数 字 信 号 处 理
绪 论
一、从模拟到数字
? 1、信号：信号 传递信息的函数也 是独立变量
的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
? 2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断
点外所有瞬时均有确定值。
? 3、模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度
均连续。
? 4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。
? 5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连
续。
A / D
变换器
通用或专
用
计算机
采样
保持器
D/ A
变换器
模拟低通
滤波器
模拟信
号
数字信号 模拟信
号
数字信号处理系统
连续时间信
号
连续时间信
号
模拟信号的数字化
数字信号
数码 量化电平
模拟信号
采样保持信号
量化电平
数字信号转化成模拟信号
数字信号
数码 量化电平
D/A输出信号
模拟信号
D/A输出 模拟滤波输出
数字信号处理采用数字系统完成信
号处理的任务, 它具有数字系统的
一些共同优点, 例如抗干扰, 可靠
性强, 便于大规模集成等 。 除此而
外, 与传统的模拟信号处理方法相
比较, 它还 具有以下一些明显的优
点：
二、数字信号处理的主要优点
1、精度高
在模拟系统的电路中, 元器件精度要
达到１０ －３ 以上已经不容易了, 而
数字系统 17位字长可以达到１０ －５
,这是很平常的 。 例如, 基
于离散傅里 叶变换的数字式频谱分析
仪, 其幅值精度和频率分辨率均远远
高于模拟频谱分析仪 。
数字信号处理采用了专用或通用的
数字系统, 其性能取决于运算程序
和乘法器的各系数, 这些均存储在
数字系统中, 只要改变运算程序或
系数, 即可改变系统的特性参 数,
比改变模拟系统方便得多 。
2、灵活性强
例如：
有限长单位脉冲响应数字滤波器可以
实现严格的线性相位；
在数字信号处理中可以将信号存储起
来, 用延迟的方法实现非因果系统,
从而提高了系统的性能指标；
数据压缩方法可以大大地减少信息传
输 中的信道容量 。
3、可以实现模拟系统很难达到
的指标或特性
利用庞大的存储单元, 可以存
储二维的图像信号或多维的阵
列 信号, 实现二维或多维的滤
波及谱分析等 。
4,可以实现多维信号处理
（ 1） 增加了系统的复杂性 。 他需要模拟接口以
及比较复杂的数字系统 。
（ 2） 应用的频率范围受到限制 。 主要是 A/D转换
的采样频率的限制 。
（ 3） 系统的功率消耗比较大 。 数字信号处理系
统中集成了几十万甚至更多的晶体管, 而模拟信
号处理系统中大量使用的是电阻, 电容, 电感等
无源器件, 随着系统的复杂性增加这一矛盾会更
加突出 。
5,缺点
三、发展特点
(1)由简单的运算走向复杂的运
算, 目前几十位乘几十位的全
并行乘法器可以在数个纳秒的
时间内完成一次浮点乘法运算
,这无论在运算速度上和运算
精度上均为复杂的数字信号处
理算法提供了先决条件；
(2)由低频走向高频，模数转
换器的采样频率已高达数百
兆赫，可以将视频甚至更高
频率的信号数字化后送入计
算机处理 ；
(3)由一维走向多维，像高分
辨率彩色电视、雷达、石油勘
探等多维信号处理的应用领域
已与数字信号处理结下 了不解
之缘。
（ 4）各种数字信号处理系统
均几经更新换代
在图像处理方面, 图像数据压缩是多媒体
通信, 影碟机 (VCD或 DVD)和高清晰度电视
(HDTV)的关键技术 。 国际上先后制定的标
准 H.261,JPEG,MPEG—1和 MPEG—2中均使用
了离散余弦变换 (DCT)算法 。 近年来发展起
来的小波 (Wavelet)变换也是一种具有高压
缩比和快速运算特点的崭新压缩技 术, 应
用前景十分广阔, 可望成为新一代压缩技
术的标准 。
年代 特点 $/MIPS
60年代 大学探索 $100-$1,000
70年代 军事运用 $10-$100
80年代 商用成功 $1-$10
90年代 进入消费类电子 $0.1-$1
今后 生活用品 $0.01-$0.1
三、发展特点
四、各种数字信息系统
Digital Media
Processing
Webpad
Telematics
Wireless Devices:
802.11,Bluetooth,
Others
Enhanced
Gaming
Military and
Government Cellular,
Secure Connectivity
Industry-Specific
PDAs
Biometrics
Medical
Devices
在机械制造中, 基于 FFT算法的频谱分
析仪用于振动分析和机械故障诊断；医
学中使用数字信号处理技术对心电
(ECG)和脑电 (EEG)等生物电信号作分析
和处理；数字音频广播 (DAB)广泛地使
用了数字信号处理技术 。 可以说, 数字
信号处理技术已在信息处理领域引起
了广泛的关注和高度的重视 。
数字信号处理不断开辟新的
应用领域
五、数字信号处理系统的实现
? 软件实现
? 硬件实现
?片上系统（ SOC,System on a
Chip）
软件实现是用一台通用的数字计算机运行数字信号处
理程序 。 其优点是经济, 一机可以多用；缺点是处理速
度慢, 这是由于通用数字计算机的体系结构并不是为某
一种特定算法而设计的 。 在许多非实时的应用场合, 可
以采用软件实现方法 。 例如, 处理一盘混有噪声的录像
(音 )带, 我们可以将图像 (声音 )信号转换成数字信号并
存入计算机, 用较长的时间一帧帧地处理这些数据 。 处
理完毕后, 再实时地将处理结果还原成一盘清晰的录像
(音 )带 。 通用计算 机即可完成上述任务, 而不必花费较
大的代价去设计一台专用数字计算机 。
数字信号处理 的 软件实现
硬件实现是针对特定的应用目
标, 经优化, 设计一专用的软
硬件系统 。 其优点是容易做到
实时处理, 缺点是设备只能专
用 。
数字信号处理 的 硬件实现
片上系统（ SOC,System on a Chip）
? 随着大规模集成电路的发展，一个复杂数字信号
处理系统已可以集成在一个芯片上。 SOC包含有
数字和模拟电路、模拟和数字转换电路、微处理
器、微控制器以及数字信号处理器等。与传统的
集成电路不同的是，嵌入式软件的设计也被集成
到了 SOC的设计流程中,SOC的设计方法将以组
装为基础，采用自上至下的设计方法，在设计过
程中大量重复使用自行设计或其他第三方拥有知
识产权的 IP(Intelligent Property)模块。 SOC要充
分考虑如何合理划分软件和硬件所实现的系统功
能以及如何实现软、硬件之间的信息传递。 SOC
将是数字信号处理系统的一个新型的实现方法。
并行是指为了完成同一个任务，几个处理器同
时工作，使系统能胜任单个处理器所不能完成
的任务；当一个处理器完成单个任务 (比如一
个滤波器 )有很大的富余量时，可让其完成多
个任务，这就是复用；流水结构也是多处理器
完成同一任务，它与并行结构的主要区别在于
并行的各个处理器之间数据交换不多，而流水
结构类似于生产中的流水线，数据经一道道,
工序, 处理。采用并行或流水结构，完全取决
于数字信号处理的运算结构。
并行、复用和流水
研究内容
经典的数字信号处理限于线性时不变
系统理论,数字滤波和 FFT是常用方法。
目前 DSP研究热点,时变非线性系统、
非平稳信号,非高斯信号
处理方法的发展：自适应滤波,离散小
波变换,高阶矩分析、盲处理、分形、
混沌理论
l 基础理论：离散时间信号与系统（ ch1）
l离散傅立叶变换 DFT（ ch2）
快速傅立叶变换 FFT（ ch2）
l 数字滤波器
无限长单位脉冲响应（ IIR）滤波器 (ch3)
有限长单位脉冲响应（ FIR）滤波器 (ch4)
l 数字信号处理系统的实现（ ch5）
数字信号处理器硬件（ ch5）
l 多采样率数字信号处理（ ch6）
课程介绍
第一章 离散时间信号与系统
? 离散时间信号
? 采样
? 离散信号的傅氏变换与 Z变换
? 离散时间系统
? 系统函数
1.1 离散时间信号
（１）单位脉冲序列
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
n?
（２）单位阶跃序列
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
nu
（３）矩形序列
?
?
?
??
???
?
Nnn
Nn
nR N
,0,0
10,1
)(
1 …… N-1 n
（４）实指数序列
)()( nuanx
n
?
（５）正弦序列
?x(n) = sin（ nω0）
sin(n?0)
-1
（５）复指数序列
0()
00( ) ( c o s s i n )
jn nx n A e A e n j n?? ? ???? ? ?
当 0?? 时 x(n)的实部和虚部
分别是余弦和正弦序列。
x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).
序列的运算
1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)
3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)
4、序列的能量 ??
???
?
n
nxS 2)(
????
???n
nx 2)(平方可和序列
???
?
???n
nx )(
绝对可和序列
??? xBnx )(有界序列
)()()( mnmxnx
m
?? ?
?
???
?
6、序列的单位脉冲序列表示
5、实序列的偶部和奇部
)()()( nxnxnx oe ??
)]()([21)( nxnxnx e ???
)]()([21)( nxnxnx o ???
1.2 采样
对信号进行时间上的离散化, 这是对信号作数字化
处理的第一个环节 。
研究内容：
? 信号经采样后发生的变化 （ 如频谱的变化 ）
? 信 号 内 容 是 否 丢 失 （ 采 样 序 列 能 否 代 表 原 始
信号, 如何不失真地还原信号 ）
? 由离散信号恢复连续信号的条件
采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重
要, 要了解这些性质, 首先分析采样过程 。
1.采样过程
采样器一般由电子开关组成，开
关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，将连
续信号接通，实现一次采样。
连续时间信号的采样
采样器
P(t)
T
如开关每次闭合 τ秒, 则采样器的输出是一串
重复周期为 T,宽度为 τ的脉冲, (如图 )脉冲的幅
度是这段时间内信号的幅度 (如图 ),这一采样过
程可看作是一个脉冲调幅过程, 脉冲载波是一
串周期为 T,宽度为 τ的矩形脉冲, 以 P(t)表示,
调制信号是输入的连续信号 xa(t),则采样输出为
一般 τ很小,τ越小, 采样输出脉冲的幅度越接
近输入信号在离散时间点上的瞬时值 。
)()()( tptxtx ap ?
2,理想采样
开关闭合时间 τ→ 0时, 为理想采样 。
特点：采样序列表示为冲激函数的序列, 这些冲
激函数准确地出现在采样瞬间, 其积分幅度准确地
等于输入信号在采样瞬间的幅度 。
即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程
。 我们用 M(t)表示这个冲激载波,
?
?
???
??
n
nTttM )()( ?
则有
)()()(? tMtxtx aa ? ? ??
???
?
???
????
n n
aa nTtnTxnTttx )()()()( ??
实际情况下, τ＝ 0达不到, 但
τ<<T时, 实际采样接近理想采样
,理想采样可看作是实际采样物理
过程的抽象, 便于数学描述, 可集
中反映采样过程的所有本质特性,
理想采样对 Z变换分析相当重要 。
3、采样信号的频谱
? ? ? ?
??
????? dtetxtxFjX tj
aaa )()()(
? ? ? ?
??
?? ????? dejXjXFtx tj
aaa )(2
1)()( 1
?
)(?)( txjX aa ???
)()( ?? jXjX aa 与?
? ??
???
?
???
????
m m
tjm
m
seanTttM )()( ?
ss fT ?? 22 ???
dtetMTa TT tjmm s? ??? 2
2
)(1
T
dtet
T
dtenTt
T
T
T
tjm
T
T
n
tjm
s
s
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
??
??
?
? ?
?
??
?
?
???
??
?
?
所以
??
???
??
m
tjm se
TtM
1)(
? ? ? ?)()()(?)(? tMtxFtxFjX aaa ???
? ?
? ?
?
?
???
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????
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?
???
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M
tmj
a
tj
m
tjm
a
tj
a
dtetx
T
dteetx
T
dtetMtx
s
s
)(
)(
1
)(
1
)()(
??
???
?????
m
saa jmjXTjX )(
1)(?
所以,理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为 ?s(
采样频率 )。
因此有，
??
???
???
????
??
20
2)()(
s
s
a
a
jX
jX
如果信号最高频谱超过 ?s/2,那么在理想采样频谱中,
各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的, 混淆, 现象
（ 图 1.4）,为简明起见,图中将 xa(j?)作为标量处理,一
般 xa(j?)为复数,交叠也是复数相加 。 当出现频谱混淆
后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波
恢复出来的信号就要失真 。
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 上限频率 m a xf 采样频率 sf
地质勘探 500 Hz 1- 2 k Hz
生物医学 1 k Hz ２ - ４ k Hz
机械振动 ２ k Hz 4 -1 0 k Hz
语音 ４ k Hz 8 -1 6 k Hz
音乐 ２０ k Hz 4 0 - 9 6 k Hz
视频 ４ M Hz 8 -1 0 M Hz
奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原
,采样频率必须大于信号最高频率的两倍 。 Ωs≥2Ωmax
实际工作中, 考虑到有 噪声, 为避免频谱混淆, 采样频
率总是选得比两倍信号最高频率 ?max更大些, 如 Ωs
>(3~5)?max。
同时, 为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成
频谱混淆, 采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器
（ 抗混叠滤波 ）, 阻止高于 ?S/2频率分量进入 。
3） 归一化数字角频率
ω=ΩT=Ω/fs
ωs=ΩsT=2?
4．采样的恢复（恢复模拟信号）
如果理想采样满足奈奎斯特定理, 即信号最高频率谱不超过折迭频率
则理想采样的频谱就不会产生混叠, 因此有
│?│< ?S/2
将采样信号 通过一个理想低通滤波器 （ 只让基带频谱通过 ）, 其带宽
等于折迭频率 ?S/2,特性如图
??
?
?
?
???
????
??
20
2)()(
s
s
a
a
jX
jX
??
???
?????
m
saa jmjXTjX )(
1)(?
)(1)(? ??? jXTjX aa
)(? txa
??
?
?
?
???
???
??
20
2)(
s
sT
jG
采样信号通过此滤波器后, 就可滤出原信号的频谱：
也就恢复了模拟信号：
y(t)=xa(t)
实际上, 理想低通滤波器是不可能实现的, 但在满足一定精度的情况下
,总可用一个可实现网络去逼近 。
? ? )()()(? ?????? jXjGjXjY aa
G(j?)
g(t)
G(j?)
T xa(t) y(t)=xa(t)
0 ?S/2 ?
讨论采样信号 通过理想低通滤波器 G（ j?） 的响应过程 。
理想低通 G（ j?） 的冲激响应为
)(? txa
????? ??
?
??
???
?? de
TdejGtg s
s
tjtj 2
22
)(2 1)( ?? t
T
t
T
t
t
s
s
?
?s in
2
2
s in
??
?
?
频域相乘对应时域卷积, 利用卷积公式, 则采样信号经理想低通后的输出为
? ? ???? ??? ???? ??????? ???? ???????? dtgnTxdtgxty n aa )()()()()(?)(
? ? ??
???
?
??
?
???
?????
n n
aa nTtgnTxdnTtgx )()()()()( ?????
这里, g(t-nT)称为内插函数
)(
)(s i n
)(
nTt
T
nTt
TnTtg
?
?
?? ?
?
特点：在采样点 nT上, 函数值为 1,其余 采样点 上, 值为零 。
内插公式表明, 连续函数 xa（ t） 可以由它的采样值 xa（ nT） 来表示, 它等于
xa（ nT） 乘上对应的内插函数的总和, 如图 1.7所示 。
在每一个采样点上, 由于只有该采样值对应的内插函数不为零, 所以保
证了各采样点上信号值不变, 而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波
形延伸迭加而成 。
内插公式的意义,
证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱, 整个连续信号就可以
用它的采样值完全代表, 而不损失任何信息 —— 奈奎斯特定律 。
1.3 离散信号的 DTFT与 z变换
一, 离散信号的 DTFT变换
离散信号 （ 数字序列 ） 的 DTFT定义
数字序列的 IDTFT变换定义
DTFT中的级数求和不一定总是收敛的, 若 x(n)绝对可和, 则该级
数绝对收敛 (充分条件 )。
另外,平方可和序列的 DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定
满足绝对可和的条件 。
??
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
?? ??? ? deeXnx njj??? )(2 1)(
值得指出：
（ 1） 由于, 所以 是以 2π为周期的周期函数 。
（ 2） DTFT
正是周期函数 的付氏级数展开, 而 x(n)是付氏级数的系数 。 这一概
念在以后滤波器设计中有用 。
DTFT的一些主要性质见表 1.2。
)2( ??? ?? jj ee )( ?jeX
??
???
??
n
jnj enxeX ?? )()(
)( ?jeX
二, z变换定义
利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解, 为了分析系统的另外一些
重要特性, 如稳定性和频率响应等, 需要研究离散时间系统的 z变换 （ 类似
于模拟系统的拉氏变换 ）, 它是分析离散系统和离散信号的重要工具 。
一个离散序列 x（ n） 的 Z变换定义为
其中 z为复变量, 以其实部为横坐标, 虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面
。
??
???
??
n
nznxzX )()(
常用 Z[x(n)]表示对序列 x(n)的 z 变换, 即
??
???
??
n
nznxnxZ )()]([
这种变换也称为双边 z 变换, 与此相应还有单边 z 变换, 单边 z 变换只是
对单边序列 （ n>=0部分 ） 进行变换的 z变换, 其定义为
单边 z变换只在少数情况下与双边 z变换有所区别, 即序列的起始条件不同
,可以把单边 z变换看成是双边 z变换的一种特例, 即因果序列情况下的双边 z
变换 。
??
?
??
0
)()(
n
nznxzX
三, z变换的收敛域
一般, 序列的 Z变换 并不一定对任何 z值都收敛, z平面上
使上述级数收敛的区域称为, 收敛域, 。 我们知道, 级数一致收敛的条件是
绝对值可和, 因此 z平面的收敛域应满足
因为对于实数序列,
因此, |z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件, 这个范围一般表示为
??
???
?
n
nznx )(
???
?
???
?
n
nznx )(
??? ??
?
???
??
???
?
n
n
n
n znxznx )()(
Rx-〈 |z|〈 Rx+
这就是收敛域, 一个以 Rx-和 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域, Rx-和
Rx+称为收敛半径, Rx-和 Rx+的大小, 即收敛域的位置与具体序列有关, 特
殊情况为 Rx-等于 0,Rx+为无穷大, 这时圆环变成圆或空心圆 。
z变换的收敛域
jIm[z]
Rx+Rx- Re[z]
0
这里主要讨论以下四种序列：
a 有限长序列
序列 (序列 x(n)只在有限长度 n1~n2 内有值, 其余为零 )
其 Z变换
X（ z） 是有限项的级数和, 只要级数每一项有界, 有限项和也有界, 所以有
限长序列 z变换的收敛域取决于 |z|-n〈 ∞,n1≤n≤n2。
显然 |z| 在整个开域（ 0,∞ ）都能满足以上条件，因此有限长序列的收
敛域是除 0 及 ∞
??
? ???
n
nnnnxnx
其它0
)()( 21
?
?
?? 2
1
)()(
n
nn
nznxzX
两个点 （ 对应 n<0和 n>0不收敛 ） 以外的整个 z 平面：
0〈 |z|〈 ∞
如果对 n1,n2加以一定的限制, 如 n1≥0或 n2≤0,则根据条件 |z|-n〈 ∞（ n1≤n≤n2
）, 收敛域可进一步扩大为包括 0点或 ∞点的半开域：
?
?
?
????
????
0||0
00
2
1
nz
nz
例 1 序列 x（ n） =δ（ n）
由于 n1=n2=0,其收敛域为整个闭域 z 平面, 0≤|Z|≤∞，
例 2 矩形序列 x（ n） =RN（ n）
等比级数求和
??
???
?? ????
n
n zznzX 11)()( 0?
? ??
???
?
?
?????? ????????
n
N
n
Nnn
N zzzzznRzX
1
0
)1(21 11)()( ?
?????? ?
?
||0,11)( 1 zzzzX
N
b 右边序列
指 x（ n） 只在 n≥n1,有值, 而 n〈 n1时,
x（ n） =0
收敛域,|z|〉 Rx-, 为
收敛半径 Rx-以外的 z平面,
?
?
?
??
1
)()(
nn
nznxzX
右边序列中最重要的一种序列是, 因果序列,, 即 n1≥ 0的右边序列, 因果
序列只在 n≥0有值, n〈 0时, x（ n） =0,其 z变换为：
收敛域：
Z 变换的收敛域包括 ∞点是因果序列的特征 。
?
?
?
??
0
)()(
n
nznxzX
??? ||R x - z
c 左边序列
序列 x（ n） 只在 n≤n2有值, n 〉 n2时
,x（ n） =0
收敛域,|Z|〈 Rx+,
在收敛半径为 Rx+的圆内
?
???
??
2
)()(
n
n
nznxzX
d 双边序列
可看作一个左边序列和一个右边序列之和, 因此
双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域
的公共部分 。
?
?
???
??
n
nznxzX )()( ?? ?
??
?
???
? ??
11
1
)()(
nn
n
n
n
n znxznx
如果 Rx+〉 Rx-,则存在公共的收敛区间, X（ z） 有收敛
域,
Rx-〈 |z|〈 Rx-
如 Rx+〈 Rx-,无公共收敛区间, X（ z） 无收敛域, 不收
敛,
Z变换小结
? Z 变换收敛域的特点：
1） 收敛域是一个圆环, 有时可向内收缩到原点
,有时可向外扩展到 ∞,只有 x（ n） =δ（ n） 的
收敛域是整个 z 平面 。
2） 在收敛域内没有极点, X（ z） 在收敛域内每
一点上都是解析函数 。
? Z 变换表示法：
级数形式
解析表达式 （ 注意,只表示收敛域上的函数, 要
同时注明收敛域 ）
例 求 ncnx ?)( 的 z 变换。
解
? ??
?
???
?
?
???
?
???
?
???
1
0
)()(
n n
nnnn
n
n
zczcznxzX
cz
cz
zczX
n
nn
?
?
??
?
?
?
?
? 1
0
1
1
1
)(
1
2
1
()
1
nn
n
cz
X z c z z
c z c
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
若
1?c
，则存在公共的收敛区域
c
zc
cz
cz
cz
zX
1
11
1
)(
1
??
?
?
?
?
?
若
1?c
，则无公共的收敛区域，此时 x ( n ) 的向两边发散。
已知函数 X(z)及其收敛域, 反过来求序列 x(n)的变换称为逆 z变换, 常用
Z-1[x(z)]表示 。
若
则逆 z变换为：
逆 z变换是一个对 X（ z） zn-1进行的围线积分, 积分路径 C是一条在 X（ z）
收敛环域 （ Rx-,Rx+） 以内反时针方向绕原点一周的单围线 。
??
?
???
? ??? ?
xx
n
n RzRznxzX ||)()(
? ?? c n dzzzXjnx 1)(2 1)( ? ),( ??? xx RRc
四, 逆 z变换
围线积分路径
证：
设积分路径 C在半径为 R的圆上, 即 z=Rejθ,Rx-〈 R〈 Rx+,则
? ?
? ??
?
???
??
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这个公式称为柯西积分定理 。
因此
或
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m c
mn nxdzz
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1)( 1)(
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c
n RRcnxdzzzX
j?
直接计算围线积分比较麻烦, 一般不采
用此法求 z反变换, 求解逆 z变换的常用
方法有：
l 幂级数
l 留数定律法
l 部分分式法
常用序列 z变换 （ 可直接使用 ）
???
?
?
???
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||0
1
1
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1
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1
za
az
z
nua
z
z
z
nR
z
z
z
nu
n
N
N
五, z变换的性质
z变换的许多重要性质在数字信号处
理中常常要用到
,六, DTFT与 z变换
?
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n
jnj enxeX ?? )()(
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jn
ez
j enxzXeX
j
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七, Parseval定理 —— z变换的重要性质之一
若有两序列 x（ n）, y（ n）, 且
X（ z） =Z[ x（ n） ] Rx-〈 |z|〈 Rx+
Y（ z） =Z[ y（ n） ] Ry-〈 |z|〈 Ry+
它们的收敛域满足条件：
Rx- Ry-〈 1,Rx+Ry+〉 1
则
其中, C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分
Max[ Rx-,1/Ry+] < |v| <min[ Rx+,1/Ry -]
? ?
?
???
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n c
dvvvYvX
j
nynx 1*)/1(*)(
2
1)(*)(
?
证：令 w（ n） =x（ n） y*（ n）
利用复共轭和复卷积特性 (p21表 1.3,第 7和第 10)：
则
由于假设条件中已规定收敛域满足,Rx-Ry-〈 1〈 Rx+Ry+
因此, |z|=1 在收敛域内, 即 w（ z） 在单位圆上收敛, w（ z） |z=1存在,
? ????? ???
?
c yxyx
RRzRRdvvvzYvX
j
nynxZ
zXnxZ
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2
1)]()([
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1
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? ?? ?? c dvvvYvXjW 1*1*)(2 1)1( ?
又因
因此 证毕
?? ?
???
?
?
???
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n
z
n
n nynxznynxW )(*)()(*)()1(
1
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???
? c
n
dvvvYvXnynx 1*1*)(2 1)(*)( ?
如果 X（ v）, Y（ v） 在单位圆上收敛, 则选取单位圆为围线积分途径, 这时
,
Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量：
一个序列值的平方总和 称为, 序列能量,
即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的 。
? ??? ??
???
? ?? ?? ?? deYeXnynx jj
n
*)(
2
1)(*)(
??
???n
nx 2)(
? ????
?
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???
?
???
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?
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? deXeXnxnxnx
jj
nn
*2 )(
2
1*)()()(
??? ?? ? ?? deX j 2|)(|2 1
?jev ?
绪 论
一、从模拟到数字
? 1、信号：信号 传递信息的函数也 是独立变量
的函数，这个变量可以是时间、空间位置等。
? 2、连续信号：在某个时间区间，除有限间断
点外所有瞬时均有确定值。
? 3、模拟信号是连续信号的特例。时间和幅度
均连续。
? 4、离散信号：时间上不连续，幅度连续。
? 5、数字信号：幅度量化，时间和幅度均不连
续。
A / D
变换器
通用或专
用
计算机
采样
保持器
D/ A
变换器
模拟低通
滤波器
模拟信
号
数字信号 模拟信
号
数字信号处理系统
连续时间信
号
连续时间信
号
模拟信号的数字化
数字信号
数码 量化电平
模拟信号
采样保持信号
量化电平
数字信号转化成模拟信号
数字信号
数码 量化电平
D/A输出信号
模拟信号
D/A输出 模拟滤波输出
数字信号处理采用数字系统完成信
号处理的任务, 它具有数字系统的
一些共同优点, 例如抗干扰, 可靠
性强, 便于大规模集成等 。 除此而
外, 与传统的模拟信号处理方法相
比较, 它还 具有以下一些明显的优
点：
二、数字信号处理的主要优点
1、精度高
在模拟系统的电路中, 元器件精度要
达到１０ －３ 以上已经不容易了, 而
数字系统 17位字长可以达到１０ －５
,这是很平常的 。 例如, 基
于离散傅里 叶变换的数字式频谱分析
仪, 其幅值精度和频率分辨率均远远
高于模拟频谱分析仪 。
数字信号处理采用了专用或通用的
数字系统, 其性能取决于运算程序
和乘法器的各系数, 这些均存储在
数字系统中, 只要改变运算程序或
系数, 即可改变系统的特性参 数,
比改变模拟系统方便得多 。
2、灵活性强
例如：
有限长单位脉冲响应数字滤波器可以
实现严格的线性相位；
在数字信号处理中可以将信号存储起
来, 用延迟的方法实现非因果系统,
从而提高了系统的性能指标；
数据压缩方法可以大大地减少信息传
输 中的信道容量 。
3、可以实现模拟系统很难达到
的指标或特性
利用庞大的存储单元, 可以存
储二维的图像信号或多维的阵
列 信号, 实现二维或多维的滤
波及谱分析等 。
4,可以实现多维信号处理
（ 1） 增加了系统的复杂性 。 他需要模拟接口以
及比较复杂的数字系统 。
（ 2） 应用的频率范围受到限制 。 主要是 A/D转换
的采样频率的限制 。
（ 3） 系统的功率消耗比较大 。 数字信号处理系
统中集成了几十万甚至更多的晶体管, 而模拟信
号处理系统中大量使用的是电阻, 电容, 电感等
无源器件, 随着系统的复杂性增加这一矛盾会更
加突出 。
5,缺点
三、发展特点
(1)由简单的运算走向复杂的运
算, 目前几十位乘几十位的全
并行乘法器可以在数个纳秒的
时间内完成一次浮点乘法运算
,这无论在运算速度上和运算
精度上均为复杂的数字信号处
理算法提供了先决条件；
(2)由低频走向高频，模数转
换器的采样频率已高达数百
兆赫，可以将视频甚至更高
频率的信号数字化后送入计
算机处理 ；
(3)由一维走向多维，像高分
辨率彩色电视、雷达、石油勘
探等多维信号处理的应用领域
已与数字信号处理结下 了不解
之缘。
（ 4）各种数字信号处理系统
均几经更新换代
在图像处理方面, 图像数据压缩是多媒体
通信, 影碟机 (VCD或 DVD)和高清晰度电视
(HDTV)的关键技术 。 国际上先后制定的标
准 H.261,JPEG,MPEG—1和 MPEG—2中均使用
了离散余弦变换 (DCT)算法 。 近年来发展起
来的小波 (Wavelet)变换也是一种具有高压
缩比和快速运算特点的崭新压缩技 术, 应
用前景十分广阔, 可望成为新一代压缩技
术的标准 。
年代 特点 $/MIPS
60年代 大学探索 $100-$1,000
70年代 军事运用 $10-$100
80年代 商用成功 $1-$10
90年代 进入消费类电子 $0.1-$1
今后 生活用品 $0.01-$0.1
三、发展特点
四、各种数字信息系统
Digital Media
Processing
Webpad
Telematics
Wireless Devices:
802.11,Bluetooth,
Others
Enhanced
Gaming
Military and
Government Cellular,
Secure Connectivity
Industry-Specific
PDAs
Biometrics
Medical
Devices
在机械制造中, 基于 FFT算法的频谱分
析仪用于振动分析和机械故障诊断；医
学中使用数字信号处理技术对心电
(ECG)和脑电 (EEG)等生物电信号作分析
和处理；数字音频广播 (DAB)广泛地使
用了数字信号处理技术 。 可以说, 数字
信号处理技术已在信息处理领域引起
了广泛的关注和高度的重视 。
数字信号处理不断开辟新的
应用领域
五、数字信号处理系统的实现
? 软件实现
? 硬件实现
?片上系统（ SOC,System on a
Chip）
软件实现是用一台通用的数字计算机运行数字信号处
理程序 。 其优点是经济, 一机可以多用；缺点是处理速
度慢, 这是由于通用数字计算机的体系结构并不是为某
一种特定算法而设计的 。 在许多非实时的应用场合, 可
以采用软件实现方法 。 例如, 处理一盘混有噪声的录像
(音 )带, 我们可以将图像 (声音 )信号转换成数字信号并
存入计算机, 用较长的时间一帧帧地处理这些数据 。 处
理完毕后, 再实时地将处理结果还原成一盘清晰的录像
(音 )带 。 通用计算 机即可完成上述任务, 而不必花费较
大的代价去设计一台专用数字计算机 。
数字信号处理 的 软件实现
硬件实现是针对特定的应用目
标, 经优化, 设计一专用的软
硬件系统 。 其优点是容易做到
实时处理, 缺点是设备只能专
用 。
数字信号处理 的 硬件实现
片上系统（ SOC,System on a Chip）
? 随着大规模集成电路的发展，一个复杂数字信号
处理系统已可以集成在一个芯片上。 SOC包含有
数字和模拟电路、模拟和数字转换电路、微处理
器、微控制器以及数字信号处理器等。与传统的
集成电路不同的是，嵌入式软件的设计也被集成
到了 SOC的设计流程中,SOC的设计方法将以组
装为基础，采用自上至下的设计方法，在设计过
程中大量重复使用自行设计或其他第三方拥有知
识产权的 IP(Intelligent Property)模块。 SOC要充
分考虑如何合理划分软件和硬件所实现的系统功
能以及如何实现软、硬件之间的信息传递。 SOC
将是数字信号处理系统的一个新型的实现方法。
并行是指为了完成同一个任务，几个处理器同
时工作，使系统能胜任单个处理器所不能完成
的任务；当一个处理器完成单个任务 (比如一
个滤波器 )有很大的富余量时，可让其完成多
个任务，这就是复用；流水结构也是多处理器
完成同一任务，它与并行结构的主要区别在于
并行的各个处理器之间数据交换不多，而流水
结构类似于生产中的流水线，数据经一道道,
工序, 处理。采用并行或流水结构，完全取决
于数字信号处理的运算结构。
并行、复用和流水
研究内容
经典的数字信号处理限于线性时不变
系统理论,数字滤波和 FFT是常用方法。
目前 DSP研究热点,时变非线性系统、
非平稳信号,非高斯信号
处理方法的发展：自适应滤波,离散小
波变换,高阶矩分析、盲处理、分形、
混沌理论
l 基础理论：离散时间信号与系统（ ch1）
l离散傅立叶变换 DFT（ ch2）
快速傅立叶变换 FFT（ ch2）
l 数字滤波器
无限长单位脉冲响应（ IIR）滤波器 (ch3)
有限长单位脉冲响应（ FIR）滤波器 (ch4)
l 数字信号处理系统的实现（ ch5）
数字信号处理器硬件（ ch5）
l 多采样率数字信号处理（ ch6）
课程介绍
第一章 离散时间信号与系统
? 离散时间信号
? 采样
? 离散信号的傅氏变换与 Z变换
? 离散时间系统
? 系统函数
1.1 离散时间信号
（１）单位脉冲序列
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
n?
（２）单位阶跃序列
?
?
?
?
?
?
0,0
0,1
)(
n
n
nu
（３）矩形序列
?
?
?
??
???
?
Nnn
Nn
nR N
,0,0
10,1
)(
1 …… N-1 n
（４）实指数序列
)()( nuanx
n
?
（５）正弦序列
?x(n) = sin（ nω0）
sin(n?0)
-1
（５）复指数序列
0()
00( ) ( c o s s i n )
jn nx n A e A e n j n?? ? ???? ? ?
当 0?? 时 x(n)的实部和虚部
分别是余弦和正弦序列。
x(n) = (0.65 + j0.5)nu(n).
序列的运算
1、序列的相加 z(n)=x(n)+y(n)
2、序列的相乘 f(n)=x(n) y(n)
3、序列的移位 y(n)=x(n-n0)
4、序列的能量 ??
???
?
n
nxS 2)(
????
???n
nx 2)(平方可和序列
???
?
???n
nx )(
绝对可和序列
??? xBnx )(有界序列
)()()( mnmxnx
m
?? ?
?
???
?
6、序列的单位脉冲序列表示
5、实序列的偶部和奇部
)()()( nxnxnx oe ??
)]()([21)( nxnxnx e ???
)]()([21)( nxnxnx o ???
1.2 采样
对信号进行时间上的离散化, 这是对信号作数字化
处理的第一个环节 。
研究内容：
? 信号经采样后发生的变化 （ 如频谱的变化 ）
? 信 号 内 容 是 否 丢 失 （ 采 样 序 列 能 否 代 表 原 始
信号, 如何不失真地还原信号 ）
? 由离散信号恢复连续信号的条件
采样的这些性质对离散信号和系统的分析十分重
要, 要了解这些性质, 首先分析采样过程 。
1.采样过程
采样器一般由电子开关组成，开
关每隔Ｔ秒短暂地闭合一次，将连
续信号接通，实现一次采样。
连续时间信号的采样
采样器
P(t)
T
如开关每次闭合 τ秒, 则采样器的输出是一串
重复周期为 T,宽度为 τ的脉冲, (如图 )脉冲的幅
度是这段时间内信号的幅度 (如图 ),这一采样过
程可看作是一个脉冲调幅过程, 脉冲载波是一
串周期为 T,宽度为 τ的矩形脉冲, 以 P(t)表示,
调制信号是输入的连续信号 xa(t),则采样输出为
一般 τ很小,τ越小, 采样输出脉冲的幅度越接
近输入信号在离散时间点上的瞬时值 。
)()()( tptxtx ap ?
2,理想采样
开关闭合时间 τ→ 0时, 为理想采样 。
特点：采样序列表示为冲激函数的序列, 这些冲
激函数准确地出现在采样瞬间, 其积分幅度准确地
等于输入信号在采样瞬间的幅度 。
即：理想采样可看作是对冲激脉冲载波的调幅过程
。 我们用 M(t)表示这个冲激载波,
?
?
???
??
n
nTttM )()( ?
则有
)()()(? tMtxtx aa ? ? ??
???
?
???
????
n n
aa nTtnTxnTttx )()()()( ??
实际情况下, τ＝ 0达不到, 但
τ<<T时, 实际采样接近理想采样
,理想采样可看作是实际采样物理
过程的抽象, 便于数学描述, 可集
中反映采样过程的所有本质特性,
理想采样对 Z变换分析相当重要 。
3、采样信号的频谱
? ? ? ?
??
????? dtetxtxFjX tj
aaa )()()(
? ? ? ?
??
?? ????? dejXjXFtx tj
aaa )(2
1)()( 1
?
)(?)( txjX aa ???
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m m
tjm
m
seanTttM )()( ?
ss fT ?? 22 ???
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2
)(1
T
dtet
T
dtenTt
T
T
T
tjm
T
T
n
tjm
s
s
1
)(
1
)(
1
2
2
2
2
??
??
?
? ?
?
??
?
?
???
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?
?
所以
??
???
??
m
tjm se
TtM
1)(
? ? ? ?)()()(?)(? tMtxFtxFjX aaa ???
? ?
? ?
?
?
???
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tj
m
tjm
a
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a
dtetx
T
dteetx
T
dtetMtx
s
s
)(
)(
1
)(
1
)()(
??
???
?????
m
saa jmjXTjX )(
1)(?
所以,理想采样信号的频谱是连续信号频谱的周期延拓,重复周期为 ?s(
采样频率 )。
因此有，
??
???
???
????
??
20
2)()(
s
s
a
a
jX
jX
如果信号最高频谱超过 ?s/2,那么在理想采样频谱中,
各次调制频谱就会互相交叠,出现频谱的, 混淆, 现象
（ 图 1.4）,为简明起见,图中将 xa(j?)作为标量处理,一
般 xa(j?)为复数,交叠也是复数相加 。 当出现频谱混淆
后,一般就不可能无失真地滤出基带频谱,用基带滤波
恢复出来的信号就要失真 。
表一些典型的数字信号处理系统
应用系统 上限频率 m a xf 采样频率 sf
地质勘探 500 Hz 1- 2 k Hz
生物医学 1 k Hz ２ - ４ k Hz
机械振动 ２ k Hz 4 -1 0 k Hz
语音 ４ k Hz 8 -1 6 k Hz
音乐 ２０ k Hz 4 0 - 9 6 k Hz
视频 ４ M Hz 8 -1 0 M Hz
奈奎斯特采样定理：要使实信号采样后能够不失真还原
,采样频率必须大于信号最高频率的两倍 。 Ωs≥2Ωmax
实际工作中, 考虑到有 噪声, 为避免频谱混淆, 采样频
率总是选得比两倍信号最高频率 ?max更大些, 如 Ωs
>(3~5)?max。
同时, 为避免高于折叠频率的噪声信号进入采样器造成
频谱混淆, 采样器前常常加一个保护性的前置低通滤波器
（ 抗混叠滤波 ）, 阻止高于 ?S/2频率分量进入 。
3） 归一化数字角频率
ω=ΩT=Ω/fs
ωs=ΩsT=2?
4．采样的恢复（恢复模拟信号）
如果理想采样满足奈奎斯特定理, 即信号最高频率谱不超过折迭频率
则理想采样的频谱就不会产生混叠, 因此有
│?│< ?S/2
将采样信号 通过一个理想低通滤波器 （ 只让基带频谱通过 ）, 其带宽
等于折迭频率 ?S/2,特性如图
??
?
?
?
???
????
??
20
2)()(
s
s
a
a
jX
jX
??
???
?????
m
saa jmjXTjX )(
1)(?
)(1)(? ??? jXTjX aa
)(? txa
??
?
?
?
???
???
??
20
2)(
s
sT
jG
采样信号通过此滤波器后, 就可滤出原信号的频谱：
也就恢复了模拟信号：
y(t)=xa(t)
实际上, 理想低通滤波器是不可能实现的, 但在满足一定精度的情况下
,总可用一个可实现网络去逼近 。
? ? )()()(? ?????? jXjGjXjY aa
G(j?)
g(t)
G(j?)
T xa(t) y(t)=xa(t)
0 ?S/2 ?
讨论采样信号 通过理想低通滤波器 G（ j?） 的响应过程 。
理想低通 G（ j?） 的冲激响应为
)(? txa
????? ??
?
??
???
?? de
TdejGtg s
s
tjtj 2
22
)(2 1)( ?? t
T
t
T
t
t
s
s
?
?s in
2
2
s in
??
?
?
频域相乘对应时域卷积, 利用卷积公式, 则采样信号经理想低通后的输出为
? ? ???? ??? ???? ??????? ???? ???????? dtgnTxdtgxty n aa )()()()()(?)(
? ? ??
???
?
??
?
???
?????
n n
aa nTtgnTxdnTtgx )()()()()( ?????
这里, g(t-nT)称为内插函数
)(
)(s i n
)(
nTt
T
nTt
TnTtg
?
?
?? ?
?
特点：在采样点 nT上, 函数值为 1,其余 采样点 上, 值为零 。
内插公式表明, 连续函数 xa（ t） 可以由它的采样值 xa（ nT） 来表示, 它等于
xa（ nT） 乘上对应的内插函数的总和, 如图 1.7所示 。
在每一个采样点上, 由于只有该采样值对应的内插函数不为零, 所以保
证了各采样点上信号值不变, 而采样之间的信号则由各采样值内插函数的波
形延伸迭加而成 。
内插公式的意义,
证明了只要满足采样频率高于两倍信号最高频谱, 整个连续信号就可以
用它的采样值完全代表, 而不损失任何信息 —— 奈奎斯特定律 。
1.3 离散信号的 DTFT与 z变换
一, 离散信号的 DTFT变换
离散信号 （ 数字序列 ） 的 DTFT定义
数字序列的 IDTFT变换定义
DTFT中的级数求和不一定总是收敛的, 若 x(n)绝对可和, 则该级
数绝对收敛 (充分条件 )。
另外,平方可和序列的 DTFT也存在,要强调的是平方可和序列不一定
满足绝对可和的条件 。
??
???
??
n
njj enxeX ?? )()(
?? ??? ? deeXnx njj??? )(2 1)(
值得指出：
（ 1） 由于, 所以 是以 2π为周期的周期函数 。
（ 2） DTFT
正是周期函数 的付氏级数展开, 而 x(n)是付氏级数的系数 。 这一概
念在以后滤波器设计中有用 。
DTFT的一些主要性质见表 1.2。
)2( ??? ?? jj ee )( ?jeX
??
???
??
n
jnj enxeX ?? )()(
)( ?jeX
二, z变换定义
利用差分方程可求离散系统的结构及瞬态解, 为了分析系统的另外一些
重要特性, 如稳定性和频率响应等, 需要研究离散时间系统的 z变换 （ 类似
于模拟系统的拉氏变换 ）, 它是分析离散系统和离散信号的重要工具 。
一个离散序列 x（ n） 的 Z变换定义为
其中 z为复变量, 以其实部为横坐标, 虚部为纵坐标构成的平面为 z 平面
。
??
???
??
n
nznxzX )()(
常用 Z[x(n)]表示对序列 x(n)的 z 变换, 即
??
???
??
n
nznxnxZ )()]([
这种变换也称为双边 z 变换, 与此相应还有单边 z 变换, 单边 z 变换只是
对单边序列 （ n>=0部分 ） 进行变换的 z变换, 其定义为
单边 z变换只在少数情况下与双边 z变换有所区别, 即序列的起始条件不同
,可以把单边 z变换看成是双边 z变换的一种特例, 即因果序列情况下的双边 z
变换 。
??
?
??
0
)()(
n
nznxzX
三, z变换的收敛域
一般, 序列的 Z变换 并不一定对任何 z值都收敛, z平面上
使上述级数收敛的区域称为, 收敛域, 。 我们知道, 级数一致收敛的条件是
绝对值可和, 因此 z平面的收敛域应满足
因为对于实数序列,
因此, |z| 值在一定范围内才能满足绝对可和条件, 这个范围一般表示为
??
???
?
n
nznx )(
???
?
???
?
n
nznx )(
??? ??
?
???
??
???
?
n
n
n
n znxznx )()(
Rx-〈 |z|〈 Rx+
这就是收敛域, 一个以 Rx-和 Rx+为半径的两个圆所围成的环形区域, Rx-和
Rx+称为收敛半径, Rx-和 Rx+的大小, 即收敛域的位置与具体序列有关, 特
殊情况为 Rx-等于 0,Rx+为无穷大, 这时圆环变成圆或空心圆 。
z变换的收敛域
jIm[z]
Rx+Rx- Re[z]
0
这里主要讨论以下四种序列：
a 有限长序列
序列 (序列 x(n)只在有限长度 n1~n2 内有值, 其余为零 )
其 Z变换
X（ z） 是有限项的级数和, 只要级数每一项有界, 有限项和也有界, 所以有
限长序列 z变换的收敛域取决于 |z|-n〈 ∞,n1≤n≤n2。
显然 |z| 在整个开域（ 0,∞ ）都能满足以上条件，因此有限长序列的收
敛域是除 0 及 ∞
??
? ???
n
nnnnxnx
其它0
)()( 21
?
?
?? 2
1
)()(
n
nn
nznxzX
两个点 （ 对应 n<0和 n>0不收敛 ） 以外的整个 z 平面：
0〈 |z|〈 ∞
如果对 n1,n2加以一定的限制, 如 n1≥0或 n2≤0,则根据条件 |z|-n〈 ∞（ n1≤n≤n2
）, 收敛域可进一步扩大为包括 0点或 ∞点的半开域：
?
?
?
????
????
0||0
00
2
1
nz
nz
例 1 序列 x（ n） =δ（ n）
由于 n1=n2=0,其收敛域为整个闭域 z 平面, 0≤|Z|≤∞，
例 2 矩形序列 x（ n） =RN（ n）
等比级数求和
??
???
?? ????
n
n zznzX 11)()( 0?
? ??
???
?
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?????? ????????
n
N
n
Nnn
N zzzzznRzX
1
0
)1(21 11)()( ?
?????? ?
?
||0,11)( 1 zzzzX
N
b 右边序列
指 x（ n） 只在 n≥n1,有值, 而 n〈 n1时,
x（ n） =0
收敛域,|z|〉 Rx-, 为
收敛半径 Rx-以外的 z平面,
?
?
?
??
1
)()(
nn
nznxzX
右边序列中最重要的一种序列是, 因果序列,, 即 n1≥ 0的右边序列, 因果
序列只在 n≥0有值, n〈 0时, x（ n） =0,其 z变换为：
收敛域：
Z 变换的收敛域包括 ∞点是因果序列的特征 。
?
?
?
??
0
)()(
n
nznxzX
??? ||R x - z
c 左边序列
序列 x（ n） 只在 n≤n2有值, n 〉 n2时
,x（ n） =0
收敛域,|Z|〈 Rx+,
在收敛半径为 Rx+的圆内
?
???
??
2
)()(
n
n
nznxzX
d 双边序列
可看作一个左边序列和一个右边序列之和, 因此
双边序列 z 变换的收敛域是这两个序列 z 变换收敛域
的公共部分 。
?
?
???
??
n
nznxzX )()( ?? ?
??
?
???
? ??
11
1
)()(
nn
n
n
n
n znxznx
如果 Rx+〉 Rx-,则存在公共的收敛区间, X（ z） 有收敛
域,
Rx-〈 |z|〈 Rx-
如 Rx+〈 Rx-,无公共收敛区间, X（ z） 无收敛域, 不收
敛,
Z变换小结
? Z 变换收敛域的特点：
1） 收敛域是一个圆环, 有时可向内收缩到原点
,有时可向外扩展到 ∞,只有 x（ n） =δ（ n） 的
收敛域是整个 z 平面 。
2） 在收敛域内没有极点, X（ z） 在收敛域内每
一点上都是解析函数 。
? Z 变换表示法：
级数形式
解析表达式 （ 注意,只表示收敛域上的函数, 要
同时注明收敛域 ）
例 求 ncnx ?)( 的 z 变换。
解
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?
???
?
?
???
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???
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???
1
0
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n n
nnnn
n
n
zczcznxzX
cz
cz
zczX
n
nn
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0
1
1
1
)(
1
2
1
()
1
nn
n
cz
X z c z z
c z c
?
?
? ? ?
? ? ?
?
?
若
1?c
，则存在公共的收敛区域
c
zc
cz
cz
cz
zX
1
11
1
)(
1
??
?
?
?
?
?
若
1?c
，则无公共的收敛区域，此时 x ( n ) 的向两边发散。
已知函数 X(z)及其收敛域, 反过来求序列 x(n)的变换称为逆 z变换, 常用
Z-1[x(z)]表示 。
若
则逆 z变换为：
逆 z变换是一个对 X（ z） zn-1进行的围线积分, 积分路径 C是一条在 X（ z）
收敛环域 （ Rx-,Rx+） 以内反时针方向绕原点一周的单围线 。
??
?
???
? ??? ?
xx
n
n RzRznxzX ||)()(
? ?? c n dzzzXjnx 1)(2 1)( ? ),( ??? xx RRc
四, 逆 z变换
围线积分路径
证：
设积分路径 C在半径为 R的圆上, 即 z=Rejθ,Rx-〈 R〈 Rx+,则
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?
???
??
?
?
???
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m
c
mn
c
n
m
m
c
n
dzz
j
mx
dzzzmx
j
dzzzX
j
1)(
11
2
1
)(
)(
2
1
)(
2
1
?
??
nmk
k
k
de
R
djeR
j
dzz
j
jk
k
c
jkjk
c
k
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?
?
?
?
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?
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??
?
???
,
00
01
2
Re
2
1
2
1 )1(11
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?
?
??
?
?
?
??
这个公式称为柯西积分定理 。
因此
或
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???
?? ?
m c
mn nxdzz
jmx )(2
1)( 1)(
?
),()()(2 1 1 ??? ??? xx
c
n RRcnxdzzzX
j?
直接计算围线积分比较麻烦, 一般不采
用此法求 z反变换, 求解逆 z变换的常用
方法有：
l 幂级数
l 留数定律法
l 部分分式法
常用序列 z变换 （ 可直接使用 ）
???
?
?
???
?
?
?
???
?
?
?
?
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||0
1
1
)(
||1
1
)(
1
za
az
z
nua
z
z
z
nR
z
z
z
nu
n
N
N
五, z变换的性质
z变换的许多重要性质在数字信号处
理中常常要用到
,六, DTFT与 z变换
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n
jnj enxeX ?? )()(
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???
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n
jn
ez
j enxzXeX
j
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? )()()(
七, Parseval定理 —— z变换的重要性质之一
若有两序列 x（ n）, y（ n）, 且
X（ z） =Z[ x（ n） ] Rx-〈 |z|〈 Rx+
Y（ z） =Z[ y（ n） ] Ry-〈 |z|〈 Ry+
它们的收敛域满足条件：
Rx- Ry-〈 1,Rx+Ry+〉 1
则
其中, C 所在收敛域为 X(v) 和 Y*(1/V*) 两者收敛区域的重迭部分
Max[ Rx-,1/Ry+] < |v| <min[ Rx+,1/Ry -]
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?
???
??
n c
dvvvYvX
j
nynx 1*)/1(*)(
2
1)(*)(
?
证：令 w（ n） =x（ n） y*（ n）
利用复共轭和复卷积特性 (p21表 1.3,第 7和第 10)：
则
由于假设条件中已规定收敛域满足,Rx-Ry-〈 1〈 Rx+Ry+
因此, |z|=1 在收敛域内, 即 w（ z） 在单位圆上收敛, w（ z） |z=1存在,
? ????? ???
?
c yxyx
RRzRRdvvvzYvX
j
nynxZ
zXnxZ
||)/()(
2
1)]()([
*)(*)](*[
1
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? ??? dvvvzYvXjnwZzW c 1*** )/()(2 1)]([)( ?
? ?? ?? c dvvvYvXjW 1*1*)(2 1)1( ?
又因
因此 证毕
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???
?
?
???
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n
z
n
n nynxznynxW )(*)()(*)()1(
1
? ??? ??
???
? c
n
dvvvYvXnynx 1*1*)(2 1)(*)( ?
如果 X（ v）, Y（ v） 在单位圆上收敛, 则选取单位圆为围线积分途径, 这时
,
Parseval 定理的一个重要应用是计算序列能量：
一个序列值的平方总和 称为, 序列能量,
即时域中对序列求能量与频域中求能量是一致的 。
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???
? ?? ?? ?? deYeXnynx jj
n
*)(
2
1)(*)(
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???n
nx 2)(
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???
?? ?
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? deXeXnxnxnx
jj
nn
*2 )(
2
1*)()()(
??? ?? ? ?? deX j 2|)(|2 1
?jev ?
