2009-12-1
第一章
流体流动
一、流量与流速
二、定态流动与非定态流动
三、连续性方程式
四、能量衡算方程式
五、柏努利方程式的应用第二节
流体在管内的流动
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一、流量与流速
1,流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量, 称为 流量 。
若流量用体积来计量, 称为 体积流量 VS；单位为,m3/s。
若流量用质量来计量, 称为 质量流量 WS；单位,kg/s。
体积流量和质量流量的关系是,?SS VW ?
2,流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为 流速 u。
单位为,m/s。 数学表达式为：
A
Vu S?
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流量与流速的关系为,uAVS ? ?uAW S ?
质量流速,单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量
用 G表示, 单位为 kg/(m2.s)。
数学表达式为：
A
WG s?
对于圆形管道,2
4 dA
?? 2
4
d
Vu S
??
A
VS??
?u?
u
Vd S
?
4? —— 管道直径的计算式
生产实际中, 管道直径应如何确定？
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二、定态流动与非定态流动
流动系统
定态流动 流动系统中流体的流速, 压强,
密度等有关物理量仅随位置而改
变, 而不随时间而改变
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间
变化的流动 。
例
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三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
衡算范围：取管内壁截面 1-1’与截面 2-2’间的管段
。
衡算基准,1s
对于连续稳定系统：
21 SS WW ?
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?uAW s ?
222111 ?? AuAu ?
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面, 有：
常数????? ??? uAAuAuW S ?222111
若流体为不可压缩流体
常数?????? uAAuAuWV SS ?2211?
—— 一维稳定流动的连续性方程
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对于圆形管道,
2
22
2
11 44 dudu
?? ?
2
1
2
2
1
??
?
?
??
?
?
??
d
d
u
u
表明,当体积流量 VS一定时, 管内流体的流速与管道直径
的平方成反比 。
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四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1） 流体本身具有的能量
物质内部能量的
总和称为内能 。
单位质量流体的内能以 U表
示, 单位 J/kg。
① 内能,
流体因处于重
力场内而具有的能量 。
② 位能,
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质量为 m流体的位能 )( Jm gZ?
单位质量流体的位能 )/( kgJgZ?
流体以一定的流速流动而具有的能量。③ 动能,
质量为 m,流速为 u的流体所具有的动能 )(
2
1 2 Jmu?
单位质量流体所具有的动能 )/(
2
1 2 kgJu?
④ 静压能 （ 流动功 ）
通过某截面的流体具有的用于
克服压力功的能量
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流体在截面处所具有的压力
pAF ?
流体通过截面所走的距离为
AVl /?
流体通过截面的静压能 Fl?
A
VpA ?? )( JpV?
单位质量流体所具有的静压能 mVp? )/( kgJpv?
单位质量流体本身所具有的总能量为,
)/(21 2 kgJpvugzU ???
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单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为,qe(J/kg)；
质量为 m的流体所吸的热 =mqe[J]。
当流体 吸热时 qe为正, 流体 放热时 qe为负 。
① 热：
2） 系统与外界交换的能量
单位质量通过划定体积的过程中接受的功为,We(J/kg)
质量为 m的流体所接受的功 = mWe(J)
② 功：
流体 接受外功时, We为正, 向外界做功时,We为负 。
流体本身所具有能量和热, 功就是流动系统的总能量 。
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3） 总能量衡算
衡算范围,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间的管道和设备 。
衡算基准,1kg流体 。
设 1-1’ 截面的流体流速为 u1,压强为 P1,截面积为 A1,比
容为 ν1；
截面 2-2’ 的流体流速为 u2,压强为 P2,截面积为 A2,比容
为 v2。
取 o-o’为基准水平面, 截面 1-1’ 和截面 2-2’ 中心与基准水
平面的距离为 Z1,Z2。 图
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对于定态流动系统,∑输入能量 =∑输出能量
Σ输入能量
ee Wqvp
ugZU ??????
11
12
11 2
Σ输出能量
22
2
2
22 2 vp
ugZU ????
22
2
2
2211
2
1
11 22 vp
ugZUWqvpugZU
ee ??????????
12 UUU ???令 12 gZgZZg ???
222
2
1
2
2
2 uuu
???
? ? 1122 vpvppv ???
? ? ee WqpuZgU ?????????? ?2 2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
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pvUH ???
ee Wq
uZgH ????????
2
2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
—— 流动系统的热力学第一定律
2,流动系统的机械能衡算式 —— 柏努利方程
1） 流动系统的机械能衡算式
p dvqU vve ???? 21'
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'
eq
流体与环境所交换的热
阻力损失 ?
fh
??? fee hqq '即：
? ????? pdvhqU vvfe 21
? ? 中，得：代入 ee WqpvuZgU ????????? 2 2
? ? ? ????????? fevv hWpdvPvuZg 2
12
2
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代入上式得：
? ??????? fepp hWv d puZg 212
2
—— 流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2） 柏努利方程 （ Bernalli）
当流体不可压缩时,
? ?? ?? 1221 ppvv d ppp ?p??
? ? ? ?? ? ????? v d pp d vpdp ppvv 212121 ???
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???????? fe hWpuZg ?2
2
,12 ZZZ ???将,
222
2
1
2
2
2 uuu
??? ??? 12
ppp ??? 代入：
??????? fhpugZpugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
对于理想流体, 当没有外功加入时 We=0
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
—— 柏努利方程
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3,柏努利方程式的讨论
1） 柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动, 没有
外功加入时, 任意截面上单位质量流体的总机械能即动能,
位能, 静压能之和为一常数, 用 E表示 。
即,1kg理想流体在各截面上的总机械能相等, 但各种
形式的机械能却不一定相等, 可以相互转换 。
2） 对于实际流体, 在管路内流动时, 应满足：
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能 。
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流体在管道流动时的压力变化规律
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3） 式中各项的物理意义
、zg?,2
2u?
?
p? 处于某个截面上的流体本身所具有的能量
流体流动过程中所获得或消耗的能量We和 Σhf：
We,输送设备对单位质量流体所做的有效功,
Ne,单位时间输送设备对流体所做的有效功, 即功率
?????? se VWeWsWeN
4） 当体系无外功, 且处于静止状态时 ?? 2211 pgzpgz ???
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
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5） 柏努利方程的不同形式
a) 若以 单位重量的流体为衡算基准
g
h
g
p
g
uZ
g
W
g
p
g
uZ fe ????????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
，令 gWH ee ? g
HH f
f
??
fe Hg
p
g
uZH
g
p
g
uZ ???????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
[m]
、Z,
g
u
2
2
、gp? fH 位压头, 动压头, 静压头, 压头损失
He,输送设备对流体所提供的 有效压头
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b) 若以 单位体积流体为衡算基准
静压强项 P可以用 绝对压强 值代入, 也可以用 表压强 值代入
???????? fe hpugZWpugZ ?????? 2
2
2
21
2
1
1 22
[pa]
6） 对于可压缩流体的流动, 当所取系统两截面之间的 绝对
压强 变化小于原来压强的 20%,时＜即,%20
1
21
p
pp ?
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的 平均密度 ρm代替 。
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五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围
根据题意 画出流动系统的示意图,并 指明流体的流动方
向，定出上下截面,以明确流动系统的衡标范围。
2）截面的截取
两截面都应与 流动方向垂直,并且两截面的 流体必须是
连续的,所求得 未知量应在两截面或两截面之间,截面的
有关物理量 Z,u,p等除了所求的物理量之外,都必须是 已
知的 或者可以通过其它关系式计算出来 。
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3） 基准水平面的选取
所以基准水平面的位置可以任意选取, 但 必须与地面平
行, 为了计算方便, 通常取基准水平面通过衡算范围的两个
截面中的 任意一个截面 。 如 衡算范围为水平管道, 则基准水
平面通过管道中心线, ΔZ=0。
4） 单位必须一致
在应用柏努利方程之前, 应把有关的物理量换算成 一致
的单位, 然后进行计算 。 两截面的 压强除要求单位一致外,
还要求表示方法一致 。
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2,柏努利方程的应用
1） 确定流体的流量
例,20℃ 的空气在直径为 800mm的水平管流过, 现于管路
中接一文丘里管, 如本题附图所示, 文丘里管的上游接一水
银 U管压差计, 在直径为 20mm的喉径处接一细管, 其下部插
入水槽中 。 空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计, 当 U
管压差计读数 R=25mm,h=0.5m时, 试求此时空气的流量为
多少 m3/h?
当地大气压强为 101.33× 103Pa。
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分析：
2
43 60 0 duV h
???
求流量 Vh
已知 d
求 u
直管
任取一截面
柏努利方程
气体
判断能否应用？
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解,取测压处及喉颈分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’
截面 1-1’ 处压强,
gRP Hg??1
截面 2-2’ 处压强为,
ghP ???2
流经截面 1-1’ 与 2-2’ 的压强变化为：
)3 3 3 51 0 1 3 3 0(
)4 9 0 51 0 3 3 0()3 3 3 51 0 1 3 3 0(
1
21
?
??????
P
PP
0 2 5.081.91 3 6 0 0 ??? 表压）(3 3 3 5 Pa?
5.081.91 0 0 0 ???? 表压）(4 9 0 5 Pa??
079.0? %9.7? %20?
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在截面 1-1’ 和 2-2’ 之间列柏努利方程式 。 以管道中心
线作基准水平面 。
由于两截面无外功加入, We=0。
能量损失可忽略不计 Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ ?????
式中,Z1=Z2=0
P1=3335Pa（ 表压 ）, P2= - 4905Pa（ 表压 ）
0
0
4.22 TP
PTM m
m ?? ??
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1 0 1 3 3 0293
)]4 9 0 53 3 3 5(2/11 0 1 3 3 0[273
4.22
29
?
????
3/20.1 mkg?
2.1
4 9 0 5
220.1
3 3 3 5
2
2
2
2
1 ???? uu
化简得：
( a ) 1 3 7 3 32122 ?? uu
由连续性方程有：
2211 AuAu ?
2
2
1
12 ??
?
?
???
??
d
duu 2
1 02.0
08.0 ?
?
??
?
?? u
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( b ) 16 12 uu ?
联立 (a),(b)两式
? ? 13 73 36 2121 ?? uu
smu /34.71 ?
1
2
1436 00 udV h
???
34.708.043 6 0 0 2 ???? ?
hm /8.132 3?
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2） 确定容器间的相对位置
例,如本题附图所示, 密度为 850kg/m3的料液从高位槽
送入塔中, 高位槽中的液面维持恒定, 塔内表压强为
9.81× 103Pa,进料量为 5m3/h,连接
管直径为 φ38× 2.5mm,料液在连接
管内流动时的能量损失为 30J/kg(不包
括出口的能量损失 ),试求 高位槽内
液面应为比塔内的进料口高出多少？
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分析：
解：
取高位槽液面为截面 1-1’, 连接管出口内侧 为截面 2-
2’,
并以 截面 2-2’ 的中心线为基准水平面, 在两截面间列柏努
利
方程式：
高位槽, 管道出口两截面 u,p已知 求 △ Z 柏努利方程
???????? fe hpugZWpugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
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式中,Z2=0 ； Z1=?
P1=0(表压 ) ； P2=9.81× 103Pa(表压 ）
A
Vu S?
2
由连续性方程 2211 AuAu ? ∵ A1>>A2,
We=0, ? ? kgJh
f /30
2
4
d
VS
?
?
2033.0
4
3600
5
??
? ? sm /62.1?
∴ u1<<u2,可忽略, u1≈0。
将上列数值代入柏努利方程式, 并整理得：
81.9/)30850 1081.9262.1(
32
1 ?
???z m37.4?
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3） 确定输送设备的有效功率
例,如图所示, 用泵将河水打入洗涤塔中, 喷淋下来
后流入下水道, 已知道管道内径均为 0, 1 m,流量为
84.82m3/h,水在塔前管路中流动的总摩擦损失 (从管子口至
喷头进入管子的阻力忽略不计 )为 10J/kg,喷头处的压强较
塔内压强高 0.02MPa,水从塔中流到下水道的阻力损失可忽
略不计, 泵的效率为 65%,求泵所需的功率 。
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2009-12-1
分析,求 Ne Ne=WeWs/η 求 We 柏努利方程 P
2=?
塔内压强整体流动非连续截面的选取？
解,取塔内水面为截面 3-3’, 下水道截面为截面 4-4’,
取
地平面为基准水平面, 在 3-3’ 和 4-4’ 间列柏努利方程：
??
4
2
4
4
3
2
3
3 22
pugzpugz ?????
0 43 ?? uu式中：
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，,mZmZ 2.01 43 ???
(0 34 ?? PP 表压），
将已知数据代入柏努利方程式得：
96.13 ??? ?pg
3/1 0 0 0 mkg??
表压）(117703 PaP ??
计算塔前管路, 取河水表面为 1-1’ 截面, 喷头内侧为 2-2’
截
面, 在 1-1’ 和 2-2’ 截面间列柏努利方程 。
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???????? fe hpugzWpugz ρ2ρ2 2
2
2
2
1
2
1
1
式中,
mZmZ 61 21 ???,
，01 ?u
A
Vu S?
2
表压），(01 ?P
? ? （表压）Pap 8 2 3 01 1 7 7 01002.0 62 ?????
，? ? kgJh f /10??eW
21.0
4
3600
82.84
??
? ? sm /3?
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将已知数据代入柏努利方程式
101 0 0 08 2 3 0236
2
????? gWg e
kgJW e /4.91?
see WWN ? ρ,Se Vw?
1 0 0 03 6 0 082.844.91 ??? W2153?
泵的功率：
?
eNN ?
65.0
2153?
W3313? kW3.3?
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4) 管道内流体的内压强及压强计的指示
例 1,如图, 一管路由两部分组成, 一部分管内径为
40mm,另一部分管内径为 80mm,流体为水 。 在管路
中的流量为 13.57m3/h,两部分管上均有一测压点, 测
压管之间连一个倒 U型管
压差计, 其间充以一定量
的空气 。 若两测压点所在
截面间的摩擦损失为
260mm水柱 。 求倒 U型管
压差计中水柱的高度 R为多少为 mm?
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分析,求 R 1,2两点间的压强差 柏努利方程式
解,取两测压点处分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’, 管道中
心
线为基准水平面 。 在截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间列 单位重量
流
体的柏努利方程 。 fHg
p
g
uz
g
p
g
uz ??????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中,z1=0,z2=0
1
1 A
Vu S?
u已知
? ? 204.0
4
3600
57.13
??
? ? sm /3?
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1
2
2
1
2,ud
du
???
?
???
??
)(26.02 6 0 水柱mmmH f ??
代入柏努利方程式：
fHg
uu
g
pp ????
2
2
2
2
112
?
26.08.92 75.03
22
????
? ?水柱m17.0?
125.0 u? sm /75.0?
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因倒 U型管中为空气, 若不
计空气质量, P3=P4=P
ghPP 水???1
)(2 RhgPP ??? 水?
gRPP ???? 12
Rg PP ??? 12
g
PPR
?
12 ??? 水柱m17.0? 水柱mm1 7 0?
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例 2：水在本题附图所示的虹
吸管内作定态流动, 管路直径没有
变化, 水流经管路的能量损失可以
忽略不计, 计算管内截面 2-2’,3-3’,
4-4’ 和 5-5’ 处的压强, 大气压强为
760mmHg,图中所标注的尺寸均以 mm计 。
分析,求 P 求 u柏努利方程 某截面的总机械能
求各截面 P
理
想
流
体
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解,在水槽水面 1－ 1’ 及管出口内侧截面 6－ 6’ 间列柏
努
利方程式, 并以 6－ 6’ 截面为基准水平面
??
6
2
6
6
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
，mmmZ 110001 ??式中,mZ 06 ?
P1=P6=0（ 表压 ）
u1≈0
代入柏努利方程式
2181.9
2
6u??
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u6=4.43m/s
u2=u3=…… =u6=4.43m/s
常数???? ?pugzE 2
2
取截面 2 - 2 ’ 基 准 水 平 面,z1=3m,
P1=760mmHg=101330Pa0
1 ?u
kgJE /8.1301000101330381.9 ????
对于各截面压强的计算, 仍以 2-2’ 为基准水平面, Z2=0，
Z3=3m, Z4=3.5m,Z5=3m
22222
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2 uuuuu ????
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（ 1） 截面 2-2’ 压强
?
2
2
2
2 2
pugZE ???
2--
2
2
2
2 ugZEp ?
?
?)2(
2
2
22
ugZEP ??? 1 0 0 0)81.98.1 3 0( ???
Pa1 2 0 9 9 0?
（ 2） 截面 3-3’ 压强
?)2(
2
3
33
ugZEp ??? 1 0 0 0)81.9381.98.1 3 0( ?????
Pa91560?
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（ 3） 截面 4-4’ 压强
?)2( 4
2
4
4 gZ
uEp ??? ? ? 10003, 59, 8 1-81.9-8.130 ???
Pa86660?
（ 4） 截面 5-5’ 压强
?)2u-gZ-(
2
5
55 Ep ? ? ? 1 0 0 09, 8 7-39, 8 1-8.1 3 0 ???
Pa91560?
从计算结果可见,P2>P3>P4, 而 P4<P5<P6,这是由于流
体在管内流动时, 位能和静压能相互转换的结果 。
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5） 流向的判断
在 φ45× 3mm的管路上装一文丘里管, 文丘里管
上游接一压强表, 其读数为 137.5kPa,管内水的流速
u1=1.3m/s,文丘里管的喉径为 10mm,文丘里管喉部
一内径为 15mm的玻璃管, 玻璃管下端插入水池中, 池
内水面到管中心线的垂直距离为 3m,若将水视为理想
流体, 试 判断池中水能否被吸入管中？ 若能吸入, 再求
每小时吸入的水量为多少 m3/h？
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分析：
判断流向 比较总势能
求 P？柏努利方程
解,在管路上选 1-1’ 和 2-2’ 截
面, 并取 3-3’ 截面为基准水平面
设支管中水为静止状态 。 在 1-1’ 截面和 2-2’ 截面间列柏努
利
方程,?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ ?????
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式中：
mZZ 321 ??
smu /3.11 ? sm
d
duu /77.19)
10
39(3.1)( 22
2
1
12 ????
表压）(105.1 3 7 51 PaP ??
22
2
2
2
112 uuPP ???
??
2
77.19
2
3.1
1 0 0 0
105.1 3 7 223 ????
kgJ /08.57??
2009-12-1
∴ 2-2’ 截面的总势能为
2
2 gZP ?
?
381.908.57 ???? kgJ /65.27??
3-3’ 截面的总势能为
0
0 gZP ?
?
∴ 3-3’ 截面的总势能大于 2-2’ 截面的总势能, 水能被
吸入
管路中 。求每小时从池中吸入的水量 求管中流速 u柏努利方程
在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：
0?
2009-12-1
22
2
22
2
3
2
1
3
uPgZPugZ ?????
??
式中：
，mZ 03 ? mZ 32 ?
00 ?u
表压）(00 ?P kgJ
P /08.572 ??
?
代入柏努利方程中,
2381.908.57
2
2u???
smu /436.7 2 ?
20 1 5.0
44 3 6.73 6 0 0 ????
?
hV hm /7 2 8.4
3?
2009-12-1
6） 不稳定流动系统的计算
例,附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距
离 hi为 9m,贮槽内径 D为 3m,排液管的内径 d0为 0.04m,液体
流过该系统时的能量损失可按 240 uh
f ??
公式计算, 式中
u为流体在管内的流速, 试求经 4小时
后贮槽内液面下降的高度 。
分析：
不稳定流动系统
瞬间柏努利方程
微分物料衡算
2009-12-1
解：
在 dθ时间内对系统作物料衡算, 设 F’为瞬间进料率,
D’为瞬时出料率, dA’为在 dθ时间内的积累量,
F’dθ－ D’dθ＝ dA’
∵ dθ时间内, 槽内液面下降 dh,液体在管内瞬间流速
为 u，
0??? F udD 204??? dhDAd 24???
上式变为：
dhDud 220 44 ?? ??
2009-12-1
( 1 )
2
0 u
dh
d
Dd
???
?
???
????
在瞬时液面 1-1’ 与管子出口内侧截面 2-2’ 间列柏努利
方程
式, 并以 截面 2-2’ 为基准水平面, 得：
??????? hfPugZPugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中：
，hmZ ?1 mZ 02 ?
0 1? u uu ?2
21 PP ? ? ? 240 uhf
2009-12-1
25.4081.9 uh ?
( 2 ) 4 9 2.0 hu ?
将 （ 2） 式代入 （ 1） 式得：
h
dh
d
Dd
4 9 2.0
2
0
???
?
???
????
h
dh
4 92.004.0
3 2?
?
??
?
???
h
dh1 1 4 3 3??
两边积分,；,mh 90 11 ??? hmhs ???
22 3 6 0 04,?
???? ? h hdhd 93 6 0 040 1 1 4 3 3?
2009-12-1
? ?hhh 91221143336004 ?????
? ?9211433 ????? h
h=5.62m
∴ 经四小时后贮槽内液面下降高度为：
9－ 5.62=3.38m
第一章
流体流动
一、流量与流速
二、定态流动与非定态流动
三、连续性方程式
四、能量衡算方程式
五、柏努利方程式的应用第二节
流体在管内的流动
2009-12-1
一、流量与流速
1,流量
单位时间内流过管道任一截面的流体量, 称为 流量 。
若流量用体积来计量, 称为 体积流量 VS；单位为,m3/s。
若流量用质量来计量, 称为 质量流量 WS；单位,kg/s。
体积流量和质量流量的关系是,?SS VW ?
2,流速
单位时间内流体在流动方向上流过的距离，称为 流速 u。
单位为,m/s。 数学表达式为：
A
Vu S?
2009-12-1
流量与流速的关系为,uAVS ? ?uAW S ?
质量流速,单位时间内流体流过管道单位面积的质量流量
用 G表示, 单位为 kg/(m2.s)。
数学表达式为：
A
WG s?
对于圆形管道,2
4 dA
?? 2
4
d
Vu S
??
A
VS??
?u?
u
Vd S
?
4? —— 管道直径的计算式
生产实际中, 管道直径应如何确定？
2009-12-1
二、定态流动与非定态流动
流动系统
定态流动 流动系统中流体的流速, 压强,
密度等有关物理量仅随位置而改
变, 而不随时间而改变
非定态流动 上述物理量不仅随位置而且随时间
变化的流动 。
例
2009-12-1
2009-12-1
三、连续性方程
在稳定流动系统中，对直径不同的管段做物料衡算
衡算范围：取管内壁截面 1-1’与截面 2-2’间的管段
。
衡算基准,1s
对于连续稳定系统：
21 SS WW ?
2009-12-1
?uAW s ?
222111 ?? AuAu ?
如果把这一关系推广到管路系统的任一截面, 有：
常数????? ??? uAAuAuW S ?222111
若流体为不可压缩流体
常数?????? uAAuAuWV SS ?2211?
—— 一维稳定流动的连续性方程
2009-12-1
对于圆形管道,
2
22
2
11 44 dudu
?? ?
2
1
2
2
1
??
?
?
??
?
?
??
d
d
u
u
表明,当体积流量 VS一定时, 管内流体的流速与管道直径
的平方成反比 。
2009-12-1
四、能量衡算方程式
1、流体流动的总能量衡算
1） 流体本身具有的能量
物质内部能量的
总和称为内能 。
单位质量流体的内能以 U表
示, 单位 J/kg。
① 内能,
流体因处于重
力场内而具有的能量 。
② 位能,
2009-12-1
质量为 m流体的位能 )( Jm gZ?
单位质量流体的位能 )/( kgJgZ?
流体以一定的流速流动而具有的能量。③ 动能,
质量为 m,流速为 u的流体所具有的动能 )(
2
1 2 Jmu?
单位质量流体所具有的动能 )/(
2
1 2 kgJu?
④ 静压能 （ 流动功 ）
通过某截面的流体具有的用于
克服压力功的能量
2009-12-1
流体在截面处所具有的压力
pAF ?
流体通过截面所走的距离为
AVl /?
流体通过截面的静压能 Fl?
A
VpA ?? )( JpV?
单位质量流体所具有的静压能 mVp? )/( kgJpv?
单位质量流体本身所具有的总能量为,
)/(21 2 kgJpvugzU ???
2009-12-1
单位质量流体通过划定体积的过程中所吸的热为,qe(J/kg)；
质量为 m的流体所吸的热 =mqe[J]。
当流体 吸热时 qe为正, 流体 放热时 qe为负 。
① 热：
2） 系统与外界交换的能量
单位质量通过划定体积的过程中接受的功为,We(J/kg)
质量为 m的流体所接受的功 = mWe(J)
② 功：
流体 接受外功时, We为正, 向外界做功时,We为负 。
流体本身所具有能量和热, 功就是流动系统的总能量 。
2009-12-1
3） 总能量衡算
衡算范围,截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间的管道和设备 。
衡算基准,1kg流体 。
设 1-1’ 截面的流体流速为 u1,压强为 P1,截面积为 A1,比
容为 ν1；
截面 2-2’ 的流体流速为 u2,压强为 P2,截面积为 A2,比容
为 v2。
取 o-o’为基准水平面, 截面 1-1’ 和截面 2-2’ 中心与基准水
平面的距离为 Z1,Z2。 图
2009-12-1
对于定态流动系统,∑输入能量 =∑输出能量
Σ输入能量
ee Wqvp
ugZU ??????
11
12
11 2
Σ输出能量
22
2
2
22 2 vp
ugZU ????
22
2
2
2211
2
1
11 22 vp
ugZUWqvpugZU
ee ??????????
12 UUU ???令 12 gZgZZg ???
222
2
1
2
2
2 uuu
???
? ? 1122 vpvppv ???
? ? ee WqpuZgU ?????????? ?2 2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
2009-12-1
pvUH ???
ee Wq
uZgH ????????
2
2
—— 稳定流动过程的总能量衡算式
—— 流动系统的热力学第一定律
2,流动系统的机械能衡算式 —— 柏努利方程
1） 流动系统的机械能衡算式
p dvqU vve ???? 21'
2009-12-1
'
eq
流体与环境所交换的热
阻力损失 ?
fh
??? fee hqq '即：
? ????? pdvhqU vvfe 21
? ? 中，得：代入 ee WqpvuZgU ????????? 2 2
? ? ? ????????? fevv hWpdvPvuZg 2
12
2
2009-12-1
代入上式得：
? ??????? fepp hWv d puZg 212
2
—— 流体稳定流动过程中的机械能衡算式
2） 柏努利方程 （ Bernalli）
当流体不可压缩时,
? ?? ?? 1221 ppvv d ppp ?p??
? ? ? ?? ? ????? v d pp d vpdp ppvv 212121 ???
2009-12-1
???????? fe hWpuZg ?2
2
,12 ZZZ ???将,
222
2
1
2
2
2 uuu
??? ??? 12
ppp ??? 代入：
??????? fhpugZpugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
对于理想流体, 当没有外功加入时 We=0
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
—— 柏努利方程
2009-12-1
3,柏努利方程式的讨论
1） 柏努利方程式表明理想流体在管内做稳定流动, 没有
外功加入时, 任意截面上单位质量流体的总机械能即动能,
位能, 静压能之和为一常数, 用 E表示 。
即,1kg理想流体在各截面上的总机械能相等, 但各种
形式的机械能却不一定相等, 可以相互转换 。
2） 对于实际流体, 在管路内流动时, 应满足：
上游截面处的总机械能大于下游截面处的总机械能 。
2009-12-1
流体在管道流动时的压力变化规律
2009-12-1
3） 式中各项的物理意义
、zg?,2
2u?
?
p? 处于某个截面上的流体本身所具有的能量
流体流动过程中所获得或消耗的能量We和 Σhf：
We,输送设备对单位质量流体所做的有效功,
Ne,单位时间输送设备对流体所做的有效功, 即功率
?????? se VWeWsWeN
4） 当体系无外功, 且处于静止状态时 ?? 2211 pgzpgz ???
流体的静力平衡是流体流动状态的一个特例
2009-12-1
5） 柏努利方程的不同形式
a) 若以 单位重量的流体为衡算基准
g
h
g
p
g
uZ
g
W
g
p
g
uZ fe ????????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
，令 gWH ee ? g
HH f
f
??
fe Hg
p
g
uZH
g
p
g
uZ ???????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
[m]
、Z,
g
u
2
2
、gp? fH 位压头, 动压头, 静压头, 压头损失
He,输送设备对流体所提供的 有效压头
2009-12-1
b) 若以 单位体积流体为衡算基准
静压强项 P可以用 绝对压强 值代入, 也可以用 表压强 值代入
???????? fe hpugZWpugZ ?????? 2
2
2
21
2
1
1 22
[pa]
6） 对于可压缩流体的流动, 当所取系统两截面之间的 绝对
压强 变化小于原来压强的 20%,时＜即,%20
1
21
p
pp ?
仍可使用柏努利方程。式中流体密度应以两截面之间流体
的 平均密度 ρm代替 。
2009-12-1
五、柏努利方程式的应用
1、应用柏努利方程的注意事项
1）作图并确定衡算范围
根据题意 画出流动系统的示意图,并 指明流体的流动方
向，定出上下截面,以明确流动系统的衡标范围。
2）截面的截取
两截面都应与 流动方向垂直,并且两截面的 流体必须是
连续的,所求得 未知量应在两截面或两截面之间,截面的
有关物理量 Z,u,p等除了所求的物理量之外,都必须是 已
知的 或者可以通过其它关系式计算出来 。
2009-12-1
3） 基准水平面的选取
所以基准水平面的位置可以任意选取, 但 必须与地面平
行, 为了计算方便, 通常取基准水平面通过衡算范围的两个
截面中的 任意一个截面 。 如 衡算范围为水平管道, 则基准水
平面通过管道中心线, ΔZ=0。
4） 单位必须一致
在应用柏努利方程之前, 应把有关的物理量换算成 一致
的单位, 然后进行计算 。 两截面的 压强除要求单位一致外,
还要求表示方法一致 。
2009-12-1
2,柏努利方程的应用
1） 确定流体的流量
例,20℃ 的空气在直径为 800mm的水平管流过, 现于管路
中接一文丘里管, 如本题附图所示, 文丘里管的上游接一水
银 U管压差计, 在直径为 20mm的喉径处接一细管, 其下部插
入水槽中 。 空气流入文丘里管的能量损失可忽略不计, 当 U
管压差计读数 R=25mm,h=0.5m时, 试求此时空气的流量为
多少 m3/h?
当地大气压强为 101.33× 103Pa。
2009-12-1
分析：
2
43 60 0 duV h
???
求流量 Vh
已知 d
求 u
直管
任取一截面
柏努利方程
气体
判断能否应用？
2009-12-1
解,取测压处及喉颈分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’
截面 1-1’ 处压强,
gRP Hg??1
截面 2-2’ 处压强为,
ghP ???2
流经截面 1-1’ 与 2-2’ 的压强变化为：
)3 3 3 51 0 1 3 3 0(
)4 9 0 51 0 3 3 0()3 3 3 51 0 1 3 3 0(
1
21
?
??????
P
PP
0 2 5.081.91 3 6 0 0 ??? 表压）(3 3 3 5 Pa?
5.081.91 0 0 0 ???? 表压）(4 9 0 5 Pa??
079.0? %9.7? %20?
2009-12-1
在截面 1-1’ 和 2-2’ 之间列柏努利方程式 。 以管道中心
线作基准水平面 。
由于两截面无外功加入, We=0。
能量损失可忽略不计 Σhf=0。
柏努利方程式可写为：
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ ?????
式中,Z1=Z2=0
P1=3335Pa（ 表压 ）, P2= - 4905Pa（ 表压 ）
0
0
4.22 TP
PTM m
m ?? ??
2009-12-1
1 0 1 3 3 0293
)]4 9 0 53 3 3 5(2/11 0 1 3 3 0[273
4.22
29
?
????
3/20.1 mkg?
2.1
4 9 0 5
220.1
3 3 3 5
2
2
2
2
1 ???? uu
化简得：
( a ) 1 3 7 3 32122 ?? uu
由连续性方程有：
2211 AuAu ?
2
2
1
12 ??
?
?
???
??
d
duu 2
1 02.0
08.0 ?
?
??
?
?? u
2009-12-1
( b ) 16 12 uu ?
联立 (a),(b)两式
? ? 13 73 36 2121 ?? uu
smu /34.71 ?
1
2
1436 00 udV h
???
34.708.043 6 0 0 2 ???? ?
hm /8.132 3?
2009-12-1
2） 确定容器间的相对位置
例,如本题附图所示, 密度为 850kg/m3的料液从高位槽
送入塔中, 高位槽中的液面维持恒定, 塔内表压强为
9.81× 103Pa,进料量为 5m3/h,连接
管直径为 φ38× 2.5mm,料液在连接
管内流动时的能量损失为 30J/kg(不包
括出口的能量损失 ),试求 高位槽内
液面应为比塔内的进料口高出多少？
2009-12-1
分析：
解：
取高位槽液面为截面 1-1’, 连接管出口内侧 为截面 2-
2’,
并以 截面 2-2’ 的中心线为基准水平面, 在两截面间列柏努
利
方程式：
高位槽, 管道出口两截面 u,p已知 求 △ Z 柏努利方程
???????? fe hpugZWpugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
2009-12-1
式中,Z2=0 ； Z1=?
P1=0(表压 ) ； P2=9.81× 103Pa(表压 ）
A
Vu S?
2
由连续性方程 2211 AuAu ? ∵ A1>>A2,
We=0, ? ? kgJh
f /30
2
4
d
VS
?
?
2033.0
4
3600
5
??
? ? sm /62.1?
∴ u1<<u2,可忽略, u1≈0。
将上列数值代入柏努利方程式, 并整理得：
81.9/)30850 1081.9262.1(
32
1 ?
???z m37.4?
2009-12-1
3） 确定输送设备的有效功率
例,如图所示, 用泵将河水打入洗涤塔中, 喷淋下来
后流入下水道, 已知道管道内径均为 0, 1 m,流量为
84.82m3/h,水在塔前管路中流动的总摩擦损失 (从管子口至
喷头进入管子的阻力忽略不计 )为 10J/kg,喷头处的压强较
塔内压强高 0.02MPa,水从塔中流到下水道的阻力损失可忽
略不计, 泵的效率为 65%,求泵所需的功率 。
2009-12-1
2009-12-1
分析,求 Ne Ne=WeWs/η 求 We 柏努利方程 P
2=?
塔内压强整体流动非连续截面的选取？
解,取塔内水面为截面 3-3’, 下水道截面为截面 4-4’,
取
地平面为基准水平面, 在 3-3’ 和 4-4’ 间列柏努利方程：
??
4
2
4
4
3
2
3
3 22
pugzpugz ?????
0 43 ?? uu式中：
2009-12-1
，,mZmZ 2.01 43 ???
(0 34 ?? PP 表压），
将已知数据代入柏努利方程式得：
96.13 ??? ?pg
3/1 0 0 0 mkg??
表压）(117703 PaP ??
计算塔前管路, 取河水表面为 1-1’ 截面, 喷头内侧为 2-2’
截
面, 在 1-1’ 和 2-2’ 截面间列柏努利方程 。
2009-12-1
???????? fe hpugzWpugz ρ2ρ2 2
2
2
2
1
2
1
1
式中,
mZmZ 61 21 ???,
，01 ?u
A
Vu S?
2
表压），(01 ?P
? ? （表压）Pap 8 2 3 01 1 7 7 01002.0 62 ?????
，? ? kgJh f /10??eW
21.0
4
3600
82.84
??
? ? sm /3?
2009-12-1
将已知数据代入柏努利方程式
101 0 0 08 2 3 0236
2
????? gWg e
kgJW e /4.91?
see WWN ? ρ,Se Vw?
1 0 0 03 6 0 082.844.91 ??? W2153?
泵的功率：
?
eNN ?
65.0
2153?
W3313? kW3.3?
2009-12-1
4) 管道内流体的内压强及压强计的指示
例 1,如图, 一管路由两部分组成, 一部分管内径为
40mm,另一部分管内径为 80mm,流体为水 。 在管路
中的流量为 13.57m3/h,两部分管上均有一测压点, 测
压管之间连一个倒 U型管
压差计, 其间充以一定量
的空气 。 若两测压点所在
截面间的摩擦损失为
260mm水柱 。 求倒 U型管
压差计中水柱的高度 R为多少为 mm?
2009-12-1
分析,求 R 1,2两点间的压强差 柏努利方程式
解,取两测压点处分别为截面 1-1’ 和截面 2-2’, 管道中
心
线为基准水平面 。 在截面 1-1’ 和截面 2-2’ 间列 单位重量
流
体的柏努利方程 。 fHg
p
g
uz
g
p
g
uz ??????
??
2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中,z1=0,z2=0
1
1 A
Vu S?
u已知
? ? 204.0
4
3600
57.13
??
? ? sm /3?
2009-12-1
1
2
2
1
2,ud
du
???
?
???
??
)(26.02 6 0 水柱mmmH f ??
代入柏努利方程式：
fHg
uu
g
pp ????
2
2
2
2
112
?
26.08.92 75.03
22
????
? ?水柱m17.0?
125.0 u? sm /75.0?
2009-12-1
因倒 U型管中为空气, 若不
计空气质量, P3=P4=P
ghPP 水???1
)(2 RhgPP ??? 水?
gRPP ???? 12
Rg PP ??? 12
g
PPR
?
12 ??? 水柱m17.0? 水柱mm1 7 0?
2009-12-1
例 2：水在本题附图所示的虹
吸管内作定态流动, 管路直径没有
变化, 水流经管路的能量损失可以
忽略不计, 计算管内截面 2-2’,3-3’,
4-4’ 和 5-5’ 处的压强, 大气压强为
760mmHg,图中所标注的尺寸均以 mm计 。
分析,求 P 求 u柏努利方程 某截面的总机械能
求各截面 P
理
想
流
体
2009-12-1
解,在水槽水面 1－ 1’ 及管出口内侧截面 6－ 6’ 间列柏
努
利方程式, 并以 6－ 6’ 截面为基准水平面
??
6
2
6
6
1
2
1
1 22
pugZpugZ ?????
，mmmZ 110001 ??式中,mZ 06 ?
P1=P6=0（ 表压 ）
u1≈0
代入柏努利方程式
2181.9
2
6u??
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u6=4.43m/s
u2=u3=…… =u6=4.43m/s
常数???? ?pugzE 2
2
取截面 2 - 2 ’ 基 准 水 平 面,z1=3m,
P1=760mmHg=101330Pa0
1 ?u
kgJE /8.1301000101330381.9 ????
对于各截面压强的计算, 仍以 2-2’ 为基准水平面, Z2=0，
Z3=3m, Z4=3.5m,Z5=3m
22222
2
6
2
5
2
4
2
3
2
2 uuuuu ????
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（ 1） 截面 2-2’ 压强
?
2
2
2
2 2
pugZE ???
2--
2
2
2
2 ugZEp ?
?
?)2(
2
2
22
ugZEP ??? 1 0 0 0)81.98.1 3 0( ???
Pa1 2 0 9 9 0?
（ 2） 截面 3-3’ 压强
?)2(
2
3
33
ugZEp ??? 1 0 0 0)81.9381.98.1 3 0( ?????
Pa91560?
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（ 3） 截面 4-4’ 压强
?)2( 4
2
4
4 gZ
uEp ??? ? ? 10003, 59, 8 1-81.9-8.130 ???
Pa86660?
（ 4） 截面 5-5’ 压强
?)2u-gZ-(
2
5
55 Ep ? ? ? 1 0 0 09, 8 7-39, 8 1-8.1 3 0 ???
Pa91560?
从计算结果可见,P2>P3>P4, 而 P4<P5<P6,这是由于流
体在管内流动时, 位能和静压能相互转换的结果 。
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5） 流向的判断
在 φ45× 3mm的管路上装一文丘里管, 文丘里管
上游接一压强表, 其读数为 137.5kPa,管内水的流速
u1=1.3m/s,文丘里管的喉径为 10mm,文丘里管喉部
一内径为 15mm的玻璃管, 玻璃管下端插入水池中, 池
内水面到管中心线的垂直距离为 3m,若将水视为理想
流体, 试 判断池中水能否被吸入管中？ 若能吸入, 再求
每小时吸入的水量为多少 m3/h？
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分析：
判断流向 比较总势能
求 P？柏努利方程
解,在管路上选 1-1’ 和 2-2’ 截
面, 并取 3-3’ 截面为基准水平面
设支管中水为静止状态 。 在 1-1’ 截面和 2-2’ 截面间列柏努
利
方程,?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
PugZPugZ ?????
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式中：
mZZ 321 ??
smu /3.11 ? sm
d
duu /77.19)
10
39(3.1)( 22
2
1
12 ????
表压）(105.1 3 7 51 PaP ??
22
2
2
2
112 uuPP ???
??
2
77.19
2
3.1
1 0 0 0
105.1 3 7 223 ????
kgJ /08.57??
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∴ 2-2’ 截面的总势能为
2
2 gZP ?
?
381.908.57 ???? kgJ /65.27??
3-3’ 截面的总势能为
0
0 gZP ?
?
∴ 3-3’ 截面的总势能大于 2-2’ 截面的总势能, 水能被
吸入
管路中 。求每小时从池中吸入的水量 求管中流速 u柏努利方程
在池面与玻璃管出口内侧间列柏努利方程式：
0?
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22
2
22
2
3
2
1
3
uPgZPugZ ?????
??
式中：
，mZ 03 ? mZ 32 ?
00 ?u
表压）(00 ?P kgJ
P /08.572 ??
?
代入柏努利方程中,
2381.908.57
2
2u???
smu /436.7 2 ?
20 1 5.0
44 3 6.73 6 0 0 ????
?
hV hm /7 2 8.4
3?
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6） 不稳定流动系统的计算
例,附图所示的开口贮槽内液面与排液管出口间的垂直距
离 hi为 9m,贮槽内径 D为 3m,排液管的内径 d0为 0.04m,液体
流过该系统时的能量损失可按 240 uh
f ??
公式计算, 式中
u为流体在管内的流速, 试求经 4小时
后贮槽内液面下降的高度 。
分析：
不稳定流动系统
瞬间柏努利方程
微分物料衡算
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解：
在 dθ时间内对系统作物料衡算, 设 F’为瞬间进料率,
D’为瞬时出料率, dA’为在 dθ时间内的积累量,
F’dθ－ D’dθ＝ dA’
∵ dθ时间内, 槽内液面下降 dh,液体在管内瞬间流速
为 u，
0??? F udD 204??? dhDAd 24???
上式变为：
dhDud 220 44 ?? ??
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( 1 )
2
0 u
dh
d
Dd
???
?
???
????
在瞬时液面 1-1’ 与管子出口内侧截面 2-2’ 间列柏努利
方程
式, 并以 截面 2-2’ 为基准水平面, 得：
??????? hfPugZPugZ ?? 2
2
2
2
1
2
1
1 22
式中：
，hmZ ?1 mZ 02 ?
0 1? u uu ?2
21 PP ? ? ? 240 uhf
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25.4081.9 uh ?
( 2 ) 4 9 2.0 hu ?
将 （ 2） 式代入 （ 1） 式得：
h
dh
d
Dd
4 9 2.0
2
0
???
?
???
????
h
dh
4 92.004.0
3 2?
?
??
?
???
h
dh1 1 4 3 3??
两边积分,；,mh 90 11 ??? hmhs ???
22 3 6 0 04,?
???? ? h hdhd 93 6 0 040 1 1 4 3 3?
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? ?hhh 91221143336004 ?????
? ?9211433 ????? h
h=5.62m
∴ 经四小时后贮槽内液面下降高度为：
9－ 5.62=3.38m
