第一章 行列式 4.计算下列各行列式: (1); (2); (3); (4) 解 (1) = ==0 (2)  =0 (3)= == (4) =  == 5.证明: (1)=; (2)=; (3); (4) ; (5). 证明 (1)   (2)     (3)     (4)  = = =  =  = (5) 用数学归纳法证明  假设对于阶行列式命题成立,即    所以,对于阶行列式命题成立. 6.设阶行列式,把上下翻转、或逆时针旋转、或依 副对角线翻转,依次得 ,  ,, 证明. 证明      同理可证  7.计算下列各行列式(): (1),其中对角线上元素都是,未写出的元素都是0; (2); (3) ; 提示:利用范德蒙德行列式的结果. (4) ; (5); (6),. 解 (1)   ()  (2)将第一行乘分别加到其余各行,得  再将各列都加到第一列上,得   (3)从第行开始,第行经过次相邻对换,换到第1行,第 行经次对换换到第2行…,经次行 交换,得  此行列式为范德蒙德行列式    (4)     由此得递推公式:  即  而  得  (5)   = (6)       8.用克莱姆法则解下列方程组:   解 (1)          (2)   ()          . 9.有非零解? 解 , 齐次线性方程组有非零解,则 即  得  不难验证,当该齐次线性方程组确有非零解. 10. 有非零解? 解    齐次线性方程组有非零解,则 得  不难验证,当时,该齐次线性方程组确有非零解.