§ 1.4 对换
? 一、对换的定义
? 二、对换与排列的奇偶性的关系
? 三、小结
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余
元素不动，这种作出新排列的手续叫做
对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa ?? 11
例如
ba
ml bbabaa ?? 11 ab
nml ccbbbaaa ??? 111
nml ccabbbaa ??? 111
b
a
a
b
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列
改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
? ? npppt naaaD ?21 211? ??
定理 2 阶行列式也可定义为n
其中 为行标排列 的逆序数,t nppp ?21
1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
? ? npppt naaaD ?21 211? ??
? ? nnpppt aaaD ?21 211? ??
? ? nn qpqpqpt aaaD ?22111? ??
三、小结
§ 1.5行列式的性质
? 一、行列式的性质
? 二、应用举例
一、行列式的性质
2、性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
1、记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
aa
a
21
12
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
? 例如：
14
243
122
421
??
??
?
?
?D
3页的 例 2
对这个行列式进行 转置
214
422
321
??
??
?TD 12)3()4(4)2()2(21 ?????????????
411)2(2)2()4(2)3( ?????????????
48246324 ???????
14??
3、性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
14
243
122
421
??
??
?
?
?D
14
122
243
421
1 ?
?
??
?
?D
3页的 例 2
互换行列式的二、三行
4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同，
则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
?
6、推论 行列式的某一行（列）中所有元素的
公因子可以提到行列式符号的外面．
5、
7、性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成
比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
?
.0?
8、性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是
两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例如
9、性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素
乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，
行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
例１
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式
化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr ?
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
3? ?
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
2101044
614753
14020
20100
13211
??
??
?
??
??
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
? ?2??
?
? ?3??
?12 2rr ?
? ???4
?
42 rr ?
22200
20100
14020
35120
13211
?
??
?
??
??
? 22200
35120
14020
20100
13211
?
??
?
??
??
?
14 4rr ?
13 3rr ?
22200
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
34 rr ?
22200
20100
21100
35120
13211
?
??
?
??
??
?
23 rr ?
?
? ?2??
?
60000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ?,12?
64000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
35 2rr ?
4?
?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
?
?????
?
?
?
?
解
? ?
? ?
? ?
? ? abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
??
??
??
??
?D
将第 都加到第一列得 n,,3,2 ?
? ?
abb
bab
bba
bbb
bna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
)1( ???
? ?
ba
ba
ba
bbb
bna
?
?
?
???
?
?1
)1(
0
0
? ?,)()1( 1????? nbabna
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
同样成立 ).
计算行列式常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用
性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行
列式的值,
三、小结
行列式的 6个性质
§ 1.6行列式按行（列）展开
? 一、余子式与代数余子式
? 二、行列式按行（列）展开法则
? 三、关于代数余子式的重要性质
? 四、小结
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??
? ?3122322113 aaaaa ??
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
一、余子式与代数余子式
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ???,12M??
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ?,1 44444444 MMA ??? ?
.个代数余子式
对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有
元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的
代数余子式的乘积，即, ijij AaD ?
n i
ija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D ?
? ?,1
444241
242221
141211
33
33
aaa
aaa
aaa
a???
例如
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
二、行列式按行（列）展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
? ?ni,,2,1 ??
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD ?? 12 xx ??,)(12 ? ??? ?? ji ji xx
）式成立．时（当 12?? n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11 ?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
就有
提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD ?????? ?
???
?
).(
1 jjin i
xx ?? ?
???
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
关于代数余子式的重要性质
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
例３ 计算行列式
277
010
353
?
??
?D
解
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13 ??
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
例４ 计算行列式
解
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
660
270
132
10 ?
?
?? ? ?
66
27210 ?????
? ?,10 80124220 ?????
532
414
132
52 ??
?
??
? ?
5320
4140
1320
2135
21
52
??
?
?
??
?
13 rr ?
? ? 12 2 rr ??
1,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列
式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,
??
?
?
????
? ;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
三、小结
用
? 3、仿照上述方法在
ininiiiiij AaAaAaa ???? ?2211)d et (
nbbb ?21,依次代替 inii aaa,,,21 ?
可得
）（
ｎｎ２２１
9AbAbAb
aa
aa
bb
aa
aa
iii1
1
,11,1
1
,11,1
111
????
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
nnn
nii
n
nii
n
其实，把（ 9）式左端行列式按第行展开，
注意到它的元的代数余子式等于中元的代
数余子式，也可知（ 9）式成立。
§ 1.7克拉默法则
? 一、非齐次与齐次线性方程组的概念
? 二、克拉默法则
? 三、重要定理
? 四、齐次线性方程组的相关定理
? 五、小结
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb ?则称此方程组为 非
齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
一、非齐次与齐次线性方程组的
概念
二、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn ???? ?232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
三、重要定理
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1??
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
四、齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克拉默则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
??
,27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
,108??
6041
2520
6931
1812
3
?
??
?D
,27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
,27?
,3278111 ???? DDx,4271 0 822 ????? DDx
,1272733 ????? DDx,1272744 ??? DDx
例 2 用克拉默法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
????
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
??
?D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
??
?D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
?
?D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
?
?D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
??
?D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1 ????,D
Dx 0
67
02
2 ??
,DDx 2167 2
67
3
3 ???,167
674
4 ??? D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
,0421
321
321
321
xxx
xxx
xxx
?
?
?
有非零解？
?
解
?
?
?
?
?
??
?
111
132
421
D
?
?
??
?
?
???
?
101
112
431
? ? ? ? ? ? ? ?? ?????? ?????????? 3121431 3
? ? ? ? 3121 23 ?????? ???
齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
1,用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系
数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
五、小结
相关课后习题
? 一、对换的定义
? 二、对换与排列的奇偶性的关系
? 三、小结
一、对换的定义
定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余
元素不动，这种作出新排列的手续叫做
对换．
将相邻两个元素对调，叫做 相邻对换,
ml bbbaaa ?? 11
例如
ba
ml bbabaa ?? 11 ab
nml ccbbbaaa ??? 111
nml ccabbbaa ??? 111
b
a
a
b
二、对换与排列的奇偶性的关系
定理 1 一个排列中的任意两个元素对换，排列
改变奇偶性．
推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，
偶排列调成标准排列的对换次数为偶数,
? ? npppt naaaD ?21 211? ??
定理 2 阶行列式也可定义为n
其中 为行标排列 的逆序数,t nppp ?21
1,一个排列中的任意两个元素对换，排列改
变奇偶性．
2.行列式的三种表示方法
? ? npppt naaaD ?21 211? ??
? ? nnpppt aaaD ?21 211? ??
? ? nn qpqpqpt aaaD ?22111? ??
三、小结
§ 1.5行列式的性质
? 一、行列式的性质
? 二、应用举例
一、行列式的性质
2、性质 1 行列式与它的转置行列式相等,
行列式 称为行列式 的转置行列式, TD D
1、记
nn
a
a
a
?
22
11
?
?
?
n
n
a
aa
2
112
?
?
21
21
nn
aa
a
?D
?
?
?
2
121
n
n
a
aa
?
?
nn
aa
a
21
12
?TD
nn
a
a
a
?
22
11
? 例如：
14
243
122
421
??
??
?
?
?D
3页的 例 2
对这个行列式进行 转置
214
422
321
??
??
?TD 12)3()4(4)2()2(21 ?????????????
411)2(2)2()4(2)3( ?????????????
48246324 ???????
14??
3、性质 2 互换行列式的两行（列）,行列式变号,
14
243
122
421
??
??
?
?
?D
14
122
243
421
1 ?
?
??
?
?D
3页的 例 2
互换行列式的二、三行
4、推论 如果行列式有两行（列）完全相同，
则此行列式为零,
证明 互换相同的两行，有
.0?? D
,DD ??
性质 3 行列式的某一行（列）中所有的元素都
乘以同一数,等于用数 乘此行列式,k k
nnnn
inii
n
aaa
kakaka
aaa
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
21
21
11211
?
6、推论 行列式的某一行（列）中所有元素的
公因子可以提到行列式符号的外面．
5、
7、性质４ 行列式中如果有两行（列）元素成
比例，则此行列式为零．
证明
nnnn
inii
inii
n
aaa
kakaka
aaa
aaa
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
nnnn
inii
inii
n
aaa
aaa
aaa
aaa
k
?
???????
?
???????
?
???????
?
21
21
21
11211
?
.0?
8、性质 5 若行列式的某一列（行）的元素都是
两数之和,
nnnininn
nii
nii
aaaaa
aaaaa
aaaaa
D
??
????
??
??
)(
)(
)(
21
2222221
1111211
??
??
??
?
则 D等于下列两个行列式之和：
nnnin
ni
ni
nnnin
ni
ni
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
aaa
D
??
????
??
??
??
????
??
??
?
?
?
??
1
2221
1111
1
2221
1111例如
9、性质６ 把行列式的某一列（行）的各元素
乘以同一数然后加到另一列 (行 )对应的元素上去，
行列式不变．
njnjnin
jji
nji
aaaa
aaaa
aaaa
???
????
???
???
1
22221
11111
njnjnjnin
jjji
njji
ji
aakaaa
aakaaa
aakaaa
krr
???
????
???
???
)(
)(
)(
1
222221
111111
?
?
?
?
?k例如
例１
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
二、应用举例
计算行列式常用方法：利用运算 把行列式
化为上三角形行列式，从而算得行列式的值,
ji krr ?
2101044
614753
12402
59733
13211
??
??
?
???
??
?D
3? ?
解
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
2101044
614753
14020
20100
13211
??
??
?
??
??
2101044
614753
12402
20100
13211
3
12
??
??
?
??
??
? rr
? ?2??
?
? ?3??
?12 2rr ?
? ???4
?
42 rr ?
22200
20100
14020
35120
13211
?
??
?
??
??
? 22200
35120
14020
20100
13211
?
??
?
??
??
?
14 4rr ?
13 3rr ?
22200
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
34 rr ?
22200
20100
21100
35120
13211
?
??
?
??
??
?
23 rr ?
?
? ?2??
?
60000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
? ?? ?? ?612 ?????45 4rr ?,12?
64000
01000
21100
35120
13211
?
?
?
??
??
?
35 2rr ?
4?
?
例 2 计算 阶行列式n
abbb
babb
bbab
bbba
D
?
?????
?
?
?
?
解
? ?
? ?
? ?
? ? abbbna
babbna
bbabna
bbbbna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
??
??
??
??
?D
将第 都加到第一列得 n,,3,2 ?
? ?
abb
bab
bba
bbb
bna
?
?????
?
?
?
1
1
1
1
)1( ???
? ?
ba
ba
ba
bbb
bna
?
?
?
???
?
?1
)1(
0
0
? ?,)()1( 1????? nbabna
(行列式中行与列具有同
等的地位,行列式的性质凡是对行成立的对列也
同样成立 ).
计算行列式常用方法,(1)利用定义 ;(2)利用
性质把行列式化为上三角形行列式，从而算得行
列式的值,
三、小结
行列式的 6个性质
§ 1.6行列式按行（列）展开
? 一、余子式与代数余子式
? 二、行列式按行（列）展开法则
? 三、关于代数余子式的重要性质
? 四、小结
,312213332112322311
322113312312332211
aaaaaaaaa
aaaaaaaaa
???
???
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa例如
? ?3223332211 aaaaa ?? ? ?3321312312 aaaaa ??
? ?3122322113 aaaaa ??
3331
2321
13
3331
2321
12
3332
2322
11 aa
aaa
aa
aaa
aa
aaa ???
一、余子式与代数余子式
在 阶行列式中，把元素 所在的第 行和第
列划去后，留下来的 阶行列式叫做元素
的 余子式,记作
n ija i j
1?n ija
.Mij
? ?,记 ijjiij MA ??? 1叫做元素 的 代数余子式,ija
例如
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
444241
343231
141211
23
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 233223 1 MA ???,23M??
,
44434241
34333231
24232221
14131211
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
D ?
,
444341
343331
242321
12
aaa
aaa
aaa
M ?
? ? 122112 1 MA ???,12M??
,
333231
232221
131211
44
aaa
aaa
aaa
M ?
? ?,1 44444444 MMA ??? ?
.个代数余子式
对应着一个余子式和一行列式的每个元素分别
引理 一个 阶行列式，如果其中第 行所有
元素除 外都为零，那末这行列式等于 与它的
代数余子式的乘积，即, ijij AaD ?
n i
ija ija
44434241
33
24232221
14131211
000
aaaa
a
aaaa
aaaa
D ?
? ?,1
444241
242221
141211
33
33
aaa
aaa
aaa
a???
例如
定理３ 行列式等于它的任一行（列）的各元
素与其对应的代数余子式乘积之和，即
ininiiii AaAaAaD ???? ?2211? ?ni,,2,1 ??
证
nnnn
inii
n
aaa
aaa
aaa
D
?
????
????
????
?
21
21
11211
000000 ??????????
二、行列式按行（列）展开法则
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
1
11211
00?
nnnn
i
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
21
2
11211
00?
nnnn
in
n
aaa
a
aaa
?
????
?
????
?
?
21
11211
00??
ininiiii AaAaAa ???? ?2211
? ?ni,,2,1 ??
例 1
3351
1102
4315
2113
??
?
??
?
?D
0355
0100
13111
1115
??
??
?
? ? 31 2 cc ??
34 cc ?
055
1111
115
)1( 33
??
???? ?
055
026
115
??
?
55
26)1( 31
??
??? ?
50
28
?
??
.40?
12 rr ?
证 用数学归纳法
21
2
11
xxD ?? 12 xx ??,)(12 ? ??? ?? ji ji xx
）式成立．时（当 12?? n
例 2 证明范德蒙德 (Vandermonde)行列式
?
???
???
???
1
11
2
1
1
22
2
2
1
21
).(
111
jin
ji
n
n
nn
n
n
n
xx
xxx
xxx
xxx
D
?
???
?
?
?
)1(
，阶范德蒙德行列式成立）对于假设（ 11 ?n
)()()(0
)()()(0
0
1111
1
2
13
2
312
2
2
1133122
11312
xxxxxxxxx
xxxxxxxxx
xxxxxx
D
n
n
n
nn
nn
n
n
???
???
???
?
???
?
????
?
?
?
就有
提出，因子列展开，并把每列的公按第 )(1 1xx i ?
)()())((
211312 jjin inn
xxxxxxxxD ?????? ?
???
?
).(
1 jjin i
xx ?? ?
???
22
3
2
2
32
11312
111
)())((
???
????
n
n
nn
n
n
xxx
xxx
xxxxxx
?
???
?
?
?
n-1阶范德蒙德行列式
推论 行列式任一行（列）的元素与另一行（列）
的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即
.ji,AaAaAa jninjiji ????? 02211 ?
关于代数余子式的重要性质
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
例３ 计算行列式
277
010
353
?
??
?D
解
27
013 ???D
.27?
按第一行展开，得
2
005?
77
13 ??
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
例４ 计算行列式
解
05320
04140
01320
25271
02135
??
?
?
?D
660
270
132
10 ?
?
?? ? ?
66
27210 ?????
? ?,10 80124220 ?????
532
414
132
52 ??
?
??
? ?
5320
4140
1320
2135
21
52
??
?
?
??
?
13 rr ?
? ? 12 2 rr ??
1,行列式按行（列）展开法则是把高阶行列
式的计算化为低阶行列式计算的重要工具,
??
?
?
????
? ;,0
,,.2
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
kjki 当
当?
??
?
?
????
? ;,0
,,
1 ji
jiDDAa
ij
n
k
jkik 当
当?
??
?
?
???
.,0
,1
ji
ji
ij 当
，当其中
三、小结
用
? 3、仿照上述方法在
ininiiiiij AaAaAaa ???? ?2211)d et (
nbbb ?21,依次代替 inii aaa,,,21 ?
可得
）（
ｎｎ２２１
9AbAbAb
aa
aa
bb
aa
aa
iii1
1
,11,1
1
,11,1
111
????
??
??
?
?
??
?
?
?
??
?
nnn
nii
n
nii
n
其实，把（ 9）式左端行列式按第行展开，
注意到它的元的代数余子式等于中元的代
数余子式，也可知（ 9）式成立。
§ 1.7克拉默法则
? 一、非齐次与齐次线性方程组的概念
? 二、克拉默法则
? 三、重要定理
? 四、齐次线性方程组的相关定理
? 五、小结
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
2211
22222121
11212111
设线性方程组
,,,,21 不全为零若常数项 nbbb ?则称此方程组为 非
齐次线性方程组 ;,,,,21 全为零若常数项 nbbb ?
此时称方程组为 齐次线性方程组,
一、非齐次与齐次线性方程组的
概念
二、克拉默法则
如果线性方程组 )1(
2211
22222121
11212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnnn
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
?
????????????
?
?
的系数行列式不等于零，即
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
D
?
???????
?
?
21
22221
11211
?
0?
.DDx,,DDx,DDx,DDx nn ???? ?232211
其中 是把系数行列式 中第 列的元素用方程
组右端的常数项代替后所得到的 阶行列式，即
jD D j n
nnj,nnj,nn
nj,j,
j
aabaa
aabaa
D
??
???????????
??
111
11111111
??
??
?
那么线性方程组 有解，并且解是唯一的，解
可以表为
??1
三、重要定理
定理 1 如果线性方程组 的系数行列式
则 一定有解,且解是唯一的,
??1??
1
,0?D
定理 2 如果线性方程组 无解或有两个不同的
解，则它的系数行列式必为零,
??1
四、齐次线性方程组的相关定理 ? ?2
0
0
0
2211
2222121
1212111
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
定理 如果齐次线性方程组 的系数行列式
则齐次线性方程组 没有非零解,0?D
? ?2
? ?2
定理 如果齐次线性方程组 ? ?2 有非零解,则它
的系数行列式必为零,
?
?
?
?
?
?
?
????
????
????
0
0
0
2211
2222121
1212111
nnnnn
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
?
????????????
?
?
有非零解,
系数行列式 0?D
例 1 用克拉默则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
???
????
.0674
,522
,963
,852
4321
432
421
4321
xxxx
xxx
xxx
xxxx
解
6741
2120
6031
1512
?
?
??
?
?D
21 2rr ?
24 rr ?
12770
2120
6031
13570
?
?
??
?
1277
212
1357
?
?
?
??
21 2cc ?
23 2cc ? 277
010
353
???
?
??
?
27
33
??
??
,27?
6740
2125
6039
1518
1
?
??
??
?
?D
,81?
6701
2150
6091
1582
2
?
??
?
?
?D
,108??
6041
2520
6931
1812
3
?
??
?D
,27??
0741
5120
9031
8512
4
?
??
?
?
?D
,27?
,3278111 ???? DDx,4271 0 822 ????? DDx
,1272733 ????? DDx,1272744 ??? DDx
例 2 用克拉默法则解方程组
?
?
?
?
?
?
?
????
????
??
????
.6523
,611
,443
,3253
4321
4321
42
4321
xxxx
xxxx
xx
xxxx
解
2311
1111
4030
1253
??
?D
67?,0?
23165
111611
4034
1253
1
??
?D
,367?
23651
116111
4040
1233
2
?
?D
,0?
26511
161111
4430
1353
3
?
?D
,267?
65311
611111
4030
3253
4
??
?D
,67?
,DDx 3167 3
67
1
1 ????,D
Dx 0
67
02
2 ??
,DDx 2167 2
67
3
3 ???,167
674
4 ??? D
Dx
例 3 问 取何值时，齐次方程组? ?
? ?
? ???
?
?
?
????
????
????
,01
,032
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齐次方程组有非零解，则 0?D
所以 或 时齐次方程组有非零解,20 ?? ??,3??
1,用克拉默法则解方程组的两个条件
(1)方程个数等于未知量个数 ;
(2)系数行列式不等于零,
2,克拉默法则建立了线性方程组的解和已知的系
数与常数项之间的关系,它主要适用于理论推导,
五、小结
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