§ 3,3 从模拟滤波器低通原型到各种数字滤波器的频率变换
（原型变换）
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案, 如巴特
沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己
的一套准确的计算公式, 同时, 也已制备了大量归一化的设计
表格和曲线, 为滤波器的设计和计算提供了许多方便, 因此在
模拟滤波器的设计中, 只要掌握原型变换, 就可以通过归一化
低通原型的参数, 去设计各种实际的低通, 高通, 带通或带阻
滤波器 。 这一套成熟, 有效的设计方法, 也可通过前面所讨论
的各种变换应用于数字滤波器的设计, 具体过程如下：
原型变换 映射变换
原型变换
也可把前两步合并成一步, 直接从模拟低通归一化原型通过一
定的频率变换关系, 完成各类数字滤波器的设计
模拟原型 模拟低通、高通 带通、带阻 数字低通、高通带通、带阻
一, 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1） 确定数字滤波器的性能要求, 确定各临界频
率 {ωk}。
2） 由变换关系将 {ωk}映射到模拟域, 得出模拟
滤波器的临界频率值 {Ωk}。
3） 根据 {Ωk}设计模拟滤波器的 Ha(s)
4） 把 Ha(s) 变换成 H(z)（ 数字滤波器系统函数 ）
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型, 设计各种
数字滤波器的基本原理, 着重讨论双线性变换法 。
例 1 设采样周期,设计一个三阶巴特沃
兹 LP滤波器,其 3dB截止频率 fc=1khz。 分别用脉冲响应不变法
和双线性变换法求解 。
解,a,脉冲响应不变法
由于脉冲响不变法的频率关系是线性的, 所以可直接按 Ωc
=2πfc设计 Ha(s)。 根据上节的讨论, 以截止频率 Ωc 归一化的三
阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
32221
1)(
ssssHa ????
32 )/()/(2)/(21
1)(
ccc
a ssssH ???????
cs ?/
)4(2 5 0 k h zfsT s ?? ?
以 代替其归一化频率, 得：
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式
的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。
将 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累,fc数值放到数字滤
波变换后代入。
)(sHa
cc f?2??
cs ?/
为进行脉冲响应不变法变换，计算 Ha(S)分母多项式的根，
将上式写成部分分式结构：
2/)31(
3/
2/)31(
3/)( 6/6/
jcs
ec
jcs
ec
cs
csHa jj
???
???
???
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6/211 3/;,?jcc ecAsA ????????
2/)31(,3/;2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ?
?
?
???
N
i
TS
i
Ze
AZH
i
1
11)( iS
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有
将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：
极点
并将 代入, 得：
合并上式后两项, 并将 代入, 计算得：
12/)31(
6/
12/)31(
6/
1 1
)3/(
1
)3/(
1
/)(
???
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eT
Ze
eT
Ze
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j
j
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j
j
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??? 5.02 ?? Tf cc
???
?
???
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??
???
?? ??
?
? 21
1
1 2079.01905.01
5541.0571.1
2079.01
571.11)(
ZZ
Z
ZTZH
Tcc /???
可见,H（ Z）与采样周期 T有关,T越小,H（ Z）
的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉
冲响应不变法时稍作一点修改，即求出 H（ Z）后，再
乘以因子 T,使 H（ Z）只与 有关，即只与 fc和 fs的相
对值 有关，而与采样频率 fs无直接关系。
例如,与 的
数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所
有的数字滤波器设计。
最后得：
sc ff /
21
1
1 2 0 7 9.01 9 0 5.01
5 5 4 1.0571.1
2 0 7 9.01
571.1)(
??
?
? ??
???
?? zz
z
zZH
C?
K H zfK H zf cs 10,40 ??K H zfK H zf cs 1,4 ??
b,双线性变换法
（ 一 ） 首先确定数字域临界频率 ??? 5.02 ?? Tf cc
TtgT
c
c
2
2
2 ??
?
??
?
??? ?
cs ?/
32 )/()/(2)/(21
1)(
ccc
a ssssH ???????
Tc /2??
（ 二 ） 根据频率的非线性关系, 确定预畸的模拟滤波器
临界频率
(三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数
并将 代入上式 。
（ 四 ） 将双线性变换关系代入, 求 H(Z)。
3
1
12
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
2
1
1
21
1
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1
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2
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112
3
1
21111211
3
1
3
111
3
1
3
1
3
11111
3
1
3
1
3
11
2
1
2
11
3
1
3
1
3
1
2
1
113
1
2122122211
1
11141
1
1111121
1
11121121
1
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?
?????????
?
?
z
z
zzz
z
zzzzzzzz
z
zzzz
z
zzzzzz
z
zzzzzz
z
图 1 三阶 Butterworth 数字滤波器的频响
脉冲响应不变法
双线性变换法
fs/2
我们也可以用 M A T L A B 完成设计，在 M A T L A B 中相关的语句有
but te r （ 巴特沃兹滤波器）,im pi nv ar （ 脉冲响应不变法 ）、
bil in ea r （ 双线性变换），
具体的程序如下：
[B,A] =b ut te r( 3,2* pi *1 00 0,'s ' );
[ nu m1,d en 1] = i mp in va r( B,A,40 00 );
[ h1,w ]= fr eq z( nu m1,d en 1) ;
[B,A] =b ut te r( 3,2/ 0,00 02 5,'s ' );
[ nu m2,d en 2] =b il in ea r( B,A,40 00 );
[ h2,w ]= fr eq z( nu m2,d en 2) ;
f=w /p i* 20 00 ;
plo t( f,ab s( h1 ),'-,',f,a bs (h 2),' -' );
gri d;
xla be l( ' 频率 / Hz ' )
yla be l( ' 幅值 / d B ')
频率 /Hz
三阶巴特沃兹滤波器的频率响应
幅
度
/dB
图 1为两种设计方法所得到的频响, 对于双线性变换法,
由于频率的非线性变换, 使截止区的衰减越来越快, 最后在折
叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点
正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的 。
因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲
响应不变法存在混淆,且没有传输零点 。
? ??? ???,1Z
???
二,高通变换
设计高通, 带通, 带阻等数字滤波器时, 有两种方法：
① 先设计一个相应的高通, 带通或带阻模拟滤波器, 然后通
过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器 。
模拟原型 模拟高通, 带通, 带阻 数字高通, 带通, 带阻
设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计 。
即确定 转换为相应的
高通, 带通, 带阻 模拟滤波器的设计
Ha(s) H(Z)
② 直接利用模拟滤波器的低通原型, 通过一定的频率变换关
系, 一步完成各种数字滤波器的设计 。
频率变换
模拟原型 数字低通, 高通, 带通, 带阻
? ?k? ? ?k?
这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。
变换方法的选用：
脉冲响应不变法：对于高通, 带阻等都不能直接采用, 或只
能在加了保护滤波器后才可使用 。 因此, 使
用直接频率变换 （ 第二种方法 ）, 对脉冲响
应不变法要有许多特殊的考虑, 它一般应用
于第一种方法中 。
双线性变换法：下面的讨论均用此方法, 实际使用中多数情况
也是如此 。
基于双线性变换法的高通滤波器设计：
在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是 S变量
的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中
的 S代之以 1/S，就可得到数字高通滤波器,
即
1
1
1
1
2 ?
?
?
??
z
zTs
由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，
也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍
映射在单位圆上，只是方向颠倒了。
?j
???
?
??
?
???
?
???
?
?
jj c t gTeeTseZ j
j
j
221
1
2,
?
?
?
? 时
????????? 22 ?c tgT
如图
即
映射到 即
映射到 即
图 1 高通变换频率关系
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相
对应, 只是将 坐标倒置, 因而通过这一变换后可直接将模
拟低通变为数字高通,如图 2。
????????? 22 ?c tgT
0?? ?? ?
??? 1?z
?
1??z
0??
??1.0
1.0
??
0
图 2 高通原型变换
应当明确：
所谓高通 DF,并不是 ω高到, 由于数字频域存在 折叠频
率, 对于实数响应的数字滤波器, 部分只
是 的镜象部分, 因此有效的数字域仅是
,高通也仅指这一段的高端, 即到 为止的部分 。
高通变换的计算步骤和低通变换一样 。 但在确定模拟原型
预畸的临界频率时, 应采用,不必加负
号, 因临界频率只有大小的意义而无正负的意义 。
?
?? ? ??? 2~由
0~?? 由 ?? ~0?
?? ?
?
?
??
?
???
22
k
k c tg
T ?
例, 采样 设计一个三阶切比雪夫
高通 DF,其通过频率 （ 但不必考虑 以上
的频率分量 ）, 通带内损耗不大于 1dB。
解：首先确定数字域截止频率,
,100,10 usTkH zf s ??
k H zf 5.2?
kH zf s 52 ?
??? 5.02 11 ?? Tf
222
1
1
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?
??
?
??? ?
? ?122
2
/1
1)(
????? Na VjH ?
)(?NV
则
切比雪夫低通原型的振幅平方函数为：
为 N阶切比雪夫多项式
通带损耗 时，
N=3时,
系统函数为：
5 0 8 9.0110 1.0 ??? ??
32
1
2
1
3
1
3
1
9883.0238.14913.0
4913.0)(
ssssH a ??????
??
dB1??
为方便，将 和 S 用 T/2归一化，
则
1?
2
~,1
2/
~ 1
1 T
ss
T ??
???
32 ~~9883.0~238.14913.0
4913.0)~(
ssssH a ????
于是
321
321
1
1~ 2 0 4 1.06 0 4 3.03 4 3 2.01
3311 3 2 1.0)~()(
1
1 ???
???
?
?? ???
?????
?
?
zzz
zzzsHZH
z
zsa
图 3 三阶切比雪夫高通频响
例 5）, 确定最小阶数 N。
模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为
A2实际是与阻带最小衰减有关的值, 1/A2是阻带内最大振
幅平方, 也就是最小阻带衰减, 如以分贝值表示这一衰减量,
则
,e是以分贝 计的阻带衰减
今最小阻带衰减为 e=19dB,故
将 一起代入上式, 即求得最小的 N。
1 2 2 0 1 8 4.0110,5.0 1.02 ????? ???今
)(1lg10 2 dBeA ??
9.12 10?A
?及、,2AcS ??
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/c o s h
/1c o s h
1
21 ?
例 5 设计一数字高通滤波器, 它的通带为 400～ 500Hz，
通带内容许有 0.5dB的波动, 阻带内衰减在小于 317Hz
的频带内至少为 19dB,采样频率为 1,000Hz。
32492.0210002 4002c tg2c ??? ???? TT ?
6498.0210002 3172c tg2r ??? ???? TT ?
32492.02/~ cc ???? T cT ???
??? ~26 4 9 8.0
2/
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r
0 2 5 5 8 4 2 1 5 5.0~1 6 6 5 6 3 0 7 5.0~4 1 2 7 3 4 6.0~
0 2 5 5 8 4 2 1 5 5.0)~(
23a ???? ssssH
1
1
1
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ss
321
31
4 5 3 7 6 7 8 6.05 2 4 2 7 7 8 4.19 7 4 8 6 0 2 4.11
)1(0 1 5 9 4 1 4 9.0)(
???
?
???
??
zzz
zzH
wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));
wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));
[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');
[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');
[num,den]=bilinear(B,A,1000);
[h,w]=freqz(num,den);
f=w/pi*500;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([0,500,-80,10]);
grid;
xlabel('')
ylabel('幅度 /dB')
频率 /Hz
切比雪夫高通滤波器
幅
度
/dB
三, 带通变换
如图 1,如果数字频域上带通的中心频率为, 则带通变换
的目的是将, 0
?
00 ?????
??? ????? ????????? 000 映射
0?jez ?? ??? jS
1??z
? ?? ?
? ? 1
1c o s2
)1(1 2
2
?
???
??
??? ?
z
zz
zz
ezezs ojj oo ???
模拟低通
00 0 ??????? ????????? ???映射
（ 频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性 ） 。
即将 S的原点映射到, 而将 点映射到
,满足这一要求的双线性变换为：
图 1 带通原型变换
当 时
因此 （带通变换关系 ）
? ?
??
??
?
?? ??
jj
o
jj
j
o
jj
ee
ee
e
ees
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??? c o s2
1
1c o s2
2
2
???? jsjs o ?又,s i n c o sc o s ? ??
?
??
s i n
c o sc o s ??? o
jze??
图中 点正好映射在 上，而 映射在,
两端，因此满足带通变换的要求。
0?? 0??? ???? 0?? ?
带通变换的频率关系
稳定性证明：
同时, 这一变换也满足稳定性要求, 设
由于上式完全是实数, 所以是映射在 S平面 轴上 。
其中分子永远非负的,
因此 的正负决定于分母
由此证明了, S左半平面映射在单位圆内, 而右半平面映射
在单位圆外, 这种变换关系是稳定的变换关系, 可用它来完成
带通的变换, 如图 1。
0?? rz
1
1c o s2
2
2
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???
r
rrs o?
?
? ? ? ?
1
c o s121
1
c o s21
2
2
2
2
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???
r
rr
r
rr oo ???
? ? 0)c o s1(212 ???? orr ?
? 12 ?r
01
0,1
??
??
?
?
时，
时，
r
r
设计：
设计带通时, 一般只给出上, 下边带的截止频率 作为
设计要求 。
为了应用以上变换, 首先要将上下边带参数 换算成中
心频率 及模拟低通截止频率 。
为此将 代入变换关系式：
由于 在模拟低通中是一对镜象频率,
代入上面两等式, 求出
21,??
21,??
0? c?
co ?? ??,,21 ??? 求
21,??
1
1
1 s in
c o sc o s
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?? ??? o
21,??
21 ????
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21
21
21
21
0 ??
??
??
??
?
2
2
2 s in
c o sc o s
?
?? ??? o
例
又 同时也就是模拟低通的截止频率,
有了这两个参数就可完成全部计算 。
：采样 fs=400kHz,设计一巴特沃兹带通滤波器, 其
3dB边界频率分别为 f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带 f3=120kHz处最
小衰减大于 10dB。
解：确定数字频域的上下边带的角频率
求中心频率：
1? c?
1
1
s in
c o sc o s
?
?? ???? o
c
??? 45.0/2 22 ?? sff
??? 55.0/2 11 ?? sff
??? 6.0/2 33 ?? sff
? ?
??
???
55.0s i n45.0s i n
55.045.0s i nc o s
0 ?
?? ?? 5.00 ?
求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率,
从 频率增加了约 1.05倍, 衰减增加了 （ 10-3） dB
,故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标 （ 查表 ）
归一化的系统函数：
代入,
代入变换公式
c?
s?
1584.055.0s i n 55.0c o s5.0c o s ???? ? ??c
3 2 4 9.06.0s i n 6.0c o s5.0c o s ???? ? ??s
sc ?? 到
12
1)(
2 ???? sssH a
c?
? ? ? ? 1/2/
1)(
2 ?????
cc
a sssH
1
1
1
1c o s2
2
2
2
0
2
?
??
?
???
z
z
z
zzs ?
0
P88 例 6 带通滤波器设计
3dB
10dB
f2 f1 f3
H(ejω)
f
1
1
1
3 1 7.62
1
1
3 1 7.6
1
)()(
2
2
2
2
2
21
1
2
2
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
z
z
z
z
sHazH
z
z
s
66.3725.8466.37
)1(
24
22
??
??
zz
z
w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400));
w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400));
wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400));
[N,wn]=buttord([w1 w2],[0 wr],3,10,'s');
[B,A]=butter(N,wn,'s');
[num,den]=bilinear(B,A,400);
[h,w]=freqz(num,den);
f=w/pi*200;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([40,160,-30,10]);
grid;
xlabel('频率 /kHz')
ylabel('幅度 /dB')
巴特沃兹带通滤波器
40 60 80 100 120 140 160
- 3 0
- 2 5
- 2 0
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
? μ ? ê / k H z
·
ù
?
è
/
d
B
频率 /kHz
幅
度 /
dB
四, 带阻变换
把带通的频率关系倒置就得到带阻变换 。
ozz
zs
??
?
? c o sc o s
s i n,
1c o s2
1
0
2
2
?????
??
01
1
c o sc o s
s in
??
?
??? c
co ?? ??,,21 ??? 求
给定
例７ 一数字滤波器采样频率 fs = 1kHz, 要求滤除 100Hz的
干扰, 其３ dB的边界频率为 95Hz和 105Hz,原型归一化低通
滤波器为
ssH ?? 1
1)(1
a
P.88例 7
w1=95/500;
w2=105/500;
[B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop');
[h,w]=freqz(B,A);
f=w/pi*500;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([50,150,-30,10]);
grid;
xlabel('频率 /Hz')
ylabel('幅度 /dB')
频率 /Hz
巴特沃兹带阻滤波器
幅度
/dB
§ 3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换
（ Z平面变换法）
上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种 DF的方
法, 这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行 。
DF低通原型函数
这种变换是由 所在的 Z平面到 H（ z） 所在的 Z平面的一
个映射变换 。
为便于区分变换前后两个不同的 Z平面, 我们把变换前的
Z平面定义为 u平面, 并将这一映射关系用一个函数 g表示：
①
?? ?? 变换)( zH p
)(ZH p
)( 11 ?? ? zgu
各种 DF的 H（ z）
平面平面 zu
ZHzH zgup )()( )(
11
??? ??
?? ?
于是,DF的原型变换可表为：
)( 11
)()( ??
?
?
zgup
uHzH
)( 1?zg
)( 1?zg
1?z)( 1?zg
?? jj ee 和
? ? ? ? )( ????? jjjj eegege ??? ??
? ??? )( ?jeg? ? 1?? ?jeg
2） 希望变换以后的传递函数保持稳定性不变, 因此要求
u的单位圆内部必须对应于 z的单位圆内部 。
3） 必须是全通函数 。
为使两个函数的频响满足一定的变换要求, Z的
单位圆应映射到 u的单位圆上, 若以 分别表示 u
平面和 Z平面的单位圆, 则
且必有, 其中 是 的相位函数,
即函数在单位圆上的幅度必须恒为 1,称为全通函数 。
函数 的特性：
1) 是 的有理函数 。
全通函数的基本特性：
其中 为极点, 可为实数, 也可为共轭复数, 但必须在单位圆
以内, 即, 以保证变换的稳定性不变, *为取共轭 。
的所有零点 都是其极点的共轭倒数
N：全通函数的阶数 。
变化时, 相位函数 的变化量为 。
不同的 N和 对应 各类不同的变换 。
?
?
?
?
?
?
??? N
i i
i
z
zzg
1
1
*1
1
1)( ?
?
i?
1?i?
)( 1?zg ? ?*/1
i?
?? ?? 0
i?
? ??? ?N
任何全通函数都可以表示为：
下面具体讨论几种原型变换：
① 低通 ——低通 （ LP）
LP→LP 的变换中, 和 都是低通函数,
只是截止频率互不相同 （ 或低通滤波器的带宽不同 ）
,因此当 时, 相应的, 如图 1(a)，
根据全通函数相位 变化量为 的性质, 可确定
全通函数的阶数 N=1,且必须满足以下两条件：
g(1) = 1,g(-1) = -1
满足以上要求的映射函数应为
)( ?jp eH ? ??jeH
?? ~0?
? ??? ?N
1
1
1
1)( ?
?
?
?
??
z
zzg
?
?
? 1??
?? ~0?
其中 是实数, 且
图 1(a) LP-LP变换（有对称性）
?
c?
?
0
0
?
?
?
?
代入 （ 1） 式, 可得到上述变换所反映的频
率变换关系：
由此得
上式把, 。
频率特性,
呈线性关系, 其余为非线性 。
当 时,, 带宽变窄,
当 时,, 带宽变宽,
适当选择, 可使 变换为, 如图 1(b)所示 。
:低通原型截止频率,,变换后截止 频率
?? jj euez ?? 及将
）（ 2
1 ?
?
?
?
?
j
j
j
e
ee
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2
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,,,0 zucc ??? ??? 时
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0??
cc ?? ?
cc ?? ?
c? c?
c?c?
??~
?
00 ??? ?? ???? ???
LP-LP频率变换
图 LP-LP频率变换特性
c?
c?
确定,
把变换关系 带入（ 2）式,有：
得
（ 2） 式的 频率关系，如图 1(b)
c
c
c
j
j
j
e
ee
?
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?
?
?
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1
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?
? ?
?
2
s i n
2
s i n
cc
cc
??
??
?
?
cc ?? ?
?? ~
② LP-HP
a,基本思想：上述 LP 变换中的 Z代以 –Z,则 LP => HP 。
? ?
)( zH ??
b,高通变换
）（ 2
1 ?
?
?
?
?
j
j
j
e
ee
?
?
?
?
???
或
,0~~0 ???? ????
LP-HP变换把
cc ?? ??
如图 2（ a），
在上述 LP-LP 变换中，将 Z代以 –Z,得 LP - HP变换关系：
）（ 1
11 1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
???
?
???
z
z
z
zu
?
?
?
?
原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率, 欲将
变换到, 由 （ 2） 式,
有：
（ 2） 式的 频率关系，如图 2(b)中的曲线②（实线）
c?? c?
c?? ? c?? ??
? ?
cc
cc
c
c
c
jj
j
j
j
j
ee
e
e
ee
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??
?
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1
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2
c o s
2
c o s
cc
cc
??
??
?
?? ~
:?确定
LP - Hp变换
图 2 (a) LP Hp变换
c??
c
?
?
?0
0
?
③ LP-BP
LP-BP变换把带通的中心频率
故 N=2。
由以上分析得变换关系：
或
00 ?? ??
c?? ??2
c?? ?1
)1(
1
)( 1
1
2
2
2
1
1
2
11
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?????
??
??
??
zrzr
rzrzzgu
)2(
1122
21
2
??
????
??
??
?
??
??
?
jj
jj
j
erer
reree
????
?????
?????
????
~0~
0~~0
0
0
,~~0 ????? ??? 时，
如图 3(a),
,1)1(,0 ????? g，时 ??? 全通函数取负号。
LP-BP变换
图 3 (a) LP-BP变换
1?0?2?
?
c?c??
?
?
?
?0
0
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??
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1
1
22
22
11
11
1
2
2
21
2
1
2
2
21
2
??
??
?
??
??
?
jj
jj
j
jj
jj
j
erer
rere
e
erer
rere
e
c
c
把变换关系 代入（ 2）式得,
消去 r1，得：
令
cc ???? ??? 21,
)()(
)()(
1212
1212
2211
1122
)(
)(
2
?????
?????
??????
??????
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
eeeee
eeeee
eeeee
eeeee
r
c
c
cc
cc
???
???
?
???
???
?
???
???
????
????
2)2(
12 ctgtgk ??? ??
确定 r1,r2,
可证明，
其中
r1,r2代入（ 2）式，则可确定频率变换关系，如图 3（ b）。
1
1
2 ?
??
k
kr
1
2
1 ??? k
kr ?
)
2
c o s (
)
2
c o s (
12
12
??
??
?
?
?
?
LP-BP频率关系
④ LP——BS
如图 4(a),LP——BS变换把带阻的中心频率
的变化范围为,故 N=2
又 g(1)=1,所以，全通函数取正号。
由以上分析得变换关系：
（ 1）
或
（ 2）
??? ???0
0~0~
0~~
0
0
????
?????
???
????
????? ~~0 ???,
?2?
1)( 1122
2
1
1
2
11
??
????
??
??
??
zrzr
rzrzzgu
1122
21
2
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????
??
??
?
??
??
?
jj
jj
j
erer
reree
LP-BS变换
图 4 (a) LP-BS变换
2? 0? 1?
c?c??
?
?
?
)( ?jeH
0
0
?
?
确定 r1,r2,
把变换关系 代入（ 2）式得,
其中,
r1,r2代入（ 2）式，得图 4（ b）,此频率变换关系与前面
的分析相吻合。
22
12 ctgtgk ??? ?
?
??
?
? ??
1
2
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??
kr
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k
kr
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1
1
2
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?
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?
?
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?
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2
c o s
2
c o s
12
12
??
??
?
cc ???? ??? 21,
LP-B S频率变换关系
LP-BS变换的又一种实现方法,
由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的
次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通 (低阻 ),
再利用 3.4.3的方式由低阻到带阻,即
其中 的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带
通公式求,最后可求得,如书中表格内表达式 。
? ?
)(1
)(
)(1)( 1
1
1
2
2
2
1
1
2
11
1
1
1
11
1 ?
??
??
??
?
?
?
??
? ??
?????
?
????
zHzrzr
rzrzzGv
vHv
vvGu
uH 带阻
低阻到带阻
高通
低通到低阻
?
?
?
21,rr
)( 1'1 ?? ? zgu
低通
（原型变换）
对于模拟滤波器,已经形成了许多成熟的设计方案, 如巴特
沃兹滤波器,切比雪夫滤波器,考尔滤波器,每种滤波器都有自己
的一套准确的计算公式, 同时, 也已制备了大量归一化的设计
表格和曲线, 为滤波器的设计和计算提供了许多方便, 因此在
模拟滤波器的设计中, 只要掌握原型变换, 就可以通过归一化
低通原型的参数, 去设计各种实际的低通, 高通, 带通或带阻
滤波器 。 这一套成熟, 有效的设计方法, 也可通过前面所讨论
的各种变换应用于数字滤波器的设计, 具体过程如下：
原型变换 映射变换
原型变换
也可把前两步合并成一步, 直接从模拟低通归一化原型通过一
定的频率变换关系, 完成各类数字滤波器的设计
模拟原型 模拟低通、高通 带通、带阻 数字低通、高通带通、带阻
一, 低通变换
通过模拟原型设计数字滤波器的四个步骤：
1） 确定数字滤波器的性能要求, 确定各临界频
率 {ωk}。
2） 由变换关系将 {ωk}映射到模拟域, 得出模拟
滤波器的临界频率值 {Ωk}。
3） 根据 {Ωk}设计模拟滤波器的 Ha(s)
4） 把 Ha(s) 变换成 H(z)（ 数字滤波器系统函数 ）
下面举例讨论应用模拟滤波器低通原型, 设计各种
数字滤波器的基本原理, 着重讨论双线性变换法 。
例 1 设采样周期,设计一个三阶巴特沃
兹 LP滤波器,其 3dB截止频率 fc=1khz。 分别用脉冲响应不变法
和双线性变换法求解 。
解,a,脉冲响应不变法
由于脉冲响不变法的频率关系是线性的, 所以可直接按 Ωc
=2πfc设计 Ha(s)。 根据上节的讨论, 以截止频率 Ωc 归一化的三
阶巴特沃兹 滤波器的传递函数为：
32221
1)(
ssssHa ????
32 )/()/(2)/(21
1)(
ccc
a ssssH ???????
cs ?/
)4(2 5 0 k h zfsT s ?? ?
以 代替其归一化频率, 得：
也可以查表得到。由手册中查出巴特沃兹多项式
的系数，之后以 代替归一化频率，即得 。
将 代入，就完成了模拟滤波器的设计
，但为简化运算，减小误差积累,fc数值放到数字滤
波变换后代入。
)(sHa
cc f?2??
cs ?/
为进行脉冲响应不变法变换，计算 Ha(S)分母多项式的根，
将上式写成部分分式结构：
2/)31(
3/
2/)31(
3/)( 6/6/
jcs
ec
jcs
ec
cs
csHa jj
???
???
???
???
??
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6/211 3/;,?jcc ecAsA ????????
2/)31(,3/;2/)31( 36/32 jsecAjs cjc ??????????? ? ?
?
?
???
N
i
TS
i
Ze
AZH
i
1
11)( iS
对照前面学过的脉冲响应不变法中的部分分式形式,有
将上式部分系数代入数字滤波器的传递函数：
极点
并将 代入, 得：
合并上式后两项, 并将 代入, 计算得：
12/)31(
6/
12/)31(
6/
1 1
)3/(
1
)3/(
1
/)(
???
?
????? ?
??
?
??
?? Ze
eT
Ze
eT
Ze
TZH
j
j
c
j
j
cC
ccc ?
?
?
?
?
???
??? 5.02 ?? Tf cc
???
?
???
?
??
???
?? ??
?
? 21
1
1 2079.01905.01
5541.0571.1
2079.01
571.11)(
ZZ
Z
ZTZH
Tcc /???
可见,H（ Z）与采样周期 T有关,T越小,H（ Z）
的相对增益越大，这是不希望的。为此，实际应用脉
冲响应不变法时稍作一点修改，即求出 H（ Z）后，再
乘以因子 T,使 H（ Z）只与 有关，即只与 fc和 fs的相
对值 有关，而与采样频率 fs无直接关系。
例如,与 的
数字滤波器具有相同的传递函数，这一结论适合于所
有的数字滤波器设计。
最后得：
sc ff /
21
1
1 2 0 7 9.01 9 0 5.01
5 5 4 1.0571.1
2 0 7 9.01
571.1)(
??
?
? ??
???
?? zz
z
zZH
C?
K H zfK H zf cs 10,40 ??K H zfK H zf cs 1,4 ??
b,双线性变换法
（ 一 ） 首先确定数字域临界频率 ??? 5.02 ?? Tf cc
TtgT
c
c
2
2
2 ??
?
??
?
??? ?
cs ?/
32 )/()/(2)/(21
1)(
ccc
a ssssH ???????
Tc /2??
（ 二 ） 根据频率的非线性关系, 确定预畸的模拟滤波器
临界频率
(三 ) 以 代入归一化的三阶巴特沃模拟器传递函数
并将 代入上式 。
（ 四 ） 将双线性变换关系代入, 求 H(Z)。
3
1
12
1
1
1
1
1
12
1
1
1
1
2
1
1
21
1
)()(
1
1
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?
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z
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? ?
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? ?
2
3
1
112
3
1
21111211
3
1
3
111
3
1
3
1
3
11111
3
1
3
1
3
11
2
1
2
11
3
1
3
1
3
1
2
1
113
1
2122122211
1
11141
1
1111121
1
11121121
1
?
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???
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????????
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????
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??????
?
??????
?
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????
?
?
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?????????
?
?
?????????
?
?
z
z
zzz
z
zzzzzzzz
z
zzzz
z
zzzzzz
z
zzzzzz
z
图 1 三阶 Butterworth 数字滤波器的频响
脉冲响应不变法
双线性变换法
fs/2
我们也可以用 M A T L A B 完成设计，在 M A T L A B 中相关的语句有
but te r （ 巴特沃兹滤波器）,im pi nv ar （ 脉冲响应不变法 ）、
bil in ea r （ 双线性变换），
具体的程序如下：
[B,A] =b ut te r( 3,2* pi *1 00 0,'s ' );
[ nu m1,d en 1] = i mp in va r( B,A,40 00 );
[ h1,w ]= fr eq z( nu m1,d en 1) ;
[B,A] =b ut te r( 3,2/ 0,00 02 5,'s ' );
[ nu m2,d en 2] =b il in ea r( B,A,40 00 );
[ h2,w ]= fr eq z( nu m2,d en 2) ;
f=w /p i* 20 00 ;
plo t( f,ab s( h1 ),'-,',f,a bs (h 2),' -' );
gri d;
xla be l( ' 频率 / Hz ' )
yla be l( ' 幅值 / d B ')
频率 /Hz
三阶巴特沃兹滤波器的频率响应
幅
度
/dB
图 1为两种设计方法所得到的频响, 对于双线性变换法,
由于频率的非线性变换, 使截止区的衰减越来越快, 最后在折
叠频率处 形成一个三阶传输零点,这个三阶零点
正是模拟滤波器在 处的三阶传输零点通过映射形成的 。
因此,双线性变换法使过渡带变窄,对频率的选择性改善,而脉冲
响应不变法存在混淆,且没有传输零点 。
? ??? ???,1Z
???
二,高通变换
设计高通, 带通, 带阻等数字滤波器时, 有两种方法：
① 先设计一个相应的高通, 带通或带阻模拟滤波器, 然后通
过脉冲响应不变法或双线性变换法转换为数字滤波器 。
模拟原型 模拟高通, 带通, 带阻 数字高通, 带通, 带阻
设计方法同上面讨论的低通滤波器的设计 。
即确定 转换为相应的
高通, 带通, 带阻 模拟滤波器的设计
Ha(s) H(Z)
② 直接利用模拟滤波器的低通原型, 通过一定的频率变换关
系, 一步完成各种数字滤波器的设计 。
频率变换
模拟原型 数字低通, 高通, 带通, 带阻
? ?k? ? ?k?
这里只讨论第二种方法。因其简捷便利，所以得到普遍采用。
变换方法的选用：
脉冲响应不变法：对于高通, 带阻等都不能直接采用, 或只
能在加了保护滤波器后才可使用 。 因此, 使
用直接频率变换 （ 第二种方法 ）, 对脉冲响
应不变法要有许多特殊的考虑, 它一般应用
于第一种方法中 。
双线性变换法：下面的讨论均用此方法, 实际使用中多数情况
也是如此 。
基于双线性变换法的高通滤波器设计：
在模拟滤波器的高通设计中，低通至高通的变换就是 S变量
的倒置，这一关系同样可应用于双线性变换，只要将变换式中
的 S代之以 1/S，就可得到数字高通滤波器,
即
1
1
1
1
2 ?
?
?
??
z
zTs
由于倒数关系不改变模拟滤波器的稳定性，因此，
也不会影响双线变换后的稳定条件，而且 轴仍
映射在单位圆上，只是方向颠倒了。
?j
???
?
??
?
???
?
???
?
?
jj c t gTeeTseZ j
j
j
221
1
2,
?
?
?
? 时
????????? 22 ?c tgT
如图
即
映射到 即
映射到 即
图 1 高通变换频率关系
这一曲线的形状与双线性变换时的频率非线性关系曲线相
对应, 只是将 坐标倒置, 因而通过这一变换后可直接将模
拟低通变为数字高通,如图 2。
????????? 22 ?c tgT
0?? ?? ?
??? 1?z
?
1??z
0??
??1.0
1.0
??
0
图 2 高通原型变换
应当明确：
所谓高通 DF,并不是 ω高到, 由于数字频域存在 折叠频
率, 对于实数响应的数字滤波器, 部分只
是 的镜象部分, 因此有效的数字域仅是
,高通也仅指这一段的高端, 即到 为止的部分 。
高通变换的计算步骤和低通变换一样 。 但在确定模拟原型
预畸的临界频率时, 应采用,不必加负
号, 因临界频率只有大小的意义而无正负的意义 。
?
?? ? ??? 2~由
0~?? 由 ?? ~0?
?? ?
?
?
??
?
???
22
k
k c tg
T ?
例, 采样 设计一个三阶切比雪夫
高通 DF,其通过频率 （ 但不必考虑 以上
的频率分量 ）, 通带内损耗不大于 1dB。
解：首先确定数字域截止频率,
,100,10 usTkH zf s ??
k H zf 5.2?
kH zf s 52 ?
??? 5.02 11 ?? Tf
222
1
1
Tc tgT ??
?
??
?
??? ?
? ?122
2
/1
1)(
????? Na VjH ?
)(?NV
则
切比雪夫低通原型的振幅平方函数为：
为 N阶切比雪夫多项式
通带损耗 时，
N=3时,
系统函数为：
5 0 8 9.0110 1.0 ??? ??
32
1
2
1
3
1
3
1
9883.0238.14913.0
4913.0)(
ssssH a ??????
??
dB1??
为方便，将 和 S 用 T/2归一化，
则
1?
2
~,1
2/
~ 1
1 T
ss
T ??
???
32 ~~9883.0~238.14913.0
4913.0)~(
ssssH a ????
于是
321
321
1
1~ 2 0 4 1.06 0 4 3.03 4 3 2.01
3311 3 2 1.0)~()(
1
1 ???
???
?
?? ???
?????
?
?
zzz
zzzsHZH
z
zsa
图 3 三阶切比雪夫高通频响
例 5）, 确定最小阶数 N。
模拟切比雪夫滤波器设计中阶数的确定公式为
A2实际是与阻带最小衰减有关的值, 1/A2是阻带内最大振
幅平方, 也就是最小阻带衰减, 如以分贝值表示这一衰减量,
则
,e是以分贝 计的阻带衰减
今最小阻带衰减为 e=19dB,故
将 一起代入上式, 即求得最小的 N。
1 2 2 0 1 8 4.0110,5.0 1.02 ????? ???今
)(1lg10 2 dBeA ??
9.12 10?A
?及、,2AcS ??
? ?
? ?cs
AN
??
??
?
?
/c o s h
/1c o s h
1
21 ?
例 5 设计一数字高通滤波器, 它的通带为 400～ 500Hz，
通带内容许有 0.5dB的波动, 阻带内衰减在小于 317Hz
的频带内至少为 19dB,采样频率为 1,000Hz。
32492.0210002 4002c tg2c ??? ???? TT ?
6498.0210002 3172c tg2r ??? ???? TT ?
32492.02/~ cc ???? T cT ???
??? ~26 4 9 8.0
2/
~ s
r
0 2 5 5 8 4 2 1 5 5.0~1 6 6 5 6 3 0 7 5.0~4 1 2 7 3 4 6.0~
0 2 5 5 8 4 2 1 5 5.0)~(
23a ???? ssssH
1
1
1
1
2/~ ?
?
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???
z
z
T
ss
321
31
4 5 3 7 6 7 8 6.05 2 4 2 7 7 8 4.19 7 4 8 6 0 2 4.11
)1(0 1 5 9 4 1 4 9.0)(
???
?
???
??
zzz
zzH
wc=2*1000*tan(2*pi*400/(2*1000));
wt=2*1000*tan(2*pi*317/(2*1000));
[N,wn]=cheb1ord(wc,wt,0.5,19,'s');
[B,A]=cheby1(N,0.5,wn,'high','s');
[num,den]=bilinear(B,A,1000);
[h,w]=freqz(num,den);
f=w/pi*500;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([0,500,-80,10]);
grid;
xlabel('')
ylabel('幅度 /dB')
频率 /Hz
切比雪夫高通滤波器
幅
度
/dB
三, 带通变换
如图 1,如果数字频域上带通的中心频率为, 则带通变换
的目的是将, 0
?
00 ?????
??? ????? ????????? 000 映射
0?jez ?? ??? jS
1??z
? ?? ?
? ? 1
1c o s2
)1(1 2
2
?
???
??
??? ?
z
zz
zz
ezezs ojj oo ???
模拟低通
00 0 ??????? ????????? ???映射
（ 频率映射关系具有周期性,幅频响应具有原点对称性 ） 。
即将 S的原点映射到, 而将 点映射到
,满足这一要求的双线性变换为：
图 1 带通原型变换
当 时
因此 （带通变换关系 ）
? ?
??
??
?
?? ??
jj
o
jj
j
o
jj
ee
ee
e
ees
?
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1
1c o s2
2
2
???? jsjs o ?又,s i n c o sc o s ? ??
?
??
s i n
c o sc o s ??? o
jze??
图中 点正好映射在 上，而 映射在,
两端，因此满足带通变换的要求。
0?? 0??? ???? 0?? ?
带通变换的频率关系
稳定性证明：
同时, 这一变换也满足稳定性要求, 设
由于上式完全是实数, 所以是映射在 S平面 轴上 。
其中分子永远非负的,
因此 的正负决定于分母
由此证明了, S左半平面映射在单位圆内, 而右半平面映射
在单位圆外, 这种变换关系是稳定的变换关系, 可用它来完成
带通的变换, 如图 1。
0?? rz
1
1c o s2
2
2
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r
rrs o?
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1
c o s121
1
c o s21
2
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2
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r
rr oo ???
? ? 0)c o s1(212 ???? orr ?
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01
0,1
??
??
?
?
时，
时，
r
r
设计：
设计带通时, 一般只给出上, 下边带的截止频率 作为
设计要求 。
为了应用以上变换, 首先要将上下边带参数 换算成中
心频率 及模拟低通截止频率 。
为此将 代入变换关系式：
由于 在模拟低通中是一对镜象频率,
代入上面两等式, 求出
21,??
21,??
0? c?
co ?? ??,,21 ??? 求
21,??
1
1
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c o sc o s
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21,??
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0 ??
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2
2
2 s in
c o sc o s
?
?? ??? o
例
又 同时也就是模拟低通的截止频率,
有了这两个参数就可完成全部计算 。
：采样 fs=400kHz,设计一巴特沃兹带通滤波器, 其
3dB边界频率分别为 f2=90kHz,f1=110kHz,在阻带 f3=120kHz处最
小衰减大于 10dB。
解：确定数字频域的上下边带的角频率
求中心频率：
1? c?
1
1
s in
c o sc o s
?
?? ???? o
c
??? 45.0/2 22 ?? sff
??? 55.0/2 11 ?? sff
??? 6.0/2 33 ?? sff
? ?
??
???
55.0s i n45.0s i n
55.045.0s i nc o s
0 ?
?? ?? 5.00 ?
求模拟低通的通带截止频率 与阻带边界频率,
从 频率增加了约 1.05倍, 衰减增加了 （ 10-3） dB
,故选用二阶巴特沃兹滤波器可满足指标 （ 查表 ）
归一化的系统函数：
代入,
代入变换公式
c?
s?
1584.055.0s i n 55.0c o s5.0c o s ???? ? ??c
3 2 4 9.06.0s i n 6.0c o s5.0c o s ???? ? ??s
sc ?? 到
12
1)(
2 ???? sssH a
c?
? ? ? ? 1/2/
1)(
2 ?????
cc
a sssH
1
1
1
1c o s2
2
2
2
0
2
?
??
?
???
z
z
z
zzs ?
0
P88 例 6 带通滤波器设计
3dB
10dB
f2 f1 f3
H(ejω)
f
1
1
1
3 1 7.62
1
1
3 1 7.6
1
)()(
2
2
2
2
2
21
1
2
2
?
?
?
????
?
?
?
?
?
?
?
?
??
?
?
?
z
z
z
z
sHazH
z
z
s
66.3725.8466.37
)1(
24
22
??
??
zz
z
w1=2*400*tan(2*pi*90/(2*400));
w2=2*400*tan(2*pi*110/(2*400));
wr=2*400*tan(2*pi*120/(2*400));
[N,wn]=buttord([w1 w2],[0 wr],3,10,'s');
[B,A]=butter(N,wn,'s');
[num,den]=bilinear(B,A,400);
[h,w]=freqz(num,den);
f=w/pi*200;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([40,160,-30,10]);
grid;
xlabel('频率 /kHz')
ylabel('幅度 /dB')
巴特沃兹带通滤波器
40 60 80 100 120 140 160
- 3 0
- 2 5
- 2 0
- 1 5
- 1 0
-5
0
5
10
? μ ? ê / k H z
·
ù
?
è
/
d
B
频率 /kHz
幅
度 /
dB
四, 带阻变换
把带通的频率关系倒置就得到带阻变换 。
ozz
zs
??
?
? c o sc o s
s i n,
1c o s2
1
0
2
2
?????
??
01
1
c o sc o s
s in
??
?
??? c
co ?? ??,,21 ??? 求
给定
例７ 一数字滤波器采样频率 fs = 1kHz, 要求滤除 100Hz的
干扰, 其３ dB的边界频率为 95Hz和 105Hz,原型归一化低通
滤波器为
ssH ?? 1
1)(1
a
P.88例 7
w1=95/500;
w2=105/500;
[B,A]=butter(1,[w1,w2],'stop');
[h,w]=freqz(B,A);
f=w/pi*500;
plot(f,20*log10(abs(h)));
axis([50,150,-30,10]);
grid;
xlabel('频率 /Hz')
ylabel('幅度 /dB')
频率 /Hz
巴特沃兹带阻滤波器
幅度
/dB
§ 3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的频率变换
（ Z平面变换法）
上一节讨论了由模拟网络的低通原型来设计各种 DF的方
法, 这种原型变换的设计方法同样也可直接在数字域上进行 。
DF低通原型函数
这种变换是由 所在的 Z平面到 H（ z） 所在的 Z平面的一
个映射变换 。
为便于区分变换前后两个不同的 Z平面, 我们把变换前的
Z平面定义为 u平面, 并将这一映射关系用一个函数 g表示：
①
?? ?? 变换)( zH p
)(ZH p
)( 11 ?? ? zgu
各种 DF的 H（ z）
平面平面 zu
ZHzH zgup )()( )(
11
??? ??
?? ?
于是,DF的原型变换可表为：
)( 11
)()( ??
?
?
zgup
uHzH
)( 1?zg
)( 1?zg
1?z)( 1?zg
?? jj ee 和
? ? ? ? )( ????? jjjj eegege ??? ??
? ??? )( ?jeg? ? 1?? ?jeg
2） 希望变换以后的传递函数保持稳定性不变, 因此要求
u的单位圆内部必须对应于 z的单位圆内部 。
3） 必须是全通函数 。
为使两个函数的频响满足一定的变换要求, Z的
单位圆应映射到 u的单位圆上, 若以 分别表示 u
平面和 Z平面的单位圆, 则
且必有, 其中 是 的相位函数,
即函数在单位圆上的幅度必须恒为 1,称为全通函数 。
函数 的特性：
1) 是 的有理函数 。
全通函数的基本特性：
其中 为极点, 可为实数, 也可为共轭复数, 但必须在单位圆
以内, 即, 以保证变换的稳定性不变, *为取共轭 。
的所有零点 都是其极点的共轭倒数
N：全通函数的阶数 。
变化时, 相位函数 的变化量为 。
不同的 N和 对应 各类不同的变换 。
?
?
?
?
?
?
??? N
i i
i
z
zzg
1
1
*1
1
1)( ?
?
i?
1?i?
)( 1?zg ? ?*/1
i?
?? ?? 0
i?
? ??? ?N
任何全通函数都可以表示为：
下面具体讨论几种原型变换：
① 低通 ——低通 （ LP）
LP→LP 的变换中, 和 都是低通函数,
只是截止频率互不相同 （ 或低通滤波器的带宽不同 ）
,因此当 时, 相应的, 如图 1(a)，
根据全通函数相位 变化量为 的性质, 可确定
全通函数的阶数 N=1,且必须满足以下两条件：
g(1) = 1,g(-1) = -1
满足以上要求的映射函数应为
)( ?jp eH ? ??jeH
?? ~0?
? ??? ?N
1
1
1
1)( ?
?
?
?
??
z
zzg
?
?
? 1??
?? ~0?
其中 是实数, 且
图 1(a) LP-LP变换（有对称性）
?
c?
?
0
0
?
?
?
?
代入 （ 1） 式, 可得到上述变换所反映的频
率变换关系：
由此得
上式把, 。
频率特性,
呈线性关系, 其余为非线性 。
当 时,, 带宽变窄,
当 时,, 带宽变宽,
适当选择, 可使 变换为, 如图 1(b)所示 。
:低通原型截止频率,,变换后截止 频率
?? jj euez ?? 及将
）（ 2
1 ?
?
?
?
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j
j
j
e
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c o s12
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2
2
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,,,0 zucc ??? ??? 时
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cc ?? ?
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c? c?
c?c?
??~
?
00 ??? ?? ???? ???
LP-LP频率变换
图 LP-LP频率变换特性
c?
c?
确定,
把变换关系 带入（ 2）式,有：
得
（ 2） 式的 频率关系，如图 1(b)
c
c
c
j
j
j
e
ee
?
?
?
?
?
?
?
?
?
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1
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2
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2
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cc
cc
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cc ?? ?
?? ~
② LP-HP
a,基本思想：上述 LP 变换中的 Z代以 –Z,则 LP => HP 。
? ?
)( zH ??
b,高通变换
）（ 2
1 ?
?
?
?
?
j
j
j
e
ee
?
?
?
?
???
或
,0~~0 ???? ????
LP-HP变换把
cc ?? ??
如图 2（ a），
在上述 LP-LP 变换中，将 Z代以 –Z,得 LP - HP变换关系：
）（ 1
11 1
1
1
1
1
?
?
?
?
?
?
???
?
???
z
z
z
zu
?
?
?
?
原型低通的截止频率 对应于高通的边界频率, 欲将
变换到, 由 （ 2） 式,
有：
（ 2） 式的 频率关系，如图 2(b)中的曲线②（实线）
c?? c?
c?? ? c?? ??
? ?
cc
cc
c
c
c
jj
j
j
j
j
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e
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1
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2
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2
c o s
cc
cc
??
??
?
?? ~
:?确定
LP - Hp变换
图 2 (a) LP Hp变换
c??
c
?
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?0
0
?
③ LP-BP
LP-BP变换把带通的中心频率
故 N=2。
由以上分析得变换关系：
或
00 ?? ??
c?? ??2
c?? ?1
)1(
1
)( 1
1
2
2
2
1
1
2
11
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?????
??
??
??
zrzr
rzrzzgu
)2(
1122
21
2
??
????
??
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?
jj
jj
j
erer
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????
?????
?????
????
~0~
0~~0
0
0
,~~0 ????? ??? 时，
如图 3(a),
,1)1(,0 ????? g，时 ??? 全通函数取负号。
LP-BP变换
图 3 (a) LP-BP变换
1?0?2?
?
c?c??
?
?
?
?0
0
?
?
?
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??
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??
??
??
??
?
1
1
22
22
11
11
1
2
2
21
2
1
2
2
21
2
??
??
?
??
??
?
jj
jj
j
jj
jj
j
erer
rere
e
erer
rere
e
c
c
把变换关系 代入（ 2）式得,
消去 r1，得：
令
cc ???? ??? 21,
)()(
)()(
1212
1212
2211
1122
)(
)(
2
?????
?????
??????
??????
jjjjj
jjjjj
jjjjj
jjjjj
eeeee
eeeee
eeeee
eeeee
r
c
c
cc
cc
???
???
?
???
???
?
???
???
????
????
2)2(
12 ctgtgk ??? ??
确定 r1,r2,
可证明，
其中
r1,r2代入（ 2）式，则可确定频率变换关系，如图 3（ b）。
1
1
2 ?
??
k
kr
1
2
1 ??? k
kr ?
)
2
c o s (
)
2
c o s (
12
12
??
??
?
?
?
?
LP-BP频率关系
④ LP——BS
如图 4(a),LP——BS变换把带阻的中心频率
的变化范围为,故 N=2
又 g(1)=1,所以，全通函数取正号。
由以上分析得变换关系：
（ 1）
或
（ 2）
??? ???0
0~0~
0~~
0
0
????
?????
???
????
????? ~~0 ???,
?2?
1)( 1122
2
1
1
2
11
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????
??
??
??
zrzr
rzrzzgu
1122
21
2
??
????
??
??
?
??
??
?
jj
jj
j
erer
reree
LP-BS变换
图 4 (a) LP-BS变换
2? 0? 1?
c?c??
?
?
?
)( ?jeH
0
0
?
?
确定 r1,r2,
把变换关系 代入（ 2）式得,
其中,
r1,r2代入（ 2）式，得图 4（ b）,此频率变换关系与前面
的分析相吻合。
22
12 ctgtgk ??? ?
?
??
?
? ??
1
2
1 ?
??
kr
?
k
kr
?
??
1
1
2
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?
?
?
? ?
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?
?
?
?
? ?
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2
c o s
2
c o s
12
12
??
??
?
cc ???? ??? 21,
LP-B S频率变换关系
LP-BS变换的又一种实现方法,
由低通到带阻的变换同样可以通过旋转变换来完成,但变换的
次序与模拟低通到数字带阻的次序不同,是先由低通到高通 (低阻 ),
再利用 3.4.3的方式由低阻到带阻,即
其中 的求取可利用低通到高通公式,可利用低通到带
通公式求,最后可求得,如书中表格内表达式 。
? ?
)(1
)(
)(1)( 1
1
1
2
2
2
1
1
2
11
1
1
1
11
1 ?
??
??
??
?
?
?
??
? ??
?????
?
????
zHzrzr
rzrzzGv
vHv
vvGu
uH 带阻
低阻到带阻
高通
低通到低阻
?
?
?
21,rr
)( 1'1 ?? ? zgu
低通
