第三章 无限长单位脉冲响应
（ IIR） 滤波器设计
概述,
许多信息处理过程, 如信号的过滤, 检测, 预测等都要
用到滤波器, 数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛
的一种线性系统, 是数字信号处理的重要基础 。
数字滤波器的功能 （ 本质 ） 是将一组输入的数字序列通
过一定的运算后转变为另一组输出的数字序列 。 实现方法
主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件 。
数字滤波器 —— 线性时不变系统。
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通带 过渡带 阻带
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数字滤波器的数学描述：
1)差分方程
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2)系统函数
分类,
递归系统 IIR
非递归系统 FIR
高通
低通
带通
带阻
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ia ib ic id
确定系数, 或零极点,,以使滤波器
满足给定的性能要求 —— 第三章、四章讨论
3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包
括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率
采样型以及快速卷积（ FFT）型等 ;
选择合适的字长和有效数字的处理方法等 (第五
章 )。
数字滤波器的设计步骤：
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。
2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个
性能要求，即求 h(n) 的表达式。
设计方法：
1） 先设计一个合适的模拟滤波器, 然后变换成满足预定指
标的数字滤波器 。
由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简
单而严格的设计公式, 设计起来方便, 准确, 可将这些理论推广
到数字域, 作为设计数字滤波器的工具 。
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使
设计出的实际频率响应的幅度特性 （与所要
求的理想频率响应 的均方误差最小，
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此外还有其他多种误差最小准则，
b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 和
通过不断地迭代运算，改变,,直到
满足要求为止。
以上两种设计方法中, 着重讲第一种, 因为数字滤波
器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同, 如作低
通, 高通, 带通及带阻网络等, 这时数字滤波也可看作是
,模仿, 模拟滤波器 。 在 IIR滤波器设计中, 采用这种设计
方法目前最普遍 。 由于计算机技术的发展, 最优化设计方
法的使用也逐渐增多 。
§ 3.1 根据模拟滤波器设计 IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波
器传递函数 Ha(s)设计数字滤波器传递函数 H（ z），这归根到
底是一个由 S平面到 Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个
基本原则：
1） H（ z）的频响要能模仿 Ha(s)的频响，即 S平面的虚轴应
映射到 Z平面的单位圆 上。
2） Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（ z）后保持不变，即 S平
面的左半平面 Re{S}＜ 0 应映射到 Z平面的单位圆以内 |Z|<1。?je
下面讨论两种常用的映射变换方法：
一、脉冲响应不变法
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波
器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤
波器的单位脉冲响应序列 h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应
ha(t)的采样值，即
h(n)=ha(nT),T为采样周期。 ①
如以 Ha(s) 及 H（ z） 分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n)
的 Z 变换，即
Ha(s)=L[ha(t)],
H(z)=Z[h(n)]
计算 H(Z),
脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数, 模拟
滤波器的系统函数若只有单阶极点, 且分母的阶数高于分子阶
数 N＞ M,则可表达为部分分式形式；
其拉氏反变换为：
单位阶跃
对 ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
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再对 h(n)取 Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
第二个求和为等比级数之和，要收敛的话，
必有
所以有
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根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
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① 理想采样 的拉氏变换 与模拟信号
的拉氏变换 之间的关系。
② 理想采样 的拉氏变换 与采样序列
的 Z 变换 之间存在的 S 平面与
Z 平面的映射关系。
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s平面与 z平面的映射关系
以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换
为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变
换，正是拉氏变换到 Z变换的标准变换关系，即首先
对 Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射
关系映射到 Z 平面上。 STez?
稳定性：
如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在 S左
半平 面，即 Re[si]＜ 0,那么变换后 H(Z)的极点 也
都在单位圆以内，即,
因此数字滤波器保持稳定。
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映射关系,
S平面上每一条宽为 的横带部分，都将
重叠地映射到 Z平面的整个平面上,
每一横带的左半部分映射到 Z平面单位圆以内，
每一横带的右半部分映射到 Z平面单位圆以外，
轴映射到单位圆上,轴上每一段
都对应于绕单位圆一周。
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Z 平面
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应指出, Z=esT的映射关系反映的是 Ha(s)的周期延
拓与 H（ Z） 的关系, 而不是 Ha(s)本身与 H（ Z） 的关
系, 因此, 使用脉冲响应不变法时, 从 Ha(s)到 H(z)并没
有一个由 S平面到 Z平面的一一对应的简单代数映射关
系, 即没有一个 S=f(z)代数关系式 。
混迭：
还可看到, 数字滤波器的频响并不是简单的重现模拟
滤波器的频响, 而是模拟滤波器频响的周期延拓：
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正如第一章的采样定律中所讨论的, 如果模拟滤
波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内,
即
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这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤
波器的频响 （ 存在于折叠频率 ΩS/2以内 ）
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能
是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠，
即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于
原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波
器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这
时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得
到良好的效果。
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脉冲响应不变法中的频响混淆
例 将一个具有如下系统函数
的模拟滤波器数字化 。
解：
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模拟滤波器的频率响应为,
示于图 a
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数字滤波器的频率响应为,
显然 与采样间隔 T有关,如图 b,
T越小,衰减越大,混叠越小,当 fs=24Hz,混叠可忽略不计,为什
么混迭呢?
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小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性
的,ω＝ ΩΤ,ω与 Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变
换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器
的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应
TjHeH aj /)()( ?? ????
3)如果 Ha(s)是稳定的, 即其极点在 S左半平面, 映射后得到
的 H(Z)也是稳定的 。
4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因
此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，
而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波
器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
的频带，再用脉
冲响应不变法转换为数字滤波器，这会增加设计的复杂性和滤
波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响
应时才采用 。
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（ IIR） 滤波器设计
概述,
许多信息处理过程, 如信号的过滤, 检测, 预测等都要
用到滤波器, 数字滤波器是数字信号处理中使用得最广泛
的一种线性系统, 是数字信号处理的重要基础 。
数字滤波器的功能 （ 本质 ） 是将一组输入的数字序列通
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主要有两种：数字信号处理硬件和计算机软件 。
数字滤波器 —— 线性时不变系统。
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确定系数, 或零极点,,以使滤波器
满足给定的性能要求 —— 第三章、四章讨论
3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包
括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频率
采样型以及快速卷积（ FFT）型等 ;
选择合适的字长和有效数字的处理方法等 (第五
章 )。
数字滤波器的设计步骤：
1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。
2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个
性能要求，即求 h(n) 的表达式。
设计方法：
1） 先设计一个合适的模拟滤波器, 然后变换成满足预定指
标的数字滤波器 。
由于模拟的网络综合理论已经发展得很成熟模拟滤波器有简
单而严格的设计公式, 设计起来方便, 准确, 可将这些理论推广
到数字域, 作为设计数字滤波器的工具 。
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则，即使
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b) 在此最佳准则下，求滤波的系数 和
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器在很多场合所要完成的任务与模拟滤波器相同, 如作低
通, 高通, 带通及带阻网络等, 这时数字滤波也可看作是
,模仿, 模拟滤波器 。 在 IIR滤波器设计中, 采用这种设计
方法目前最普遍 。 由于计算机技术的发展, 最优化设计方
法的使用也逐渐增多 。
§ 3.1 根据模拟滤波器设计 IIR滤波器
利用模拟滤波器设计数字滤波器，就是从已知的模拟滤波
器传递函数 Ha(s)设计数字滤波器传递函数 H（ z），这归根到
底是一个由 S平面到 Z平面的变换，这种映射变换应遵循两个
基本原则：
1） H（ z）的频响要能模仿 Ha(s)的频响，即 S平面的虚轴应
映射到 Z平面的单位圆 上。
2） Ha(s) 的因果稳定性映射成 H（ z）后保持不变，即 S平
面的左半平面 Re{S}＜ 0 应映射到 Z平面的单位圆以内 |Z|<1。?je
下面讨论两种常用的映射变换方法：
一、脉冲响应不变法
利用模拟滤波器理论设计数字滤波器，也就是使数字滤波
器能模仿模拟滤波的特性，这种模仿可从不同的角度出发。
脉冲响应不变法是从滤波器的脉冲响应出发，使数字滤
波器的单位脉冲响应序列 h(n)正好等于模拟滤波器的冲激响应
ha(t)的采样值，即
h(n)=ha(nT),T为采样周期。 ①
如以 Ha(s) 及 H（ z） 分别表示 ha(t) 的拉氏变换及 h(n)
的 Z 变换，即
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脉冲响应不变法特别适用于用部分分式表达系统函数, 模拟
滤波器的系统函数若只有单阶极点, 且分母的阶数高于分子阶
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以上表明，采用脉冲响应不变法将模拟滤波器变换
为数字滤波器时，它所完成的 S 平面到 Z 平面的变
换，正是拉氏变换到 Z变换的标准变换关系，即首先
对 Ha(s)作周期延拓，然后再经过 的映射
关系映射到 Z 平面上。 STez?
稳定性：
如果模拟滤波器是稳定的，则所有极点 Si 都在 S左
半平 面，即 Re[si]＜ 0,那么变换后 H(Z)的极点 也
都在单位圆以内，即,
因此数字滤波器保持稳定。
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都对应于绕单位圆一周。
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拓与 H（ Z） 的关系, 而不是 Ha(s)本身与 H（ Z） 的关
系, 因此, 使用脉冲响应不变法时, 从 Ha(s)到 H(z)并没
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原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波
器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这
时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得
到良好的效果。
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小结
1)脉冲响应不变法的一个重要特点是频率坐标的变换是线性
的,ω＝ ΩΤ,ω与 Ω 是线性关系。
因此如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率以内的话，通过变
换后数字滤波器的频响可不失真地反映原响应与频率的关系。
例如线性相位的贝塞尔低通滤波器，通过脉冲响应不变法
2)在某些场合，要求数字滤波器在时域上能模仿模拟滤波器
的功能时，如要实现时域冲激响应的模仿，一般使用脉冲响应
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3)如果 Ha(s)是稳定的, 即其极点在 S左半平面, 映射后得到
的 H(Z)也是稳定的 。
4)脉冲响应不变法的最大缺点：有频谱周期延拓效应，因
此只能用于带限的频响特性，如衰减特性很好的低通或带通，
而高频衰减越大，频响的混淆效应越小，至于高通和带阻滤波
器,由于它们在高频部分不衰减，因此将完全混淆在低频响应中
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波器阶数，只有在一定要满足频率线性关系或保持网络瞬态响
应时才采用 。
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