经济预测与决策方法
第十四章 层次分析法（ AHP法）
—— The Analytic Hierarcluy Procees
一、概述
二,AHP法的基本步骤
三,AHP法的优缺点
经济预测与决策方法
二,AHP的基本步骤
（ 1）建立问题的递阶层次结构
（ 2）构造两两比较判断矩阵
（ 3）计算单一准则下元素的相对权重
（ 4）计算各层次元素的组合权重
（ 5）判断矩阵的一致性（一致性检验）
经济预测与决策方法
递阶层次结构
决策目标
准则 1 准则 1 …… 准则 K
子准则 1 子准则 K
方案 1 方案 m
目标层
子目标层
指标层
方案层
结构可分为：网状和树状
经济预测与决策方法
构造两两判断矩阵
设 A层的元素为 AK，隶属于 AK的下层指标元素分别为 B1B2……B n，
对 A层元素 AK的判断矩阵形式为,
n
nK
B
B
B
BBA
?
??
2
1
1
nnn
n
n
bb
bb
bb
?
???
?
?
1
221
111
其中,bij表示对 AK而言,Bi对 Bj的相对重要程度
1—— 表示 Bi与 Bj相比同样重要
2 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj稍微重要
3 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj明显重要
4 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj特别重要
5 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj极端重要
2,4,6,8 —— 则表示 Bi与 Bj相比处于上述相邻
判断之间。
经济预测与决策方法
? ?n x nijK bA ? 应具有以下性质,
110 ??? ii
ij
ijij bbbb
∴ ? ?n x nijK bA ? 为正互反矩阵。
经济预测与决策方法
计算单一准则下的相对权重
计算单一准则下的相对权重问题 → 特征根问题
特征根问题的解决有 —— 幂法、根法、和法等
wwA K m a xλ?
maxλ —— 为 AK 的最大特征根
w —— 为对应 λmax的特征向量，经规一化后，其含量为
［ w1…… wn］，即为元素 B1B2 …… Bn在准则 AK下
的排序。
经济预测与决策方法
根法步骤,
① 计算矩阵 AK的每一行元素的乘积 Mi
),,2,1(1 nibM ijnji ??? ??
② 计算 Mi的 n次方根
iw
n ii Mw ?
③ 对向量规一化后即为 )( 1 nwww ???
?
?
?
n
j
jii www
1
/
④ 计算 ?
?
?
n
i i
i
nw
Aw
1
m a x
)(?
经济预测与决策方法
一致性检验
（ 1） 计算一致性指标 C.I,
1
m a x..
?
??
n
nIC ? n为判断矩阵阶数
（ 2） 平均随机一致性指标 R.I,
统计结果,
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
阶数 9 10 11 12 13 14 15
R.I,1.46 1.40 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（ 3） 计算一致性比例 C.I,
..
....
IR
ICRC ? 当 C.R＜ 0.1时，一般认为判断矩阵一致性可以接受。
经济预测与决策方法
层次分析法实例
例 1,一个好的层次结构对解决问题极为重要。生产怎样的车型能
满足用户的要求？
选择称心的自行车
售
价
型
式
美
观
强
度
耐
久
耐
久
A种车 B种车 C种车
经济预测与决策方法
例 2,
合理使用企业留成利润（ J）
提高企业
技术水平 C2
调动职工劳动
生产积极性 C1
改善职工物质
文化生活状况 C2
办职工
夜校
P3
图书馆
俱乐部
P4
改进先
进设备
P5
扩大集体
福利设施
P2
发奖金
P1
经济预测与决策方法
(1)判断矩阵 J～ C
13/13
315
3/15/11
3
2
1
321
C
C
C
CCCJ
C1－ P
14/15/16/17/1
412/13/14/1
5212/13/1
63212/1
74321
5
4
3
2
1
543211
P
P
P
P
P
PPPPPC
133/15
3/115/13
3517
5/13/17/11
5
4
3
2
54322
P
P
P
P
PPPPC
C2－ P
113/13/1
113/13/1
3311
3311
4
3
2
1
43213
P
P
P
P
PPPPC
C3－ P
经济预测与决策方法
（ 2）计算 J－ C的最大特征根及其对应的特征向量
1° 每行乘积,
11
3
1
3
15315
066667.0
15
1
3
1
5
1
1
3
2
1
????
????
?????
M
M
M
2° 计算 M1的 n次方根 iw
11
466 21 2.215
405 48 0.0066 66 7.0
33
33
33
22
33
11
???
???
???
MW
MW
MW
3° 对 规一化 w
2 58 2 8 5.0
8 71 6 9 2.3
1
6 36 9 8 6.0
8 71 6 9 2.3
4 66 2 1 2.2
1 04 7 2 9.0
8 71 6 9 2.3
4 05 4 8 0.0
3
2
1
1
??
??
???
?
W
W
W
W
W
i
经济预测与决策方法
则所求向量为,
? ?TW 258295.0,636986.0,104729.0?
4° 计算最大特征根 λ max
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
784801.0
935486.1
318221.0
258285.0
636986.0
104729.0
13/13
315
3/15/11
3
2
1
AW
AW
AW
AW
?
?
????
n
i i
i
W
AW
W
AW
W
AW
nw
AW
1 3
3
2
2
1
1
m a x 333
)(?
036511.32583.03 7848.0636986.03 935486.1104721.03 31822.0 ???????
WAW m a x??
经济预测与决策方法
同理可计算出
判断阵 C1－ P的特征向量和最大特征值,
? ?
? ?
? ?
0.4
125.0,125.0,375.0,375.0
1168756.4
263378.0,117786.0,563813.0,055023.0
121617.5
039198.0,105314.0,166912.0,268642.0,419934.0
m a x
2
m a x
2
m a x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
T
W
PC
W
PC
W
经济预测与决策方法
（ 3）层次总排序计算,
由前计算得,
2 5 8 2 8 5.06 3 6 9 9 8 6.01 0 4 7 2 9.0 321
CCC
5
4
3
2
1
P
P
P
P
P
039198.0
105314.0
166912.0
268642.0
419934.0
263376.0
117786.0
563813.0
055023.0
0
0
125.0
125.0
375.0
375.0
171873.0
118343.0
40890.0
16004.0
14083.0
层次 C
层次 P
层次 P对
总时排序
?
?
???????m
i
i ba
1
1
1 140836.0375.0258285.006369986.0419934.0104729.0
经济预测与决策方法
一致性检验,
A－ C矩阵,0 3 8 5 1 1.3,3 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.52
则,
1.0038.0
51.0
019.0
R,I,
C,I,
C,R,
192 5.0
13
3038 51 1.3
1
C,I, m a x
????
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
C1－ P,
满足一致性要求
121617.5,5 m a x ?? ?n
R.I.＝ 1.12
则,
1.002 7.0C, R,
30 404.0
15
512 161 7.5C, I,
??
?
?
??
满足一致性要求
经济预测与决策方法
C2－ P阵,1 1 6 8 7 6.4,4 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.89
则,
1.00438.0
89.0
038957.0
R,I,
C,I,
C,R,
038959.0
14
4116876.4
1
C,I, m a x
????
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
C3－ P阵,0.4,4 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.89
则,
1.00
R,I,
C,I,
C,R,
0
14
40.4
1
C,I, m a x
???
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
经济预测与决策方法
层次总排序一致性检验,
? ?
? ?
1.00306.0
914088.0
2800.0
..
..
C,R,
914088.0
258285.0,636986.0,104729.0)89.0,89.0,12.1(R,I,
028000.0
258285.0,636986.0,104729.0)0.0,038959.0,30404.0(C,I,
??
??
?
?
?
?
IR
IC
T
T
?
第十四章 层次分析法（ AHP法）
—— The Analytic Hierarcluy Procees
一、概述
二,AHP法的基本步骤
三,AHP法的优缺点
经济预测与决策方法
二,AHP的基本步骤
（ 1）建立问题的递阶层次结构
（ 2）构造两两比较判断矩阵
（ 3）计算单一准则下元素的相对权重
（ 4）计算各层次元素的组合权重
（ 5）判断矩阵的一致性（一致性检验）
经济预测与决策方法
递阶层次结构
决策目标
准则 1 准则 1 …… 准则 K
子准则 1 子准则 K
方案 1 方案 m
目标层
子目标层
指标层
方案层
结构可分为：网状和树状
经济预测与决策方法
构造两两判断矩阵
设 A层的元素为 AK，隶属于 AK的下层指标元素分别为 B1B2……B n，
对 A层元素 AK的判断矩阵形式为,
n
nK
B
B
B
BBA
?
??
2
1
1
nnn
n
n
bb
bb
bb
?
???
?
?
1
221
111
其中,bij表示对 AK而言,Bi对 Bj的相对重要程度
1—— 表示 Bi与 Bj相比同样重要
2 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj稍微重要
3 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj明显重要
4 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj特别重要
5 —— 表示 Bi与 Bj相比 Bi比 Bj极端重要
2,4,6,8 —— 则表示 Bi与 Bj相比处于上述相邻
判断之间。
经济预测与决策方法
? ?n x nijK bA ? 应具有以下性质,
110 ??? ii
ij
ijij bbbb
∴ ? ?n x nijK bA ? 为正互反矩阵。
经济预测与决策方法
计算单一准则下的相对权重
计算单一准则下的相对权重问题 → 特征根问题
特征根问题的解决有 —— 幂法、根法、和法等
wwA K m a xλ?
maxλ —— 为 AK 的最大特征根
w —— 为对应 λmax的特征向量，经规一化后，其含量为
［ w1…… wn］，即为元素 B1B2 …… Bn在准则 AK下
的排序。
经济预测与决策方法
根法步骤,
① 计算矩阵 AK的每一行元素的乘积 Mi
),,2,1(1 nibM ijnji ??? ??
② 计算 Mi的 n次方根
iw
n ii Mw ?
③ 对向量规一化后即为 )( 1 nwww ???
?
?
?
n
j
jii www
1
/
④ 计算 ?
?
?
n
i i
i
nw
Aw
1
m a x
)(?
经济预测与决策方法
一致性检验
（ 1） 计算一致性指标 C.I,
1
m a x..
?
??
n
nIC ? n为判断矩阵阶数
（ 2） 平均随机一致性指标 R.I,
统计结果,
阶数 1 2 3 4 5 6 7 8
R.I,0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41
阶数 9 10 11 12 13 14 15
R.I,1.46 1.40 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59
（ 3） 计算一致性比例 C.I,
..
....
IR
ICRC ? 当 C.R＜ 0.1时，一般认为判断矩阵一致性可以接受。
经济预测与决策方法
层次分析法实例
例 1,一个好的层次结构对解决问题极为重要。生产怎样的车型能
满足用户的要求？
选择称心的自行车
售
价
型
式
美
观
强
度
耐
久
耐
久
A种车 B种车 C种车
经济预测与决策方法
例 2,
合理使用企业留成利润（ J）
提高企业
技术水平 C2
调动职工劳动
生产积极性 C1
改善职工物质
文化生活状况 C2
办职工
夜校
P3
图书馆
俱乐部
P4
改进先
进设备
P5
扩大集体
福利设施
P2
发奖金
P1
经济预测与决策方法
(1)判断矩阵 J～ C
13/13
315
3/15/11
3
2
1
321
C
C
C
CCCJ
C1－ P
14/15/16/17/1
412/13/14/1
5212/13/1
63212/1
74321
5
4
3
2
1
543211
P
P
P
P
P
PPPPPC
133/15
3/115/13
3517
5/13/17/11
5
4
3
2
54322
P
P
P
P
PPPPC
C2－ P
113/13/1
113/13/1
3311
3311
4
3
2
1
43213
P
P
P
P
PPPPC
C3－ P
经济预测与决策方法
（ 2）计算 J－ C的最大特征根及其对应的特征向量
1° 每行乘积,
11
3
1
3
15315
066667.0
15
1
3
1
5
1
1
3
2
1
????
????
?????
M
M
M
2° 计算 M1的 n次方根 iw
11
466 21 2.215
405 48 0.0066 66 7.0
33
33
33
22
33
11
???
???
???
MW
MW
MW
3° 对 规一化 w
2 58 2 8 5.0
8 71 6 9 2.3
1
6 36 9 8 6.0
8 71 6 9 2.3
4 66 2 1 2.2
1 04 7 2 9.0
8 71 6 9 2.3
4 05 4 8 0.0
3
2
1
1
??
??
???
?
W
W
W
W
W
i
经济预测与决策方法
则所求向量为,
? ?TW 258295.0,636986.0,104729.0?
4° 计算最大特征根 λ max
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
784801.0
935486.1
318221.0
258285.0
636986.0
104729.0
13/13
315
3/15/11
3
2
1
AW
AW
AW
AW
?
?
????
n
i i
i
W
AW
W
AW
W
AW
nw
AW
1 3
3
2
2
1
1
m a x 333
)(?
036511.32583.03 7848.0636986.03 935486.1104721.03 31822.0 ???????
WAW m a x??
经济预测与决策方法
同理可计算出
判断阵 C1－ P的特征向量和最大特征值,
? ?
? ?
? ?
0.4
125.0,125.0,375.0,375.0
1168756.4
263378.0,117786.0,563813.0,055023.0
121617.5
039198.0,105314.0,166912.0,268642.0,419934.0
m a x
2
m a x
2
m a x
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
t
T
W
PC
W
PC
W
经济预测与决策方法
（ 3）层次总排序计算,
由前计算得,
2 5 8 2 8 5.06 3 6 9 9 8 6.01 0 4 7 2 9.0 321
CCC
5
4
3
2
1
P
P
P
P
P
039198.0
105314.0
166912.0
268642.0
419934.0
263376.0
117786.0
563813.0
055023.0
0
0
125.0
125.0
375.0
375.0
171873.0
118343.0
40890.0
16004.0
14083.0
层次 C
层次 P
层次 P对
总时排序
?
?
???????m
i
i ba
1
1
1 140836.0375.0258285.006369986.0419934.0104729.0
经济预测与决策方法
一致性检验,
A－ C矩阵,0 3 8 5 1 1.3,3 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.52
则,
1.0038.0
51.0
019.0
R,I,
C,I,
C,R,
192 5.0
13
3038 51 1.3
1
C,I, m a x
????
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
C1－ P,
满足一致性要求
121617.5,5 m a x ?? ?n
R.I.＝ 1.12
则,
1.002 7.0C, R,
30 404.0
15
512 161 7.5C, I,
??
?
?
??
满足一致性要求
经济预测与决策方法
C2－ P阵,1 1 6 8 7 6.4,4 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.89
则,
1.00438.0
89.0
038957.0
R,I,
C,I,
C,R,
038959.0
14
4116876.4
1
C,I, m a x
????
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
C3－ P阵,0.4,4 m a x ?? ?n
R.I.＝ 0.89
则,
1.00
R,I,
C,I,
C,R,
0
14
40.4
1
C,I, m a x
???
?
?
?
?
?
?
?
n
n?
经济预测与决策方法
层次总排序一致性检验,
? ?
? ?
1.00306.0
914088.0
2800.0
..
..
C,R,
914088.0
258285.0,636986.0,104729.0)89.0,89.0,12.1(R,I,
028000.0
258285.0,636986.0,104729.0)0.0,038959.0,30404.0(C,I,
??
??
?
?
?
?
IR
IC
T
T
?
