第四章 有限长单位脉冲响应（ FIR）
滤波器的设计方法
序言
§ 4.1 线性相位 FIR数字滤波器的特性
§ 4.2 窗口设计法（时间窗口法）
§ 4.3 频率取样法
§ 4.4 FIR数字滤波器的最优化设计
§ 4.5 IIR与 FIR数字滤器的比较
序言
FIR数字滤波器的差分方程描述
①
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iha
对应的系统函数
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
③
比较①、③得：
FIR数字滤波器的特点 (与 IIR数字滤波器比较 )：
优点,（ 1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理
的信号 产生相位失真，这一特点在 宽频带信
号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中
非常重要；
（ 2 ）可得到多带幅频特性；
（ 3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；
（ 4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一
定的延时，转变为因果序列,所以因果性总是
满足；
（ 5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：（ 1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较
高的阶数为代价；
（ 2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解
析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
§ 4.1 线性相位 FIR数字滤波器的特性
???? ??)(
4.1.1 线性相位的条件
线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的
线性函数，即
式中 ?为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
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d
d
g
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FIR滤波器的 DTFT为
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N
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式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等
式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部
与虚部的比值应当相等,
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左边，应用三角函数的恒等关系
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有一附加的相位，即
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偶对称
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奇对称
)(nh
图 1 线性相位特性
分四种情况
4.1.2 线性相位 FIR滤波器的幅度特性
分四种情况
1,偶对称,N为奇数 h(n)=h(N-1-n))(nh
4.1.2 线性相位 FIR滤波器的幅度特性
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令
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由于 偶对称，因此 对这些频
率也呈偶对称。
2,h(n)偶对称, N为偶数 h(n)=h(N-1-n)
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或写为：
由于 奇对称，所以 对
也为奇对称，且由于 时，
处必有一零点，因此这
种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高
通、带阻滤波器。
3,h(n)奇对称,N为奇数,h(n)=-h(N-1-n)
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由于 点呈奇对称，所以 对
这些点也奇对称。
由于 时,相当于
H（ z）在 处有两个零点，不能用于
的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器
的设计。
4.h(n)奇对称,N为偶数
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?????? ?????? ? 21s i n n?由于 在 ω=0,２ π处为零，所以
H(ω)在 ω=0,2π处为零，即 H(z)在 z=1上有零点，并对
ω=0,2π呈奇对称。
四种线性相位 FIR滤波器
四种线性相位 FIR DF特性，参考 P91 表 4.1
第一种情况,偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计
高通和带阻。
第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器
都不能设计。
第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设
计低通和带阻。
例 1 N=5,h (0) = h (1) = h (3)
= h (4) = -1/2,h (2) = 2，求
幅度函数 H (ω)。
解 Ｎ 为奇数并且 h(n)满足偶
对称关系
a (0) = h (2) = 2
a (1) = 2 h (3) = -1
a (2) = 2 h (4) = -1
H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
= 2- (cosω+cos2ω)
小结：
?四种 FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，
而与 h(n)的值无关。
?幅度特性取决于 h(n)。
?设计 FIR数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条件下，只要
完成幅度特性的逼近即可。
注意：当 H(ω)用 │H(ω)│表示时，当 H(ω)为奇对称时，其
相频特性中还应加一个固定相移 π。
4.1.3 线性相位 FIR滤波器的零点特性
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N
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zmhzH
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由该式可看出, 若 z=zi是 H（ z） 的零点, 则 z=z-1i也一定是 H（ z） 的
零点 。 由于 h(n)是实数, H（ z） 的零点还必须共轭或对, 所以 z=z*i 及
z=1/z*也必是零点 。
所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对, 即成四出
现, 这种共轭对共有四种
可能的情况：
① 既不在单位园上, 也不在实轴上, 有四个互为倒数的两组共轭
对, zi z*i 1/zi 1/z*i 图 4.2(a)
② 在单位圆上, 但不在实轴上, 因倒数就是自己的共轭, 所以有一
对共轭零点, zi,z*i 图 4.2（ b）
③ 不在单位圆上, 但在实轴上, 是实数,共轭就是自己, 所以有一对
互为倒数的零点,
zi,1/zi 图 4.2（ c）
④ 又在单位圆上, 又在实轴上, 共轭和倒数都合为一点, 所以成单
出现, 只有两种可能,
zi=1或 zi=-1 图 4.2(d),p92
我们从幅度响应的讨论中已经知道, 对于第二种 FIR滤波器 （ h(n)偶
对称, N为偶数 ）,,
即 是 的零点, 既在单位圆, 又在实轴, 所以, 必
有单根；同样道理, 对于第三种
FIR滤波器,h(n)奇对称,N为奇数，因 所以 z=1,z=-1
都是 H（ z）的单根；对于
第四种滤波器,h(n)奇对称,N为偶数,H（ O） =0，所以 z=1是
H（ z）的单根。
所以,h(n)奇对称 → H(0)=0
N为偶数 → H(π)=0
线性相位滤波器是 FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用
时应根据需用选择其合适
类型，并在设计时遵循其约束条件。
§ 4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为, 那么
FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数
去逼近, 逼近方法有三种：
窗口设计法 （ 时域逼近 ）
频率采样法 （ 频域逼近 ）
最优化设计 （ 等波纹逼近 ）
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手, 使 h(n)逼近
理想的单位脉冲响应序列 hd(n)。 我们知道 hd(n)可以从理想频响
通过付氏反变换获得
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2
2
1)(
o
njj
dd deeHnh
但一般来说，理想频响 是分段恒定，在
边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位
脉冲响应 hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果
的。但 FIR的 h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有
限长的序列去近似无限长的 hd(n)。最简单的办法是
直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地
想象为 h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段 hd(n)，
因此, h(n)也可表达为 h(n)和一个“窗函数”的乘积
，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数 RN（ n），当
然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性
，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内
对 hd(n)作一定的加权处理。
设计步骤：
)()()()( nwnhnheH ddjd ???
)()( nheH j ??
)()( nheH djd ??设
1）由定义
)())(()2 ?jeHnhD F T ?
3）卷积
插值
一,矩形窗口法
则
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c
以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为
例,讨论 FIR的设计问题。
a,对于给定的理想低通滤波器,计算
：低通滤波器的延时
)(nhd
理想特性的 hd(n)和 Hd(ω)
这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如
果截取一段 n=0～ N-1的 hd(n)作为 h(n)，则为保证所得到的是
线性相位 FIR滤波器，延时 应为 h(n)长度 N的一半,即
2/)1( ?? N?
为其它值n
Nnonh
nwnhnh dRd
0
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???
其中
b.计算
)(nh
c.计算 。
设 为窗口函数的频谱,
用幅度函数和相位函数来表示, 则有
其线性相位部分 则是表示延时一半长度,
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)( ?jeH )(*)()( ??? jRjdj eWeHeH ?
矩形窗函数及其幅度函数（见 P94图 4.4）
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对频响起作用的是它的幅度函数
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
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1
如果也以幅度函数 和相位函数来表示 H（ ejω）,
则实际 FIR滤波器的幅度函数 H（ ω）为
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
??? ? jj eHeH ?? )()(
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2
1)(
矩形窗的卷积过程（ P95的图 4.5来说明）
)(?RW
Nc ?? 2??
)(?RW
4个特殊频率点看卷积结果：
（ 1） ω=0时,H(0)等于 在 [-ωc,ωc]内的积分面积
因一般 故 H(0)近似为
在 [-π,π]内的积分面积
（ 2） ω=ωc时，一半重叠，
H(ωc)=0.5 H(0);
（ 3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通
带外，出现正肩峰；
（ 4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在
通带内，出现负肩峰。
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为,
等于 WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于
WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强
，与 N无关。（决定于窗口形状）
③ N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。
因主瓣附近
其中 x=Nω/2,所以 N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只
能改变 WR（ ω）的绝对值大小和起伏的密度，当 N增加时，幅
值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为 8.95%，这种现象称
为吉布斯（ Gibbs）效应。
x
xN
N
NNNW
R
s in
2/
)2/s in (
)2/s in (
)2/s in ()( ???
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0 0.25 0.5 0.75 1
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-30
-21
-10
0 N=15
N=31
用矩形窗设计的 ?c=?/2 FIR滤波器的幅度响应
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有
许多种，但要满足以下两点要求：
① 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；
②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在
主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和
通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来
换取对旁瓣的抑制。
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内
的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。
几种常用的窗函数：
1,矩形窗，上面已讲过，不再细述
2,汉宁窗（升余弦窗）
利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数
W（ ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：
)(]12c o s1[21)( nRN nnw N?????? ??? ?
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WeWeW
??
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??
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??????? )1
2()
1
2(25.0)(5.0)(
NWNWWW RRR
??????
三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能
量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加
1倍，为 。
3,汉明窗 （ 改进的升余弦窗 ）
它是对汉宁窗的改进, 在主瓣宽度 （ 对应第一零点的宽度
） 相同的情况下, 旁瓣进一步减小, 可使 99.96%的能量集
中在窗谱的主瓣内 。
4,布莱克曼窗 （ 三阶升余弦窗 ）
增加一个二次谐波余弦分量, 可进一步降低旁瓣, 但主瓣
宽度进一步增加, 为 。 增加 N可减少过渡带 。
频谱的幅度函数为：
)(12c o s46.054.0)( nRN nnw N?
?
?
??
? ?
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??
?
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???
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)(14c o s08.012c o s5.042.0)( nRN nN nnw N?
?
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???
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?????? ??????? )12()12(25.0)(42.0)( NWNWWW RRR ??????
?????? ?????? )14()14(04.0 NWNW RR ????
窗口函数的频谱 N=51,A=20lg|W(ω)/W(0)|
四种窗函数的比较
窗函数 主瓣宽度 过渡带宽 旁瓣峰值衰减
( d B )
阻带最小衰减
( d B )
矩形 N/4 ? N/8.1 ? - 1 3 - 2 1
汉宁 N/8 ? N/2.6 ? - 3 1 - 4 4
汉明 N/8 ? N/6.6 ? - 4 1 - 5 3
布莱克曼 N/12 ? N/11 ? - 5 7 - 7 4
5.凯塞窗
以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降
低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。
? ?? ?
? ? 10
1/211
)(
2
???
?????? ???
? Nn
I
NnI
nw
o
o
?
?
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数 β可自由选择，决定主瓣
宽度与 旁瓣衰减。 β越大,w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽
，旁瓣变小。一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明
β=8.5 接近布莱克曼
β=0 为矩形
图 2 凯塞窗函数图 1 零阶修正贝塞尔函数
I0(x)
x0
1
β 过渡带 通带波纹 （ dB ） 阻 带 最 小 衰 减
( d B )
2, 1 2 0 3, 0 0 π /N ± 0, 2 7 - 3 0
3, 3 8 4 4, 4 6 π /N ± 0, 0 8 6 4 7 - 4 0
4, 5 3 8 5, 8 6 π /N ± 0, 0 2 7 4 - 5 0
5, 6 5 8 7, 2 4 π /N ± 0, 0 0 8 6 8 - 6 0
6, 7 6 4 8, 6 4 π /N ± 0, 0 0 2 7 5 - 7 0
7, 8 6 5 1 0, 0 π /N ± 0, 0 0 0 8 6 8 - 8 0
8, 9 6 0 1 1, 4 π /N ± 0, 0 0 0 2 7 5 - 9 0
1 0, 0 5 6 1 2, 8 π /N ± 0, 0 0 0 0 8 7 - 1 0 0
而
当 M>>N时, hM(n)≈hd(n)
零阶贝塞尔函数
? ?
N
k
j
dd eHkH ??
?
2)( ??
窗口设计法的主要工作是计算 hd(n)和 w(n)，当
较为复杂时,hd(n)不容易由反付里叶变换求得。这时一般可
用离散解里叶变换代替连续付里叶变换，求得近似值：
令
?
?
?
?
1
0
/2)(1)(
M
n
Mknj
dM ekHMnh
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2
1
0 ]!
)2/([1)( ??
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k
k
k
xxI
??过渡带宽
At阻带最小衰减为
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?????
??
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2 8 6.2
8
21,0
5021),21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0
50),7.8(1 1 0 2.0
4.0
At
N
dBAt
dBAtdBAtAt
dBAtAt
例 用 凯塞窗 设计一 F I R 低通滤波器，低通边界频率 ?? 3.0?c,阻带边界频率 ?? 5.0?r,
阻带衰减 At 不小于 50 dB 。
解 首先求解 )( nh d,根据指标要求其 边界频率应为
?
????
? 4.0
2
5.03.0
2
'
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c
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n
n
n
n
deenh
c
c
njj
d
c
c
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)](s in [
2
1
)(
'
'
'
'
???? 2.0???? cr
302.02 8 5.2 850 ???? ?N 55.4)7.850(1 1 0 2.0 ????
w n = k a i s e r ( 3 0,4, 5 5 ) ;
n n = [ 0, 1, 2 9 ] ;
a l f a = ( 3 0 - 1 ) / 2 ;
h d = s i n ( 0, 4 * p i * ( n n - a l f a ) ), / ( p i * ( n n - a l f a ) ) ;
h = h d, * w n ' ;
[ h 1,w 1 ] = f r e q z ( h,1 ) ;
p l o t ( w 1 / p i,2 0 * l o g 1 0 ( a b s ( h 1 ) ) ) ;
a x i s ( [ 0,1,- 8 0,1 0 ] ) ;
g r i d ;
x l a b e l ( ' 归一化频率 / ? ')
y l a b e l ( ' 幅度 / d B ' )
§ 4.3 频率采样法
工程上, 常给定频域上的技术指标, 所以采用频域设计
更直接 。
一, 基本思想
使所设计的 FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率
点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值, 在其
它频率处的特性则有较好的逼近 。
内插公式
二,设计方法
1）确定
2）计算
3）计算
kkH ?、
)(ZH
)(nh
,)()( 2 kjk
N
k
j
d eHkHeH
?
??
? ??
?
1,,1,0 ?? Nk ?
,)(1)(
1
0
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N
k
NnkjekH
N
nh ?1,,1,0 ?? Nn ?
?
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?
??
1
0
)()(
N
n
nznhzH
三,约束条件
为了设计线性相位的 FIR滤波器，采样值 H（ k）要满
足一定的约束条件。
前已指出,具有线性相位的 FIR滤波器，其单位脉冲响
应 h(n)是实序列，且满足,由此得
到的幅频和相频特性，就是对 H(k)的约束。（表 4.1）。
例如，要设计第一类线性相位 FIR滤波器，即 N为奇数，
h(n)偶对称，则
幅度函数 H（ ω）应具有偶对称性：
)1()( nNhnh ????
? ? ?????? ??? 2 1)( Njj eHeH ?? ?
)2()( ??? ?? HH
令
则 必须满足偶对称性：
而 必须取为：
kjk eHkH ??)(
N
kNN
k
N
k
???
??
)1(
2
1
2
???
?
?
??
?
? ???
?
同样，若要设计第二种线性相位 FIR滤波器,N为偶数，
h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，
? ? ? ???? ??? 2HH
kNk HH ??kH 1,,1,0 ?? Nk ?
1,,1,0 ?? Nk ?
因此,Hk 也必须满足奇对称性：
相位关系同上，
其它两种线性相位 FIR数字滤波器的设计，同样也要满足
幅度与相位的约束条件。
kNk HH ???
1,1,0,)1( ????? NkN kNk ???
1,1,0 ?? Nk ?
四、逼近误差
由 或 H（ z）。
由上述设计过程得到的 与 的逼近程度
，以及 与 H（ k）的关系？
由
1,,1,0,)(
1
)(
1
0
/2 ??? ?
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NnekH
N
nh
N
k
Nnkj ??
令, 则
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N
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n
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N
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n zekH
N
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ze
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kH
N Nkj
NN
k
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?? 1
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)(1)( N
k
k
N
zW
kH
N
zzH
NjeW /2 ???
单位圆上的频响为：
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0
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)(1 N
k
jNkj
Nj
j
ee
kH
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0
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2/s i n)(1 N
k
N
kN
j
e
Nk
NkH
N
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1
0
)(
N
k
j
k ekH
??
这是一个内插公式。
式中
为内插函数
令 则
? ? ? ?? ? ?????? ????? NkNjjk eNkNNe ??? ?? ?? 2 12//2s i n )2/s i n (1
?
?
?
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??
ki
kie iNj
k 0
1)( 2 ??
1,,1,0,?? Ni ?
内插公式表明：
? 在每个采样点上, 逼近误差为零,
频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等；
?在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭
加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想
频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；
反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，
会产生肩峰和波纹。
?N增大，则采样点变密，逼近误差减小。
图 频率采样的响应
例：设计一个 FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为
采样点数 N=33，要求线性相位。
解：根据 P.142的表 4.1，能设计低通线性相位数字滤波器的只
有 1,2两种，因 N为奇数，所以只能选择第一种。
即 h(n)=h(N-1-n),幅频特性关于 π偶对称，也即 HK 偶对称。
利用 HK 的对称性,求 π～ 2π区间的频响采样值。
? ?
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??
???
???
???
5.00
5.001j
d eH
根据指标要求，在 0～ 2π内有 33个取样点，所以第 k点对
应频率为 而截止频率 0.5π位于 之间
，所以,k=0～ 8时，取样值为 1；根据对称性，
故 k=25～ 32时，取样值也为 1，因 k=33 为下一周期，所以
0～ π区间有 9个值为 1的采样点,π～ 2π区间有 8个值为 1 的
采样点，因此：
258 HH ?
330 HH ?
321 HH ?
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?????
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320
33
32
2
1
24~90
32~25;8~01
2
kk
N
k
k
H
k
N
k
k
???
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将 代入内插公式，求 H(ejω)：
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1632
2//2sin
2/sin1 N
k
N
kj
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kj
kj ee
Nk
NH
N
eH
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16
32
0
2/33/2s i n
332
33s i n
33
1 j
k
k
e
k
k
H
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考虑到 8<k<25时 Hk=0，而其它 k时,Hk=1,令 k=33-n，则
? ?? ??? ?
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32
25 2/33/2s in
332
33s in
k
k
k
k
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2
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n n
n
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n
k
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33s i n
332
s i n
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2
s i n
2
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s i n
33
1
)(
k
j
k
k
k
k
eH
??
??
??
??
?
?
?
从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔
2π/33，而最小阻带衰减略小于 20dB。
对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不
能令人满意的。
增大阻带衰减三种方法：
1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在 k=9和 k=24处各增加一个过渡带采
样点 H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔
4π/33，重新计算的 H(ejω)见图 4.12(c)，其阻带衰减增加到
约 -40dB。
2） 过渡带的优化设计
根据 H(ejω)的表达式,H(ejω)是 Hk的线性函数，因此还可
以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求
的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。
例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择 H9,H24,使通
带或阻带内的最大绝对误差最小化。
要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到
最大），可计算得 H9=0.3904。对应的 H(ejω)的幅频特性，比
H9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约 -50dB。如果还要进一步
改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第
三个不等于 0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些
取样值。
3） 增大 N
如果要进一步增加阻带衰减, 但又不增加过渡带宽, 可增加
采样点数 N。
例如, 同样边界频率 ωc=0.5π,以 N=65采样, 并在 k=17和 k=48
插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值 H17=H48=0.5886,在
k=18, 47 处 插 入 经 阻 带 衰 减 最 优 化 计 算 获 得 的 采 样 值
H17=H48=0.1065,这时得到的 H(ejω),过渡带为 6π/65,而阻带衰
减增加了 20多分贝, 达 -60dB以上, 当然, 代价是滤波器阶数增
加, 运算量增加 。
N=65;k=0:(N-1)/2;
Wm=2*pi*k./N;
Ad(1:(N+1)/2)=1;
Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;
Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);
Hd=[Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) )];
h=real(ifft(Hd));
w=linspace(0,pi-0.1,1000);
H=freqz(h,[1],w);
plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;
小结：
频率采样设计法优点：
① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；
② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非
零值。
典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆
盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；
缺点：截止频率难以控制。
因频率取样点都局限在 2π/N的整数倍点上，所以在指
定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板
。 充分加大 N，可以接近任何给定的频率，但计算量和
复杂性增加。
§ 4.4 FIR数字滤波器的最优化设计
前面介绍了 FIR数字滤波器的两种逼近设计方法, 即窗口
法 （ 时域逼近法 ） 和频率采样法 （ 频域逼近法 ）, 用这两种方
法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频
率特性 Hd(ejω)的逼近 。
说到逼近, 就有一个逼近得好坏的问题, 对, 好,,坏
” 的恒量标准不同, 也会得出不同的结论, 我们前面讲过的窗
口法和频率采样法都是先给出逼近方法, 所需变量, 然后再讨
论其逼近特性, 如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参
数, 以获取最优的结果, 这就引出了最优化设计的概念, 最优
化设计一般需要大量的计算, 所以一般需要依靠计算机进行辅
助设计 。
最优化设计的前提是最优准则的确定，在 FIR滤波
器最优化设计中，常用的准则有
①最小均方误差准则
②最大误差最小化准则。
1) 均方误差最小化准则，
若以 E(ejω)表示逼近误差，则
那么均方误差为
? ? ? ? ? ???
??
??? ?
?
??
?
?? ?
???? deEdeHeH
jjj
d
222
2
1
2
1
)()( ??? jjdj eHeHeE ??）（
均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误
差,这一方法注重的是在整个 -π～ π频率区间内总误
差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点
可能会有较大的误差，对于窗口法 FIR滤波器设计，因采用有
限项的 h(n)逼近理想的 hd(n)，所以其逼近误差为：
如果采用矩形窗
则有
?
?
???
??
n
d nhnh
22 )()(?
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? ????
其它0
1)()( Nnonhnh d
? ?
?
???
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????
1
222 |)()(||)()(|
n Nn
dd nhnhnhnh?
可以证明，这是一个最小均方误差。
所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差 FIR设计
，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是
局部点误差大,或者说误差分布不均匀。
2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）
表示为
其中 F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是
通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择 N个频率采样值
（ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误
差达到最小。也叫等波纹逼近。
优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，
相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。
m i n|)(|m ax ??jeE
F??
例如, 我们提到的频率采样最优化设计, 它是从已知的
采样点数 N,预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取
样 （ 即过渡带取样 ） 出发, 利用迭代法 （ 或解析法 ） 得到具
有最小的阻带最大逼近误差 （ 即最大的阻带最小衰减 ） 的 FIR
滤波器 。 但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调
整滤波器特性 。 如果所有频率采样值 （ 或 FIR时域序列 h(m)）
都可调整, 显然, 滤波器的性能可得到进一步提高 。
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?
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M
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M
n
j
nna
nnhheH
0
1
c o s)(
c o s)(2)0()(
?
?
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低通滤波器的误差分配
切比雪夫最佳一致逼近
如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：
M,ωc,ωr,δ1,δ2
按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带
0?ω?ωp 内以最大误差 δ1 逼近 1，在阻带 ωr ?ω??内
以最大误差 δ2逼近零。
要同时确定上述五个参数较困难 。 常用的两种逼近方法：
1） 给定 M,δ1,δ2,以 ωc和 ωr为变量 。
缺点：边界频率不能精确确定 。
2） 给定 M,ωc和 ωr,以 δ1和 δ2为变量, 通过迭代运算
,使逼近误差 δ1和 δ2 最小, 并确定 h(n)——切比雪
夫最佳一致逼近 。
特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。
等波动逼近的低通滤波器
?c ?r
一,误差函数
定义逼近误差函数：
? ? ? ?? ?)()( ???? HHWE d ??
为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和
阻带内的误差值，
是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，
所要设计的滤波器的幅频特性
理想滤波器的幅频特性
? ?
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c
dH 0
01
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r
ckW
1
0
1
例如，希望在固定 M,?c,?r 的情况下逼近一个低通滤波
器，这时有
21 ?? k?
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2
1c o s)()(
0
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NMnnaH M
n
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2
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2
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nn
N
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N
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对于表 4.1中的第一种滤波器，
? ? )1(]c o s)()()[()(
0
?
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??
M
n
d nnaHWE ????
于是
切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数
使逼近误差的最大值达到最小，即
,,,1,0),( Mnna ??
2?
? ? m i nm a x ??E
给定后等效于求 最小。
二,交替定理（最佳逼近定理）
令 F表示闭区间 的任意闭子集，为了使
在 F 上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数
在 F 上至少应有（ M+2）次“交替”，
即
其中,且 属于 F。
1） 至少有 M+2 个极值，且极值正负相间，具有等波
纹的性质,
2）由于 是常数，所以 的极值也就是
的极值。
)(?H
)(?dH
借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理
。这时，闭子集 F包括区间 和 。因
为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数
各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误
差容限时的频率。
根据前面的讨论,在开区间 内至多
有 M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令
的约束条件为,
，再加上 和 π处的极值，误差曲线最多有 M+1个
极值频率（交替）满足定理。
逼近方法：固定 k,M,和,以 作为参变量。按照
交替定理，如果 F 上的 M+2个极值点频率
已知，则由（ 1）式可得到 M+2 个方程：
? ? ? ? ? ? ???? i
M
n
iidi nnaHW )1(c o s)(
0
???
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?
??
? ? ?
?
为极值点频率对应的误差函数值
c? r?c?r?
? ?10 ???? Mllc ??
1?? lr ??
注意：极值点频率必须位于 和
区间内。由于 和 固定，因而 和 必为这些极值
频率中的一个，设,则应有
求解上述方程组可得到全部系数
问题,1）实际情况下,M+2 个极值点频率未知；
2）直接求解上述非线性方程组比较困难。
雷米兹（ Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼
近问题的方法。
雷米兹交替算法
三,雷米兹（ Remez）算法
1）在频率子集 F 上均匀等间隔地选取 M+2 个极值点
频率
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kk
k
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11
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M
kii
k ??? ???
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式中
2）由 求 和
利用重心形式的拉格朗日插值公式,
)(?H )(?E
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k
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k
k
k H
H
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k
k
kdk,,1,0)()1()()( ????? ?
???
其中
? ? ? ?? ?)()( ???? HHWE d ??
如在频带 F 上，对所有频率都有,则
为所求,即为极值点频率。 ? ? ?? ?E
?
3）对上次确定的极值点频率 中的每一点，在
其附近检查是否在某一频率处有,
如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对 M+2 个极值
点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤
1）,2），求出,完成一次迭代。
重复上述步骤，直到 的值改变很小，迭代结束，这
个 即为所求的 最小值。由最后一组极值点频率求
出,反变换得到,完成设计。
优点,可准确确定；
逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。
? ? ?? ?E
)()( ??? EH,、
?
? 2?
)(?H )(nh
sc ?? 和
有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长
度 N：
? 对于窄带低通滤波器，对滤波器长度 N起主要
作用：
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2/)(6.14
13lg20 21
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N
1
2/)(
22.0lg20 2
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cr
N
例 4 利用 雷米兹 交替算法,设计一个线性相位低
通 FIR 数字滤波器，其指标为：通带边界频率
f c = 8 0 0 H z, 阻 带 边 界 f r = 10 0 0 H z, 通 带 波 动
dB5.0?? 阻 带 最 小 衰 减 At = 4 0 dB, 采 样 频 率
f s = 4 0 0 0 H z 。解 05 59.0101 20/
1
???
? ?
?
01.010
20/
2
??
? At
?
??? 4.04000/2800 ???
c
??? 5.04 00 0/21 00 ???
r
代入 （ 4, 84 ）式求得 28?N,
f ed g e=[80 0 1 0 0 0 ];
m v al=[ 1 0];
d ev =[ 0,0559 0.0 1 ] ;
f s=4 0 0 0 ;
[ N,f p ts,m ag,wt]= r e m ezord (f ed g e,m v al,dev,f s);
b =re m e z(N,f p ts,m ag,wt) ;
[ h,w] =f reqz(b,1,25 6 );
p lo t(w*2 0 0 0 / p i,20*lo g 1 0 (abs (h))) ;
g rid;
x lab el(' 频率 /H z')
y lab el(' 幅度 /d B')
§ 4.5 IIR与 FIR数字滤器的比较
FIR IIR
设计方
法
一般无解析的设计公式, 要
借助计算机程序完成
利用 AF的成果, 可简单,
有效地完成设计
设计结
果
可得到幅频特性 （ 可以多带 ）
和线性相位 （ 最大优点 ）
只能得到幅频特性, 相频特性未知
（ 一大缺点 ）, 如需要线性相位,
须用全通网络校准, 但增加滤波器
阶数和复杂性
稳定性 极点全部在原点 （ 永远稳定 ）
无稳定性问题
有稳定性问题
阶数
高
结构 非递归 递归系统
运算误
差
一般无反馈, 运算误差小 有反馈, 由于运算中的四舍
五入会产生极限环
快速算
法
可用 FFT实现, 减少运算量 无快速运算方法
低
滤波器的设计方法
序言
§ 4.1 线性相位 FIR数字滤波器的特性
§ 4.2 窗口设计法（时间窗口法）
§ 4.3 频率取样法
§ 4.4 FIR数字滤波器的最优化设计
§ 4.5 IIR与 FIR数字滤器的比较
序言
FIR数字滤波器的差分方程描述
①
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N
i
i inxany
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1
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i
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i zazH
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N
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1
0
)()(
)(
N
i
i
i
zihzH
iha
对应的系统函数
因为它是一种线性时不变系统，可用卷积和形式表示
③
比较①、③得：
FIR数字滤波器的特点 (与 IIR数字滤波器比较 )：
优点,（ 1）很容易获得严格的线性相位，避免被处理
的信号 产生相位失真，这一特点在 宽频带信
号处理、阵 列信号处理、数据传输等系统中
非常重要；
（ 2 ）可得到多带幅频特性；
（ 3 ）极点全部在原点（永远稳定），无稳定 性问题；
（ 4 ）任何一个非因果的有限长序列，总可以通过一
定的延时，转变为因果序列,所以因果性总是
满足；
（ 5）无反馈运算，运算误差小。
缺点：（ 1）因为无极点，要获得好的过渡带特性，需以较
高的阶数为代价；
（ 2）无法利用模拟滤波器的设计结果，一般无解
析设计 公式，要借助计算机辅助设计程序完成。
§ 4.1 线性相位 FIR数字滤波器的特性
???? ??)(
4.1.1 线性相位的条件
线性相位意味着一个系统的相频特性是频率的
线性函数，即
式中 ?为常数，此时通过这一系统的各频率分
量的时延为一相同的常数，系统的群时延为
?
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d
d
g
)(
FIR滤波器的 DTFT为
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??
?? ??
N
n
njjj enheHeH ???? ?
式中 H(ω)是正或负的实函数。等式中间和等
式右边的实部与虚部应当各自相等，同样实部
与虚部的比值应当相等,
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n
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nnh
nnh
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c o s
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将上式两边交叉相乘，再将等式右边各项移到
左边，应用三角函数的恒等关系
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N
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nnh ??s in
满足上式的条件是
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另外一种情况是，除了上述的线性相位外，还
有一附加的相位，即
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利用类似的关系，可以得出新的解答为
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? ???
??20
?)5.0( ?? N
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偶对称
)(nh
奇对称
)(nh
图 1 线性相位特性
分四种情况
4.1.2 线性相位 FIR滤波器的幅度特性
分四种情况
1,偶对称,N为奇数 h(n)=h(N-1-n))(nh
4.1.2 线性相位 FIR滤波器的幅度特性
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令
则
由于 偶对称，因此 对这些频
率也呈偶对称。
2,h(n)偶对称, N为偶数 h(n)=h(N-1-n)
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或写为：
由于 奇对称，所以 对
也为奇对称，且由于 时，
处必有一零点，因此这
种情况不能用于设计 时 的滤波器，如高
通、带阻滤波器。
3,h(n)奇对称,N为奇数,h(n)=-h(N-1-n)
? ? ? ? ? ?
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由于 点呈奇对称，所以 对
这些点也奇对称。
由于 时,相当于
H（ z）在 处有两个零点，不能用于
的滤波器设计，故不能用作低通、高通和带阻滤波器
的设计。
4.h(n)奇对称,N为偶数
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n
nndH ??
?????? ??? nNhnd 122)(
?????? ?????? ? 21s i n n?由于 在 ω=0,２ π处为零，所以
H(ω)在 ω=0,2π处为零，即 H(z)在 z=1上有零点，并对
ω=0,2π呈奇对称。
四种线性相位 FIR滤波器
四种线性相位 FIR DF特性，参考 P91 表 4.1
第一种情况,偶、奇，四种滤波器都可设计。
第二种情况，偶、偶，可设计低、带通滤波器，不能设计
高通和带阻。
第三种情况，奇、奇，只能设计带通滤波器，其它滤波器
都不能设计。
第四种情况，奇、偶，可设计高通、带通滤波器，不能设
计低通和带阻。
例 1 N=5,h (0) = h (1) = h (3)
= h (4) = -1/2,h (2) = 2，求
幅度函数 H (ω)。
解 Ｎ 为奇数并且 h(n)满足偶
对称关系
a (0) = h (2) = 2
a (1) = 2 h (3) = -1
a (2) = 2 h (4) = -1
H (ω) = 2 - cosω- cos2ω
= 2- (cosω+cos2ω)
小结：
?四种 FIR数字滤波器的相位特性只取决于 h(n)的对称性，
而与 h(n)的值无关。
?幅度特性取决于 h(n)。
?设计 FIR数字滤波器时，在保证 h(n)对称的条件下，只要
完成幅度特性的逼近即可。
注意：当 H(ω)用 │H(ω)│表示时，当 H(ω)为奇对称时，其
相频特性中还应加一个固定相移 π。
4.1.3 线性相位 FIR滤波器的零点特性
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N
m
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zmhz
zmhzH
? ? ? ? ? ?11 ????? zHzzH N
由该式可看出, 若 z=zi是 H（ z） 的零点, 则 z=z-1i也一定是 H（ z） 的
零点 。 由于 h(n)是实数, H（ z） 的零点还必须共轭或对, 所以 z=z*i 及
z=1/z*也必是零点 。
所以线性相位滤波器的零点必须是互为倒数的共轭对, 即成四出
现, 这种共轭对共有四种
可能的情况：
① 既不在单位园上, 也不在实轴上, 有四个互为倒数的两组共轭
对, zi z*i 1/zi 1/z*i 图 4.2(a)
② 在单位圆上, 但不在实轴上, 因倒数就是自己的共轭, 所以有一
对共轭零点, zi,z*i 图 4.2（ b）
③ 不在单位圆上, 但在实轴上, 是实数,共轭就是自己, 所以有一对
互为倒数的零点,
zi,1/zi 图 4.2（ c）
④ 又在单位圆上, 又在实轴上, 共轭和倒数都合为一点, 所以成单
出现, 只有两种可能,
zi=1或 zi=-1 图 4.2(d),p92
我们从幅度响应的讨论中已经知道, 对于第二种 FIR滤波器 （ h(n)偶
对称, N为偶数 ）,,
即 是 的零点, 既在单位圆, 又在实轴, 所以, 必
有单根；同样道理, 对于第三种
FIR滤波器,h(n)奇对称,N为奇数，因 所以 z=1,z=-1
都是 H（ z）的单根；对于
第四种滤波器,h(n)奇对称,N为偶数,H（ O） =0，所以 z=1是
H（ z）的单根。
所以,h(n)奇对称 → H(0)=0
N为偶数 → H(π)=0
线性相位滤波器是 FIR滤波器中最重要的一种，应用最广。实际使用
时应根据需用选择其合适
类型，并在设计时遵循其约束条件。
§ 4.2 窗口设计法（时域）
如果希望得到的滤波器的理想频率响应为, 那么
FIR滤波器的设计就在于寻找一个传递函数
去逼近, 逼近方法有三种：
窗口设计法 （ 时域逼近 ）
频率采样法 （ 频域逼近 ）
最优化设计 （ 等波纹逼近 ）
时间窗口设计法是从单位脉冲响应序列着手, 使 h(n)逼近
理想的单位脉冲响应序列 hd(n)。 我们知道 hd(n)可以从理想频响
通过付氏反变换获得
? ??? ? ?? ?
?
2
2
1)(
o
njj
dd deeHnh
但一般来说，理想频响 是分段恒定，在
边界频率处有突变点，所以，这样得到的理想单位
脉冲响应 hd(n)往往都是无限长序列，而且是非因果
的。但 FIR的 h(n)是有限长的，问题是怎样用一个有
限长的序列去近似无限长的 hd(n)。最简单的办法是
直接截取一段 hd(n) 代替 h(n) 。这种截取可以形象地
想象为 h(n)是通过一个“窗口”所看到的一段 hd(n)，
因此, h(n)也可表达为 h(n)和一个“窗函数”的乘积
，即
h(n)=w(n) hd(n)
在这里窗口函数就是矩形脉冲函数 RN（ n），当
然以后我们还可看到，为了改善设计滤波器的特性
，窗函数还可以有其它的形式，相当于在矩形窗内
对 hd(n)作一定的加权处理。
设计步骤：
)()()()( nwnhnheH ddjd ???
)()( nheH j ??
)()( nheH djd ??设
1）由定义
)())(()2 ?jeHnhD F T ?
3）卷积
插值
一,矩形窗口法
则
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))(s in (
2
1
2
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n
dee
deeHnh
cnjj
njj
dd
c
c
以一个截止频率为 ωc的线性相位理想低通滤波器为
例,讨论 FIR的设计问题。
a,对于给定的理想低通滤波器,计算
：低通滤波器的延时
)(nhd
理想特性的 hd(n)和 Hd(ω)
这是一个以为 中心的偶对称的无限长非因果序列，如
果截取一段 n=0～ N-1的 hd(n)作为 h(n)，则为保证所得到的是
线性相位 FIR滤波器，延时 应为 h(n)长度 N的一半,即
2/)1( ?? N?
为其它值n
Nnonh
nwnhnh dRd
0
1)(
)()()(
???
?
?
???
其中
b.计算
)(nh
c.计算 。
设 为窗口函数的频谱,
用幅度函数和相位函数来表示, 则有
其线性相位部分 则是表示延时一半长度,
? ?
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n
N
n
j
jN
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)2/s i n (
)2/s i n (2 1
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?? Ne Nj ?????? ???
??? ? jRj eWeW ?? )()(
)( ?jeH )(*)()( ??? jRjdj eWeHeH ?
矩形窗函数及其幅度函数（见 P94图 4.4）
? ? ? ?? ?2/s in 2/s in ??? NW R ?
对频响起作用的是它的幅度函数
理想频响也可以写成幅度函数和相位函数的表示形式
Hd(ejω)=Hd(ω)e-jωα
其中幅度函数为
两个信号时域的乘积对应于频域卷积，所以有
?
?
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c
c
dH
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R
j
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j
R
j
d
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?? ??? ?? ? ? ????? ????? deWeH jRjd )()()(2 1
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?? dWHe
Rd
j )()(
2
1
如果也以幅度函数 和相位函数来表示 H（ ejω）,
则实际 FIR滤波器的幅度函数 H（ ω）为
正好是理想滤波器幅度函数与窗函数幅度函数的卷积。
??? ? jj eHeH ?? )()(
?? ??
?
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????
?
? dWHH Rd )()(
2
1)(
矩形窗的卷积过程（ P95的图 4.5来说明）
)(?RW
Nc ?? 2??
)(?RW
4个特殊频率点看卷积结果：
（ 1） ω=0时,H(0)等于 在 [-ωc,ωc]内的积分面积
因一般 故 H(0)近似为
在 [-π,π]内的积分面积
（ 2） ω=ωc时，一半重叠，
H(ωc)=0.5 H(0);
（ 3） ω=ωc –2π/N时，第一旁瓣（负数）在通
带外，出现正肩峰；
（ 4） ω=ωc +2π/N 时，第一旁瓣（负数）在
通带内，出现负肩峰。
窗口函数对理想特性的影响：
①改变了理想频响的边沿特性，形成过渡带，宽为,
等于 WR(ω)的主瓣宽度。（决定于窗长）
②过渡带两旁产生肩峰和余振（带内、带外起伏），取决于
WR(ω)的旁瓣，旁瓣多，余振多；旁瓣相对值大，肩峰强
，与 N无关。（决定于窗口形状）
③ N增加,过渡带宽减小,肩峰值不变。
因主瓣附近
其中 x=Nω/2,所以 N的改变不能改变主瓣与旁瓣的比例关系，只
能改变 WR（ ω）的绝对值大小和起伏的密度，当 N增加时，幅
值变大，频率轴变密，而最大肩峰永远为 8.95%，这种现象称
为吉布斯（ Gibbs）效应。
x
xN
N
NNNW
R
s in
2/
)2/s in (
)2/s in (
)2/s in ()( ???
?
?
?
??
N?4
0 0.25 0.5 0.75 1
-40
-30
-21
-10
0 N=15
N=31
用矩形窗设计的 ?c=?/2 FIR滤波器的幅度响应
改变窗函数的形状，可改善滤波器的特性，窗函数有
许多种，但要满足以下两点要求：
① 窗谱主瓣宽度要窄，以获得较陡的过渡带；
②相对于主瓣幅度，旁瓣要尽可能小，使能量尽量集中在
主瓣中，这样就 可以减小肩峰和余振，以提高阻带衰减和
通带平稳性。
但实际上这两点不能兼得，一般总是通过增加主瓣宽度来
换取对旁瓣的抑制。
肩峰值的大小决定了滤波器通带内的平稳程度和阻带内
的衰减，所以对滤波器的性能有很大的影响。
几种常用的窗函数：
1,矩形窗，上面已讲过，不再细述
2,汉宁窗（升余弦窗）
利用付氏变换的移位特性，汉宁窗频谱的幅度函数
W（ ω）可用矩形窗的幅度函数表示为：
)(]12c o s1[21)( nRN nnw N?????? ??? ?
)(25.0)(5.0 1
2
1
2
nReenR NN
nj
N
nj
N ??
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2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
1
2
1
2
25.05.0
]
1
1
2
[25.05.0
N
j
RRR
N
N
j
R
N
N
j
R
N
j
R
j
e
N
W
N
WW
e
N
W
e
N
WeWeW
??
?
??
?
??????? )1
2()
1
2(25.0)(5.0)(
NWNWWW RRR
??????
三部分矩形窗频谱相加，使旁瓣互相抵消，能
量集中在主瓣，旁瓣大大减小，主瓣宽度增加
1倍，为 。
3,汉明窗 （ 改进的升余弦窗 ）
它是对汉宁窗的改进, 在主瓣宽度 （ 对应第一零点的宽度
） 相同的情况下, 旁瓣进一步减小, 可使 99.96%的能量集
中在窗谱的主瓣内 。
4,布莱克曼窗 （ 三阶升余弦窗 ）
增加一个二次谐波余弦分量, 可进一步降低旁瓣, 但主瓣
宽度进一步增加, 为 。 增加 N可减少过渡带 。
频谱的幅度函数为：
)(12c o s46.054.0)( nRN nnw N?
?
?
??
? ?
?
??
?
?
???
?
)(14c o s08.012c o s5.042.0)( nRN nN nnw N?
?
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??
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????
??
?
?
???
??
?????? ??????? )12()12(25.0)(42.0)( NWNWWW RRR ??????
?????? ?????? )14()14(04.0 NWNW RR ????
窗口函数的频谱 N=51,A=20lg|W(ω)/W(0)|
四种窗函数的比较
窗函数 主瓣宽度 过渡带宽 旁瓣峰值衰减
( d B )
阻带最小衰减
( d B )
矩形 N/4 ? N/8.1 ? - 1 3 - 2 1
汉宁 N/8 ? N/2.6 ? - 3 1 - 4 4
汉明 N/8 ? N/6.6 ? - 4 1 - 5 3
布莱克曼 N/12 ? N/11 ? - 5 7 - 7 4
5.凯塞窗
以上四种窗函数，都是以增加主瓣宽度为代价来降
低旁瓣。凯塞窗则可自由选择主瓣宽度和旁瓣衰减。
? ?? ?
? ? 10
1/211
)(
2
???
?????? ???
? Nn
I
NnI
nw
o
o
?
?
I0(x)是零阶修正贝塞尔函数，参数 β可自由选择，决定主瓣
宽度与 旁瓣衰减。 β越大,w(n)窗越窄，其频谱的主瓣变宽
，旁瓣变小。一般取 4<β<9。
β=5.44 接近汉明
β=8.5 接近布莱克曼
β=0 为矩形
图 2 凯塞窗函数图 1 零阶修正贝塞尔函数
I0(x)
x0
1
β 过渡带 通带波纹 （ dB ） 阻 带 最 小 衰 减
( d B )
2, 1 2 0 3, 0 0 π /N ± 0, 2 7 - 3 0
3, 3 8 4 4, 4 6 π /N ± 0, 0 8 6 4 7 - 4 0
4, 5 3 8 5, 8 6 π /N ± 0, 0 2 7 4 - 5 0
5, 6 5 8 7, 2 4 π /N ± 0, 0 0 8 6 8 - 6 0
6, 7 6 4 8, 6 4 π /N ± 0, 0 0 2 7 5 - 7 0
7, 8 6 5 1 0, 0 π /N ± 0, 0 0 0 8 6 8 - 8 0
8, 9 6 0 1 1, 4 π /N ± 0, 0 0 0 2 7 5 - 9 0
1 0, 0 5 6 1 2, 8 π /N ± 0, 0 0 0 0 8 7 - 1 0 0
而
当 M>>N时, hM(n)≈hd(n)
零阶贝塞尔函数
? ?
N
k
j
dd eHkH ??
?
2)( ??
窗口设计法的主要工作是计算 hd(n)和 w(n)，当
较为复杂时,hd(n)不容易由反付里叶变换求得。这时一般可
用离散解里叶变换代替连续付里叶变换，求得近似值：
令
?
?
?
?
1
0
/2)(1)(
M
n
Mknj
dM ekHMnh
?
2
1
0 ]!
)2/([1)( ??
?
??
k
k
k
xxI
??过渡带宽
At阻带最小衰减为
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?
?
?????
??
?
2 8 6.2
8
21,0
5021),21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0
50),7.8(1 1 0 2.0
4.0
At
N
dBAt
dBAtdBAtAt
dBAtAt
例 用 凯塞窗 设计一 F I R 低通滤波器，低通边界频率 ?? 3.0?c,阻带边界频率 ?? 5.0?r,
阻带衰减 At 不小于 50 dB 。
解 首先求解 )( nh d,根据指标要求其 边界频率应为
?
????
? 4.0
2
5.03.0
2
'
?
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? rc
c
?
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n
n
n
n
deenh
c
c
njj
d
c
c
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)(
)](s in [
2
1
)(
'
'
'
'
???? 2.0???? cr
302.02 8 5.2 850 ???? ?N 55.4)7.850(1 1 0 2.0 ????
w n = k a i s e r ( 3 0,4, 5 5 ) ;
n n = [ 0, 1, 2 9 ] ;
a l f a = ( 3 0 - 1 ) / 2 ;
h d = s i n ( 0, 4 * p i * ( n n - a l f a ) ), / ( p i * ( n n - a l f a ) ) ;
h = h d, * w n ' ;
[ h 1,w 1 ] = f r e q z ( h,1 ) ;
p l o t ( w 1 / p i,2 0 * l o g 1 0 ( a b s ( h 1 ) ) ) ;
a x i s ( [ 0,1,- 8 0,1 0 ] ) ;
g r i d ;
x l a b e l ( ' 归一化频率 / ? ')
y l a b e l ( ' 幅度 / d B ' )
§ 4.3 频率采样法
工程上, 常给定频域上的技术指标, 所以采用频域设计
更直接 。
一, 基本思想
使所设计的 FIR数字滤波器的频率特性在某些离散频率
点上的值准确地等于所需滤波器在这些频率点处的值, 在其
它频率处的特性则有较好的逼近 。
内插公式
二,设计方法
1）确定
2）计算
3）计算
kkH ?、
)(ZH
)(nh
,)()( 2 kjk
N
k
j
d eHkHeH
?
??
? ??
?
1,,1,0 ?? Nk ?
,)(1)(
1
0
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N
k
NnkjekH
N
nh ?1,,1,0 ?? Nn ?
?
?
?
??
1
0
)()(
N
n
nznhzH
三,约束条件
为了设计线性相位的 FIR滤波器，采样值 H（ k）要满
足一定的约束条件。
前已指出,具有线性相位的 FIR滤波器，其单位脉冲响
应 h(n)是实序列，且满足,由此得
到的幅频和相频特性，就是对 H(k)的约束。（表 4.1）。
例如，要设计第一类线性相位 FIR滤波器，即 N为奇数，
h(n)偶对称，则
幅度函数 H（ ω）应具有偶对称性：
)1()( nNhnh ????
? ? ?????? ??? 2 1)( Njj eHeH ?? ?
)2()( ??? ?? HH
令
则 必须满足偶对称性：
而 必须取为：
kjk eHkH ??)(
N
kNN
k
N
k
???
??
)1(
2
1
2
???
?
?
??
?
? ???
?
同样，若要设计第二种线性相位 FIR滤波器,N为偶数，
h(n)偶对称，由于幅度特性是奇对称的，
? ? ? ???? ??? 2HH
kNk HH ??kH 1,,1,0 ?? Nk ?
1,,1,0 ?? Nk ?
因此,Hk 也必须满足奇对称性：
相位关系同上，
其它两种线性相位 FIR数字滤波器的设计，同样也要满足
幅度与相位的约束条件。
kNk HH ???
1,1,0,)1( ????? NkN kNk ???
1,1,0 ?? Nk ?
四、逼近误差
由 或 H（ z）。
由上述设计过程得到的 与 的逼近程度
，以及 与 H（ k）的关系？
由
1,,1,0,)(
1
)(
1
0
/2 ??? ?
?
?
NnekH
N
nh
N
k
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令, 则
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N
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n
N
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N
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N
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kH
N Nkj
NN
k
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0
11
)(1)( N
k
k
N
zW
kH
N
zzH
NjeW /2 ???
单位圆上的频响为：
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1
0
/21
)(1 N
k
jNkj
Nj
j
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kH
N
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1
0
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2//2s i n
2/s i n)(1 N
k
N
kN
j
e
Nk
NkH
N
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1
0
)(
N
k
j
k ekH
??
这是一个内插公式。
式中
为内插函数
令 则
? ? ? ?? ? ?????? ????? NkNjjk eNkNNe ??? ?? ?? 2 12//2s i n )2/s i n (1
?
?
?
?
??
ki
kie iNj
k 0
1)( 2 ??
1,,1,0,?? Ni ?
内插公式表明：
? 在每个采样点上, 逼近误差为零,
频响 严格地与理想频响的采样值 H(k)相等；
?在采样点之间，频响由各采样点的内插函数延伸迭
加而形成，因而有一定的逼近误差，误差大小与理想
频率响应的曲线形状有关，理想特性平滑，则误差小；
反之，误差大。在理想频率响应的不连续点附近，
会产生肩峰和波纹。
?N增大，则采样点变密，逼近误差减小。
图 频率采样的响应
例：设计一个 FIR数字 LP 滤波器，其理想特性为
采样点数 N=33，要求线性相位。
解：根据 P.142的表 4.1，能设计低通线性相位数字滤波器的只
有 1,2两种，因 N为奇数，所以只能选择第一种。
即 h(n)=h(N-1-n),幅频特性关于 π偶对称，也即 HK 偶对称。
利用 HK 的对称性,求 π～ 2π区间的频响采样值。
? ?
?
?
?
??
???
???
???
5.00
5.001j
d eH
根据指标要求，在 0～ 2π内有 33个取样点，所以第 k点对
应频率为 而截止频率 0.5π位于 之间
，所以,k=0～ 8时，取样值为 1；根据对称性，
故 k=25～ 32时，取样值也为 1，因 k=33 为下一周期，所以
0～ π区间有 9个值为 1的采样点,π～ 2π区间有 8个值为 1 的
采样点，因此：
258 HH ?
330 HH ?
321 HH ?
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?????
?
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320
33
32
2
1
24~90
32~25;8~01
2
kk
N
k
k
H
k
N
k
k
???
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将 代入内插公式，求 H(ejω)：
? ? ? ?? ?? ?? ?
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1
0
1632
2//2sin
2/sin1 N
k
N
kj
N
kj
kj ee
Nk
NH
N
eH
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16
32
0
2/33/2s i n
332
33s i n
33
1 j
k
k
e
k
k
H
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考虑到 8<k<25时 Hk=0，而其它 k时,Hk=1,令 k=33-n，则
? ?? ??? ?
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32
25 2/33/2s in
332
33s in
k
k
k
k
H
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1 33/)33(
2
sin
33
)33(
2
33sin
n n
n
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1
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1
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332
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332
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n
k
n
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332
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2
s i n
2
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s i n
33
1
)(
k
j
k
k
k
k
eH
??
??
??
??
?
?
?
从图上可以看出，其过渡带宽为一个频率采样间隔
2π/33，而最小阻带衰减略小于 20dB。
对大多数应用场合，阻带衰减如此小的滤波器是不
能令人满意的。
增大阻带衰减三种方法：
1）加宽过渡带宽，以牺牲过渡带换取阻带衰减的增加。
例如在本例中可在 k=9和 k=24处各增加一个过渡带采
样点 H9=H24=0.5，使过渡带宽增加到二个频率采样间隔
4π/33，重新计算的 H(ejω)见图 4.12(c)，其阻带衰减增加到
约 -40dB。
2） 过渡带的优化设计
根据 H(ejω)的表达式,H(ejω)是 Hk的线性函数，因此还可
以利用线性最优化的方法确定过渡带采样点的值，得到要求
的滤波器的最佳逼近（而不是盲目地设定一个过渡带值）。
例如，本例中可以用简单的梯度搜索法来选择 H9,H24,使通
带或阻带内的最大绝对误差最小化。
要求使阻带内最大绝对误差达到最小（也即最小衰减达到
最大），可计算得 H9=0.3904。对应的 H(ejω)的幅频特性，比
H9=0.5时 的阻带衰减大大改善,衰减约 -50dB。如果还要进一步
改善阻带衰减，可以进一步加宽过渡区，添上第二个甚至第
三个不等于 0的频率取样值，当然也可用线性最优化求取这些
取样值。
3） 增大 N
如果要进一步增加阻带衰减, 但又不增加过渡带宽, 可增加
采样点数 N。
例如, 同样边界频率 ωc=0.5π,以 N=65采样, 并在 k=17和 k=48
插入由阻带衰减最优化计算得到的采样值 H17=H48=0.5886,在
k=18, 47 处 插 入 经 阻 带 衰 减 最 优 化 计 算 获 得 的 采 样 值
H17=H48=0.1065,这时得到的 H(ejω),过渡带为 6π/65,而阻带衰
减增加了 20多分贝, 达 -60dB以上, 当然, 代价是滤波器阶数增
加, 运算量增加 。
N=65;k=0:(N-1)/2;
Wm=2*pi*k./N;
Ad(1:(N+1)/2)=1;
Ad(18)=0.5886;Ad(19)=0.1065;Ad(20:33)=0;
Hd=Ad.*exp(-j*0.5*(N-1)*Wm);
Hd=[Hd conj(fliplr( Hd(2:(N+1)/2) ) )];
h=real(ifft(Hd));
w=linspace(0,pi-0.1,1000);
H=freqz(h,[1],w);
plot(w/pi,20*log10(abs(H)));grid;
小结：
频率采样设计法优点：
① 直接从频域进行设计，物理概念清楚，直观方便；
② 适合于窄带滤波器设计，这时频率响应只有少数几个非
零值。
典型应用：用一串窄带滤波器组成多卜勒雷达接收机，覆
盖不同的频段，多卜勒频偏可反映被测目标的运动速度；
缺点：截止频率难以控制。
因频率取样点都局限在 2π/N的整数倍点上，所以在指
定通带和阻带截止频率时，这种方法受到限制，比较死板
。 充分加大 N，可以接近任何给定的频率，但计算量和
复杂性增加。
§ 4.4 FIR数字滤波器的最优化设计
前面介绍了 FIR数字滤波器的两种逼近设计方法, 即窗口
法 （ 时域逼近法 ） 和频率采样法 （ 频域逼近法 ）, 用这两种方
法设计出的滤波器的频率特性都是在不同意义上对给定理想频
率特性 Hd(ejω)的逼近 。
说到逼近, 就有一个逼近得好坏的问题, 对, 好,,坏
” 的恒量标准不同, 也会得出不同的结论, 我们前面讲过的窗
口法和频率采样法都是先给出逼近方法, 所需变量, 然后再讨
论其逼近特性, 如果反过来要求在某种准则下设计滤波器各参
数, 以获取最优的结果, 这就引出了最优化设计的概念, 最优
化设计一般需要大量的计算, 所以一般需要依靠计算机进行辅
助设计 。
最优化设计的前提是最优准则的确定，在 FIR滤波
器最优化设计中，常用的准则有
①最小均方误差准则
②最大误差最小化准则。
1) 均方误差最小化准则，
若以 E(ejω)表示逼近误差，则
那么均方误差为
? ? ? ? ? ???
??
??? ?
?
??
?
?? ?
???? deEdeHeH
jjj
d
222
2
1
2
1
)()( ??? jjdj eHeHeE ??）（
均方误差最小准则就是选择一组时域采样值，以使均方误
差,这一方法注重的是在整个 -π～ π频率区间内总误
差的全局最小，但不能保证局部频率点的性能，有些频率点
可能会有较大的误差，对于窗口法 FIR滤波器设计，因采用有
限项的 h(n)逼近理想的 hd(n)，所以其逼近误差为：
如果采用矩形窗
则有
?
?
???
??
n
d nhnh
22 )()(?
?
?
? ????
其它0
1)()( Nnonhnh d
? ?
?
???
?
?
????
1
222 |)()(||)()(|
n Nn
dd nhnhnhnh?
可以证明，这是一个最小均方误差。
所以，矩形窗窗口设计法是一个最小均方误差 FIR设计
，根据前面的讨论，我们知道其优点是过渡带较窄，缺点是
局部点误差大,或者说误差分布不均匀。
2) 最大误差最小化准则（也叫最佳一致逼近准则）
表示为
其中 F是根据要求预先给定的一个频率取值范围，可以是
通带，也可以是阻带。最佳一致逼近即选择 N个频率采样值
（ 或时域 h(n) 值 ），在给定频带范围内使频响的最大逼近误
差达到最小。也叫等波纹逼近。
优点：可保证局部频率点的性能也是最优的，误差分布均匀，
相同指标下，可用最少的阶数达到最佳化。
m i n|)(|m ax ??jeE
F??
例如, 我们提到的频率采样最优化设计, 它是从已知的
采样点数 N,预定的一组频率取样和已知的一组可变的频率取
样 （ 即过渡带取样 ） 出发, 利用迭代法 （ 或解析法 ） 得到具
有最小的阻带最大逼近误差 （ 即最大的阻带最小衰减 ） 的 FIR
滤波器 。 但它只是通过改变过渡带的一个或几个采样值来调
整滤波器特性 。 如果所有频率采样值 （ 或 FIR时域序列 h(m)）
都可调整, 显然, 滤波器的性能可得到进一步提高 。
?
?
?
?
?
??
M
n
M
n
j
nna
nnhheH
0
1
c o s)(
c o s)(2)0()(
?
?
?
低通滤波器的误差分配
切比雪夫最佳一致逼近
如图，用等波纹逼近法设计滤波器需要确定五个参数：
M,ωc,ωr,δ1,δ2
按上图所示的误差容限设计低通滤波器，就是说要在通带
0?ω?ωp 内以最大误差 δ1 逼近 1，在阻带 ωr ?ω??内
以最大误差 δ2逼近零。
要同时确定上述五个参数较困难 。 常用的两种逼近方法：
1） 给定 M,δ1,δ2,以 ωc和 ωr为变量 。
缺点：边界频率不能精确确定 。
2） 给定 M,ωc和 ωr,以 δ1和 δ2为变量, 通过迭代运算
,使逼近误差 δ1和 δ2 最小, 并确定 h(n)——切比雪
夫最佳一致逼近 。
特点：能准确地指定通带和阻带边界频率。
等波动逼近的低通滤波器
?c ?r
一,误差函数
定义逼近误差函数：
? ? ? ?? ?)()( ???? HHWE d ??
为所设计的滤波器与理想滤波器的幅频特性在通带和
阻带内的误差值，
是已知的权函数，在不同频带可取不同的值，
所要设计的滤波器的幅频特性
理想滤波器的幅频特性
? ?
?
?
?
??
??
?
???
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r
c
dH 0
01
? ?
??
?
?
?
??
???
???
???
r
ckW
1
0
1
例如，希望在固定 M,?c,?r 的情况下逼近一个低通滤波
器，这时有
21 ?? k?
? ?
2
1c o s)()(
0
??? ?
?
NMnnaH M
n
??
2
1
,,2,1,
2
1
2)(,
2
1
)0(
?
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?
?
?
?
?
?
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??
?
?
?
?
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?
N
nn
N
hna
N
ha ?
对于表 4.1中的第一种滤波器，
? ? )1(]c o s)()()[()(
0
?
?
??
M
n
d nnaHWE ????
于是
切比雪夫逼近问题变为，寻求一组系数
使逼近误差的最大值达到最小，即
,,,1,0),( Mnna ??
2?
? ? m i nm a x ??E
给定后等效于求 最小。
二,交替定理（最佳逼近定理）
令 F表示闭区间 的任意闭子集，为了使
在 F 上唯一最佳地逼近于,其充分必要条件是误差函数
在 F 上至少应有（ M+2）次“交替”，
即
其中,且 属于 F。
1） 至少有 M+2 个极值，且极值正负相间，具有等波
纹的性质,
2）由于 是常数，所以 的极值也就是
的极值。
)(?H
)(?dH
借助于低通滤波器的设计，可以直观地解释这个定理
。这时，闭子集 F包括区间 和 。因
为滤波器频响 是逐段恒定的，所以对应于误差函数
各峰值点的频率 同样也对应于 恰好满足误
差容限时的频率。
根据前面的讨论,在开区间 内至多
有 M-1个极值，此外，根据通带和阻带的定义，令
的约束条件为,
，再加上 和 π处的极值，误差曲线最多有 M+1个
极值频率（交替）满足定理。
逼近方法：固定 k,M,和,以 作为参变量。按照
交替定理，如果 F 上的 M+2个极值点频率
已知，则由（ 1）式可得到 M+2 个方程：
? ? ? ? ? ? ???? i
M
n
iidi nnaHW )1(c o s)(
0
???
?
?
??
? ? ?
?
为极值点频率对应的误差函数值
c? r?c?r?
? ?10 ???? Mllc ??
1?? lr ??
注意：极值点频率必须位于 和
区间内。由于 和 固定，因而 和 必为这些极值
频率中的一个，设,则应有
求解上述方程组可得到全部系数
问题,1）实际情况下,M+2 个极值点频率未知；
2）直接求解上述非线性方程组比较困难。
雷米兹（ Remez）算法给出了求解切比雪夫最佳一致逼
近问题的方法。
雷米兹交替算法
三,雷米兹（ Remez）算法
1）在频率子集 F 上均匀等间隔地选取 M+2 个极值点
频率
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
)(/)1(
)(
M
k
kk
k
M
k
kdk
W
H
??
??
?
)c o s( c o s
11
,0 ki
M
kii
k ??? ???
?
??
式中
2）由 求 和
利用重心形式的拉格朗日插值公式,
)(?H )(?E
?
?
?
?
?
?
?
?
?
1
0
1
0
c o sc o s
)(]
c o sc o s
[
)(
M
k k
k
M
k
k
k
k H
H
??
?
?
??
?
?
MkWHH
k
k
kdk,,1,0)()1()()( ????? ?
???
其中
? ? ? ?? ?)()( ???? HHWE d ??
如在频带 F 上，对所有频率都有,则
为所求,即为极值点频率。 ? ? ?? ?E
?
3）对上次确定的极值点频率 中的每一点，在
其附近检查是否在某一频率处有,
如有，则以该频率点作为新的局部极值点。对 M+2 个极值
点频率依次进行检查，得到一组新的极值点频率。重复步骤
1）,2），求出,完成一次迭代。
重复上述步骤，直到 的值改变很小，迭代结束，这
个 即为所求的 最小值。由最后一组极值点频率求
出,反变换得到,完成设计。
优点,可准确确定；
逼近误差均匀分布，相同指标下，滤波器所需阶数低。
? ? ?? ?E
)()( ??? EH,、
?
? 2?
)(?H )(nh
sc ?? 和
有一些估算公式可用于决定最佳滤波器长
度 N：
? 对于窄带低通滤波器，对滤波器长度 N起主要
作用：
1
2/)(6.14
13lg20 21
?
?
??
?
???
??
cr
N
1
2/)(
22.0lg20 2
?
?
??
?
???
?
cr
N
例 4 利用 雷米兹 交替算法,设计一个线性相位低
通 FIR 数字滤波器，其指标为：通带边界频率
f c = 8 0 0 H z, 阻 带 边 界 f r = 10 0 0 H z, 通 带 波 动
dB5.0?? 阻 带 最 小 衰 减 At = 4 0 dB, 采 样 频 率
f s = 4 0 0 0 H z 。解 05 59.0101 20/
1
???
? ?
?
01.010
20/
2
??
? At
?
??? 4.04000/2800 ???
c
??? 5.04 00 0/21 00 ???
r
代入 （ 4, 84 ）式求得 28?N,
f ed g e=[80 0 1 0 0 0 ];
m v al=[ 1 0];
d ev =[ 0,0559 0.0 1 ] ;
f s=4 0 0 0 ;
[ N,f p ts,m ag,wt]= r e m ezord (f ed g e,m v al,dev,f s);
b =re m e z(N,f p ts,m ag,wt) ;
[ h,w] =f reqz(b,1,25 6 );
p lo t(w*2 0 0 0 / p i,20*lo g 1 0 (abs (h))) ;
g rid;
x lab el(' 频率 /H z')
y lab el(' 幅度 /d B')
§ 4.5 IIR与 FIR数字滤器的比较
FIR IIR
设计方
法
一般无解析的设计公式, 要
借助计算机程序完成
利用 AF的成果, 可简单,
有效地完成设计
设计结
果
可得到幅频特性 （ 可以多带 ）
和线性相位 （ 最大优点 ）
只能得到幅频特性, 相频特性未知
（ 一大缺点 ）, 如需要线性相位,
须用全通网络校准, 但增加滤波器
阶数和复杂性
稳定性 极点全部在原点 （ 永远稳定 ）
无稳定性问题
有稳定性问题
阶数
高
结构 非递归 递归系统
运算误
差
一般无反馈, 运算误差小 有反馈, 由于运算中的四舍
五入会产生极限环
快速算
法
可用 FFT实现, 减少运算量 无快速运算方法
低
