经济预测与决策方法
第七章 马尔可夫预测法
§ 1.基本概念与基本理论
一、马尔可夫过程 —— 当随机过程在 tK 所处的状态为已知条件时，过
程在时刻 t> tK 所处的状态仅与 tK 时的状态有关，而与 tK 以前的状态无关，
这种随机过程为马尔可夫过程。
用分布函数来描述：若在条件 Y(ti)=Yi(i=1,2,…,n) 下的 Yn 的分布函数恰
好等于条件 Y(tn-1)=Yn-1 下的分布函数，即
F(Yn； tn/Yn-1 Yn-2… Y 1； tn-1 tn-2 … t1)
=F(Yn； tn/Yn-1； tn-1)
则称 Y(t) 为马尔可夫过程。
马尔可夫链：离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效
性的特征，即它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什
么值无关。
经济预测与决策方法
二、状态概率向量,设马尔可夫链在 tK 时取状态 E1 E2 … En的概率分别为 p1
p2 … pn 而 0≤Pi≤1,则向量 ［ P1P2 … Pn］ 称为 tK时的状态概率向量。 ?
?
?N
i i
P
1
1
三、状态转移概率
设系统可能出现 N个状态 E1 E2 … E n,则系统由 tK时刻从 Ei转移到状态
tk+1时刻的概率就称为从 i到 j的转移概率，也称一步转移概率，记为
)( jiij EEpp ??
四、状态转移概率矩阵
在一定条件下，系统只能在可能出现的状态 E1 E2 … En中转移，系统所
有状态之间转移的可能性用 P表示，定义 P为状态
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NNNN
N
N
PPP
PPP
PPP
P
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21
22221
11211
转移概率矩阵。
经济预测与决策方法
3、定理 1,设马尔可夫链在初始状态的 (一步 )转移概率矩阵为 p(1) =p 则由初
始状态经过 n 个时间间隔 ( n 步 )转移到新的状态的转移概率为,
n
n
n PPPPP ????? ? ?? ?? ?
个
)(
即 n步转移概率等于一步转移矩阵的 n次方。
定理 2,若记 Pn的元素为 Pij(n) 则有
j
( n )
ijn pp ???lim
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有 A,B,C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为 (0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
?
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8.01.01.0
2.07.01.0
2.02.06.0
P
试求本月份和下月份的市场占有率？
解,1、求本月份市场占有率
? ? ? ?38.037.025.0
8.01.01.0
2.07.01.0
2.02.06.0
3.04.03.01 ?
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经济预测与决策方法
2、求下月份市场占有率
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2
2
8.01.01.0
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2.02.06.0
3.04.03.0
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68.017.015.0
32.053.015.0
32.026.04.0
3.04.03.0
? ?428.0347.0225.0?
计算结果说明，在顾客 (或用户 )购买偏好改变不大情况下，下个月 A牌
洗衣粉市场占有率 22.5%,B牌洗衣粉市场占有率为 34.7%,C牌洗衣粉的市场
占有率为 42.8%。
经济预测与决策方法
例 设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三
个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，
购买中国大陆味精的顾客占 40%，购买日本、香港味精
的顾客占 30%。顾客流动转移情况如下表所列,
中国大陆 日 本 香 港
中国大陆 40% 30% 30%
日 本 60% 30% 10%
香 港 60% 10% 30%
试预测第 4个月味精市场占有率和预测长期的市场占
有率。
经济预测与决策方法
解,1、预测第 4个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。
已知 S0=(0.4 0.3 0.3) 及转移概率矩阵 P 为,
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3.01.06.0
1.03.06.0
3.03.04.0
333231
232221
131211
PPP
PPP
PPP
P
三步转移概率矩阵为,
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252.0244.0504.0
244.0252.0504.0
252.0252.0496.0
3.01.06.0
1.03.06.0
3.03.04.0 2
3P
于是,4个月市场占有率为,
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252.0244.0504.0
244.0252.0504.0
252.0252.0496.0
3.03.04.0304 PSS
即预测第 4个月，中国大陆味精的市场占有份额为 50.08%，日本、香港
各为 24.96%
经济预测与决策方法
2、预测长期的市场占有率
由定义 4知，本例的一步转移概率矩阵 P是标准概率矩阵。所以，长期
的市场占有率将趋向稳定状态。
设,a=(x1 x2 x3)
根据标准概率矩阵的性质，有 aP=α，即
? ? ? ?321321
3.01.06.0
1.03.06.0
3.03.04.0
xxxxxx ?
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又有 x1+x2+x3=1 于是得线性方程组
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???
1
3.01.03.0
1.03.03.0
6.06.04.0
321
3213
3212
3211
xxx
xxxx
xxxx
xxxx
解之得,x1=0.5 x2=0.25 x3=0.25
于是，终极用户点有率为：中国大陆产的味精占 50%，日本、香港产的
味精均各占 25%。
经济预测与决策方法
例 某商店在最近 20个月的商品销售量统计记录如下,
商品销售量统计表 单位：千件
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
销售量 40 45 80 120 110 38 40 50 62 90 110 130 140 120 55 70 45 80 110 120
试预测第 21月的商品销售量。
解：依上述步骤
1、划分状态
接盈利状况为标准选取
(1)销售量＜ 60千件 属滞销；
(2)60千件 ≤ 销售量 ≤ 100千件 属一般；
(3)销售量＞ 100千件 属畅销。
2、计算初始概率 P,
为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线，如图所示。
经济预测与决策方法
销售量散点图
由图可算出处于
滞销状态的有 M1=7
一般状态的有 M2=5
畅销状态的有 M3=8
经济预测与决策方法
3、计算状态转移概率矩阵
在算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟
转到哪个状态尚不清楚。
由上图可得,
M11=3 M12=4 M13=0 M22=1 转 22=3
M31=2 M32=0 M33=5
从而
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7
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0
7
2
5
3
5
1
5
1
0
7
4
7
3
P
所以
经济预测与决策方法
4、预测第 21月的销售情况
由于第 20月的销售量属于畅销状态，而经由一次
转移到达三种状态的概率是,
因此，第 21月超过 100（千件）的可能性最大。
即预测第 21月的销售状态是, 畅销, 。
第七章 马尔可夫预测法
§ 1.基本概念与基本理论
一、马尔可夫过程 —— 当随机过程在 tK 所处的状态为已知条件时，过
程在时刻 t> tK 所处的状态仅与 tK 时的状态有关，而与 tK 以前的状态无关，
这种随机过程为马尔可夫过程。
用分布函数来描述：若在条件 Y(ti)=Yi(i=1,2,…,n) 下的 Yn 的分布函数恰
好等于条件 Y(tn-1)=Yn-1 下的分布函数，即
F(Yn； tn/Yn-1 Yn-2… Y 1； tn-1 tn-2 … t1)
=F(Yn； tn/Yn-1； tn-1)
则称 Y(t) 为马尔可夫过程。
马尔可夫链：离散化的马尔可夫过程就是马尔可夫链。它具有无后效
性的特征，即它在将来取什么值只与它现在的取值有关，而与它过去取什
么值无关。
经济预测与决策方法
二、状态概率向量,设马尔可夫链在 tK 时取状态 E1 E2 … En的概率分别为 p1
p2 … pn 而 0≤Pi≤1,则向量 ［ P1P2 … Pn］ 称为 tK时的状态概率向量。 ?
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P
1
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三、状态转移概率
设系统可能出现 N个状态 E1 E2 … E n,则系统由 tK时刻从 Ei转移到状态
tk+1时刻的概率就称为从 i到 j的转移概率，也称一步转移概率，记为
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四、状态转移概率矩阵
在一定条件下，系统只能在可能出现的状态 E1 E2 … En中转移，系统所
有状态之间转移的可能性用 P表示，定义 P为状态
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经济预测与决策方法
3、定理 1,设马尔可夫链在初始状态的 (一步 )转移概率矩阵为 p(1) =p 则由初
始状态经过 n 个时间间隔 ( n 步 )转移到新的状态的转移概率为,
n
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即 n步转移概率等于一步转移矩阵的 n次方。
定理 2,若记 Pn的元素为 Pij(n) 则有
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经济预测与决策方法
例 已知市场上有 A,B,C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为 (0.3
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占有率为 42.8%。
经济预测与决策方法
例 设东南亚各国主要行销我国大陆、日本、香港三
个产地的味精。对目前市场占有情况的抽样调查表明，
购买中国大陆味精的顾客占 40%，购买日本、香港味精
的顾客占 30%。顾客流动转移情况如下表所列,
中国大陆 日 本 香 港
中国大陆 40% 30% 30%
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试预测第 4个月味精市场占有率和预测长期的市场占
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经济预测与决策方法
解,1、预测第 4个月的市场占有率，即求三步转移后的市场占有率。
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即预测第 4个月，中国大陆味精的市场占有份额为 50.08%，日本、香港
各为 24.96%
经济预测与决策方法
2、预测长期的市场占有率
由定义 4知，本例的一步转移概率矩阵 P是标准概率矩阵。所以，长期
的市场占有率将趋向稳定状态。
设,a=(x1 x2 x3)
根据标准概率矩阵的性质，有 aP=α，即
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3.01.03.0
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解之得,x1=0.5 x2=0.25 x3=0.25
于是，终极用户点有率为：中国大陆产的味精占 50%，日本、香港产的
味精均各占 25%。
经济预测与决策方法
例 某商店在最近 20个月的商品销售量统计记录如下,
商品销售量统计表 单位：千件
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
销售量 40 45 80 120 110 38 40 50 62 90 110 130 140 120 55 70 45 80 110 120
试预测第 21月的商品销售量。
解：依上述步骤
1、划分状态
接盈利状况为标准选取
(1)销售量＜ 60千件 属滞销；
(2)60千件 ≤ 销售量 ≤ 100千件 属一般；
(3)销售量＞ 100千件 属畅销。
2、计算初始概率 P,
为了使问题更为直观，绘制销售量散点图，并画出状态分界线，如图所示。
经济预测与决策方法
销售量散点图
由图可算出处于
滞销状态的有 M1=7
一般状态的有 M2=5
畅销状态的有 M3=8
经济预测与决策方法
3、计算状态转移概率矩阵
在算转移概率时，最后一个数据不参加计算，因为它究竟
转到哪个状态尚不清楚。
由上图可得,
M11=3 M12=4 M13=0 M22=1 转 22=3
M31=2 M32=0 M33=5
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经济预测与决策方法
4、预测第 21月的销售情况
由于第 20月的销售量属于畅销状态，而经由一次
转移到达三种状态的概率是,
因此，第 21月超过 100（千件）的可能性最大。
即预测第 21月的销售状态是, 畅销, 。
