线 性 代 数
? 主讲教师,李维屿
? 讲授学时,30学时
? 办公室地点：文理院 313
? 教学时间分配表（每次课 2学时，共计 30学
时）
? 第 1次课 § 1.1 § 1.2§ 1.3
? 第 2次课 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7
? 第 3次课 习题
? 第 4次课 § 2.1 § 2.2
? 第 5次课 § 2.3 习题
? 第 6次课 习题
? 第 7次课 § 3.1 § 3.2
? 第 8次课 § 3.3 § 3.4
? 第 9次课 习题
? 第 10次课 § 4.1 § 4.2
? 第 11次课 § 4.3 § 4.4
? 第 12次课 习题
? 第 13次课 § 5.1 § 5.2
? 第 14次课 § 5.3 § 5.4 § 5.5
? 第 15次课 § 5.7 习题
关于平时分的规定：
? 一、旷课 1次扣 2分；早退、第二节才来上课的
算旷课；
? 二、旷课超过 5次，按规定向学校报告；
? 三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣 1
分；
? 四、扰乱秩序，扣 5分；
? 五、每少交一次作业，扣 1分。
第一章 行列式
? 本章由线性方程组的解法入手，引出行列
式的概念，再利用行列式的知识解决方程
组的相关问题。
? 主要内容,n阶行列式的定义、性质及其计
算方法。
§ 1.1二阶与三阶行列式
? 一、二阶行列式的引入
? 二、三阶行列式
? 三、小结
用消元法解二元线性方程组
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa ??1
??2
? ?,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa ??
? ?,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa ??
，得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入;212221121122211 baabxaaaa ??? ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（
时，当 021122211 ?? aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
?? ）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式 ?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD ???
11a 12a
22a12a
主对角线
副对角线
对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算
若记,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组
系数行列式
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD ?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x ??
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x ??
例 1
?
?
?
??
??
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组
解 12 23 ??D )4(3 ???,07 ??
11
212
1
??D
,14? 12
123
2 ?D,21??
D
Dx 1
1 ??,27
14 ??
D
Dx 2
2 ?,37
21 ????
二、三阶行列式
定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有
记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
? ? ????
.312213332112322311 aaaaaaaaa ???
(1)沙路法
三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaa ???D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
.列标
行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
(2)对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三
元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
2-43-
122-
4-21
D ?计算三阶行列式
例２
解 按对角线法则，有
?D 4)2()4()3(12)2(21 ????????????
)3(2)4()2()2(2411 ?????????????
24843264 ???????
.14??
.0
94
32
111
2
?
x
x求解方程
例 3
解 方程左端
12291843 22 ?????? xxxxD
,652 ??? xx
解得由 052 ??? xx
3.2 ?? xx 或
例 4 解线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
??
?
?
?D
? ?111 ???? ? ? ? ? ? ?132 ??????
121 ??? ? ?111 ???? ? ? ? ?122 ????? ? ? 131 ????
5??,0?
同理可得
110
311
122
1
?
?
??
?D
,5??
101
312
121
2
??
?
?
?D
,10??
011
112
221
3
?
??
?D
,5??
故方程组的解为,
,111 ?? DDx,222 ?? DDx,133 ?? DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方
程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa ??
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结
§ 1.2全排列及其逆序数
? 一、概念的引入
? 二、全排列及其逆序数
? 三、小结
一、概念的引入
引例 用 1,2,3三个数字，可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
解 1 2 3
1 2 3百位 3种放法
十位 1 2 31
个位 1 2 3
2种放法
1种放法
种放法,共有 6123 ???
二、全排列及其逆序数
同的排法？
，共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题
定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个
元素的全排列（或排列）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 表示,
n
nP
由引例 1233 ???P,6?
nPn ? )1( ?? n )2( ?? n 123 ????? !.n?同理
在一个排列 中，若数
则称这两个数组成一个逆序,
? ?nst iiiii ???21
st ii ?
例如 排列 32514 中，
定义
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个
不同的自然数，规定由小到大为 标准次序,
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的
逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数
码之和即分别算出 这 个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求
排列的逆序数,
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ?? n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆
序数,
方法 2
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010 ?????t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇
偶性,
? ? 21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
?t
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134 ???????
? ? ? ?? ? 321212 ??? nnn
解
12 ??? ?
? ?,
2
1?? nn
当 时为偶排列； 14,4 ?? kkn
当 时为奇排列, 34,24 ??? kkn
? ?1?? nt ? ?2?? n
? ?? ? 32121 ??? nnn
???? ????? ?? 1?n
??? ???? ?? ? ?
2?n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 132322212123 ???? ?
解
0?t
? ?? ?? ? kkk ?????
2
1112,2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列,k
1? 1? 2? ? ? ? ? kkk ??????? 112 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 13232221212 ???? ?
?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ? ?k
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
三、小结
思考题
分别用两种方法求排列 16352487的逆序数,
思考题解答
解 用方法 1
1 6 3 5 2 4 8 7
用方法 2
01012130 ????????t 8?
由前向后求每个数的逆序数,
.810231100 ?????????t
§ 1.3 n阶行列式的定义
? 一、概念的引入
? 二,n阶行列式的定义
? 三、小结
一、概念的引入
三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
? ?,21131 2 ???t
322311 aaa 列标排列的逆序数为
? ?,101132 ???t
偶排列
奇排列
正号?
,负号?
.)1(
321 321
333231
232221
131211
? ??? pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二,n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
?
???
?
?
?
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n ?? 2121
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1? ??
?
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同
列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa ?
5,的符号为 nnppp aaa ?21 21 ? ?,1 t?
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析
展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 ?p若,011 ?? pa
从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ??? ppp
解
0004
0030
0200
1000
? ? ? ? 43211 4321 ????? t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
分析
展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa ?
,npn ?,11 ??? np n,1,2,3 123 ????? ppnp n ?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa ?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
?
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??
.2211 nnaaa ??
解
例 3
8000
6500
1240
4321
??D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD ??
.1608541 ?????
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????;21 n??? ??
n
?
?
?
?
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnnt aaa ?? ????
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1,??? inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
?
证毕
1,行列式是一种特定的算式，它是根据求解
方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需
要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同
行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排
列的逆序数决定,
n
n
!n
三、小结
思考题
已知
? ?
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
?
?
.3 的系数求 x
思考题解答
解 含 的项有两项,即3x ? ?
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
?
?
对应于
? ? ? ? 4334221112341 aaaat??? ? 443322111 aaaat?
? ?,1 344332211 xaaaat ??
? ? ? ? 3433422111 2 3 4 21 xaaaat ???
.13 ?的系数为故 x
习题
? 主讲教师,李维屿
? 讲授学时,30学时
? 办公室地点：文理院 313
? 教学时间分配表（每次课 2学时，共计 30学
时）
? 第 1次课 § 1.1 § 1.2§ 1.3
? 第 2次课 § 1.4 § 1.5 § 1.6 § 1.7
? 第 3次课 习题
? 第 4次课 § 2.1 § 2.2
? 第 5次课 § 2.3 习题
? 第 6次课 习题
? 第 7次课 § 3.1 § 3.2
? 第 8次课 § 3.3 § 3.4
? 第 9次课 习题
? 第 10次课 § 4.1 § 4.2
? 第 11次课 § 4.3 § 4.4
? 第 12次课 习题
? 第 13次课 § 5.1 § 5.2
? 第 14次课 § 5.3 § 5.4 § 5.5
? 第 15次课 § 5.7 习题
关于平时分的规定：
? 一、旷课 1次扣 2分；早退、第二节才来上课的
算旷课；
? 二、旷课超过 5次，按规定向学校报告；
? 三、迟到、说话、睡觉、接打手机每次扣 1
分；
? 四、扰乱秩序，扣 5分；
? 五、每少交一次作业，扣 1分。
第一章 行列式
? 本章由线性方程组的解法入手，引出行列
式的概念，再利用行列式的知识解决方程
组的相关问题。
? 主要内容,n阶行列式的定义、性质及其计
算方法。
§ 1.1二阶与三阶行列式
? 一、二阶行列式的引入
? 二、三阶行列式
? 三、小结
用消元法解二元线性方程组
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa ??1
??2
? ?,1 22a?,2212221212211 abxaaxaa ??
? ?,2 12a?,1222221212112 abxaaxaa ??
，得两式相减消去 2x
一、二阶行列式的引入;212221121122211 baabxaaaa ??? ）（
，得类似地，消去 1x
,211211221122211 abbaxaaaa ??? ）（
时，当 021122211 ?? aaaa 方程组的解为
，
21122211
212221
1 aaaa
baabx
?
?? ）（ 3.
21122211
211211
2 aaaa
abbax
?
??
由方程组的四个系数确定,
由四个数排成二行二列（横排称行、竖排
称列）的数表
)4(2221
1211
aa
aa
定义
)5(
4
2221
1211
21122211
aa
aa
aaaa
行列式，并记作
）所确定的二阶称为数表（表达式 ?
即,21122211
2221
1211 aaaa
aa
aaD ???
11a 12a
22a12a
主对角线
副对角线
对角线法则
2211aa?,2112 aa?
二阶行列式的计算
若记,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
对于二元线性方程组
系数行列式
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
2221
1211
aa
aaD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
,
222
121
1 ab
abD ?
??
?
??
??
.
,
2222121
1212111
bxaxa
bxaxa
.
221
111
2 ba
baD ?
则二元线性方程组的解为
,
2221
1211
222
121
1
1
aa
aa
ab
ab
D
D
x ??
注意 分母都为原方程组的系数行列式,
.
2221
1211
221
111
2
2
aa
aa
ba
ba
D
D
x ??
例 1
?
?
?
??
??
.12
,1223
21
21
xx
xx
求解二元线性方程组
解 12 23 ??D )4(3 ???,07 ??
11
212
1
??D
,14? 12
123
2 ?D,21??
D
Dx 1
1 ??,27
14 ??
D
Dx 2
2 ?,37
21 ????
二、三阶行列式
定义
333231
232221
131211
)5(
339
aaa
aaa
aaa
列的数表行个数排成设有
记
,312213332112322311
322113312312332211 )6(
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
（ 6）式称为数表（ 5）所确定的 三阶行列式,
3231
2221
1211
aa
aa
aa
? ? ????
.312213332112322311 aaaaaaaaa ???
(1)沙路法
三阶行列式的计算
322113312312332211 aaaaaaaaa ???D
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
.列标
行标
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
332211 aaa?
.322311 aaa?
(2)对角线法则
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三
元素的乘积冠以负号．
说明 1 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．
322113 aaa? 312312 a?
312213 aaa? 332112 a?
2-43-
122-
4-21
D ?计算三阶行列式
例２
解 按对角线法则，有
?D 4)2()4()3(12)2(21 ????????????
)3(2)4()2()2(2411 ?????????????
24843264 ???????
.14??
.0
94
32
111
2
?
x
x求解方程
例 3
解 方程左端
12291843 22 ?????? xxxxD
,652 ??? xx
解得由 052 ??? xx
3.2 ?? xx 或
例 4 解线性方程组
?
?
?
?
?
????
????
????
.0
,132
,22
321
321
321
xxx
xxx
xxx
解 由于方程组的系数行列式
111
312
121
??
?
?
?D
? ?111 ???? ? ? ? ? ? ?132 ??????
121 ??? ? ?111 ???? ? ? ? ?122 ????? ? ? 131 ????
5??,0?
同理可得
110
311
122
1
?
?
??
?D
,5??
101
312
121
2
??
?
?
?D
,10??
011
112
221
3
?
??
?D
,5??
故方程组的解为,
,111 ?? DDx,222 ?? DDx,133 ?? DDx
二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方
程组引入的,
对角线法则二阶与三阶行列式的计算
.21122211
2221
1211 aaaa
aa
aa ??
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
三、小结
§ 1.2全排列及其逆序数
? 一、概念的引入
? 二、全排列及其逆序数
? 三、小结
一、概念的引入
引例 用 1,2,3三个数字，可以组成多少个没
有重复数字的三位数？
解 1 2 3
1 2 3百位 3种放法
十位 1 2 31
个位 1 2 3
2种放法
1种放法
种放法,共有 6123 ???
二、全排列及其逆序数
同的排法？
，共有几种不个不同的元素排成一列把 n问题
定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个
元素的全排列（或排列）,
n n
个不同的元素的所有排列的种数，通常
用 表示,
n
nP
由引例 1233 ???P,6?
nPn ? )1( ?? n )2( ?? n 123 ????? !.n?同理
在一个排列 中，若数
则称这两个数组成一个逆序,
? ?nst iiiii ???21
st ii ?
例如 排列 32514 中，
定义
我们规定各元素之间有一个标准次序,n 个
不同的自然数，规定由小到大为 标准次序,
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的
逆序数,
例如 排列 32514 中，
3 2 5 1 4
逆序数为 31
0 10
故此排列的逆序数为 3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法
方法 1
分别计算出排在 前面比它大的数
码之和即分别算出 这 个元素
的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求
排列的逆序数,
n,n,,,121 ??
n,n,,,121 ?? n
逆序数为奇数的排列称为 奇排列 ;
逆序数为偶数的排列称为 偶排列,
排列的奇偶性
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆
序数,
方法 2
例 1 求排列 32514的逆序数,
解 在排列 32514中,
3排在首位,逆序数为 0;
2的前面比 2大的数只有一个 3,故逆序数为 1;
3 2 5 1 4
0 1 0 3 1
于是排列 32514的逆序数为
13010 ?????t,5?
5的前面没有比 5大的数,其逆序数为 0;
1的前面比 1大的数有 3个,故逆序数为 3;
4的前面比 4大的数有 1个,故逆序数为 1;
例 2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇
偶性,
? ? 21 79 86 35 41
解 453689712
544310010
?t
18?
此排列为 偶排列,
5 4? 0100134 ???????
? ? ? ?? ? 321212 ??? nnn
解
12 ??? ?
? ?,
2
1?? nn
当 时为偶排列； 14,4 ?? kkn
当 时为奇排列, 34,24 ??? kkn
? ?1?? nt ? ?2?? n
? ?? ? 32121 ??? nnn
???? ????? ?? 1?n
??? ???? ?? ? ?
2?n
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 132322212123 ???? ?
解
0?t
? ?? ?? ? kkk ?????
2
1112,2k?
当 为偶数时，排列为偶排列，k
当 为奇数时，排列为奇排列,k
1? 1? 2? ? ? ? ? kkk ??????? 112 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? kkkkkk 13232221212 ???? ?
?0 ?1 ?1 ?2 ?2 ? ?k
2 排列具有奇偶性,
3 计算排列逆序数常用的方法有 2 种,
1 个不同的元素的所有排列种数为n !.n
三、小结
思考题
分别用两种方法求排列 16352487的逆序数,
思考题解答
解 用方法 1
1 6 3 5 2 4 8 7
用方法 2
01012130 ????????t 8?
由前向后求每个数的逆序数,
.810231100 ?????????t
§ 1.3 n阶行列式的定义
? 一、概念的引入
? 二,n阶行列式的定义
? 三、小结
一、概念的引入
三阶行列式
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
D ?
322113312312332211 aaaaaaaaa ???
332112322311312213 aaaaaaaaa ???
说明
（ 1）三阶行列式共有 项，即 项．6 !3
（ 2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的
乘积．
（ 3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列
的三个元素的下标排列．
例如 322113 aaa 列标排列的逆序数为
? ?,21131 2 ???t
322311 aaa 列标排列的逆序数为
? ?,101132 ???t
偶排列
奇排列
正号?
,负号?
.)1(
321 321
333231
232221
131211
? ??? pppt aaa
aaa
aaa
aaa
二,n阶行列式的定义
nnnn
n
n
nppp
t
aaa
aaa
aaa
D
aaa
n
nn
n
?
???
?
?
?
21
22221
11211
21
2
.)1(
21
?
??
记作
的代数和
个元素的乘积取自不同行不同列的
阶行列式等于所有个数组成的由
定义
).de t ( ija简记作 的元素．称为行列式数 )de t ( ijij aa
为这个排列的逆序数．
的一个排列，，，，为自然数其中
t
nppp n ?? 2121
? ?
? ?
n
n
n
nppp
ppp
pppt
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
aaa
D
?
?
???????
?
?
?
?
21
21
21
21
21
22221
11211
1? ??
?
说明
1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方
程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而
定义的 ;
2,阶行列式是 项的代数和 ;n !n
3,阶行列式的每项都是位于不同行、不同
列 个元素的乘积 ;
n
n
4,一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆 ;aa ?
5,的符号为 nnppp aaa ?21 21 ? ?,1 t?
例 1 计算对角行列式
0004
0030
0200
1000
分析
展开式中项的一般形式是 4321 4321 pppp aaaa
41 ?p若,011 ?? pa
从而这个项为零，
所以 只能等于,1p 4
同理可得 1,2,3 432 ??? ppp
解
0004
0030
0200
1000
? ? ? ? 43211 4321 ????? t,24?
即行列式中不为零的项为,aaaa 41322314
例 2 计算上 三角行列式
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
分析
展开式中项的一般形式是,21 21 nnppp aaa ?
,npn ?,11 ??? np n,1,2,3 123 ????? ppnp n ?
所以不为零的项只有,2211 nnaaa ?
nn
n
n
a
aa
aaa
?
???????
?
?
00
0
222
11211
?
? ? ? ? nnnt aaa ?? 2211121??
.2211 nnaaa ??
解
例 3
8000
6500
1240
4321
??D
44332211
8000
6500
1240
4321
aaaaD ??
.1608541 ?????
同理可得 下三角行列式
nnnnn
aaaa
aa
a
?
????????
?
?
321
2221
11
00
000
.2211 nnaaa ??
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????;21 n??? ??
n
?
?
?
?
2
1
例 4 证明 对角行列式
n
?
?
?
?
2
1
? ? ? ?? ? 11,212111 nnnnnt aaa ?? ????
? ? ? ?,1 212 1 nnn ??? ????
证明 第一式是显然的,下面证第二式,
若记,1,??? inii a? 则依行列式定义
1
1,2
1
n
n
n
a
a
a
?
?
?
证毕
1,行列式是一种特定的算式，它是根据求解
方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需
要而定义的,
2,阶行列式共有 项，每项都是位于不同
行、不同列 的 个元素的乘积,正负号由下标排
列的逆序数决定,
n
n
!n
三、小结
思考题
已知
? ?
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
?
?
.3 的系数求 x
思考题解答
解 含 的项有两项,即3x ? ?
1211
123
111
211
x
x
x
x
xf
?
?
对应于
? ? ? ? 4334221112341 aaaat??? ? 443322111 aaaat?
? ?,1 344332211 xaaaat ??
? ? ? ? 3433422111 2 3 4 21 xaaaat ???
.13 ?的系数为故 x
习题
