体解所元齐次线性方程组
);0,(
,,)(
维向量空间为向量此时解空间只含一个零系
故没有基础解方程组只有零解时当 nAR ?
? ?,,,
,,,
,
,,,,,
,)(
111
1
2211
21
RkkkkxS
kk
kkkx
rnnrAR
rnrnrn
rn
rnrn
rn
?????
????
???
???
?
??
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?
??
???
???
解空间可表示为为任意实数其中
方程组的解可表示为此时基础解系
个向量的方程组必有含时当
例 1 求齐次线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
0377
,02352
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
的基础解系与通解,
解
,
0000
747510
737201
1377
2352
1111
~
?
?
?
?
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??
??
?
?
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?A
对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩
阵，有
A
?
?
?
?
?
??
??
.
7
4
7
5
,
7
3
7
2
432
431
xxx
xxx
便得
,1001
4
3 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及令
x
x,
74
73
75
72
2
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及对应有
x
x
,
1
0
74
73
,
0
1
75
72
21
??
?
?
?
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??
?
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?
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??
?
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??
?
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? ??即得基础解系
).,(,
1
0
74
73
0
1
75
72
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
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?
并由此得到通解
.0
,1)(
2
121
的解为对应的齐次方程
则的解都是及设
?
?????
Ax
xbAxxx
?
???
证明
? ?,021 ????? bbA ??
.021 ??? Axx 满足方程即 ??
bAbA ?? 21,???
１．非齐次线性方程组解的性质
三、非齐次线性方程组解的性质
证明 ? ? ???? AAA ???,0 bb ???
.的解是方程所以 bAxx ??? ??
证毕．
.,0
,2)(
的解仍是方程则的解
是方程的解是方程设
bAxxAx
xbAxx
????
???
??
??
.11 ??? ???? ??? rnrnkkx ?
其中 为对应齐次线性方程
组的通解,为非齐次线性方程组的任意一个特
解,
rnrnkk ???? ?? ?11
??
２．非齐次线性方程组的通解
非齐次线性方程组 Ax=b的通解为
例 4 求解方程组 ?
?
?
?
?
?????
????
????
.2132
,13
,0
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
解,施行初等行变换对增广矩阵 B
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
213211
13111
01111
B
,
00000
212100
211011
~
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
??
并有故方程组有解可见,,2)()( ?? BRAR
??
?
??
???
.212
,21
43
421
xx
xxx
,042 ?? xx取,2131 ?? xx则 即得方程组的一个解.
0
21
0
21
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
取中组在对应的齐次线性方程,2,
43
421
??
?
?
??
xx
xxx
,1001
4
2 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及
x
x,
2
1
0
1
3
1 ?
?
??
?
??
?
??
?
???
?
??
?
? 及则
x
x
程组的基础解系即得对应的齐次线性方,
1
2
0
1
,
0
0
1
1
21
??
?
?
?
?
?
??
?
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??
?
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??
?
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? ??
于是所求通解为
).,(,
0
21
0
21
1
2
0
1
0
0
1
1
2121
4
3
2
1
Rcccc
x
x
x
x
?
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?????
????
??????
?????
.123438
,23622
,2323
,7
54321
5432
54321
54321
xxxxx
xxxx
xxxxx
xxxxx
解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
例 5 求下述方程组的解
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
? ? ? ?,,知方程组有解由 BRAR ? ? ?,3,2 ??? rnAR又
所以方程组有无穷多解,且原方程组等价于方程组
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx
求基础解系
.
1
0
0
,
0
1
0
,
0
0
1
5
4
3
?
?
?
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?
?
?
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?
x
x
x
令
依次得,3
2,
1
0,
21
21
2
1 ?
?
??
?
?
???
??
?
?
???
??
?
?
?
???
?
??
?
?
x
x
??
?
????
??????
23622
7
5432
54321
xxxx
xxxxx代入
.
1
0
0
3
2
,
0
1
0
1
0
,
0
0
1
21
21
321
?
?
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?
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?
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? ???
求特解
.223,29,0 21543 ?????? xxxxx 得令
所以方程组的通解为
故得基础解系
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
0
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
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? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
另一种解法 ??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
1213438
2362120
231213
711111
B
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?????
000000
000000
2362120
711111
~
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ??
000000
000000
223312110
29202101
~
则原方程组等价于方程组
?
?
?
?
?
?????
????
2
23
3
2
1
2
9
2
2
1
5432
531
xxxx
xxx
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
????
?
55
44
33
5432
531
22332
2922
xx
xx
xx
xxxx
xxx
所以方程组的通解为
.
0
0
0
223
29
1
0
0
3
2
0
1
0
1
0
0
0
1
21
21
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
? kkkx
.,,321 为任意常数其中 kkk
１．齐次线性方程组基础解系的求法
?
?
?
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?
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?
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00
00
10
01
1
111
????
??????
????
??
??????
??
rn,rr
rn,
bb
bb
~A四、小结
（ 1）对系数矩阵 进行初等变换，将其化为
最简形
A
?
?
?
?
?
????
????
??
??
??
nrn,rrrr
nrn,r
xbxbx
xbxbx
Ax
?
???????????
?
11
11111
0
由于
令
.,,,
x
x
x
n
r
r
??
?
?
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?
?
??
?
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??
?
?
?
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?
?
?
1
0
0
0
1
0
0
0
1
2
1
?
?
???
（ 2）得出,同时也可知方程组的一
个基础解系含有 个线性无关的解向量．
? ? rAR ?
rn?
,
b
b
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
0
1
1
11
1
?
?
?,
b
b
r
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
0
1
0
2
12
2
?
?
?,
b
b
,
rn,r
rn,
rn
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
1
0
0
1
?
?
? ?
故
,
b
b
,,
b
b
,
b
b
x
x
rn,r
rn,
rrr
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
1
2
12
1
111
得
为齐次线性方程组的一个基础解系,
有解0?Ax ? ? ? nAR ?
? ?? ?个解向量此时基础解系中含有 ARn ?
? ? ? ? nBRAR ??
? ? ? ? nBRAR ??,有无穷多解bAx ?
? ? ? ?BRAR ?,无解bAx ?
.有唯一解bAx ?
２,线性方程组解的情况
?
?
?
? ?
满足的三个解向量方程组
如果非齐次线性且矩阵是设
321,,
.1,3
???bAx
ARmA
?
??
,
3
2
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??,
1
1
0
32
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
1
0
1
13 ??
.的通解求 bAx ?
思考题
,1)(,3 ?? ARmA 矩阵是解 ?
思考题解答
.
2130
无关的解向量
个线性的基础解系中含有 ???? Ax
则令,,,133221 cba ?????? ??????
,
21
23
1
)(
2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? bca?
,
23
23
0
)(
2
1
3
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????? acb?
,
25
21
0
)(
2
1
2
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? cba?
,
2
1
1
21
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
2
3
1
31 ??
.0 的基础解系中的解向量为 ?Ax
的通解为故 bAx ?
,
21
23
1
2
3
1
2
1
1
21
3
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
kk
x
x
x
.,21 为任意实数其中 kk
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