经济预测与决策方法
第八章 灰色预测模型
§ 1.什么是灰色系统
一、灰色系统
二、灰数
某个只知道大概的范围而不知道其确切值的数，称为灰数。
灰数不是一个数，而是一个数集，一个数的区间，记灰数为
若 ai 在灰数 中取值, 则 ai 为 的一个可能的白化值，
记为
?
? ?
)( ia?
经济预测与决策方法
三、灰色系统理论的基本观点
1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、
一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。
在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找
数的规律，这叫数的生成。
2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离
乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加
处理后，便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广
义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。
经济预测与决策方法
§ 2.生成数的主法
随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量
的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处
理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法，
灰色系统中主要有累加生成和累减生成。
一、累加生成
记原始序列为,? ?n)(,2 ),(,1)( 0000 XXXX ??
? ?)(,2 ),(,1)( ( 1 )( 1 ))1(1 nXXXX ??生成序列为,
其中,)()1()( 01
1
)0()1( KXKXiXX
K
i
???? ?
?
经济预测与决策方法
例
10.6571.1229.53)9()8()9(9
29.5315.1224.40)8()7()8(8
24.4085.1139.28)7()6()7(7
39.2864.875.19)6()5()6(6
75.1986.698.12)5()4()5(5
98.1224.465.8)4()3()4(4
65.839.326.5)3()2()3(3
26.598.228.2)2()1()2(2
28.2)1()1(1
011
011
011
011
011
011
011
011
01
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
???
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXK
累计生成序列
? ?10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65.8,26.5,28.2)(1 ?KX
经济预测与决策方法
累减生成
例 ? ?10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65.8,26.5,28.2)(0 ?KX
令 K＝ 0,X1(0)=0
71.1229.5310.65)9()9()9(9
15.1224.4039.52)7()8()8(8
85.1139.2824.40)6()7()7(7
64.875.1939.28)5()6()6(6
86.689.1275.19)4()5()5(5
24.465.889.12)3()4()4(4
39.326.565.8)2()3()3(3
98.228.226.5)1()2()2(2
28.2028.2)0()1()1(1
011
011
011
011
011
011
011
011
011
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
?????
?????
?????
?????
?????
?????
?????
??????
??????
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
累计生成序列
? ?71.12,15.12,85.11,64.8,86.6,24.4,39.3,98.2,28.2)(1 ?KX
经济预测与决策方法
§ 3.关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算
关联系数。
关联系数计算方法,
设参考序列为 ? ?)()3(),2(),1()(
00000 nXXXXKX ???
被比较序列为 ? ?)(),3(),2()( nXXXKX
iiii ???
关联系数定义为,
)()(m a xm a xp)()(
)()(m a xm a xp)()(m i nm i n
)(
00
00
KXKXKXKX
KXKXKXKX
Kn
ii
ii
i ????
????
?
其中,
（ 1） 为第 K点 X0与 Xi的绝对差。 )()(0 KXKX i?
（接下页）
经济预测与决策方法
)()(m inm in 0 KXKX i?（ 3） 是两级最大差，其含义与最小差相似。
（ 4） p称为分辨率 0＜ p＜ 1，一般采取 P＝ 0.5
（ 5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，
即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
2、关联度
被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即
（ 2） 为两级最小差。其中 是第
一级最小差，表示在 Xi序列上找各点与 X0的最小差。
)()(m inm in 0 KXKX ini ? )()(m in 0 KXKX i?
)()(m inm in 0 KXKX i?
为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最
小差。
?
?
? n
K
ii Knr
1
)(1 ?
经济预测与决策方法
例 设参考序列为 Y0＝（ 8,8.88,16,18,24,32）,被比较序列为
Y1＝（ 10,11.66,18.34,20,23.4,30）
Y2＝（ 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75）
求其关联度,
??
??
?? 6
1
1
1
11 )(6
1)(1
K
n
K
KKnr ??
7 9 8 8.0)5 2 9 4.06 3 6 0.08 1 8 0.08 7 1 4.09 4 4 5.01( ???????
6449.02 ?r
r1,r2表明 X1和 X0的关联程度大于 X2与 X0的关联程度。
经济预测与决策方法
§ 4,GM（ 1.1） 预测模型
一,GM（ 1.1）模型
设时间序列 X0有几个观察值,? ?n)(,2 ),(,1)( 0000 XXXX ??
累加生成序列 ? ?n)(,2 ),(,1)( 0101 XXXX ??,生成序列 X1 满足,
UaxdtdX ?? 1
1 式中 a称发展灰数,U称内生控制灰数。
设 ?? 为待估参数向量
??
?
??
??
u
a??,利用最小二乘法求解可得
YnBBB TT 1)(? ??? 其中
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
1)()1(2/1
1)3()2(2/1
1)2()1(2/1
11
11
11
nXnX
XX
XX
B
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)4(
)3(
)2(
0
0
0
0
nX
X
X
X
Y n
?
a
ue
a
uXiX ai ??
?
??
?
??? ?)1()1(? 01
)(?)(?)1(? 110 iXiXiX ????
经济预测与决策方法
二、模型检验
灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。
1.残差检验
首先按模型计算 )1(?1 ?iX,其次将 )1(?1 ?iX 累减生成 )(?0 iX,最后计算
原始序列 )(?0 iX )(?0 iX与 的绝对残差 ），（ niiXiXi,1,2,)(?)()( 000 ?????
及相对误差 ? ? ),,2,1(,/Φ 00 ni%( i )X( i )Δ＝ ??
2.关联度检验
按关联度计算方法算出 与原始序列 的关联系数，然后算出关联
度，根据经验，当 p=0.5时，关联度大于 0.6便是满意的。
)(?0 iX )(?0 iX
经济预测与决策方法
3.后验差检验
（ 1）首先计算原始序列的平均值
（ 2）再计算原始序列的均方差
（ 3）再次计算残差 的均值
（ 4）然后再求残差的均方差,式中
（ 5）计算方差比
（ 6）计算小误差概率
??? ni iXnX 1 00 )(1
11 ??? nSiS 其中 ? ??? 2001 ))1(( XXS
)(0 i? ? ?? )(1)( 00 ini
12 2??? nSS ? ?
2002 )(? ????? iS
1
2SSC ? ? ?
100 6 7 4 5.0)( SiP ?????
? ?。01000,6745.0,)( SePSSie ii ??????? 即令
不合格
勉强合格
合格
则有若 好 195%
65.0
65.0
50.0
35.0
c
70.0
70.0
80.0
95.0 0 ?
?
?
?
?
?
?
?
? PSΔ
p
i
，小于
若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进
行预测，否则应进行残差修正。
经济预测与决策方法
例：某县皮棉产量如表，试建立 GN(1.1)预测模型，并预测第 8期皮棉产量。
序 号 1 2 3 4 5 6
产量 (百万担 ) 2.67 3.13 3.25 3.36 3.56 3.72
解：令 X0(1),X0(2),X0(3),X0(4),X0(5),X0(6)对立于原始序列数据
第一步，构造累加生成序列,
生成序列 X1={2.67,5.80,9.05,12.41,15.97,19.69}
第二步，构造数据矩阵 B和数据向量 Yn,
?
?
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?
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?
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?
?
?
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?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
183.17
119.14
173.10
1425.7
1235.4
1)69.1997.15(
2
1
1)97.1541.12(
2
1
1)41.1205.9(
2
1
1)05.980.5(
2
1
1)80.567.2(
2
1
1)]6()5([
2
1
)]5()4([
2
1
)]4()3([
2
1
1)]3()2([
2
1
1)]2()1([
2
1
11
11
11
11
11
XX
XX
XX
XX
XX
B
? ? ? ?TTn XXY 72.356.326.325.313.3)6()2( 00,，，，?? ??
经济预测与决策方法
第三步，计算 BTB,(BTB)-1Yn,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
541.54
41.5446375.707
183.17
119.14
173.10
1425.7
1235.4
11111
83.1719.1473.10425.7235.4
BB T
????????????? ? ??
?
?
2 2 6 3 8 2.10 9 4 3 1 9.0
0 9 4 3 1 9.00 0 8 6 6 7.0
541.54
41.544 6 3 7 5.707)( 11BB T
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
02.17
2836.190
72.3
56.3
36.3
25.3
13.3
11111
83.1719.1473.10425.7235.4
n
T YB
?????? ???????? ????????? ? 925663.2 043879.002.17 2836.190226382.1094319.0 094319.0008667.0)(? 1 nTT YBBB?
即 a=-0.043879 u=2.925663
经济预测与决策方法
第四步，得出预测模型,
6757663457691345796
a
u
6 6,5 65 6 9 4 2,6 7( 1 )9 2 5 66 3.20 4 3 87 9.0
0438801
( 1 )
0
01
1
.e.)(iX,X
a
u
X X
dt
dx
i,?????
?????
第五步：残差检验,
（ 1）计算,
69.196757.663457.69)6(6
68.196757.663457.69)6(5
97.156757.663457.69)5(4
43.126757.663457.69)4(3
03.96757.663457.69)3(2
78.56757.663457.69)2(1
67.26757.663457.69)1(0
504388.01
504388.01
404388.01
304388.01
204388.01
104388.01
01
????
????
????
????
????
????
????
?
?
?
?
?
?
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
经济预测与决策方法
（ 2）累减生成 序列,)(?0 iX
? ?71.3,54.3,40.3,25.3,10.3,67.2)1(?
71.397.1568.19)5()6()6(
54.343.1297.15)4()5()5(
40.303.943.12)3()4()4(
25.378.503.0)2()3()3(
11.367.278.5)1()2()2(
67.2)1(
0
110
110
110
110
110
)1(
10
?
?????
?????
?????
?????
?????
??
X
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XX
原始序列 ? ?72.3,56.3,36.3,25.3,13.3,67.20 ?X
（ 3）计算绝对误差及相对误差序列,
绝对误差序列 Δ0{0,0.02,0.04,0.02,0.01}
相对误差序列 Φ＝ {0/2.67× 100%,0.02/3.13 × 100%,0/3.25 × 100%,0.04/ 3.36
× 100%,0.02/3.56 × 100%,0.01/3.72 × 100%}={0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%}
相对误差小于 1.19%，模型精确度高。
经济预测与决策方法
第六步，进行关联度检验,
（ 1）计算序列 X0与 X0的绝对误差 Δ(i),
? ? ? ?
? ? ? ? 04.001.0,02.0,04.0,0,02.0,0m a x)(m a x
001.0,02.0,04.0,0,02.0,0min)(min
01.071.372.3)6()6()6(
02.054.356.3)5()5()5(
04.040.336.3)4()4()4(
025.325.3)3()3()3(
02.011.313.3)2()2()2(
067.267.2)1()1()1(
00
00
00
00
00
00
???
???
??????
??????
??????
??????
??????
??????
i
i
XX
XX
XX
XX
XX
XX
经济预测与决策方法
（ 2）计算关联系数,
由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大,
? ? ? ?
? ?
1
5.004.00
04.05.0
)3(
50.0
4.005.002.0
04.05.0
)2(
1
04.05.00
04.05.00
)1(
)5.0,2,1(
)(m a x)(
)(m a x)(m i n
)(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
???
???
?
?
?
?
? pi
iPi
iPi
i ?
（ 3）计算关联度,
67.0
5.004.001.0
04.05.0
)6(
50.0
5.004.002.0
04.05.0
)5(
33.0
5.004.004.0
04.05.0
)4(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ???????? ni inr 1 67.0)67.05.033.015.01(61)(1 ?
r=0.67 是满足 p=0.5 时的检验准则 r>0.6 的。
经济预测与决策方法
第六步，后验差检验,
（ 1）计算 ? ? 82.372.356.336.325.313.367.2
6
10 ???????X
（ 2）计算 X0序列均方差,
? ? 3671.0
16
)28.372.3()28.313.3()28.367.2(
1
)( 222200
1 ??
???????
?
?? ? ?
n
XiXS
（ 3）计算残差的均值,
? ?? ??????????? 015.001.002.004.0002.00)(61 i
（ 4）计算残差的均方差,
? ? 0252.0
16
)015.001.0()015.002.0()015.00(
1
)( 2222
2 ??
???????
?
???? ? ?
n
iS
经济预测与决策方法
（ 5）计算 C,
0414.03671.0 0152.0
1
2 ??? SSC
（ 6）计算小误差概率,
S0＝ 0.6745× 0.3671＝ 0.2476
? ? 35.01005.0,005.0,025.0,015.0,005.0,15.0)( 01 ＜，＝,CPSeie 故都小于所有?????
有较好的预测精度。故模型 6757.663457.691)( 04388.01 ??? ieiX
第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为,
)()1()1( 1)1(0 iXiXiX ????
本例中 i=7
? ? ? ? 23.46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8( 74388.084388.01)1(0 ＝?????? ??eXXX
即该县第八期皮棉产量为 4.23百万担。
经济预测与决策方法
有关建模的问题说明
（ 1）给定原始序列 X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对
原始序列的取舍不同，可得模型不同，即 a,u的值不同。
（ 2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳
跃出现。
（ 3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当
再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原
始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，
再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。
经济预测与决策方法
三,GM（ 1.1）的区间预测
设原始序列,
母列,
子列,
? ?)8(),2(),1( 0000 XXXX ???
? ?
? ?
? ?
? ?)8(),7(),6(),5(
)8(),5(),4(
)8(),4(),3(
)8(),3(),2(
0000
4
0
000
3
0
000
2
0
000
1
0
XXXXX
XXXX
XXXX
XXXX
?
?
?
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?)(?)(
)(?)(
)(?)(
)(?)(
)(?)(
4
)1.1(
4
0
3
)1.1(
3
0
2
)1.1(
2
0
1
)1.1(
1
0
)1.1(0
lkxhX
lkxhX
lkxhX
lkxhX
lkxhX
GM
GM
GM
GM
GM
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
? ?)(?),(? m i nm a x lkXlkX ???
—— 预测区间
经济预测与决策方法
例：某地区年平均降雨量数据如下表,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X(0)(1)
390.6
X(0)(2)
412
X(0)(3)
320
X(0)(4)
559.2
X(0)(5)
380.8
X(0)(6)
542.4
X(0)(7)
553
X(0)(8)
310
X(0)(9)
561
10 11 12 13 14 15 16 17
X(0)(10)
300
X(0)(11)
632
X(0)(12)
540
X(0)(13)
406.2
X(0)(14)
313.8
X(0)(15)
576
X(0)(16)
587.6
X(0)(17)
318.5
规定 ζ＝ 320，并认为 x(0)(i)≤ ζ为旱灾，试作灾变预测。
解：给定数列为
),5.318,6.587,576,8.313,2.406
,540,632,300,561,310,553,4.542,8.380,2.559,320,412,6.390(
))17(),16(),15(),14(),13(),12(),11(),10(
),9(),8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1((
)0()0()0()0()0()0()0()0(
)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(
＝
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx ?
经济预测与决策方法
按照 x(0)(i)≤320为异常值，有 xζ(0)为
xζ(0)=(320,310,300,313.8,318.5)
=(xζ(0)(1’),xζ(0)(2’),xζ(0)(3’),xζ(0)(4’),xζ(0)(5’))
=(xζ(0) (3),xζ(0) (8),xζ(0) (10),xζ(0) (14),xζ(0) (17))。
为此，有
或者写为 P=(p(1’),p(2’),p(3’),p(4’),p(5’))=(3,8,10,14,17)。
将 P中数据作 1次累加生成，得 P(1)有
?
?
?
?
?
?
????????????
???????????
????????
?
4
1
)1()1()1()1()1(
3
1
)1()1()1()1(
2
1
)1()1()1(
)1(
,351421)()4()3()2()1()4(
,211083)()3()2()1()3(
,1183)()2()1()2(
,3)1(
i
i
i
ipppppp
ipppPp
ipppp
p
,17141083 54321 ???????? ??????P
经济预测与决策方法
，，，，,)52 35 21 11 3()5(),4(),3(),2(),1((
,521735)()5()4()3()2()1()5(
)1()1()1()1()1()1(
5
1
)1()1()1()1()1()1(
??
?????????????? ?
?
pppppP
ippppppp
i
按 P(1)建立 GM(1,1)模型，得
??????????????? 258339.6 25361.0? uaa
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
49
5.1347
9955.00 3 1 5 6.0
0 3 1 5 1.00 0 1 3 5.0
)(
15.43
128
116
17
1
N
TTT YBBBB
经济预测与决策方法
检验上述模型
。52)5(,662.51)5(?
,35)4(,553.34)4(?
,12)3(,285.21)3(?
,11)2(,999.10)2(?
)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
??
??
??
??
pp
pp
pp
pp
kkk eeeekP 25361.025361.025361.025361.0)0( 2.6677.27224.0677.27)1()(? ?????? ??
生成模型检验,
,677.24)677.243()1()1(? 25361.0)0()1( ?????
?
??
?
? ??? ? e
a
ue
a
upkp ak
经济预测与决策方法
还原数据检验
。%582.0)5(,17)5(,099.17)5(?
%,1.5)4(,14)4(,268.13)4(?
%,86.2)3(,10)3(,286.10)3(?
%,125.0)2(,8)2(,999.7)2(?
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
????
???
????
???
epp
epp
epp
epp
预测第 6个数与第 7个数
39.28)7(
03.22)6(
)0(
)0(
?
?
p
p
21.68与 17相差 5左右，这表明下一次降雨量小于 320mm的旱灾年将发生
在四年后。
第八章 灰色预测模型
§ 1.什么是灰色系统
一、灰色系统
二、灰数
某个只知道大概的范围而不知道其确切值的数，称为灰数。
灰数不是一个数，而是一个数集，一个数的区间，记灰数为
若 ai 在灰数 中取值, 则 ai 为 的一个可能的白化值，
记为
?
? ?
)( ia?
经济预测与决策方法
三、灰色系统理论的基本观点
1、灰色系统理论认为任何随机过程都是一定幅度值范围、
一定时区内变化的灰色量，所以随机过程是一个灰色过程。
在处理手法上，灰色过程是通过对原始数据的整理来寻找
数的规律，这叫数的生成。
2、灰色系统理论认为：尽管客观系统表象复杂，数据离
乱，但它总是有整体功能的，总是有序的，对原始数据作累加
处理后，便出现了明显的指数规律。这是由于大多数系统是广
义的能量系统，而指数规律便是能量变化的一种规律。
经济预测与决策方法
§ 2.生成数的主法
随机过程在灰色系统里被称为灰色量，灰色系统对灰色量
的处理既不找概率分布，也不寻求统计特征，而是通过数据处
理方法来寻找数据表现的规律，这种数据处理方法称为生成法，
灰色系统中主要有累加生成和累减生成。
一、累加生成
记原始序列为,? ?n)(,2 ),(,1)( 0000 XXXX ??
? ?)(,2 ),(,1)( ( 1 )( 1 ))1(1 nXXXX ??生成序列为,
其中,)()1()( 01
1
)0()1( KXKXiXX
K
i
???? ?
?
经济预测与决策方法
例
10.6571.1229.53)9()8()9(9
29.5315.1224.40)8()7()8(8
24.4085.1139.28)7()6()7(7
39.2864.875.19)6()5()6(6
75.1986.698.12)5()4()5(5
98.1224.465.8)4()3()4(4
65.839.326.5)3()2()3(3
26.598.228.2)2()1()2(2
28.2)1()1(1
011
011
011
011
011
011
011
011
01
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
??????
???
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXK
累计生成序列
? ?10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65.8,26.5,28.2)(1 ?KX
经济预测与决策方法
累减生成
例 ? ?10.65,29.53,24.40,39.28,75.19,89.12,65.8,26.5,28.2)(0 ?KX
令 K＝ 0,X1(0)=0
71.1229.5310.65)9()9()9(9
15.1224.4039.52)7()8()8(8
85.1139.2824.40)6()7()7(7
64.875.1939.28)5()6()6(6
86.689.1275.19)4()5()5(5
24.465.889.12)3()4()4(4
39.326.565.8)2()3()3(3
98.228.226.5)1()2()2(2
28.2028.2)0()1()1(1
011
011
011
011
011
011
011
011
011
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
?????
?????
?????
?????
?????
?????
?????
??????
??????
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
XXXK
累计生成序列
? ?71.12,15.12,85.11,64.8,86.6,24.4,39.3,98.2,28.2)(1 ?KX
经济预测与决策方法
§ 3.关联度
关联度分析是分析系统中各因素关联程度的方法。计算关联关需先计算
关联系数。
关联系数计算方法,
设参考序列为 ? ?)()3(),2(),1()(
00000 nXXXXKX ???
被比较序列为 ? ?)(),3(),2()( nXXXKX
iiii ???
关联系数定义为,
)()(m a xm a xp)()(
)()(m a xm a xp)()(m i nm i n
)(
00
00
KXKXKXKX
KXKXKXKX
Kn
ii
ii
i ????
????
?
其中,
（ 1） 为第 K点 X0与 Xi的绝对差。 )()(0 KXKX i?
（接下页）
经济预测与决策方法
)()(m inm in 0 KXKX i?（ 3） 是两级最大差，其含义与最小差相似。
（ 4） p称为分辨率 0＜ p＜ 1，一般采取 P＝ 0.5
（ 5）对单位不一，初值不同的序列，在计算关联系数前应首选进行初值化，
即将该序列所有数据分别除以第一个数据。
2、关联度
被比较序列与参考序列的关联度是各类关联系数的平均值，即
（ 2） 为两级最小差。其中 是第
一级最小差，表示在 Xi序列上找各点与 X0的最小差。
)()(m inm in 0 KXKX ini ? )()(m in 0 KXKX i?
)()(m inm in 0 KXKX i?
为第二级最小差，表示在各序列找出的最小差基础上寻求所有序列中的最
小差。
?
?
? n
K
ii Knr
1
)(1 ?
经济预测与决策方法
例 设参考序列为 Y0＝（ 8,8.88,16,18,24,32）,被比较序列为
Y1＝（ 10,11.66,18.34,20,23.4,30）
Y2＝（ 5,5.625,5.375,6.875,8.125,8.75）
求其关联度,
??
??
?? 6
1
1
1
11 )(6
1)(1
K
n
K
KKnr ??
7 9 8 8.0)5 2 9 4.06 3 6 0.08 1 8 0.08 7 1 4.09 4 4 5.01( ???????
6449.02 ?r
r1,r2表明 X1和 X0的关联程度大于 X2与 X0的关联程度。
经济预测与决策方法
§ 4,GM（ 1.1） 预测模型
一,GM（ 1.1）模型
设时间序列 X0有几个观察值,? ?n)(,2 ),(,1)( 0000 XXXX ??
累加生成序列 ? ?n)(,2 ),(,1)( 0101 XXXX ??,生成序列 X1 满足,
UaxdtdX ?? 1
1 式中 a称发展灰数,U称内生控制灰数。
设 ?? 为待估参数向量
??
?
??
??
u
a??,利用最小二乘法求解可得
YnBBB TT 1)(? ??? 其中
? ?
? ?
? ? ??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
???
??
??
?
1)()1(2/1
1)3()2(2/1
1)2()1(2/1
11
11
11
nXnX
XX
XX
B
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
)(
)4(
)3(
)2(
0
0
0
0
nX
X
X
X
Y n
?
a
ue
a
uXiX ai ??
?
??
?
??? ?)1()1(? 01
)(?)(?)1(? 110 iXiXiX ????
经济预测与决策方法
二、模型检验
灰色预测模型检验一般有残差检验，关联度检验和后验差检验。
1.残差检验
首先按模型计算 )1(?1 ?iX,其次将 )1(?1 ?iX 累减生成 )(?0 iX,最后计算
原始序列 )(?0 iX )(?0 iX与 的绝对残差 ），（ niiXiXi,1,2,)(?)()( 000 ?????
及相对误差 ? ? ),,2,1(,/Φ 00 ni%( i )X( i )Δ＝ ??
2.关联度检验
按关联度计算方法算出 与原始序列 的关联系数，然后算出关联
度，根据经验，当 p=0.5时，关联度大于 0.6便是满意的。
)(?0 iX )(?0 iX
经济预测与决策方法
3.后验差检验
（ 1）首先计算原始序列的平均值
（ 2）再计算原始序列的均方差
（ 3）再次计算残差 的均值
（ 4）然后再求残差的均方差,式中
（ 5）计算方差比
（ 6）计算小误差概率
??? ni iXnX 1 00 )(1
11 ??? nSiS 其中 ? ??? 2001 ))1(( XXS
)(0 i? ? ?? )(1)( 00 ini
12 2??? nSS ? ?
2002 )(? ????? iS
1
2SSC ? ? ?
100 6 7 4 5.0)( SiP ?????
? ?。01000,6745.0,)( SePSSie ii ??????? 即令
不合格
勉强合格
合格
则有若 好 195%
65.0
65.0
50.0
35.0
c
70.0
70.0
80.0
95.0 0 ?
?
?
?
?
?
?
?
? PSΔ
p
i
，小于
若相关误差，关联度、后验差检验在允许范围之内，则可用所建模型进
行预测，否则应进行残差修正。
经济预测与决策方法
例：某县皮棉产量如表，试建立 GN(1.1)预测模型，并预测第 8期皮棉产量。
序 号 1 2 3 4 5 6
产量 (百万担 ) 2.67 3.13 3.25 3.36 3.56 3.72
解：令 X0(1),X0(2),X0(3),X0(4),X0(5),X0(6)对立于原始序列数据
第一步，构造累加生成序列,
生成序列 X1={2.67,5.80,9.05,12.41,15.97,19.69}
第二步，构造数据矩阵 B和数据向量 Yn,
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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??
??
??
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?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
??
??
??
??
?
183.17
119.14
173.10
1425.7
1235.4
1)69.1997.15(
2
1
1)97.1541.12(
2
1
1)41.1205.9(
2
1
1)05.980.5(
2
1
1)80.567.2(
2
1
1)]6()5([
2
1
)]5()4([
2
1
)]4()3([
2
1
1)]3()2([
2
1
1)]2()1([
2
1
11
11
11
11
11
XX
XX
XX
XX
XX
B
? ? ? ?TTn XXY 72.356.326.325.313.3)6()2( 00,，，，?? ??
经济预测与决策方法
第三步，计算 BTB,(BTB)-1Yn,?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
541.54
41.5446375.707
183.17
119.14
173.10
1425.7
1235.4
11111
83.1719.1473.10425.7235.4
BB T
????????????? ? ??
?
?
2 2 6 3 8 2.10 9 4 3 1 9.0
0 9 4 3 1 9.00 0 8 6 6 7.0
541.54
41.544 6 3 7 5.707)( 11BB T
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?????
?
02.17
2836.190
72.3
56.3
36.3
25.3
13.3
11111
83.1719.1473.10425.7235.4
n
T YB
?????? ???????? ????????? ? 925663.2 043879.002.17 2836.190226382.1094319.0 094319.0008667.0)(? 1 nTT YBBB?
即 a=-0.043879 u=2.925663
经济预测与决策方法
第四步，得出预测模型,
6757663457691345796
a
u
6 6,5 65 6 9 4 2,6 7( 1 )9 2 5 66 3.20 4 3 87 9.0
0438801
( 1 )
0
01
1
.e.)(iX,X
a
u
X X
dt
dx
i,?????
?????
第五步：残差检验,
（ 1）计算,
69.196757.663457.69)6(6
68.196757.663457.69)6(5
97.156757.663457.69)5(4
43.126757.663457.69)4(3
03.96757.663457.69)3(2
78.56757.663457.69)2(1
67.26757.663457.69)1(0
504388.01
504388.01
404388.01
304388.01
204388.01
104388.01
01
????
????
????
????
????
????
????
?
?
?
?
?
?
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
eXi
经济预测与决策方法
（ 2）累减生成 序列,)(?0 iX
? ?71.3,54.3,40.3,25.3,10.3,67.2)1(?
71.397.1568.19)5()6()6(
54.343.1297.15)4()5()5(
40.303.943.12)3()4()4(
25.378.503.0)2()3()3(
11.367.278.5)1()2()2(
67.2)1(
0
110
110
110
110
110
)1(
10
?
?????
?????
?????
?????
?????
??
X
XXX
XXX
XXX
XXX
XXX
XX
原始序列 ? ?72.3,56.3,36.3,25.3,13.3,67.20 ?X
（ 3）计算绝对误差及相对误差序列,
绝对误差序列 Δ0{0,0.02,0.04,0.02,0.01}
相对误差序列 Φ＝ {0/2.67× 100%,0.02/3.13 × 100%,0/3.25 × 100%,0.04/ 3.36
× 100%,0.02/3.56 × 100%,0.01/3.72 × 100%}={0.064%,0,1.19%,0.56%,0.27%}
相对误差小于 1.19%，模型精确度高。
经济预测与决策方法
第六步，进行关联度检验,
（ 1）计算序列 X0与 X0的绝对误差 Δ(i),
? ? ? ?
? ? ? ? 04.001.0,02.0,04.0,0,02.0,0m a x)(m a x
001.0,02.0,04.0,0,02.0,0min)(min
01.071.372.3)6()6()6(
02.054.356.3)5()5()5(
04.040.336.3)4()4()4(
025.325.3)3()3()3(
02.011.313.3)2()2()2(
067.267.2)1()1()1(
00
00
00
00
00
00
???
???
??????
??????
??????
??????
??????
??????
i
i
XX
XX
XX
XX
XX
XX
经济预测与决策方法
（ 2）计算关联系数,
由于只有两个序列，故不再寻第二级最小及最大,
? ? ? ?
? ?
1
5.004.00
04.05.0
)3(
50.0
4.005.002.0
04.05.0
)2(
1
04.05.00
04.05.00
)1(
)5.0,2,1(
)(m a x)(
)(m a x)(m i n
)(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
??
?
??
???
???
?
?
?
?
? pi
iPi
iPi
i ?
（ 3）计算关联度,
67.0
5.004.001.0
04.05.0
)6(
50.0
5.004.002.0
04.05.0
)5(
33.0
5.004.004.0
04.05.0
)4(
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
?? ???????? ni inr 1 67.0)67.05.033.015.01(61)(1 ?
r=0.67 是满足 p=0.5 时的检验准则 r>0.6 的。
经济预测与决策方法
第六步，后验差检验,
（ 1）计算 ? ? 82.372.356.336.325.313.367.2
6
10 ???????X
（ 2）计算 X0序列均方差,
? ? 3671.0
16
)28.372.3()28.313.3()28.367.2(
1
)( 222200
1 ??
???????
?
?? ? ?
n
XiXS
（ 3）计算残差的均值,
? ?? ??????????? 015.001.002.004.0002.00)(61 i
（ 4）计算残差的均方差,
? ? 0252.0
16
)015.001.0()015.002.0()015.00(
1
)( 2222
2 ??
???????
?
???? ? ?
n
iS
经济预测与决策方法
（ 5）计算 C,
0414.03671.0 0152.0
1
2 ??? SSC
（ 6）计算小误差概率,
S0＝ 0.6745× 0.3671＝ 0.2476
? ? 35.01005.0,005.0,025.0,015.0,005.0,15.0)( 01 ＜，＝,CPSeie 故都小于所有?????
有较好的预测精度。故模型 6757.663457.691)( 04388.01 ??? ieiX
第八步，模型经检验合格后可用于预测，预测公式为,
)()1()1( 1)1(0 iXiXiX ????
本例中 i=7
? ? ? ? 23.46757.66e3457.696757.663457.69)7()8()8( 74388.084388.01)1(0 ＝?????? ??eXXX
即该县第八期皮棉产量为 4.23百万担。
经济预测与决策方法
有关建模的问题说明
（ 1）给定原始序列 X0中的数据不一定要全部用来建立模型，对
原始序列的取舍不同，可得模型不同，即 a,u的值不同。
（ 2）建模的数据取舍应保证建模序列等时距、相连，不得有跳
跃出现。
（ 3）一般建模数据序列应当由最新数据及其相邻数据构成，当
再出现新数据时，可采取两种处理方法：一是将新信息加入原
始序列中，重估参数；二是去掉原始序列中最老的一个数据，
再加上最新数据，所形成序列和原序列维数相等，再重估参数。
经济预测与决策方法
三,GM（ 1.1）的区间预测
设原始序列,
母列,
子列,
? ?)8(),2(),1( 0000 XXXX ???
? ?
? ?
? ?
? ?)8(),7(),6(),5(
)8(),5(),4(
)8(),4(),3(
)8(),3(),2(
0000
4
0
000
3
0
000
2
0
000
1
0
XXXXX
XXXX
XXXX
XXXX
?
?
?
?
??
??
??
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ? ? ?)(?)(
)(?)(
)(?)(
)(?)(
)(?)(
4
)1.1(
4
0
3
)1.1(
3
0
2
)1.1(
2
0
1
)1.1(
1
0
)1.1(0
lkxhX
lkxhX
lkxhX
lkxhX
lkxhX
GM
GM
GM
GM
GM
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
???? ??
? ?)(?),(? m i nm a x lkXlkX ???
—— 预测区间
经济预测与决策方法
例：某地区年平均降雨量数据如下表,
1 2 3 4 5 6 7 8 9
X(0)(1)
390.6
X(0)(2)
412
X(0)(3)
320
X(0)(4)
559.2
X(0)(5)
380.8
X(0)(6)
542.4
X(0)(7)
553
X(0)(8)
310
X(0)(9)
561
10 11 12 13 14 15 16 17
X(0)(10)
300
X(0)(11)
632
X(0)(12)
540
X(0)(13)
406.2
X(0)(14)
313.8
X(0)(15)
576
X(0)(16)
587.6
X(0)(17)
318.5
规定 ζ＝ 320，并认为 x(0)(i)≤ ζ为旱灾，试作灾变预测。
解：给定数列为
),5.318,6.587,576,8.313,2.406
,540,632,300,561,310,553,4.542,8.380,2.559,320,412,6.390(
))17(),16(),15(),14(),13(),12(),11(),10(
),9(),8(),7(),6(),5(),4(),3(),2(),1((
)0()0()0()0()0()0()0()0(
)0()0()0()0()0()0()0()0()0()0(
＝
xxxxxxxx
xxxxxxxxxx ?
经济预测与决策方法
按照 x(0)(i)≤320为异常值，有 xζ(0)为
xζ(0)=(320,310,300,313.8,318.5)
=(xζ(0)(1’),xζ(0)(2’),xζ(0)(3’),xζ(0)(4’),xζ(0)(5’))
=(xζ(0) (3),xζ(0) (8),xζ(0) (10),xζ(0) (14),xζ(0) (17))。
为此，有
或者写为 P=(p(1’),p(2’),p(3’),p(4’),p(5’))=(3,8,10,14,17)。
将 P中数据作 1次累加生成，得 P(1)有
?
?
?
?
?
?
????????????
???????????
????????
?
4
1
)1()1()1()1()1(
3
1
)1()1()1()1(
2
1
)1()1()1(
)1(
,351421)()4()3()2()1()4(
,211083)()3()2()1()3(
,1183)()2()1()2(
,3)1(
i
i
i
ipppppp
ipppPp
ipppp
p
,17141083 54321 ???????? ??????P
经济预测与决策方法
，，，，,)52 35 21 11 3()5(),4(),3(),2(),1((
,521735)()5()4()3()2()1()5(
)1()1()1()1()1()1(
5
1
)1()1()1()1()1()1(
??
?????????????? ?
?
pppppP
ippppppp
i
按 P(1)建立 GM(1,1)模型，得
??????????????? 258339.6 25361.0? uaa
?
?
?
?
?
? ?
??
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
? ?
49
5.1347
9955.00 3 1 5 6.0
0 3 1 5 1.00 0 1 3 5.0
)(
15.43
128
116
17
1
N
TTT YBBBB
经济预测与决策方法
检验上述模型
。52)5(,662.51)5(?
,35)4(,553.34)4(?
,12)3(,285.21)3(?
,11)2(,999.10)2(?
)1()1(
)1()1(
)1()1(
)1()1(
??
??
??
??
pp
pp
pp
pp
kkk eeeekP 25361.025361.025361.025361.0)0( 2.6677.27224.0677.27)1()(? ?????? ??
生成模型检验,
,677.24)677.243()1()1(? 25361.0)0()1( ?????
?
??
?
? ??? ? e
a
ue
a
upkp ak
经济预测与决策方法
还原数据检验
。%582.0)5(,17)5(,099.17)5(?
%,1.5)4(,14)4(,268.13)4(?
%,86.2)3(,10)3(,286.10)3(?
%,125.0)2(,8)2(,999.7)2(?
)0()0(
)0()0(
)0()0(
)0()0(
????
???
????
???
epp
epp
epp
epp
预测第 6个数与第 7个数
39.28)7(
03.22)6(
)0(
)0(
?
?
p
p
21.68与 17相差 5左右，这表明下一次降雨量小于 320mm的旱灾年将发生
在四年后。
