.
,.
,,,21
个分量称为第个数第
个数称为该向量的分量这维向量数组称为
所组成的个有次序的数
iai
nn
aaan
i
n?
分量全为实数的向量称为 实向量,
分量全为复数的向量称为 复向量,
１ 向量的定义
定义
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
a
a
a
a
n
n
?
2
1
,,即称为列向量维向量写成列的形式
? ?aaaa
n
n
T,,,
,,
21 ??
即称为行向量维向量写成行的形式
向量的相等
),,2,1(
),,,(),,,,( 2121
nibaba
bbbbaaaa
ii
TT
n
T
n
T
?
??
????
??
则
设
零向量
分量全为 0的向量称为零向量,
),,2,1(0 niaOa iT ?????
),,2,1(,0 niaOa iT ???? 中至少有一个不为
负向量
).,,,(
,),,,(
21
21
aaaa
aaaaa
n
T
T
n
T
?????
??
?
? 且的负向量记作向量
向量加法
),,,(
:
),,,,(),,,,(
2211
2121
babababa
ba
bbbbaaaa
nn
TT
TT
n
T
n
T
?????
??
?
??
的加法为与向量
定义设
),,,( 2211 babababa nnTT ????? ?
向量减法定义为
２ 向量的线性运算
数乘向量
),,,(
,
,
21 akakakak
ak
n
T
T
??
定义为简称数乘向量
称为向量的数量乘法的乘积与向量数
向量加法和数乘向量运算称为向量的 线性运
算, 满足下列八条运算规则：;)1( ???? ???加法交换律
);()()2( ?????? ?????加法结合律;,)3( ??? ?? O有对任一个向量;)(
,,)4(
O???
?
??
?? 有存在负向量对任一个向量;1)5( ?? ?;)()()6( ?? kllk ?数乘结合律;)()7( ???? kkk ???数乘分配律
.)()8( ??? lklk ???数乘分配律
.,,,1,,,为零向量为数维向量为其中 Olkn???
除了上述八条运算规则, 显然还有以下性质：
);,0(,0 )'1( 为任意数为数零其中 kOkOO ???;,0,)'2( OkOk ??? ?? 或者则或者若
.)'3( ???? ???? xx 有唯一解向量方程
若干个同维数的列 （ 行 ） 向量所组成的集合
叫做向量组,
定义
.
,,,,
,,,,
,,,,:
21
2211
21
21
这个线性组合的系数
称为的一个线性组合称为向量组
向量实数
对于任何一组给定向量组
kkkA
akakak
kkk
aaaA
m
mm
m
m
?
?
?
?
???
３ 线性组合
定义
.
,
,
,,,,
,,,,:
2211
21
21
线性表示由向量组
能这时称向量的线性组合是向量组则向量
使存在一组实数
如果和向量给定向量组
A
bAb
akakakb
kkk
baaaA
mm
m
m
???? ?
?
?
４ 线性表示
定理
.),,,
,(),,,(
2
121
的秩
的秩等于矩阵件是矩阵
线性表示的充分必要条能由向量组向量
baa
aBaaaA
Ab
m
m
?
? ??
定义
.
,
.,
,,,
,:,,,:
2
121
两个向量组等价
则称这能相互线性表示与向量组若向量组
线性表示能由向量组则称向量组线性表示
向量组组中的每个向量都能由若
及设有两个向量组
BA
AB
ABbb
bBaaaA
s
m
?
?
定义
.,
,0
,,,,
,,,,,
2211
21
21
否则称它线性无关是线性相关的则称向量组
使为零的数
如果存在不全给定向量组
A
akakak
kkk
aaaA
mm
m
m
???? ?
?
?
５ 线性相关
定理
.)(;
),,,(
,,,
21
21
mAR
m
aaaA
aaa
m
m
?
?
是
必要条件向量组线性无关的充分于向量个数
的秩小条件是它所构成的矩阵
线性相关的充分必要向量组
?
?
定理
.,
,.,,,,:
,,,,:)1(
121
21
也线性无关则向量组线性无关向量组
若反言之也线性相关量组
则向线性相关若向量组
AB
aaaaB
aaaA
mm
m
??
?
若向量量添上一个分量后得到向即向量
设
.
),,2,1(,,)2(
,1
1
1
ba
mj
a
a
a
b
a
a
a
jj
jr
rj
j
j
rj
j
j
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
.
,,.,
,,:,,,,,2121
也线性相关则向量组
线性相关若向量组反言之也线性无关
则向量组线性无关组
A
Bb
bbBaaaA
m
m
?
?
.
,)3(
时一定线性相关向量个数
小于当维数维向量组成的向量组个
m
nnm
.,
,,,,,:
,,,,:)4(
21
21
且表示式是唯一的线性表示能由向量组
必则向量线性相关向量组
而线性无关设向量组
A
bbaaaB
aaaA
m
m
?
?
定义
满足
个向量中能选出如果在设有向量组
,,,
,,
2
1
aa
arAA
r?;,,,:)1( 210 线性无关向量组 aaaA r?
,)
1(1)2(
都线性相关个向量的话
中有如果个向量中任意向量组 ?? rArA
.
);(
0
的秩称为向量组量个数
最大无关组所含向简称最大无关组无关向量组
的一个最大线性是向量组那么称向量组
Ar
AA
６ 向量组的秩
等价的向量组的秩相等,
定理 矩阵的秩等于它的列向量组的秩, 也等于
它的行向量组的秩,
定理 设向量组 B能由向量组 A线性表示, 则向量
组 B的秩不大于向量组 A的秩,
推论１
推论２
).()(),()(
,
BRCRARCR
BAC nssmnm
??
? ??? 则设
推论３ （ 最大无关组的等价定义 ）
设向量组 是向量组 的部分组, 若向量组
线性无关, 且向量组 能由向量组 线性表示,
则向量组 是向量组 的一个最大无关组,
B A
B A
B
B
A
的系数矩阵和未知量为
记齐次线性方程组
)1(
,0
,0
,0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nmnmm
nn
nn
?
?????????????
?
?
向量方程
7,齐次线性方程组
)2(.
)1(
,,
2
1
21
22221
11211
OAx
x
x
x
x
aaa
aaa
aaa
A
nmnmm
n
n
?
?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
式可写成向量方程则
?
?
???
?
?
解向量
.
)2(,)1(
,)1(,,,
1
21
11
1
1212111
的解
它也就是向量方程的解向量称为方程组
则的解为若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
???
?
?
?
?
???
n
nn
x
xxx
?
?
解向量的性质
性质１
性质２
.)2(
,)2(,2121
的解是
也则的解为若 ???? ???? xxx
.)2(
,,)2( 11
的解
也是则为实数的解为若 ?? kxkx ??
定义
.
)1(,
,,
)1(
间
的解空称为齐次线性方程组是一个向量空间
所以集合对向量的线性运算封闭则集合合
集的全体解向量所组成的为方程组设
SS
S
定理
.,)(
,
rnSrAR
S
OxAn
nm
nm
??
?
?
?
的维数为解空间时
当系数矩阵的秩是一个向量空间构成的集合
的全体解所元齐次线性方程组
定义,)1( 的基础解系的基称为方程组解空间 S
)4(
)3(
,
,
,
2211
22222121
11212111
bAx
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
mnmnmm
nn
nn
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
可写为向量方程
非齐次线性方程组
?
?????????????
?
?
向量方程
8,非齐次线性方程组
解向量的性质
性质１
性质２
.
)5(
,)4(,
2121
的解
组为对应的齐次线性方程
则的解为若
OAx
xxx
?
???? ????
.)4(,
)5(,)4(
的解也是方程则解
的是方程的解是方程若
??
??
??
??
x
xx
解向量
向量方程 的解就是方程组 的解向量,)4( )3(
（ １ ） 求齐次线性方程组的基础解系
:,,
,,,
,
,)(
21
可按下面步骤进行
不妨设为个解向量解系含线性无关的
那么方程组的一个基础程组中未知数的个数为
而方的秩若齐次线性方程组
?
??
rn
rn
n
rAROAx
?
?
??
?
9,线性方程组的解法
第一步：对系数矩阵 进行初等行变换, 使其
变成行最简形矩阵;
00000
00000
100
010
001
,1,
,21,2
,11,1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
???????
??
??
???????
??
??
cc
cc
cc
nrrr
nr
nr
A
即个分量的第于是得号
个分量反列前将第第二步
,,,2,1,,,,
,2,1:
21 r
rnrr
rn ??
?
??? ?
??;,,,
,
,2
,1
1,
2,2
2,1
21,
1,2
1,1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
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c
c
c
c
c
c
c
c
c
nr
n
n
rnrr
r
r
rr
r
r
???
第三步：将其余 个分量依次组成 阶
单位矩阵, 于是得齐次线性方程组的一个基础解系
.
1
0
0
,,
0
1
0
,
0
0
1
,
,2
,1
2,
2,2
2,1
2
1,
1,2
1,1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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?
?
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?
?
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?
?
c
c
c
c
c
c
c
c
c
nr
n
n
rn
rr
r
r
rr
r
r
???
rn? rn?
（ ２ ） 求非齐次线性方程组的特解
.
,
,,)(
)(
矩阵
使其成为行最简形进行初等行变换增广矩阵
那么对数为而方程组中未知数的个
的秩若非齐次线性方程组
B
nrBR
ARbAx
?
??
,
000000
000000
100
010
001
,1,
2,21,2
1,11,1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
????????
??
??
????????
??
??
dcc
dcc
dcc
rnrrr
nr
nr
将上述矩阵中最后一列的前 个分量依次作为
特解的第 个分量, 其余 个分量全部取
零, 于是得
r
rn?r,,2,1 ?
,
0
0
2
1
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
d
d
d
r
?
即为所求非齐次线性方程组的一个特解,
一、向量组线性关系的判定
二、求向量组的秩
三、向量空间的判定
四、基础解系的证法
五、解向量的证法
典 型 例 题
,,,,
:,,
,
,,,,
21
2211
21
其线性组和为零向量
也使得的数是否存在一组不全为零
一个自然的问题是那么零向量一个特殊向量
其结果为向量空间中的时
线性组合的结合物量空间中两种基本运算
当我们考虑到向而言的定的向量组
概念都是针对一个特线性相关与线性无关的
kkk
kkk
m
mm
m
?
?
?
?
??
??
???
???
一、向量组线性关系的判定
.0
,
0
,,
,;,;
,.:
2211
21
???
????
??? mm
m
kkk
kkk
?
?
才有时
当
指的是当且仅所谓不存在该向量组线性无关
则称若不存在则称该向量组线性相关若存在
关与线性无关的概念然而然地提出了线性相
也就自这样存在或不存在答案只有两种
.
,,,
:
,?),
(,
们往往采用反证法
我时在论证某些相关性问题据此立的概念
一对排中对线性相关与线性无关是应注意到
还此外可由其余向量线性表出意一个向量
不是任即看其中有无某个向量的概念来体现
可以通过线性表出线性相关与线性无关还
研究这类问题一般有两个方法
方法 1 从定义出发
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0
0
0
,0
2
1
2
22
21
2
1
12
11
1
2211
??
?
??
?
a
a
a
k
a
a
a
k
a
a
a
k
kkk
mn
m
m
m
nn
mm ???
令
整理得线性方程组
)(
,0
,0
,0
2211
2222112
1221111
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
kakaka
kakaka
kakaka
mmnnn
mm
mm
?
?????????????
?
?
.
,,,,)(
.,
,,,)(
21
21
线性相关
则有非零解若线性方程组
线性无关
则只有唯一零解若线性方程组
???
?
??
m
m
?
?
?
?
方法２ 利用矩阵的秩与向量组的秩之间关
系判定
.,,,,)(
,,,,,)(
).(),,,,(
,,,,
21
21
21
21
线性相关则若
线性无关则若
首先求出相应的矩阵
就得到一个维向量给出一组
???
???
???
???
m
m
m
m
mAR
mAR
ARA
n
?
?
?
?
?
?
?
例１ 研究下列向量组的线性相关性
.
2
0
1
,
5
2
0
,
3
2
1
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?? ???
解一
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
0
0
0
2
0
1
5
2
0
3
2
1
,0
321
332211
kkk
kkk 即令 ???
整理得到
)(
.0253
,022
,0
321
21
31
?
?
?
?
??
?
?
???
???
??
kkk
kk
kk
.
,,,)(
,0
253
022
101
)(
321
线性相关
从而必有非零解线性方程组
的系数行列式线性方程组
?????
?
?
?
?
??
解二
,
2
0
1
,
5
2
0
,
3
2
1
321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
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?
?
?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?? ????
,
253
022
101
),,( 321
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??? ???A矩阵
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
000
220
101
253
022
101
~
初等行变换
A
.,,
,32)(
321 线性相关故向量组 ???
??AR
.
)2(,,,
,,,,
:,,,,
2211
21
21
线性相关
都有使对任何向量为零的数
存在不全证明线性相关设
???? rttt
ttt
rr
r
r
??????
?
???
?
?
?例2
分析 考察向量方程我们从定义出发,
0)( 2211
2211
?????
???
?
???
tktktk
kkk
rr
rr
?
?
即向量方程
0)()()( 222111 ??????? ?????? tktktk rrr?
.,
,,,,21
因此可得如下证明恒有非零解每个
而使得对数是否有某组不全为零的
?
kkk r?
证明
0
,,,,
,,,,
2211
21
21
???? ???
???
rr
r
r
kkk
kkk
?
?
?
使为零的数
所以存在不全线性相关因为
02211 ???? xkxkxk rr?
考虑线性方程
都有则对任意向量零解
为任一非设它必有非零解因为
,,
),,,(,,2 21
?
tttr r??
0)( 2211
2211
?????
???
?
???
tktktk
kkk
rr
rr
?
?
0)(
)()( 222111
????
???
??
????
tk
tktk
rrr?
即
.
,,,
:,,,
2211
21
线性相关
不全为零得知由
?????? ttt
kkk
rr
r
??? ?
?
.
,,
,:,,,,
2
121
一个最大线性无关组
成它的个线性无关的向量均构中任意
证明的秩是已知向量组
r
r
s
s
??
????
?
?例3
证明向量组的一个部分组构成最大线性无
关组的基本方法就是：
分析
根据最大线性无关组的定义来证，它往往还
与向量组的秩相联系．
证明
.,
,,,,),,,2,1(
,
,,,,,,,
21
21 21
r
sk
r
kiiik
s
iii
r
r
否则这向量组的秩大于相关
线性向量组的
于是对于任意个线性无关的向量中的任意
是设不失一般性
?????
?
?????
??
??
?
.,,,
,,,,
21
21
线性表出以由
可所以线性无关又向量组
???
????
iii
kiii
r
r
?
?
.,
,,,,,2121
的一个最大线性无关组
是这就证明了由定义
?
?????
s
iii r
?
?
求一个向量组的秩, 可以把它转化为矩阵的
秩来求, 这个矩阵是由这组向量为行 （ 列 ） 向量
所排成的,
如果向量组的向量以列 （ 行 ） 向量的形式给
出, 把向量作为矩阵的列 （ 行 ）, 对矩阵作初等
行 （ 列 ） 变换, 这样, 不仅可以求出向量组的秩,
而且可以求出最大线性无关组,
二、求向量组的秩
若矩阵 经过初等行 （ 列 ） 变换化为矩阵,
则 和 中任何对应的列 （ 行 ） 向量组都有相同的
线性相关性,
A
BA
B
.)1,4,6,2(
),1,2,3,1( ),1,1,1,0(
),1,1,2,1( ),0,0,1,1(
5
43
21
的秩
求向量组
??
????
?????
?
??
??
T
TT
TT
例4
解 ? ?
为阶梯形化行变换
作初等对作矩阵
A
AA
,
,54321 ??????
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
???
?
?
11110
42110
63121
21011
54321 ?????
A
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???
?
11110
42110
42110
21011
~
12 rr
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???
?
??
53000
00000
42110
21011
~
24
23 )1(
rr
rr
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???
?
00000
53000
42110
21011
~
34 rr
? ?,54321 U?? ?????记作
,3)( ?? ARA 的列秩
.3,,,,54321 的秩为故向量组 ?????
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
? ???
00000
53000
42110
21011
?? ) ( 54321 ?????U
,
,,421
无关组
线性的列向量组的一个最大是又 U???
.
,,421
线性无关组
的列向量组的一个最大也是所以 A???
例６ 证明与基础解系等价的线性无关的向量组
也是基础解系,
三、基础解系的证法
分析
(3)方程组的任一解均可由该向量组线性表示．
(1)该组向量都是方程组的解；
(2)该组向量线性无关；
要证明某一向量组是方程组 的基础解
系, 需要证明三个结论,
0?AX
证明
.
,,
,
,,,,,,,
0,,,
2121
21
nt
aaa
AX
tn
t
?
?
即
向量个数相等所以这两个向量组所含数是相同的
向量组所含向量个因为等价的线性无关的向量组
等价的线性无关的是与系
的一个基础解是方程组设
???
???
??
?
.
0
,,,,
),,,2,1(,,
,,
21
2
1
的解
都是故合仍然是原方程组的解
而解的线性组的线性组合
可以表示成知由向量组的等价关系易
?
?
AX
aaa
ti
a
t
t
i
?
?? ??
?
.,,,,21 线性无关由题设知 aaa t?
.,,,
,,,,,
,,,,,,
,,0
21
21
212
1
线性表示
也可由故线性表示均可由
由向量组的等价性线性表示
可由则的任一解为方程组设
aaa
aaa
AX
t
tt
t
?
??
?
??
????
??? ?
.
0,,,,21
的一个基础解系
也是方程组故由定义知 ?AXaaa t?
注 当线性方程组有非零解时, 基础解系的取
法不唯一, 且不同的基础解系之间是等价的,
.1,1
,)3(
.1
,,,)2(;,,,)1(
:.,,
,
1
1
1
而且组合系数之和为个解的线性组合
都可以表示为这的任一解方程组
个线性无关的解
的是方程组
线性无关
证明解系是其导出组的一个基础
的一个解是非齐次线性方程组设
??
?
??
???
?
?
???
?
?
?
?
rn
XBAX
rn
BAX
BAX
rn
rn
rn
?????
???
??
?
?
?
?
例7
五、解向量的证法
.0
)(,0)1(
0
110
?
????? ???
k
kkk rnrn
其中必有
令 ??? ?证明
.0,,
,0,
,0,
,,,,
0
21
0
1
0
1
??
?
?
????
?
?
?
??
kBAX
AX
AX
k
k
k
k
rn
rn
rn
所以矛盾的解齐次方程组
是非而等式左边的解必是其线性组合
故等式右边为的解是齐次方程组
由于有否则
?
?
?????
?
?
,0
,)(0
2211
0
????
??
?? ??? rnrnkkk
k
?
则有式代入将
.,,,,
,0
,,,,
,0,,,
21
21
21
21
线性无关于是
故有线性无关
所以的基础解系是因为
????
???
???
rn
rn
rn
rn
kkk
AX
?
?
?
?
?
????
?
?
?
?
?
.,),
,2,1()2(
再证它们线性无关的解都是
知由线性方程组解的性质
BAXrn
ii
??
???
?
??
所以线性无关的证明知由
则
令
,,,,,)1(
,0)(
,0)()(
21
1110
110
????
???
?????
rn
rnrnrn
rnrn
kkkkk
kkk
?
?
??
?
?
?
?
?
??
???????
??????
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?????
?
?
,0
,0
,0
,0
2
1
210
k
k
k
kkkk
rn
rn
???????????
?
.,,,,
,0
,
21
210
线性无关故
得解之
??????? rn
rnkkkk
?
????
?
???
?????
?
?
可表为则的任一解为方程组设 XBAXX,)3( ?
???? rnrntttX ??? ????? ?2211
)()( 11 ??????? ??????? ???????? rnrntt ?
)(
)()1( 111
??
???
rnrn
rn
t
ttt
?
?
?
??
?
??
??????? ??
,1,1 1001 ???????? ?? tttttt rnrn ?? 则令
都可以表示为的任一解故 XBAX ?
.1
),()(
10
110
????
??????
?
?
?
?
??
ttt
tttX
rn
rnrn
?
?
且
?????
注意 (1)本例是对非齐次线性方程组 的解
的结构作进一步的分析和讨论, 即非齐次线性方
程组一定存在着 个线性无关的解, 题中
(2)的证明表明了它的存在性,
BAX ?
1?? rn
(3)对非齐次线性方程组, 有时也把
如题中所给的 个解称为 的基础
解系, 所不同的是它的线性组合只有当线性组合
系数之和为 1时, 才是方程组的解,
BAX ?
BAX ?
1?? rn
(2)对齐次线性方程组, 当 时,
有无穷多组解, 其中任一解可由其基础解系线性
表示,
nrAR ??)(
第四章 测试题
一、填空题 (每小题 5分，共 40分 )．
? ? ? ? ? ?
? ?,,,1,2,0,1
,,1,0,10,3,2,4,5,0,1,2,1
4
321
线性相关时则
设
???
???????
k
k
?
???
? ? ? ? ? ?
? ?,,,0,,3,1
,4,3,5,0,2,0,2,1,0,3,1,2,2
4
321
线性无关时则
设
???
??????
tt?
???
? ? ? ?
? ? ? ? 则该向量组的秩是
已知向量组
,7,6,5,4,6,5,4,3
,5,4,3,2,4,3,2,1,3
4
321
?
???
?
???
则向量个数线性表出
均可由向量组维单位向量组
,,
,,,,,.4 2121
s
nn
?
?????
?
?
? ? ?? ARA 则秩已知
11010
01100
00110
00011
00101
,5
? ? ? ? ???
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ARA 则秩设,,3,2,1,
3
2
1
,7 ????
? ? ? ? ? ?
? ?的一个极大无关组是
向量组
7,6,5,4
6,5,4,3,5,4,3,2,4,3,2,1,8
4
321
?
???
?
???
二、计算题
? ?
? ? ? ?,,4,5,2,3,3,4,1,2
,2,1,8,5,0432.1
32
1321
???
?????
求
其中已知
??????
???????
? ? ? ?
则该方程的系数矩阵为础解系
为其基以方程组
,
1,1,0,2,0,10,6 21 ???? ??AX
(每小题 8分，共 24分 )．
,,,,321
线性无关
线性相关向量组为何值时试求出 ???t ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ?,1,2,1,0
,2,1,1,2,1,,,11,1,0,0
0,1,1,0,0,0,1,1,.3
3
213
21
等价
与向量组
使向量组和求实数
?
???
??
?
???
??
ba
ba
? ? ? ? ? ?1,1,1,0,,2,1,2,.2 321 ???? ??? tt已知向量组
三、证明题 (每小题 8分，共 24分 )．
.0)d e t (
,,,.1
?
???
AB
nmmnBnmA 试证明且矩阵为矩阵为设
? ?
? ? 证明
且秩矩阵是矩阵为设
,
,,,.2
sn
nBRsnBnnA
?
???
? ?
? ?,,2;0,01
EABAB
AAB
??
??
则若
则若
? ? ? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
.4
,,,::,4,3
,,,;,,,;,,.3
45321
5321
4321321
秩为
的向量组试证明
为如果各向量组的秩分别
已知向量组
?????
????
???????
???
?
I I IR
IIRIR
I I IIII
四、向量组 线性无关,问常数 满足
什么条件时,向量组
线性无关．
321,,??? ml,
133221,,?????? ??? ml
(12分 )
? ?,,.8 ;1,7 ;112,6 ;5,5;,4 ;2,3 ;,2 ;
15
3
,1
21 ???
?? sn任意实数一、
? ?;22,1,0,1 ???二、
.,,,3,2;,,,3,2,2
321
321
线性相关时当
线性无关时当
???
???
??
??
t
t
.0,3 ?? ba
测试题答案
.1 ??lm四、
课后习题