§ 3.1矩阵的初等变换
? 一、消元法解线性方程组
? 二、矩阵的初等变换
? 三、小结
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩
阵的秩的概念,并提出求秩的有效方
法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次
线性方程组有解的充分必要条件，并介绍
用初等变换解线性方程组的方法．内容丰
富，难度较大,
引例
)1(
一、消元法解线性方程组
求解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
?
2?
1
3
2
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????
????
????
????
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32 ?
3
3? 14 ?
?
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????
?????
???
????
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
)( 3B
)( 4B
?
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??
???
????
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
?
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?
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?
?
?
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??
???
????
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得 ?
?
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??
??
??
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx ?
,
3
3
4
4
3
2
1
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c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
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3
0
3
4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如
下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的
方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种
变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji ?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
4、增广矩阵
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的
系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
97963
42264
41211
21112
)( bAB
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方
程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
? ? ）；记作两行对调两行（对调 ji rrji ?,,1
? ? ;02 乘以某一行的所有元素以数 ?k
）记作行乘（第 krki i ?,
? ?
.
3
）记作
行上倍加到第行的对应的元素上去（第
倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
?
二、矩阵的初等变换
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为
初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型
相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是
把,r”换成,c”)．
ji rr ?
kri ?
逆变换 ;ji rr ?
逆变换 ;)1( krkr ii ?? 或
ji krr ? 逆变换,)( jiji krrrkr ??? 或
等价关系的性质：；反身性）（ A A 1 ?
A;B,B A 2 ?? 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 ??? 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
??
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97963
42264
41211
21112
B
1
97963
21132
21112
41211
B?
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21 rr ?
23 ?r
3
31000
62000
01110
41211
B?
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97963
21132
21112
41211
1
B
13
32
2rr
rr
?
?
14 3rr ?
2
34330
63550
02220
41211
B?
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???
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13
32
2rr
rr
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14 3rr ?
23
2
5
2
rr
r
?
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24 3rr ?
5
00000
31000
30110
40101
B?
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31000
62000
01110
41211
3
B
43 rr ?
34 2rr ?
4
00000
31000
01110
41211
B?
??
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?
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43 rr ?
34 2rr ?
21 rr ?
32 rr ?
对应的方程组为5B ?
?
?
?
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??
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
方程组的解可记作或令,3 cx ?
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3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
??
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3
0
3
4
0
1
1
1
c
.为任意常数其中 c
.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出
一条阶梯线，线
的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 2）、每个
台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面
的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非
零元．
.
1
5
的其他元素都为零
列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为
即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形
总可经过有限次初等行对于任何矩阵 ?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行
阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标
准形．
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
31000
30110
40101
5
B
214 ccc ??
3215 334 cccc ???
例如，
F?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
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00000
00100
00010
00001
??
?
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?
?
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?
?
0000
3010
3101
4100
43 cc ?
??
?
?
?
?
?
?
0000
30100
30010
40001
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
.为零
阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm ?
nm
r
OO
OEF
?
?
?
??
?
??
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行
就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简
单的矩阵,
A
F
例 1 设 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
032
203
120
A
把 )E,A( 化成行最简。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100031
010203
001120
)E,A(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649190
001120
010203
~
23
3
21
2rr
3r
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649100
001120
0102-03
~
2r
9rr
3
23 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649100
64-8-02-0
12918003
~
31
32
2rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
649100
324010
436001
~
3r
)2(r
1
2
三、小结
1.初等行 (列 )变换
? ? ? ?;1 jiji ccrr ??
? ? ? ?;2 kckr ii ??
? ? ? ?.3 jiji kcckrr ???
?
?
?
?
?
?
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相
同．
3.矩阵等价具有的性质
? ? ;1 反身性 ? ? ;2 对称性 ? ?,3 传递性
2,A 初等变换 B A~行阶梯形矩阵 ~行最简型
矩阵 ~标准型
§ 3.2 初等矩阵
? 一、初等矩阵的概念
? 二、初等矩阵的应用
? 三、小结
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应
用广泛,
一、初等矩阵的概念
?
?
?
?
?
?
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数
乘某行或某列；以数
对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE ?
对调两行或两列、1
?
?
?
?
?
?
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?
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?
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?
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?
?
?
?
?
?
?
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1
1
01
1
1
10
1
1
),(
?
?
???
?
?
jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm ?? )(),(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
?
???
?
???
?
???
?
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
?行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以
类似地，
AjiEn n ),(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
???
????
???
???
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
?列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数 ?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
))((
?
?
kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
?
???
?
???
?
21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
?列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以
上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03 ?k
，列上列加到第的第乘或以
行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
))((
?
?
?
?
k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
?
???
?
???
?
???
?
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA ?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
?列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
???
????
???
???
1
222221
111111
))((
1,定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一
次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的
阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于
在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
二、初等矩阵的应用
),(),( 1 ；则
的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
?
?
?
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
?
??
?则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
??
???
?则
，的逆变换为变换
2、变换的逆变换
定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等
方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP ?? ?使
证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP ?
APEPPPP lrr ?? ?? 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
?
?
使阶可逆方阵及阶可逆方阵
存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故
利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA ?21 0 ??
,11111 EAPPP ll ????? ?,111111 ????? ? AEPPP ll ?及
? ?EPPPAPPP llll 1111111111 ????????? ??
? ?1?? AE
? ?EAPPP ll 11111 ????? ?
,
)(2
1?
?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把
施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AA 求设
解
例１
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
103620
012520
001321
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1034
010122
001321
EA
12 2rr ?
13 3rr ?
21 rr ?
23 rr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
111100
012520
011201
21 rr ?
23 rr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
?
111100
563020
231001
31 2rr ?
32 5rr ?
31 2rr ?
32 5rr ?
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
?
?
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?
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?? ?A
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?
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
,
1 BA ?矩阵
的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA ?? ??
)( BA
BA 1?
即
初等行变换
例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
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BA
BAXX,其中使求矩阵
解,1 BAXA ??可逆，则若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34343
13122
52321
)( BA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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????
????
122620
91520
52321
?
?
?
?
?
?
?
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???
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31100
91520
41201
?
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?
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31100
64020
2301
12 2rr ?
13 3rr ?
21 rr ?
23 rr ?
31 2rr ?
32 5rr ?
，
?
?
?
?
?
?
?
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31100
32010
23001
.
31
32
23
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???? X
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
?
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?
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?
???
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31100
64020
23001
31 2rr ?
32 5rr ?
三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
? ? ? ? ;1 ?
?
??
?
?
E
AEA 或构造矩阵 ?
? ? ? ?
.,,
(,
,2
1
1
?
?
?
?
?
?
?
?
AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换
施行初等列或对对应部分即为右边后
化为单位矩阵将施行初等行变换对 ?
相关习题
? 一、消元法解线性方程组
? 二、矩阵的初等变换
? 三、小结
本章先讨论矩阵的初等变换，建立矩
阵的秩的概念,并提出求秩的有效方
法．再利用矩阵的秩反过来研究齐次线性
方程组有非零解的充分必要条件和非齐次
线性方程组有解的充分必要条件，并介绍
用初等变换解线性方程组的方法．内容丰
富，难度较大,
引例
)1(
一、消元法解线性方程组
求解线性方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
????
,97963
,42264
,42
,22
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
分析：用消元法解下列方程组的过程．
2?
解
)( 1B)1(
)( 2B
?
2?
1
3
2
?
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????
????
????
????
,97963
,232
,22
,42
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
1
3
4
2
2? 1
32 ?
3
3? 14 ?
?
?
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?
????
?????
???
????
,3433
,6355
,0222
,42
432
432
432
4321
xxx
xxx
xxx
xxxx
1
3
4
2
)( 3B
)( 4B
?
?
?
?
?
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??
??
???
????
,3
,62
,0
,42
4
4
432
4321
x
x
xxx
xxxx
1
3
4
2
5?
2 21?
3
3?4
2
2
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?
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?
?
?
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??
???
????
,00
,3
,0
,42
4
432
4321
x
xxx
xxxx
1
3
4
2?3
2?4
4
3
用“回代”的方法求出解：
于是解得 ?
?
?
?
?
??
??
??
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
.3 为任意取值其中 x
方程组的解可记作或令,3 cx ?
,
3
3
4
4
3
2
1
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c
c
c
x
x
x
x
x
.为任意常数其中 c
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3
0
3
4
0
1
1
1
cx即
（ 2）
小结：
1．上述解方程组的方法称为消元法．
2．始终把方程组看作一个整体变形，用到如
下三种变换
（ 1）交换方程次序；
（ 2）以不等于０的数乘某个方程；
（ 3）一个方程加上另一个方程的 k倍．
i j（ 与 相互替换）
（以 替换 ）i k? i
j（以 替换 ）i k? i
3．上述三种变换都是可逆的．
由于三种变换都是可逆的，所以变换前的
方程组与变换后的方程组是同解的．故这三种
变换是同解变换．
ji)(A若
),(B? )(B则 );(Aji ?
k?)(A若 ),(Bji
)(A若 ),(Bi k? )(B则 );(Ai k?
)(B则 ).(Ak? ji
4、增广矩阵
因为在上述变换过程中，仅仅只对方程组的
系数和常数进行运算，未知量并未参与运算．
若记
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
??
?
??
??
97963
42264
41211
21112
)( bAB
则对方程组的变换完全可以转换为对矩阵 B(方
程组（ 1）的增广矩阵）的变换．
定义 1 下面三种变换称为矩阵的初等行变换,
? ? ）；记作两行对调两行（对调 ji rrji ?,,1
? ? ;02 乘以某一行的所有元素以数 ?k
）记作行乘（第 krki i ?,
? ?
.
3
）记作
行上倍加到第行的对应的元素上去（第
倍加到另一行把某一行所有元素的
ji krr
ikj
k
?
二、矩阵的初等变换
定义 2 矩阵的 初等列变换 与 初等行变换 统称为
初等变换．
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型
相同．
同理可定义矩阵的初等列变换 (所用记号是
把,r”换成,c”)．
ji rr ?
kri ?
逆变换 ;ji rr ?
逆变换 ;)1( krkr ii ?? 或
ji krr ? 逆变换,)( jiji krrrkr ??? 或
等价关系的性质：；反身性）（ A A 1 ?
A;B,B A 2 ?? 则若对称性）（
C,AC,BB,A 3 ??? 则若）传递性（
．等价，记作与就称矩阵
，矩阵经有限次初等变换变成如果矩阵
BABA
BA
~
具有上述三条性质的关系称为等价．
例如，两个线性方程组同解，
就称这两个线性方程组等价
用矩阵的初等行变换 解方程组（ 1）：
??
?
?
?
?
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?
?
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??
?
97963
42264
41211
21112
B
1
97963
21132
21112
41211
B?
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?
?
?
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21 rr ?
23 ?r
3
31000
62000
01110
41211
B?
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97963
21132
21112
41211
1
B
13
32
2rr
rr
?
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14 3rr ?
2
34330
63550
02220
41211
B?
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?
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???
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?
13
32
2rr
rr
?
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14 3rr ?
23
2
5
2
rr
r
?
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24 3rr ?
5
00000
31000
30110
40101
B?
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31000
62000
01110
41211
3
B
43 rr ?
34 2rr ?
4
00000
31000
01110
41211
B?
??
?
?
?
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?
?
?
?
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?
43 rr ?
34 2rr ?
21 rr ?
32 rr ?
对应的方程组为5B ?
?
?
?
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??
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??
3
3
4
4
32
31
x
xx
xx
方程组的解可记作或令,3 cx ?
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3
3
4
4
3
2
1
c
c
c
x
x
x
x
x
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3
0
3
4
0
1
1
1
c
.为任意常数其中 c
.54 都称为行阶梯形矩阵和矩阵 BB
特点：
（ 1）、可划出
一条阶梯线，线
的下方全为零；
5
00000
31000
30110
40101
B?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
（ 2）、每个
台阶 只有一行，
台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面
的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非
零元．
.
1
5
的其他元素都为零
列，且这些非零元所在的零行的第一个非零元为
即非还称为行最简形矩阵，行阶梯形矩阵 B
.
,A nm
和行最简形变换把他变为行阶梯形
总可经过有限次初等行对于任何矩阵 ?
注意,行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行
阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的．
行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成标
准形．
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
00000
31000
30110
40101
5
B
214 ccc ??
3215 334 cccc ???
例如，
F?
??
?
?
?
?
?
??
?
?
?
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00000
00100
00010
00001
??
?
?
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?
?
?
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0000
3010
3101
4100
43 cc ?
??
?
?
?
?
?
?
0000
30100
30010
40001
.的标准形称为矩阵矩阵 BF
.为零
阵，其余元素全的左上角是一个单位矩F
标准形总可经过初等变换化为矩阵 Anm ?
nm
r
OO
OEF
?
?
?
??
?
??
.
,,
的行数行阶梯形矩阵中非零行
就是三个数唯一确定，其中此标准形由 rrnm
特点：
所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，
称为一个 等价类,标准形 是这个等价类中最简
单的矩阵,
A
F
例 1 设 ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
032
203
120
A
把 )E,A( 化成行最简。
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
100031
010203
001120
)E,A(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649190
001120
010203
~
23
3
21
2rr
3r
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649100
001120
0102-03
~
2r
9rr
3
23 ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
649100
64-8-02-0
12918003
~
31
32
2rr
rr
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
649100
324010
436001
~
3r
)2(r
1
2
三、小结
1.初等行 (列 )变换
? ? ? ?;1 jiji ccrr ??
? ? ? ?;2 kckr ii ??
? ? ? ?.3 jiji kcckrr ???
?
?
?
?
?
?
初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类型相
同．
3.矩阵等价具有的性质
? ? ;1 反身性 ? ? ;2 对称性 ? ?,3 传递性
2,A 初等变换 B A~行阶梯形矩阵 ~行最简型
矩阵 ~标准型
§ 3.2 初等矩阵
? 一、初等矩阵的概念
? 二、初等矩阵的应用
? 三、小结
定义 由单位矩阵 经过一次初等变换得到的方
阵称为初等矩阵,
E
三种初等变换对应着三种初等方阵,
矩阵的初等变换是矩阵的一种基本运算，应
用广泛,
一、初等矩阵的概念
?
?
?
?
?
?
行（列）上去．乘某行（列）加到另一以数
乘某行或某列；以数
对调两行或两列；
k
k
.3
0.2
.1
，得初等方阵两行，即中第对调 )(,ji rrjiE ?
对调两行或两列、1
?
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?
?
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1
1
01
1
1
10
1
1
),(
?
?
???
?
?
jiE
行第 i?
行第 j?
，得左乘阶初等矩阵用 nmijm aAjiEm ?? )(),(
?
?
?
?
?
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mnmm
inii
jnjj
n
m
aaa
aaa
aaa
aaa
AjiE
?
???
?
???
?
???
?
21
21
21
11211
),(
行第 i?
行第 j?
).(
ji rrjiA
A
?行对调行与第的第把
：施行第一种初等行变换相当于对矩阵
，右乘矩阵阶初等矩阵以
类似地，
AjiEn n ),(
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmimjm
nij
nij
n
aaaa
aaaa
aaaa
jiAE
???
????
???
???
1
22221
11111
),(
).(
ji ccjiA
A
?列对调列与第的第把
：施行第一种初等列变换相当于对矩阵
02 乘某行或某列、以数 ?k
) ),((
)(0
kiE
krik i
矩阵
，得初等行乘单位矩阵的第以数 ??
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
1
1
1
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?
?
kkiE
行第 i?；行的第乘相当于以数 )( kriAk i ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmm
inii
n
m
aaa
kakaka
aaa
AkiE
?
???
?
???
?
21
21
11211
))((
行第 i?
类似地，
，左乘矩阵以 AkiE m ))((
).(
))((
kciAk
AkiE
i
n
?列的第乘相当于以数
，其结果矩阵右乘以
上去列加到另一行列乘某行、以数 )()(03 ?k
，列上列加到第的第乘或以
行上行加到第的第乘以
)([
)(
ij
ji
kccjiEk
krrijEk
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
1
1
1
))((
?
?
?
?
k
kijE
行第 i?
行第 j?
，左乘矩阵以 AkijE m ))((
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
???
?
mnmm
jnjj
jninjiji
n
m
aaa
aaa
aakaakaa
aaa
AkijE
?
???
?
???
?
???
?
21
21
2211
11211
))((
).( ji krrikjA ?行上加到第行乘的第把
).(
))((
ij
n
kccjkiA
AkijE
?列上加到第列乘的第把
，其结果相当于右乘矩阵类似地，以
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
mnmjmjmim
njji
njji
n
aakaaa
aakaaa
aakaaa
kijAE
???
????
???
???
1
222221
111111
))((
1,定理 1 设 是一个 矩阵，对 施行一
次初等行变换，相当于在 的左边乘以相应的
阶初等矩阵；对 施行一次初等列变换，相当于
在 的右边乘以相应的 阶初等矩阵,
nm?
m
n
A
A
AA
A
二、初等矩阵的应用
),(),( 1 ；则
的逆变换是其本身，变换
jiEjiE
rr ji
?
?
?
));
1
(())((
1
1
k
iEkiE
k
rkr ii
?
??
?则
，的逆变换为变换
,))(())((
)(
1 kijEkijE
rkrkrr jiji
??
???
?则
，的逆变换为变换
2、变换的逆变换
定理 2 设 A为可逆方阵，则存在有限个初等
方阵,,,,,2121 ll PPPAPPP ?? ?使
证,~ EA?
使即存在有限个初等方阵,,,,21 lPPP ?
APEPPPP lrr ?? ?? 121
.PPPA l?21?即
.,
:~
BPA QQnPm
BAnm
?
?
使阶可逆方阵及阶可逆方阵
存在的充分必要条件是矩阵推论
,AE 经有限次初等变换可变故
利用初等变换求逆阵的方法：
，有时，由当 lPPPAA ?21 0 ??
,11111 EAPPP ll ????? ?,111111 ????? ? AEPPP ll ?及
? ?EPPPAPPP llll 1111111111 ????????? ??
? ?1?? AE
? ?EAPPP ll 11111 ????? ?
,
)(2
1?
?
AEEA
EAnn
就变成时，原来的变成当把
施行初等行变换，矩阵即对
.,
343
122
321
1?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? AA 求设
解
例１
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
???
???
103620
012520
001321
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1034
010122
001321
EA
12 2rr ?
13 3rr ?
21 rr ?
23 rr ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
???
??
111100
012520
011201
21 rr ?
23 rr ?
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???
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111100
563020
231001
31 2rr ?
32 5rr ?
31 2rr ?
32 5rr ?
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
.
111
2
5
3
2
3
231
1
?
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?? ?A
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?
111100
2
5
3
2
3
010
231001
）（ 22 ??r
）（ 13 ??r
,
1 BA ?矩阵
的方法，还可用于求利用初等行变换求逆阵
E
)()( 11 BAEBAA ?? ??
)( BA
BA 1?
即
初等行变换
例２,
34
13
52
,
343
122
321
,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
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BA
BAXX,其中使求矩阵
解,1 BAXA ??可逆，则若
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
34343
13122
52321
)( BA
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
????
????
122620
91520
52321
?
?
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41201
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64020
2301
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21 rr ?
23 rr ?
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31
32
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）（ 22 ??r
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三、小结
1,单位矩阵 初等矩阵,一次初等变换
2,利用初等变换求逆阵的步骤是,
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E
AEA 或构造矩阵 ?
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1
1
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AEEA
E
A
AE
EAEA
对应部分即为后划为单位阵将变换
施行初等列或对对应部分即为右边后
化为单位矩阵将施行初等行变换对 ?
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