第一章习题课
? 一、总结
? 二、习题
把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元
素的 全排列 （或 排列 ）．
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示，
且,
n nP
!nPn ?
１ 全排列
逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为
偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
? ?nst iiiii ???21 st ii ?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆
序数,
２ 逆序数
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
方法 2
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的
数码之和，即分别算出 这 个元素
的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求
排列的逆序数．
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ??
n
３ 计算排列逆序数的方法
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元
素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
４ 对 换
? ?
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D ?
?
???????
?
?
?
21
21
22221
11211
21
21
1? ???
５ n阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
列取和
的所有排表示对个排列的逆序数
为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
?
??
?
?
.
,)1(
21
21
21
21
的逆序数为行标排列其中
亦可定义为阶行列式
pppt
aaaD
Dn
n
nppp
ppp
t
n
n
?
?
?
? ??
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1)
T
乘此行列式等于用数一数
中所有的元素都乘以同列行列式的某一行
等于零
则此行列式完全相同列如果行列式有两行
行列式变号列互换行列式的两行
即式相等行列式与它的转置行列
kk
?
６ n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8
.
,)( )7
.
,)( )6
.
)( )5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列
然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列
式之和此行列式等于两个行列
则的元素都是两数之和行若行列式的某一列
式为零
则此行列元素成比例列行列式中如果有两行
提到行列式符号的外面
以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作
阶行列式叫做元素列划去后，留下来的
行和第所在的第阶行列式中，把元素在
aA
MA
M
anj
ian
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
??
?
?
７ 行列式按行（列）展开
２）关于代数余子式的重要性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
DAa
ji
jiD
DAa
ij
ijjk
n
k
ik
ijki
n
k
ki
当
当
其中
当
当
或
当
当
?
?
?
８ 克拉默法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项
列中第）是把系数行列式（其中
那么它有唯一解的系数行列式
如果线性方程组
２ bbb
jDnjD
nj
D
D
x
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
?
?
?
?
??????????????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
克拉默法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
唯一那么它一定有解，且解的系数行列式
如果线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
?
??????????????
?
?
.
必为零解，则它的系数行列式
解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理
定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式
如果齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
?
??????????????
?
?
.
它的系数行列式必为零
组有非零解，则如果上述齐次线性方程
定理
定理
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
典 型 例 题
分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之
和，即算出排列中每个元素的逆序数．
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?,,1
3232221212
并讨论奇偶性的逆序数
求排列
kk
kkkk
?
??? ?
解
例１
一、计算排列的逆序数;0,2 故逆序数为排在首位k;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k;1
),2()12()12(
逆序数为
故大的数有一个的前面比 kkk ??;2
),12,2(22
数为
故逆序大的数有两个的前面比 ?kk;2),1
2,2(2222
故逆序数为
大的数有两个的前面比 ??? kkkk
??????;1),2,
,12,2(111
??
????
kk
kkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比
?;1),2,
,12,2(111
??
????
kk
kkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比
?;
),1,,12,2(
k
kkkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比 ?? ?
? ? ? ? kkkt ??????????? 1122110 ?
? ?? ?? ? kkk ?????
2
1112
2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列．k
于是排列的逆序数为
１ 用定义计算（证明）
例２ 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D ?
二、计算（证明）行列式
的非零元素分别得到
行可能中第那么，由
行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
Daaa
aaD
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
???
??
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
?D
ppppp
故
元排列也不能组成，一个
在上述可能取的代码中因为
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准
顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注
意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般
方法．
.
2 于零还多，则此行列式必等
素比阶行列式中等于零的元如果一个
nn
n
?
注意
例３ 设
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
?
????
?
?
?
,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
?
????
?
?
??
?
??
?
.2DD ?１证明：
证明 由行列式的定义有
.
,)1(
21
211 21
的逆序数是排列其中 pppt
aaaD
n
pnpp
t
n
?
?? ??
.
,)1(
)())(()1(
21
)()21(
21
2
2
1
12
21
21
2
2
1
1
的逆序数是排列其中 pppt
baaa
bababaD
n
pppn
pnpp
t
pn
pn
p
p
p
p
t
n
n
n
n
?
?
?
?? ???????
???
? ??
? ??
,212 nppp n ??????? ??１而
.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt ?? ?? ?所以
评注 本题证明两个行列式相等，即证明两
点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一
项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列
式相等的常用方法．
２ 利用范德蒙行列式计算
例４ 计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德
蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列
式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
?
????
?
?
?
?
，于是得到增至幂次数便从
则方若提取各行的公因子，递升至而是由
变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次
方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
?
?
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由
范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
?
??
?
???
??????
????
? ??
???
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元
素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙
行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如
提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行
列式化成范德蒙行列式．
３ 用化三角形行列式计算
例５ 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
?
??????
?
?
?
??
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2 ?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
?
????
?
?
?
32
1
2
1
2
1
21
1
1
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
?
?????
?
?
?
???
?
?
后一列，得
倍加到最列的将第列，倍加到第
列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n??
?
?
.)()(
11
? ????
??
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
???
??
?
???
?
?
?
????
?
?
?
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用, 化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多
的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零
的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数
化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则
应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到
化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子
行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
???
114324
４ 用降阶法计算
例６ 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D ?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD ????
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
???
???
???
????
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
???
???
???
????
，得中提取公因子
行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba ???
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
???
????
???????４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba ???????????
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
???????
???????
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
???
????
???????
dacb
cbdadcbadcba
D ??
????????? ))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列
式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后
按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数
可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接
计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种
方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
５ 用拆成行列式之和（积）计算
例７ 证明
.0
2s i n)s i n ()s i n (
)s i n (2s i n)s i n (
)s i n ()s i n (2s i n
?
??
??
??
?????
?????
?????
证,0
000
s i ns i ns i n
co sco sco s
0co ss i n
0co ss i n
0co ss i n
??? ???
???
??
??
??
左边
６ 用递推法计算
例８ 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
?
?
?
?
?
????
?
?
解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
?
?
????
?
?
1
2
1
??
?
?
?
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
?
?
?????
?
?
??
?
?
?
.1121 DxaxxxD nnnn ?? ?? ?从而
得列展开
第右端的第二个行列式按列加到第
倍分别列的将第右端的第一个行列式
,
,1,,2,1
)1(,
nn
n
?
?
?,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n ?
?
??
?
?
?????
?
?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
??
??
????
?
??
??
??
?
１
于是
如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
??
???
?
??
??
??? １
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
???
??
??
?
??
?
??
?? １
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
??
???
??
??? ?
时，还可改写成当 021 ?xxx n?
) ],111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn ????? ??
评注
.
1 1
.1
,1
1
的递推关系列式更低阶行列式之间
阶行，建立比阶更低阶的行列式表示比
用同样形式的阶行列式时，还可以把给定的
有之间的递推关系阶行列式与建立了
阶行列式表示出来用同样形式的行列式
阶质把所给的本题是利用行列式的性
??
?
?
?
nn
Dn
DnD
nD
n
n
nn
n
７ 用数学归纳法
例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
?
?
?
?
?
n
D n
?
?
?
??
??????
?
?
?
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2c o s1c o s2
2c o s1
1c o s
,c o s
2
2
1
结论成立时当所以
因为
??
????
?
nn
D
D
??
?
?
?
得展开
按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于
下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.c o s2 21 DDD nnn ?? ?? ?
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
?
?
??
??
?
?
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
?
???
???
n
nnn
nnD n
?
?????
????
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(1
,)(,
,
2
1
同型的行列式是与
不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第
不能展开列或第行本例必须按第表示
展开成能用其同型的为了将
D
nnD
DD
n
n
nn
?
?
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明
也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明
可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的
而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可
以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方
法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式
在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变
换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为
了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适
当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数
的线性方程组后再求解．
三、克拉默法则
.28)3(,3)2(,0)1(
),(
???? fff
xf 使求一个二次多项式例1 0
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf ???
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
?????
????
????
cbaf
cbaf
cbaf
.,,的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba
.20,60
,40,020
32
1
???
?????
DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 ??????? DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 ??? xxxf
证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解
可视为齐次线性方程组则
点设所给三条直线交于一必要性
?
?
?
?
?
???
???
???
???
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
???
?????????
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要
直线证明平面上三条不同的 例1 1
.0])()()([
))(
2
1
(
222
???????
????
accbba
cba
bac
acb
cba
（１）
?
?
?
?
?
???
???
???
baycx
acybx
cbyax
,
,.0,
,,,
??? cba
cba
故同
也不全相所以因为三条直线互不相同
将方程组如果充分性,0 ??? cba
.
.00
,
,
唯一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
?
?
?
?
?
?
???
???
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
?????
?????????
?????
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有唯一解，即三条不同方程组
从而知有唯一解组由克莱姆法则知，方程
故，与题设矛盾得
再由得由不妨设
?
?
??????
cb
ba
c
cbabacba
例 12 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千
克含氮 70克，磷 8克，钾 2克；乙种化肥每千克含
氮 64克，磷 10克，钾 0.6克；丙种化肥每千克含氮
70克，磷 5克，钾 1.4克．若把此三种化肥混合，要
求总重量 23千克且含磷 149克，钾 30克，问三种化
肥各需多少千克？
解
题意得方程组
依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 ３２,1 xxx
?
?
?
?
?
???
???
???
.304.16.02
,1495108
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,527??D此方程组的系数行列式
8127581 321 ?????? DDD,，又
.15,5,3 32 ??? xxx １
组有唯一解由克莱姆法则，此方程
.15
,5,3
千克
千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥
).(40,15
52.1355.1357.1360.13
3020100
:
.)(
00
0000
3
3
2
210
准确到小数两位时水银密度求
由实验测得以下数据
的关系为与温度设水银密度
?
????
t
h
t
tatataath
th
例 13
)1(
.52.132 7 0 0 090030
,55.138 0 0 040020
,57.131 0 0 010010
,6.13
),(
3210
3210
3210
0
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
aaaa
aaaa
aaaa
a
th 得方程组将测得的数据分别代入
解
)2(
.0 0 8.02 7 0 0903
,0 0 5.08 0 0402
,0 0 3.01 0 010
,60.13
321
321
321
0
?
?
?
?
?
????
????
????
?
aaa
aaa
aaa
a 得方程组分别代入其余三个方程将
,12 00 0?D此方程组的系数行列式
.0 0 0 0 0 3 3.0
,0 0 0 1 5.0
,0 0 4 2.0
)2(,
3
2
1
??
?
??
a
a
a
的唯一解得方程组由克莱姆法则
,04.0,8.1,50 321 ????? DDD又
得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha ?
由此得
.0 0 0 0 0 3 3.0
0 0 0 1 5.00 0 4 2.060.13)(
3
2
t
ttth
?
???
.46.13,56.13,40,15,00 水银密度分别为时当所以 ?t
.46.13)40(,56.13)15( ?? hh
第一章 测试题
一、填空题 (每小题 4分，共 40分 )
????? ijijn aDaaD 则若,.1
?
???
132
213
321
3
321
,0,,.2
xxx
xxx
xxx
qpxxxxx
列式
则行的三个根是方程设
行列式,3
??
10000
00001 9 9 8
0001 9 9 70
00200
01000
?
?
?
??????
?
?
D
?
44
33
22
11
00
00
00
00
,4
ab
ab
ba
ba
四阶行列式
????
?
44342414
4
,.5
AAAA
cdba
acbd
adbc
dcba
D
则
设四阶行列式
的符号为在五阶行列式中 3524415312,6 aaaaa
? ? 的系数是中在函数 3
21
112
,7 x
x
xxx
x
xf ??
?
?
?
??
??
??
abcd
badc
cdab
dcba
四阶行列式,8
,,,.9 时且则当为实数若 ?? baba
0
101
0
0
?
??
? ab
ba
二、计算下列行列式 (每小题 9分，共 18分 )．
01122
10321
01132
22113
13211
,1
5
?
??
??
?D
.
,10
121
121
iiii
iiii
nn
nn
?
?
?
? 次对换后变为排列可经排列
xzzz
yxzz
yyxz
yyyx
D
n
?
?????
?
?
?
?,2
齐次方程组取何值问,,??
?
?
?
?
?
???
???
???
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
三、解答题 (9
分 )．
四、证明 (每小题 8分，共 24分 )．
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?;0
321
321
321
321
,1
2222
2222
2222
2222
?
???
???
???
???
dddd
cccc
bbbb
aaaa
?
?
?
?
c os21
1c os21
1
1
1c os21
1c os2
,2
??
??
?
n
D
? ? ;
s i n
1s i n
?
??? n
用数学归纳法证明,3
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
D
?
?
?????
?
?
?
321
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
????
?
? ? ? ? ? ?2,121 ??????? ??? nxxxxx jinijn?
五,(9分 ) 设 行列式n
n
n
D
n
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
321
?
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA ??? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
.
2
1
,10 ;0,0,9;,8 ;2,7 ;.6;0,5 ;,4;!1 9 9 8,3 ;0,2 ;1,1
2
2222
41413232
?
?????
??
??
nn
dcba
bbaabbaa
a
n
一、
? ? ? ?,,2 ;17 0,1
zy
yxzzxy nn
?
????二、
.00 ?? ?? 或三,.11!
2
?
?
??
?
? ??
?
n
j j
n五、
测试题答案
? 一、总结
? 二、习题
把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元
素的 全排列 （或 排列 ）．
n n
个不同的元素的所有排列的种数用 表示，
且,
n nP
!nPn ?
１ 全排列
逆序数为奇数的排列称为 奇排列,逆序数为
偶数的排列称为 偶排列,
在一个排列 中，若数,
则称这两个数组成一个 逆序,
? ?nst iiiii ???21 st ii ?
一个排列中所有逆序的总数称为此排列的 逆
序数,
２ 逆序数
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数
码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数．
方法 2
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的
数码之和，即分别算出 这 个元素
的逆序数，这 个元素的逆序数之总和即为所求
排列的逆序数．
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ??
n
３ 计算排列逆序数的方法
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元
素不动，称为一次对换．将相邻两个元素对调，
叫做相邻对换．
定理 一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数．
４ 对 换
? ?
nppp
ppp
t
nnnn
n
n
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D ?
?
???????
?
?
?
21
21
22221
11211
21
21
1? ???
５ n阶行列式的定义
.
,,2,1;;,,2,1
21
21
列取和
的所有排表示对个排列的逆序数
为这的一个排列为自然数其中
n
tnppp
ppp
n
n
?
??
?
?
.
,)1(
21
21
21
21
的逆序数为行标排列其中
亦可定义为阶行列式
pppt
aaaD
Dn
n
nppp
ppp
t
n
n
?
?
?
? ??
.,
)()4
.
,)()3
.),()2
.DD,1)
T
乘此行列式等于用数一数
中所有的元素都乘以同列行列式的某一行
等于零
则此行列式完全相同列如果行列式有两行
行列式变号列互换行列式的两行
即式相等行列式与它的转置行列
kk
?
６ n阶行列式的性质
.,)(
,)( )8
.
,)( )7
.
,)( )6
.
)( )5
行列式的值不变对应的元素上去行后加到另一列
然的各元素乘以同一数行把行列式的某一列
式之和此行列式等于两个行列
则的元素都是两数之和行若行列式的某一列
式为零
则此行列元素成比例列行列式中如果有两行
提到行列式符号的外面
以的所有元素的公因子可列行列式中某一行
１）余子式与代数余子式
.
,)1(
1
的代数余子式叫做元素；记的余子式，记作
阶行列式叫做元素列划去后，留下来的
行和第所在的第阶行列式中，把元素在
aA
MA
M
anj
ian
ijij
ij
ji
ij
ij
ij
ij
??
?
?
７ 行列式按行（列）展开
２）关于代数余子式的重要性质
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
?
?
?
?
???
?
?
.,0;,1
.,0;,
.,0;,
1
1
ji
ji
ji
jiD
DAa
ji
jiD
DAa
ij
ijjk
n
k
ik
ijki
n
k
ki
当
当
其中
当
当
或
当
当
?
?
?
８ 克拉默法则
.,
,,2,1
.,,2,1,
,0
.
,
,
1
2211
22222121
11212111
所得到的行列式，换成常数项
列中第）是把系数行列式（其中
那么它有唯一解的系数行列式
如果线性方程组
２ bbb
jDnjD
nj
D
D
x
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
n
j
j
j
nnnnnn
nn
nn
?
?
?
?
??????????????
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
克拉默法则的理论价值
.,0
.
,
,
2211
22222121
11212111
唯一那么它一定有解，且解的系数行列式
如果线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
D
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
nnnnnn
nn
nn
?
??????????????
?
?
.
必为零解，则它的系数行列式
解或有两个不同的如果上述线性方程组无定理
定理
.,0
.0
,0
,0
2211
2222121
1212111
那么它没有非零解的系数行列式
如果齐次线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
D
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
nnnnn
nn
nn
?
??????????????
?
?
.
它的系数行列式必为零
组有非零解，则如果上述齐次线性方程
定理
定理
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
典 型 例 题
分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之
和，即算出排列中每个元素的逆序数．
? ? ? ? ? ? ? ?
? ?,,1
3232221212
并讨论奇偶性的逆序数
求排列
kk
kkkk
?
??? ?
解
例１
一、计算排列的逆序数;0,2 故逆序数为排在首位k;1),2(11 故逆序数为大的数有一个的前面比 k;1
),2()12()12(
逆序数为
故大的数有一个的前面比 kkk ??;2
),12,2(22
数为
故逆序大的数有两个的前面比 ?kk;2),1
2,2(2222
故逆序数为
大的数有两个的前面比 ??? kkkk
??????;1),2,
,12,2(111
??
????
kk
kkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比
?;1),2,
,12,2(111
??
????
kk
kkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比
?;
),1,,12,2(
k
kkkkkk
故逆序数为
个大的数有的前面比 ?? ?
? ? ? ? kkkt ??????????? 1122110 ?
? ?? ?? ? kkk ?????
2
1112
2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列．k
于是排列的逆序数为
１ 用定义计算（证明）
例２ 用行列式定义计算
000
000
000
5352
4342
3534333231
2524232221
1312
5
aa
aa
aaaaa
aaaaa
aa
D ?
二、计算（证明）行列式
的非零元素分别得到
行可能中第那么，由
行的元素分别为中第设
5,4,3,2,1,,,
,,5,4,3,2,1
5543
215
543
21
Daaa
aaD
ppp
pp
解
.3,2;3,2;5,4,3,2,1;5,4,3,2,1;3,2
543
21
???
??
ppp
pp
.0
5
,,,,,
5
54321
?D
ppppp
故
元排列也不能组成，一个
在上述可能取的代码中因为
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准
顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注
意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般
方法．
.
2 于零还多，则此行列式必等
素比阶行列式中等于零的元如果一个
nn
n
?
注意
例３ 设
,
21
22221
11211
1
aaa
aaa
aaa
D
nnnn
n
n
?
????
?
?
?
,
2
2
1
1
2
22221
1
1
1
1211
2
ababa
baaba
babaa
D
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
?
????
?
?
??
?
??
?
.2DD ?１证明：
证明 由行列式的定义有
.
,)1(
21
211 21
的逆序数是排列其中 pppt
aaaD
n
pnpp
t
n
?
?? ??
.
,)1(
)())(()1(
21
)()21(
21
2
2
1
12
21
21
2
2
1
1
的逆序数是排列其中 pppt
baaa
bababaD
n
pppn
pnpp
t
pn
pn
p
p
p
p
t
n
n
n
n
?
?
?
?? ???????
???
? ??
? ??
,212 nppp n ??????? ??１而
.)1( 1212 21 DaaaD ppp nnt ?? ?? ?所以
评注 本题证明两个行列式相等，即证明两
点，一是两个行列式有完全相同的项，二是每一
项所带的符号相同．这也是用定义证明两个行列
式相等的常用方法．
２ 利用范德蒙行列式计算
例４ 计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德
蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列
式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
.333
222
111
2
2
2
nnn
D
n
n
n
n
?
????
?
?
?
?
，于是得到增至幂次数便从
则方若提取各行的公因子，递升至而是由
变到序排列，但不是从次数自左至右按递升次
方幂数的不同方幂中各行元素分别是一个
10
.1,1
0
,
?
?
n
nn
D n
解
.
1
3331
2221
1111
!
12
12
12
nnn
nD
n
n
n
n
?
?
?
?
?
?????
?
?
?
上面等式右端行列式为 n阶范德蒙行列式，由
范德蒙行列式知
!.1!2)!2()!1(!
)]1([)2()24)(23(
)1()13)(12(!
)(!
1
?
??
?
???
??????
????
? ??
???
nnn
nnn
nn
xxnD
jin
jin
评注 本题所给行列式各行（列）都是某元
素的不同方幂，而其方幂次数或其排列与范德蒙
行列式不完全相同，需要利用行列式的性质（如
提取公因子、调换各行（列）的次序等）将此行
列式化成范德蒙行列式．
３ 用化三角形行列式计算
例５ 计算
.
4321
321
321
321
1
xaaaa
aaxaa
aaaxa
aaaax
D n
n
n
n
?
??????
?
?
?
??
解 列都加到第一列，得将第 1,,3,2 ?n?
xaaax
axaax
aaxax
aaaax
D
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
n
?
????
?
?
?
32
1
2
1
2
1
21
1
1
??
??
??
??
?
?
?
?
?
?
提取第一列的公因子，得
.
1
1
1
1
)(
32
2
2
21
1
1
xaa
axa
aax
aaa
axD n
n
n
n
i
in
?
?????
?
?
?
???
?
?
后一列，得
倍加到最列的将第列，倍加到第
列的列，将第倍加到第列的将第
２ )(1,3)(
12)(1 1
aa
a
n??
?
?
.)()(
11
? ????
??
n
i i
n
i i
axax
axaaaa
axaa
ax
axD
n
n
i
in
???
??
?
???
?
?
?
????
?
?
?
2312
212
1
1
1
1
01
001
0001
)(
评注 本题利用行列式的性质，采用, 化零,
的方法，逐步将所给行列式化为三角形行列式．
化零时一般尽量选含有１的行（列）及含零较多
的行（列）；若没有１，则可适当选取便于化零
的数，或利用行列式性质将某行（列）中的某数
化为 1；若所给行列式中元素间具有某些特点，则
应充分利用这些特点，应用行列式性质，以达到
化为三角形行列式之目的．
，得提取公因子
行中行，并从第行都加到第、、的第将
dcba
D
???
114324
４ 用降阶法计算
例６ 计算,4
abcd
badc
cdab
dcba
D ?
解
,
1111
)(4
abcd
badc
cdab
dcbaD ????
列，得列都减去第、、再将第 1432,
0001
)(4
dadbdcd
cbcacdc
bcbdbab
dcbaD
???
???
???
????
行展开，得按第 1,)(
4
dadbdc
cbcacd
bcbdba
dcbaD
???
???
???
????
，得中提取公因子
行行，再从第行加到第把上面右端行列式第
dcba ???
112
,
011
))((
dadbdc
cbcacd
dcbadcbaD
???
????
???????４
列，得列减去第再将第 12
行展开，得按第 1
])()([))(( 22 cbdadcbadcba ???????????
))((
))((
dcbadcba
dcbadcba
???????
???????
,
001
))((4
dacbdc
cbdacd
dcbadcbaD
???
????
???????
dacb
cbdadcbadcba
D ??
????????? ))((
４
评注 本题是利用行列式的性质将所给行列
式的某行（列）化成只含有一个非零元素，然后
按此行（列）展开，每展开一次，行列式的阶数
可降低 1阶，如此继续进行，直到行列式能直接
计算出来为止（一般展开成二阶行列式）．这种
方法对阶数不高的数字行列式比较适用．
５ 用拆成行列式之和（积）计算
例７ 证明
.0
2s i n)s i n ()s i n (
)s i n (2s i n)s i n (
)s i n ()s i n (2s i n
?
??
??
??
?????
?????
?????
证,0
000
s i ns i ns i n
co sco sco s
0co ss i n
0co ss i n
0co ss i n
??? ???
???
??
??
??
左边
６ 用递推法计算
例８ 计算,2
1
xaaa
axaa
aaxa
D
n
n
?
?
?
?
?
????
?
?
解 拆成两个行列式之和列把依第 Dn n
aaaa
axaaa
aaxaa
aaaxa
D
n
n
?
?
????
?
?
1
2
1
??
?
?
?
.
0
0
0
1
2
1
xaaa
xaaa
axaa
aaxa
n
n
?
?
?????
?
?
??
?
?
?
.1121 DxaxxxD nnnn ?? ?? ?从而
得列展开
第右端的第二个行列式按列加到第
倍分别列的将第右端的第一个行列式
,
,1,,2,1
)1(,
nn
n
?
?
?,
000
00
00
00
1
1
2
1
Dx
a
ax
ax
ax
D nn
n
n ?
?
??
?
?
?????
?
?
由此递推，得
.
,
21
22121
212211
Dxx
xaxxxaxxxD
DxaxxxD
nnn
nnnn
nnnn
??
??
????
?
??
??
??
?
１
于是
如此继续下去，可得
Dxxxxxaxx
xaxxxaxxxD
nnn
nnnn
231421
22121
??
???
?
??
??
??? １
)( 212131
421
22121
xxxaxaxxx
xxaxx
xaxxxaxxx
nn
n
nnn
???
??
??
?
??
?
??
?? １
).
(
3231
12121
xxxxxx
xxxaxxx
nn
nn
??
???
??
??? ?
时，还可改写成当 021 ?xxx n?
) ],111(1[
21
21 xxxaxxxD
n
nn ????? ??
评注
.
1 1
.1
,1
1
的递推关系列式更低阶行列式之间
阶行，建立比阶更低阶的行列式表示比
用同样形式的阶行列式时，还可以把给定的
有之间的递推关系阶行列式与建立了
阶行列式表示出来用同样形式的行列式
阶质把所给的本题是利用行列式的性
??
?
?
?
nn
Dn
DnD
nD
n
n
nn
n
７ 用数学归纳法
例９ 证明
.co s
co s21000
1000
00co s210
001co s21
0001co s
?
?
?
?
?
n
D n
?
?
?
??
??????
?
?
?
证 对阶数 n用数学归纳法
.,2,1,
,2c o s1c o s2
2c o s1
1c o s
,c o s
2
2
1
结论成立时当所以
因为
??
????
?
nn
D
D
??
?
?
?
得展开
按最后一行现将的行列式也成立于阶数等于
下证对的行列式结论成立假设对阶数小于
,
.
,
Dn
n
n
.c o s2 21 DDD nnn ?? ?? ?
,)2co s (
,)1co s (,
2
1
?
?
??
??
?
?
nD
nD
n
n由归纳假设;co s
)2co s (])2co s ([ co s
)2co s ()1co s (co s2
?
???
???
n
nnn
nnD n
?
?????
????
.结论成立所以对一切自然数 n
评注
.
,)1(1
,)(,
,
2
1
同型的行列式是与
不否则所得的低阶行列式展开列或第行按第
不能展开列或第行本例必须按第表示
展开成能用其同型的为了将
D
nnD
DD
n
n
nn
?
?
.
,,.
,
,,
其猜想结果成立然后用数学归纳法证明
也可先猜想其结果如果未告诉结果纳法来证明
可考虑用数学归结论时证明是与自然数有关的
而要我们当行列式已告诉其结果一般来讲
计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可
以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方
法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式
在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变
换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
小结
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、
且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为
了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适
当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数
的线性方程组后再求解．
三、克拉默法则
.28)3(,3)2(,0)1(
),(
???? fff
xf 使求一个二次多项式例1 0
解 设所求的二次多项式为
,)( 2 cbxxaxf ???
由题意得
,2839)3(
,324)2(
,0)1(
?????
????
????
cbaf
cbaf
cbaf
.,,的线性方程组数这是一个关于三个未知 cba
.20,60
,40,020
32
1
???
?????
DD
DD
由克莱姆法则，得
.1,3,2 321 ??????? DDcDDbDDa
于是，所求的多项式为
.132)( 2 ??? xxxf
证
..
0
,0
,0
1,,
),,(
00
00
从而有系数行列式的非零解
可视为齐次线性方程组则
点设所给三条直线交于一必要性
?
?
?
?
?
???
???
???
???
bzaycx
azcybx
czbyax
zyyxx
yxM
.0
0,0,0
???
?????????
cba
baycxacybxcbyax
条件是相交于一点的充分必要
直线证明平面上三条不同的 例1 1
.0])()()([
))(
2
1
(
222
???????
????
accbba
cba
bac
acb
cba
（１）
?
?
?
?
?
???
???
???
baycx
acybx
cbyax
,
,.0,
,,,
??? cba
cba
故同
也不全相所以因为三条直线互不相同
将方程组如果充分性,0 ??? cba
.
.00
,
,
唯一解下证此方程组（２）有
（２）
到第三个方程，得的第一、二两个方程加
?
?
?
?
?
?
???
???
acybx
cbyax
.00)(
2)]([)(
00
22
222
22
?????
?????????
?????
accaac
cacacaaccab
bacbac
cb
ba
，从而有
，于是得
。由，则如果
.)1(
.)2(
.0
.0
0.0,0
2
直线交于一点有唯一解，即三条不同方程组
从而知有唯一解组由克莱姆法则知，方程
故，与题设矛盾得
再由得由不妨设
?
?
??????
cb
ba
c
cbabacba
例 12 有甲、乙、丙三种化肥，甲种化肥每千
克含氮 70克，磷 8克，钾 2克；乙种化肥每千克含
氮 64克，磷 10克，钾 0.6克；丙种化肥每千克含氮
70克，磷 5克，钾 1.4克．若把此三种化肥混合，要
求总重量 23千克且含磷 149克，钾 30克，问三种化
肥各需多少千克？
解
题意得方程组
依千克、、各需设甲、乙、丙三种化肥 ３２,1 xxx
?
?
?
?
?
???
???
???
.304.16.02
,1495108
,23
321
321
321
xxx
xxx
xxx
,527??D此方程组的系数行列式
8127581 321 ?????? DDD,，又
.15,5,3 32 ??? xxx １
组有唯一解由克莱姆法则，此方程
.15
,5,3
千克
千克千克各需即甲、乙、丙三种化肥
).(40,15
52.1355.1357.1360.13
3020100
:
.)(
00
0000
3
3
2
210
准确到小数两位时水银密度求
由实验测得以下数据
的关系为与温度设水银密度
?
????
t
h
t
tatataath
th
例 13
)1(
.52.132 7 0 0 090030
,55.138 0 0 040020
,57.131 0 0 010010
,6.13
),(
3210
3210
3210
0
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
?
aaaa
aaaa
aaaa
a
th 得方程组将测得的数据分别代入
解
)2(
.0 0 8.02 7 0 0903
,0 0 5.08 0 0402
,0 0 3.01 0 010
,60.13
321
321
321
0
?
?
?
?
?
????
????
????
?
aaa
aaa
aaa
a 得方程组分别代入其余三个方程将
,12 00 0?D此方程组的系数行列式
.0 0 0 0 0 3 3.0
,0 0 0 1 5.0
,0 0 4 2.0
)2(,
3
2
1
??
?
??
a
a
a
的唯一解得方程组由克莱姆法则
,04.0,8.1,50 321 ????? DDD又
得将以上四个数代入又 ),(,60.130 tha ?
由此得
.0 0 0 0 0 3 3.0
0 0 0 1 5.00 0 4 2.060.13)(
3
2
t
ttth
?
???
.46.13,56.13,40,15,00 水银密度分别为时当所以 ?t
.46.13)40(,56.13)15( ?? hh
第一章 测试题
一、填空题 (每小题 4分，共 40分 )
????? ijijn aDaaD 则若,.1
?
???
132
213
321
3
321
,0,,.2
xxx
xxx
xxx
qpxxxxx
列式
则行的三个根是方程设
行列式,3
??
10000
00001 9 9 8
0001 9 9 70
00200
01000
?
?
?
??????
?
?
D
?
44
33
22
11
00
00
00
00
,4
ab
ab
ba
ba
四阶行列式
????
?
44342414
4
,.5
AAAA
cdba
acbd
adbc
dcba
D
则
设四阶行列式
的符号为在五阶行列式中 3524415312,6 aaaaa
? ? 的系数是中在函数 3
21
112
,7 x
x
xxx
x
xf ??
?
?
?
??
??
??
abcd
badc
cdab
dcba
四阶行列式,8
,,,.9 时且则当为实数若 ?? baba
0
101
0
0
?
??
? ab
ba
二、计算下列行列式 (每小题 9分，共 18分 )．
01122
10321
01132
22113
13211
,1
5
?
??
??
?D
.
,10
121
121
iiii
iiii
nn
nn
?
?
?
? 次对换后变为排列可经排列
xzzz
yxzz
yyxz
yyyx
D
n
?
?????
?
?
?
?,2
齐次方程组取何值问,,??
?
?
?
?
?
???
???
???
02
0
0
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
三、解答题 (9
分 )．
四、证明 (每小题 8分，共 24分 )．
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?
? ? ? ? ? ?;0
321
321
321
321
,1
2222
2222
2222
2222
?
???
???
???
???
dddd
cccc
bbbb
aaaa
?
?
?
?
c os21
1c os21
1
1
1c os21
1c os2
,2
??
??
?
n
D
? ? ;
s i n
1s i n
?
??? n
用数学归纳法证明,3
n
n
nnn
n
n
nnn
n
n
n
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
D
?
?
?????
?
?
?
321
22
3
2
2
2
1
22
3
2
2
2
1
321
1111
????
?
? ? ? ? ? ?2,121 ??????? ??? nxxxxx jinijn?
五,(9分 ) 设 行列式n
n
n
D
n
?
?????
?
?
?
001
0301
0021
321
?
求第一行各元素的代数余子式之和
.11211 nAAA ??? ?
? ?
? ?? ?
? ?
? ?
.
2
1
,10 ;0,0,9;,8 ;2,7 ;.6;0,5 ;,4;!1 9 9 8,3 ;0,2 ;1,1
2
2222
41413232
?
?????
??
??
nn
dcba
bbaabbaa
a
n
一、
? ? ? ?,,2 ;17 0,1
zy
yxzzxy nn
?
????二、
.00 ?? ?? 或三,.11!
2
?
?
??
?
? ??
?
n
j j
n五、
测试题答案
